數(shù)學-湖南省衡陽市衡陽縣第四中學2024-2025學年2025屆高三第一（上）學期1月期末考試試題和答案

衡陽縣四中2025屆高三第一學期期末考試注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。C．將函數(shù)y=2cos2x+的圖象向右平移(x)的圖象B．a2024+a2025=2C．an=an+3第Ⅱ卷（非選擇題）12．若函數(shù)fx=f'?1x2?2x+1，則f'?1=.(1)求{an}的通項公式；(2)求PB與平面PCD所成角的正弦(3)在棱PB上是否存在點M，使得平面ADM與平面ABCD所成角的余弦1817分）已知fx,=ex?sinx?x.(1)若gx=0<x<，證明：gx存在唯一零點；(2)當x∈(?∞,π)時，討論fx零點個數(shù).為橢圓C上異于A,B的動點，△PF1F2的周長為4+23.（ii）設直線PQ:x=ty+n，證明：直線PQ過定點.數(shù)學答案【解析】∵A={x|log2(x?1)<2}={x|log2(x?1)<log24}={x|1<x<5}，A?B【解析】Z-=Z====1，【解析】依題意，函數(shù)f(x)是在(?2,+∞)上的單調函數(shù)，由于y=log2(x+2)+b在(?2,0]上單調遞增，所以f(x)在(?2,+∞)上單調遞增，bx+2,x>0,log2(x+2)+b,?2<x≤bx+2,x>0,log2(x+2)+b,?2<x≤0【解析】由=(1,?1)，得||=2，因為|b|=1,|+2b|=所以(+2)2=2+4?+42=2+4?+4=2，解得?=?1，所以?+2=2+2?=2?2=0，【解析】由題意可知F1F2=2C=4，則C=2，F(xiàn)1(?2,0)，點Q(2,2)在橢圓C上，則+=1，結合a2?b2=C2=4，解得a2=8,b2=4，故C:+=1，設p(x,y)，則x2=8?2y2,y∈[?2,2]，2=?y2?2y+4=?y++，2當且僅當y=?時，?y++取最大值，種選法.而平均分組共有=10種方式，所以共有10?5=5記△ABC和△A1B1C1外接圓的圓心分別為O1和O2，其半徑為r，由正弦定理得：r==1.而O為O1O2的中點，所以R2=12+(3)2=4,R=2,則V=πR3=.解法2：設正三棱柱ABC?A1B1C1外接球的半徑為R,故R>3,此時V=πR3>43π.【解析】由題意可知：圓O:x2+y2=4的圓心為O0,0，半因為∠MON=60°,則OP=Rcos30°=3，可知點P的軌跡是以O0,0為圓心，半徑r=3的圓C:x2+y2=3，設AB的中點為E，可得OE<AB?3?AB>2OE+23，因為O0,0到直線l:x?y?4=0的距離d==22，可知OE≥d=22，可得AB>2OE+23≥42+23，所以AB>42+23，所以AB的取值范圍是42+23,+∞).所以fx=2sin(2x+φ)，又函數(shù)過點,2)，即f=2sin+φ)=2，∴fx=2sin2x+，對于B：當x=?時，f?=2sin?2×+=2sin?π=0，所以fx的圖象關于點?,0)對稱，故B正確；對于C：將函數(shù)y=2cos2x+的圖象向右平移個單位得到：y=2cos2x?+=2cos2x?)=2sin2x?,故C錯誤；令≤2x+≤,解得0≤x≤,所以fx在0,上單調遞增，令≤2x+≤,解得≤x≤,所以f(x在,上單調遞減，又f0=2sin=3，f=2sin=2，f()=2sinπ+=?3，故方程fx=m在0,上有且只有一個實數(shù)根時，則m的取值范圍是?3,3)∪{2}，【解析】對于A，因為an=(?1)FnFn+1，所以a4=(?1)F4F5，因為F1=F2=1，F(xiàn)n+2=Fn+1+Fn(n∈N?)，所以F3=F2+F1=1+1=2，F(xiàn)4=F3+F2=2+1=3，F(xiàn)5=F4+F3=3+2=5，所以F4F5=3×5=15，所以a4=(?1)15=?1，故A錯誤；則AP=AD2+DP2=，因此A到點P的最短路程為，對；對于B，建系如圖，設M(x,0,Z),P(0,1,),B(1,1,0),H為DA靠近D點的三等分點和AE靠近E點三等分點的連線段，對；2+1+(?Z)2=，整理得x2+(Z?)2=，所以M在側面ADHE內運動路徑是以(0,0,)為圓心，為半徑的圓，而點(0,0,)到A(1,0,0)的距離等于1+=<，所以點M在側面ADHE內運動路徑長度為0，錯；ME=ME=因為點M在平面ADHE內，所以0≤x,Z≤1，當x=Z=0，即M與D點重合時，三棱錐M?BEP的高最大，又△BEP的面積為定值，所以M與D重合時，三棱錐的體積最大，對.【解析】因為fx=f'?1x2?2x+1，所以f'x=f'?1x?2，得到f'?1=?f'?1?2，解得f'?1=?1，故答案為：?1.【解析】因為關于x的不等式mx2?x+1<0的解集為{xa<x<b}，所以m>0且方程mx2?x+1=0的解為a,b，則a+b=,ab=，所以a+b=ab，則+=1，所以b=1+=>0，所以a?1>0，則+=+4a?1≥24ta?1=4，當且僅當=4a?1，即a=時，取等號，易知PT=PF22?TF22=PF22?(b?C)2，又iPTi的最小值為(a?C可得iPF2i的最小值為a?C2+(b?C)2，根據焦半徑公式可得PF2的最小值為a?C，即可知a?C2+b?C2=a?C)2,2=a所以{an}是公差為的等差數(shù)列. 2== PB∴AM=AP+PM=(λ,2λ?2,2?2λ)2,y2,Z2)為平面ADM的一個法向量，=2λ?+λ2×2=，∴λ=，∴=.【解析】（1）由題意，gx==(0<x<，則g'x==，進而g'x<0，所以gx在0,上單調遞減，π2??eπ2??e2sinπ4?π?2e2π22?π?e2 πe2===π2e2?π?e2 πe2===π2e2πe2根據零點存在性定理可知：函數(shù)gx在0,上存在唯一零點.根據零點存在性定理可知：函數(shù)gx在0,上存在唯一零點.π當x≤?π時，因為ex<e?2，2所以f'x=ex?sinx+excosx?1=ex?sinx+cosx?1≤2e??1<2e?1?1<π+=?e?2+1>π+=?e?2+1>0，π2π2此時fx單調遞減，f??所以fx在?∞,?上沒有零點，當?<x≤時，令?x=ex?sinx+excosx?1,?<x≤0)，則?'(x)=2excosx≥0，所以f'x在?,上單調遞增，又f'0=0，故當?<x<0時，f'x<0，則fx在?,0)上單調遞減，又f0=0，當0<x≤時，f'x)>0，故fx在0,上單調遞增，因此，當?<x≤時，f(x)只有一個零點，即x=0，當≤x<π時，?'(x)=2excosx<0，所以f'x在,π)上單調遞減，又f'(π)=?eπ?1<0，f'π2π故?x0∈,π)，使得f'x0=0，且當x∈,x0)時，f'x>0，fx單調遞增，當x∈x0,π時，x∈x0,π,f'x<0，fx單調遞減，π2而f=e?>e?>0，fπ=?π<0，π2而f所以當≤x<x0時，f(x)>0，此時fx無零點，當x∈x0,π時，fx只有一個零點，綜上可知：x∈(?∞,π)時，fx有2個零點.【解析】（1）依題意可設橢圓c:+=1(a>b>0)，且C=