重難點01 勾股定理的相關(guān)證明與計算

重難點01勾股定理的相關(guān)證明與計算第1天初識勾股圓方圖1.勾股定理現(xiàn)約有500種證明方法,是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一.中國古代最早對勾股定理進行證明的是三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽,趙爽創(chuàng)制了如圖①所示的“勾股圓方圖”,在該圖中,以弦為邊長所得到的正方形是由4個全等的直角三角形再加上中間的小正方形組成的,其中.(1)請利用面積相等證明?股定理;(2)在圖①中,若大正方形的面積是13，,求小正方形的面積;(3)圖②是由“勾股圓方圖”變化得到的,正方形由八個全等的直角三角形和正方形拼接而成,記圖中正方形,正方形,正方形的面積分別為若,求邊的長度.解:(1)聽說約有500種證明勾股定理的方法，想不想看看.，,小正方形的邊長,又大正方形的邊長為,大正方形的面積為，4個全等的直角三角形的面積和為，正方形的面積為,由“大正方形的面積＝4個全等的直角三角形的面積＋小正方形的面積”得:，,經(jīng)過整理可得(2)大正方形的面積是13，,,且,,或(舍去),,小正方形的面積為1;(3正方形由八個全等的直角三角形和正方形拼接而成,,正方形的邊長為,正方形的面積為.而正方形的邊長為,正方形的邊長整理,得或(舍去),邊的長為第2天當格點遇上弦圖2.在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格圖中,每個小正方形的頂點稱為格點.以頂點都是格點的正方形的邊為斜邊,向內(nèi)作四個全等的直角三角形,使四個直角頂點，都是格點,且四邊形為正方形,我們把這樣的圖形稱為格點弦圖.例如,在如圖所示的格點弦圖中,正方形的邊長為,此時正方形的面積為5.問:當格點弦圖中的正方形的邊長為時,求正方形的面積的所有可能值(不包括5.解:當時,滿足,此時,可得正方形EFGH的面積為13;當時,滿足,此時,可得正方形的面積為49;當時,滿足,此時,正方形的面積為9.綜上所述,正方形的面積可能為13或49或9.數(shù)學(xué)家簡介趙爽,三國時期東吳的數(shù)學(xué)家.曾注《周髀算經(jīng)》,他所作的《周髀算經(jīng)注》中有一篇《勾股圓方圖注》全文五百余字,這篇注文簡練地總結(jié)了東漢時期勾股算術(shù)的重要成果,最早給出并證明了有關(guān)勾股弦三邊及其和,差關(guān)系的二十多個命題,他的證明主要是依據(jù)幾何圖形面積的換算關(guān)系.第3天圖形開花想勾股3.勾股定理有著悠久的歷史,它曾引起很多人的興趣.1955年希臘發(fā)行了兩枚以勾股圖為背景的郵票.所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊為邊向外作正方形構(gòu)成的圖形(如圖(1),在中,).請解答：(1)如圖(2),若以直角三角形的三邊為邊向外作等邊三角形,則它們的面積之間的數(shù)量關(guān)系是;(2)如圖(3),若以直角三角形的三邊為直徑向外作半圓,則它們的面積之間的數(shù)量關(guān)系是,請說明理由;(3)如圖(4),在梯形中,,分別以為邊向梯形外作正方形,其面積分別為,判斷之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.解:來吧,大兄弟們，一個一個求,總能發(fā)現(xiàn)它們之間的關(guān)系。設(shè)直角三角形的三邊的長分別為,則.(1);(2);理由如下:,(3)理由如下:是不是信心暴棚了,別高?太早了,這個圖有點難哦,快想想它可以怎么轉(zhuǎn)換呢!如解圖,過點作,交于點,設(shè)梯形的邊的長分別為,可證,,,則,.第4天看到平方構(gòu)直角4.如圖,在中,,點在邊上.(1)如圖,如果,求證:;(2)如圖(2),如果是邊上任意兩點,并滿足,那么線段是否有可能使等式成立?如果成立,請證明;如果不成立,請說明理由.(1)證明:都這么明顯了,還想不到用全等嗎,精神小伙子們.,;(2)解:成立.證明:如解圖,過點作,垂足為點,雔取,使.連接..,SAS..,..,.全等用完你以為就完了嗎,那可想簡單了,繼續(xù).看到了平方,有沒有想到勾股定理在向你招手.在中,由勾股定理,得..第5天巧擺整數(shù)三角形5.定義:三邊長和面積都是整數(shù)的三角形稱為“整數(shù)三角形”.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組的同學(xué)從32根等長的火柴棒(每根長度記為1個單位)中取蛜若干根，首尾依次相接組成三角形,進行探究活動.小東用12根火柴棒,擺成如圖所示的“整數(shù)三角形";小穎用24根火柴棒擺出直角“整數(shù)三角形";小軍受到小東、小穎的啟發(fā),用30根火柴棒擺出直角“整數(shù)三角形”.(1)請你畫出小穎和小軍擺出的直角“整數(shù)三角形”的示意圖;(2)你能否也從中取出若干根火柴棒,按下列要求擺出“整數(shù)三角形”,如果能,請畫出示意圖；如果不能,請說明理由.(1)擺出一個等腰“整數(shù)三角形”；(2)擺出一個非特殊(既非直角三角形,也非等腰三角形)“整數(shù)三角形”.解:這么有趣的小游戲,確定不來玩一把?小鹿都準備好了,就等你來了.(1)小穎,小軍擺出的直角“整數(shù)三角形”如解圖①;(2)①能擺出如解圖②所示兩個不同的等腰“整數(shù)三角形”：②能擺出如解圖③所示一個非特殊“整數(shù)三角形":綜合強化練11.勾股定理是人類最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一,在我國古算書?周髀算經(jīng)》中早有記載.如圖(1),以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形,再把較小的兩張正方形紙片按圖(2)的方式放置在最大正方形內(nèi).若知道圖中陰影部分的面積,則一定能求出（）A.直角三角形的面積B.最大正方形的面積C.較小兩個正方形重疊部分的面積D.最大正方形與直角三角形的面積和C【解析】設(shè)直角三角形的斜邊長為,較長直角邊為,較短直角邊為,由勾股定理得,,陰影部分的面積),較小兩個正方形重疊部分的寬,長=,則較小兩個正方形重登部分的面積知道圖中陰影部分的面積,則一定能求出較小兩個正方形重疊部分的面積.2.如果直角三角形的三邊都是200以內(nèi)的正整數(shù),且較長的兩邊長相差1,那么這樣的直角三角形有（）A.12個B.9個C.6個D.1個B【解析】設(shè)兩直角邊為,則斜邊為1),即為奇數(shù).分別取對應(yīng)的為4、12、24、40、60、84、112、144、180,故這樣的直角三角形有9個.3.如圖是一連串直角三角形演化而成的.其中,記,為相應(yīng)三角形的面積.則為正整數(shù)的值為（）A.B.C.D.D【解析】,根據(jù)規(guī)律可得，4.如圖,分別以直角三角形的三條邊為邊向外作正方形,然后分別以三個正方形的中心為圓心、正方形邊長的一半為半徑作圓.記大圓的面積是,兩個小圓的面積的和是,則和兩者之間的大小關(guān)系是.【解析】設(shè)大圓的半徑是,則;設(shè)兩個小圓的半徑分別是和,則.由勾股定理,知,得5.(“希望杯”邀請賽試題)如圖,在中,是邊上除點外的任意一點,則.25【解析】如解圖,過點作于點.即.6.已知在中,.(1)如圖1,在中,若,且,求證:;(2)如圖(2),在中,