高考數(shù)學一輪復習39空間向量的應用（含解析）

專練39空間向量的應用

考查空間向量的應用.

［基礎強化］

一、選擇題

1.若兩不重合直線八和，2的方向向量分別為匕=(1,0,-1)，匕=(-3,0,3),則八和/2

的位置關系是()

A.平行B.相交

C.垂直D.不確定

2.若。=(2,-2,-2),Z>=(2,0,4),則“與〃的夾角的余弦值為()

C.一15D.0

15

3.若直線/的一個方向向量。=(2,2,-2),平面a的一個法向量b=(l,1,-I),則()

A./_LaB.l//a

C./CaD.A,C都有可能

4.在空間四邊形力BCD中，ABCD+ACDB+AbBC=()

A.-IB.0

C.ID.不確定

5.若平面a,/的法向量分別為股=(2,—3,5),〃=(一31，-4),則()

A.a〃陽.a邛

C.扇夕相交，但不垂直D.以上均不正確

6.

如圖所示，已知P4J■平面/8C,ZABC=\20°,刃=48=8C=6，則尸。=()

A.62B.6

C.12D.144

7.

如圖，在空間直角坐標系中有直三棱柱48。一4囪?,CA=CCi=2CB,則直線8G與

49夾角的余弦值為()

A.5B,5

53

253

CD

55

8.在直三棱柱48c—48cl中，AB=1,AC=2,BC=3,D,E分別是4G和的

中點，則直線。E與平面所成的角為()

A.30°B.45°

C.60°D.90°

9.過正方形力8co的頂點彳作線段為，面458,若45=為，則平面/O尸與平面8P

所成的二面角為()

A.30°B.45°

C.60°D.90°

二、填空題

10.已知四邊形力BC。為平行四邊形，且4(4,1,3),8(2,-5,1),。(3,7,—5),則頂點

D的坐標為.

11.已知空間三點40,2,3),8(—2,1,6),。(1,-1,5),則以施，id為鄰邊的平行四邊形

的面積為.

12.設正方體48CQ一小aG9的棱長為2,則Eh點到平面48。的距離為.

［能力提升］

13.［2021?長沙一中高三測試］

如圖所示，在正方體48CO—4/CQi中，棱長為a,M,N分別為小5和4C上的點，

A、M=AN=y，則MN與平面831cle的位置關系是()

A.斜交B.平行

C.垂直D.MN在平面881cle內

14.直三棱柱48c—481G中，若/及IC=90。，AB=AC=AA\,則異面直線84與4G

所成的角等于()

A.30°B.45°

C.60°D.90°

15.若平面a的一個法向量〃=(2,1,1),直線/的一個方向向量為。=(1,2,3),貝必與/所成

角的正弦值為.

16.

如圖所示，四棱錐S-43CD中，底面45CO為平行四邊形，側面S8C_L底面48cO,已

知N48C=45。，BC=22,AB=2,SA=SB=3.求直線SO與平面S48所成角的正弦值為

專練39空間向量的應用

??％=一』％,

1.A?：Ji//l2.

2.CV|?|=^22+(-2)2+(-2)2=2\/3,|A|=\/22+02+42=2>/5,

flZ>=2X2+(-2)X0+(-2)X4=-4,

_ab__4_V15

cos(a,b>

~\a\\b\~2^X2\{5~15,

3.A?：a=2b,二。與b共線，A/±a.

4.B解析：

如圖，令益=〃，AC=b,AD=c

則成田+左?加+石?病

=4?(c—b)+b(Q—c)+c0—4)

=a*c~a*b~\~b*a~b*c+c*b~C'a=0.

故選B.

5.C?.,/?與〃不共線，且"〃=—6—3—20H0,

???a與在相交但不垂直.

6.C*：AB=BC=6,N48c=120。，A^C=6A/3,

建立如圖所示的空間直角坐標系，其中。為/C的中點，

則P(0,1306),C(0,3毋0)

二|pq=7(0-0)2+(35+3\向2+62

=12.

7.A設6c=1,則3(0,0,1),Ci(0,2,0),4(2,0,0),囪(0,2,1)

比1=(0,2,一1),茄尸(一2,2,1)

5CIJ51=0X(-2)+2X24-(-1)X1=3.

|病1|=3，|J?1|=3,

一一BCvABy3\/5

Acos(BCi.ABO=__=-^—=>

\BC^ABX\45X35

8.A

4G

/B

AC=2,BC=3,AJ52+5C2=JC2,

建立如圖所示的空間直角坐標系，

則4(1,0,0),G(0,3,h),Bi(0,0,h),5(0,0,0)

送「3a°a

/.D￡=(-2,-2^°1顯然面88CC的法向量為m=(l,0,0),

???揚與平面88CC所成角。滿足

DEm

sina=I\DE\-\m\1=;=..

1X12

又a￡[0°,90。],

/.a=30°.

9.D建立如圖所示的空間直角坐標系,

設力3=1,貝IJ4(0,0,0),8(1,0,。)，0(0,1,0),C(l,l,0),尸(0,0,1),

顯然面ADP的法向量m=(1,0,0),

設平面CO尸的法向量〃=(x,y,z),

CD=(-1,0,0),CT=(-1,-1,1),

—x=0,人

:.令y=1,則z=L

-x-j+z=0,

mw=lX0+0Xl+0X1=0,J.mVn,

???平面ADP與平面CDP所成的角為90。.

10.(5,13,-3)

解析：設O(x,yfz),由題意得疝=反?,

，(x—4,y—1,z—3)=(1,12,—6)

x=5,

y=13,???。(5/3,-3).

z=-3

11.73

解析：誦=(一2,—1,3),AC=(\,-3,2),

.,.^?JC=-2+34-6=7,|前尸14,\AC\=14.

__ABAC71

又cos(AB,AC)=__=

|物力C|14X142

/.sin(AB,AC)=3,

2

???平行四邊形的面積S=|次|X|而Xsin(AB,AC>=73.

1223

3

解析：建立如圖所示的空間直角坐標系，

則。i(0,0,2),4(2,0,2),。(0,0,0),5(2,2,0),

???向=(2,0,0),灰=(2,0,2),加=(2,2,0).

設平面小8。的法向量為〃=(x,y,z),

wZ)Ji=2x+2z=0?

則_

n-DB=2x+2y=0.

令x=l,則”=(1,—1,—1),

???點D^到平面AiBD的距離是

d=l9?嘰2=23

1?133,

13.B建立如圖所示的空間直角坐標系，由于4M=/N=

f2a4(2a2a]

則從“3,31忒3,3,"J,

一02Q

赤=13,'3」.又。孫_1_平面88?。，所以3分|=(0,a,0)為平面BBiGCt的一個法

向量.因為加?3bi=0,所以加所以MN〃平面881GC

14.C

如圖所示，以小為坐標原點，4幼所在直線為x軸，4S為單位長度，小G所在直線為

y軸，小力所在直線為z軸，建立空間直角坐標系4一刈z.則可得4(0,0,0),fii(1,0,0,),Ci(0,l,0),

40,0,1),5(1,0,1).所以勵=(1,0,1),^Ci=(0,l,-1).

一一后?在11

M|cos<A\B,AC\}1=_==.

UiBIHCil2X22

所以異面直線BA】與ACy所成角為60。.故選C.

15.21

6

解析：設直線/與平面a所成的角為仇

溫|=12X1+1X2+1X31=21

則sinO=

22+12+12-12+22+326

22

16.

11

解析：

如圖所示,作S0_L8C,垂足為O,連接力0,由