2025年外研版2024高一數學上冊月考試卷

…………○…………內…………○…………裝…………○…………內…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年外研版2024高一數學上冊月考試卷684考試試卷考試范圍：全部知識點；考試時間：120分鐘學校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五六總分得分評卷人得分一、選擇題(共5題，共10分)1、設m；n是兩條不同的直線，α，β是兩個不重合的平面，給定下列四個命題，其中為真命題的是（）

①②

③④．

A.①和②

B.②和③

C.③和④

D.①和④

2、【題文】設函數在區(qū)間上的最大值與最小值之差為則（）A.B.2C.D.43、【題文】下列函數中，在區(qū)間(0，+∞)上是減函數的是（）A.B.C.D.4、【題文】已知函數若實數滿足則()A.－2B.－1C.0D.25、過兩點（﹣1，0），（0，1）的直線方程為（）A.x﹣y+1=0B.x﹣y﹣3=0C.2x﹣y=0D.2x﹣y﹣3=0評卷人得分二、填空題(共8題，共16分)6、在（0，1）區(qū)間內任意取兩實數，則它們的和大于而小于的概率為____．7、函數恒過定點，其坐標為．8、【題文】函數的定義域為____.9、【題文】（5分）（2011?重慶）過原點的直線與圓x2+y2﹣2x﹣4y+4=0相交所得的弦長為2，則該直線的方程為____．10、【題文】若則____．11、已知2lg（x﹣2y）=lgx+lgy，則=____．12、定義在R上的偶函數f（x）在[0，+∞）上單調遞減，且f（）=0，則滿足f（）＜0的集合為______．13、向量=（2，3），=（4，-1+y），且∥．則y=______．評卷人得分三、解答題(共7題，共14分)14、某商店將進價為100元的某商品按120元的價格出售；可賣出300個；若商店在120元的基礎上每漲價1元，就要少賣10個，而每降價1元，就可多賣30個．

（1）若該商品在120元基礎上漲價x元，求所獲利潤y1（元）與x（元）之間的函數關系式；

（2）若該商品在120元基礎上降價x元，求所獲利潤y2（元）與x（元）之間的函數關系式；

（3）為獲利最大，商店應將價格定為多少元？15、計算下列各式的值；寫出計算過程。

（I）2log32-log3+log38-

（II）（lg2）2+lg20×lg5．

16、已知向量且（為常數），求：（1）及（2）若的最小值是求實數的值.17、【題文】函數f(x)＝x2＋x－

(I)若定義域為[0,3]；求f(x)的值域；

(II)若f(x)的值域為[－]，且定義域為[a，b]，求b－a的最大值.18、已知一圓經過點A（2，﹣3）和B（﹣2，﹣5），且圓心C在直線l：x﹣2y﹣3=0上，求此圓的方程．19、（1）已知求a，b的值．

（2）已知求a的取值范圍．20、如圖；在正三棱錐P-ABC中，D，E分別是AB，BC的中點．

（1）求證：DE∥平面PAC；

（2）求證：AB⊥PC．評卷人得分四、計算題(共4題，共12分)21、若不等式|2x+1|-|2x-1|＜a對任意實數x恒成立，則a的取值范圍是____．22、如圖，已知在△ABC中，若AC和BC邊的長是關于x的方程x2-（AB+4）x+4AB+8=0的兩個根，且25BC?sinA=9AB．求△ABC三邊的長？23、函數中自變量x的取值范圍是____．24、如圖，兩個等圓圓O1，O2外切，O1A、O1B分別與圓O2切于點A、B．設∠AO1B=α，若A（sinα，0），B（cosα，0）為拋物線y=x2+bx+c與x軸的兩個交點，則b=____，c=____．評卷人得分五、證明題(共1題，共7分)25、如圖，設△ABC是直角三角形，點D在斜邊BC上，BD=4DC．已知圓過點C且與AC相交于F，與AB相切于AB的中點G．求證：AD⊥BF．評卷人得分六、綜合題(共3題，共30分)26、如圖，在矩形ABCD中，M是BC上一動點，DE⊥AM，E為垂足，3AB=2BC，并且AB，BC的長是方程x2-（k-2）x+2k=0的兩個根；

（1）求k的值；

（2）當點M離開點B多少距離時，△AED的面積是△DEM面積的3倍？請說明理由．27、已知關于x的方程（m-2）x2+2x+1=0①

（1）若方程①有實數根；求實數m的取值范圍？

（2）若A（1，0）、B（2，0），方程①所對應的函數y=（m-2）x2+2x+1的圖象與線段AB只有一個交點，求實數m的取值范圍？28、如圖，拋物線y=x2-2x-3與坐標軸交于A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）三點，D為頂點．

（1）D點坐標為（____，____）．

（2）BC=____，BD=____，CD=____；并判斷△BCD的形狀．

（3）探究坐標軸上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，請寫出符合條件的所有點P的坐標，并對其中一種情形說明理由；若不存在，請說明理由．參考答案一、選擇題(共5題，共10分)1、B【分析】

①為假命題；因為由線面垂直的判定定理，要得m⊥α，需要m垂直α內的兩條相交直線，只有m⊥n，不成立．排除A；D，②為面面垂直的判定定理，正確．故選B．④中，m∥n或m與n異面．

故選B．

【解析】【答案】準確把握立體幾何中定理公理的條件．

2、D【分析】【解析】

試題分析：因為所以是增函數，所以=解得故選D.

考點：對數函數的單調性，對數方程【解析】【答案】D3、C【分析】【解析】

試題分析：根據初等函數的圖象，可得函數在區(qū)間上的單調性；從而可得結論．

選項A中在上是減函數。

選項B中在上是增函數。

選項C中在上是減函數。

選項D中在上是增函數。

故選C

考點:函數單調性的概念【解析】【答案】C4、D【分析】【解析】

試題分析：

是奇函數．函數的定義域為．由函數單調性的定義可得函數為上的增函數，又是上的增函數，故復合函數為上的增函數．由已知．

考點：函數的性質（奇偶性、單調性）．【解析】【答案】D5、A【分析】【解答】解：過兩點（﹣1，0），（0，1）的直線方程為：即x﹣y+1=0．

故選：A．

【分析】直接利用截距式方程求解在方程即可．二、填空題(共8題，共16分)6、略

【分析】

設所取的兩個數分別為x，y，則其對于的區(qū)域是邊長為1的正方形，面積為1

記所取的它們的和大于而小于為事件A，則A：所對應的區(qū)域如圖所示的陰影部分。

其面積為S=1-S△EBF-SOMN=1-××-××=

∴P（A）=

故答案為：

【解析】【答案】由已知中在區(qū)間（0，1）內任取兩個實數，我們易求出該基本事件對應的平面區(qū)域的大小，再求了滿足它們的和大于而小于對應的平面區(qū)域的面積大?。淮霂缀胃判凸?，即可得到答案．

7、略

【分析】試題分析：根據對數函數性質，的圖象過定點函數中，無論底數取范圍內任意值，故時，過定點考點：對數函數圖象與性質【解析】【答案】8、略

【分析】【解析】

試題分析：根據題意，由于則要有意義，滿足同時x-1使得根式有意義，則可知函數的定義域為

考點：函數的定義域。

點評：解決的關鍵是根據對數真數大于零來求解，屬于基礎題。【解析】【答案】9、略

【分析】【解析】

試題分析：用配方法將圓的方程轉化為標準方程；求出圓心坐標和半徑，設直線方程為y=kx，求出圓心到直線的距離，利用直線和圓相交所成的直角三角形知識求解即可．

解：直線方程為y=kx；

圓x2+y2﹣2x﹣4y+4=0即（x﹣1）2+（y﹣2）2=1

即圓心坐標為（1，2），半徑為r=1

因為弦長為2；為直徑，故y=kx過圓心，所以k=2

所以該直線的方程為：y=2x

故答案為：2x﹣y=0

點評：本題考查直線和圓的相交弦長問題，屬基礎知識的考查．注意弦長和半徑的關系．【解析】【答案】2x﹣y=010、略

【分析】【解析】因為所以【解析】【答案】11、2【分析】【解答】解：∵2lg（x﹣2y）=lgx+lgy；

∴解得．

∴=2．

故答案為2．

【分析】根據對數的運算法則和其定義域即可求得進而求出．12、略

【分析】解：∵定義在R上的偶函數f（x）在[0；+∞）上單調遞減；

∴偶函數f（x）在（-∞；0]上單調遞增；

又∵f（）=0；

∴f（-）=0；

若f（）＜0

則＜或＞

解得x＞2，或0＜x＜

故答案為：（0，）∪（2；+∞）

根據偶函數在對稱區(qū)間上單調性相反，可判斷出函數的單調性，結合f（）=0，可將不等式f（）＜0轉化為＜或＞進而根據對數的性質解得答案．

本題考查的知識點是函數的奇偶性與單調性，其中由已知分析出函數的單調性，進而將抽象不等式具體化是解答的關鍵．【解析】（0，）∪（2，+∞）13、略

【分析】解：∵=（2，3），=（4，-1+y），且∥

∴12=2（-1+y）；解得：y=7；

故答案為：7．

利用向量共線定理即可得出．

本題考查了向量共線定理，屬于基礎題．【解析】7三、解答題(共7題，共14分)14、略

【分析】【分析】（1）根據利潤=每件商品的利潤×商品的售量進行計算；

（2）根據利潤=每件商品的利潤×商品的售量進行計算；

（3）根據二次函數的圖象的頂點坐標公式求得上述兩種方法中的最大值，再進一步比較求解．【解析】【解答】解：（1）y1=（120+x-100）（300-10x）=-10x2+100x+6000；

（2）y2=（120-x-100）（300+30x）=-30x2+300x+6000；

（3）當漲價x=5（元）時，所獲利潤y1的最大值=6250（元）；

當降價x=5（元）時，所獲利潤y2的最大值=6750（元）．

∴為獲利最大，應降價5元，即將價格定為115元．15、略

【分析】

（I）2log32-log3+log38-

=log34-log3+log38-

=log3（4××8）-3

=log39-3

=2-3

=-1．

（II）（lg2）2+lg20×lg5

=（lg2）2+（2lg2+lg5）lg5

=（lg2）2+2lg2?lg5+（lg5）2

=（lg2+lg5）2

=1．

【解析】【答案】（I）根據對數的運算性質；即可得到結果．

（II）把lg20運用積的對數展開；乘以lg5后構成完全平方式，然后運用對數的和等于乘積的對數得結論．

16、略

【分析】本試題考查了向量的數量積的運算，以及結合三角函數的性質求解最值的運用。第一問中利用向量的數量積公式可知第二問中利用【解析】

因為向量且所以【解析】【答案】（1）（2）1.17、略

【分析】【解析】

試題分析：解：∵f(x)＝(x＋)2－∴對稱軸為x＝－

(1)∵3≥x≥0>－

∴f(x)的值域為[f(0)，f(3)]，即[－]；

(2)∵x＝－時，f(x)＝－是f(x)的最小值；

∴x＝－∈[a，b]，令x2＋x－＝

得x1＝－x2＝根據f(x)的圖象知b－a的最大值是－(－)＝

考點：函數的值域。

點評：求函數的值域，只要確定函數的最小值和最大值即可，最小值與最大值之間的范圍就是值域?！窘馕觥俊敬鸢浮?I)[－](II)18、解：（解法一）因為圓經過點A（2，﹣3），B（﹣2，﹣5），所以線段AB的中點D的坐標為（0，﹣4），又所以線段AB的垂直平分線的方程是y=﹣2x﹣4．

聯立方程組解得．

所以，圓心坐標為C（﹣1，﹣2），半徑r=|CA|=

所以，此圓的標準方程是（x+1）2+（y+2）2=10．

（解法二）解：設圓的標準方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2；

由題意可得

由（2）﹣（1）可得2a+b+4=0，∵∴

綜上所述，圓的標準方程為（x+1）2+（y+2）2=10【分析】【分析】（解法一）：先求出線段AB的中垂線的方程，再把它和圓心C在直線l的方程聯立方程組，求得圓心坐標，可得半徑，從而求得此圓的方程．（解法二）：待定系數法，設圓的標準方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，由條件聯立方程組求出a、b、r的值，從而求得此圓的方程．19、略

【分析】

（1）通過數列的極限的運算法則，推出a，b的方程求解即可．

（2）利用數列的極限推出不等式求解即可．

本題考查數列的極限的運算法則的應用，考查轉化思想以及計算能力．【解析】解：（1）可得=b；

可得解得a=2，b=4．

（2）已知

可得=

可得

解得a∈（-4，2）．20、略

【分析】

（1）推導出DE∥AC；由此能證明DE∥平面PAC．

（2）連結PD；CD，則PD⊥AB，CD⊥AB，從而AB⊥平面PDC，由此能證明AB⊥PC．

本題考查線面平行的證明，考查線線垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．【解析】證明：（1）∵在正三棱錐P-ABC中，D，E分別是AB，BC的中點．

∴DE∥AC；

∵DE?平面PAC；AC?平面PAC；

∴DE∥平面PAC．

（2）連結PD；CD；

∵正三棱錐P-ABC中；D是AB的中點；

∴PD⊥AB；CD⊥AB；

∵PD∩CD=D；∴AB⊥平面PDC；

∵PC?平面PDC，∴AB⊥PC．四、計算題(共4題，共12分)21、略

【分析】【分析】將x的值進行分段討論，①x＜-，②-≤x＜，③x≥，從而可分別將絕對值符號去掉，得出a的范圍，綜合起來即可得出a的范圍．【解析】【解答】解：當①x＜-時；原不等式可化為：-1-2x-（1-2x）＜a，即-2＜a；

解得：a＞-2；

②當-≤x＜時；原不等式可化為：2x+1-（1-2x）＜a，即4x＜a；

此時可解得a＞-2；

③當x≥時；原不等式可化為：2x+1-（2x-1）＜a，即2＜a；

解得：a＞2；

綜合以上a的三個范圍可得a＞2；

故答案為：a＞2．22、略

【分析】【分析】首先由根與系數的關系可以得到AC+BC=AB+4（1），AC?BC=4AB+8（2），然后由（1）2-2（2）得AC2+BC2=AB2；

然后利用勾股定理的逆定理即可判定△ABC是直角三角形，且∠C=90°，接著利用三角函數可以得到=sinA；

由25BC?sinA=9AB可以得到sinA?=，然后就可以求出sinA=，也就求出=，設BC=3k，AB=5k，由勾股定理得AC=4k，這樣利用（1）即可解決問題．【解析】【解答】解：依題意得：AC+BC=AB+4（1）

AC?BC=4AB+8（2）；

由（1）2-2（2）得：AC2+BC2=AB2；

∴△ABC是直角三角形；且∠C=90°；

在Rt△ABC中，=sinA；

由題意得：sinA?=；

∵∠A是Rt△ABC的銳角；

∴sinA＞0；

∴sinA=；

∴=；

設BC=3k；AB=5k，由勾股定理得AC=4k；

結合（1）式得4k+3k=5k+4；解之得：k=2．

∴BC=6，AB=10，AC=8．23、略

【分析】【分析】根據二次根式的性質和分式的意義，被開方數大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范圍．【解析】【解答】解：根據題意得：x-4＞0；

解得：x＞4．

故答案為x＞4．24、略

【分析】【分析】連接O1O2，O2A，O2B，根據切線的性質得到直角三角形，再由直角三角形中邊的關系得到角的度數，確定A，B兩點的坐標，用待定系數法可以求出b，c的值．【解析】【解答】解：如圖：

連接O1O2，O2A，O2B；

∵O1A，O1B是⊙O2的切線，∴O1A⊥O2A，O1B⊥O2B；

又因為兩圓是等圓，所以O1O2=2O2A，得∠AO1O2=30°

∴∠AO1B=60°；即：α=60°；

∴A（，0）B（；0）．

把A；B兩點的坐標代入拋物線得：

；

解方程組得：．

故答案為：-，．五、證明題(共1題，共7分)25、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割線定理：AG2=AF?AC，可證明△BAF∽△AED，則∠ABF+∠DAB=90°，從而得出AD⊥BF．【解析】【解答】證明：作DE⊥AC于E；

則AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中點；

∴AG=ED．

∴ED2=AF?AE；

∴5ED2=AF?AE；

∴AB?ED=AF?AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．六、綜合題(共3題，共30分)26、略

【分析】【分析】（1）根據根與系數的關系；列出方程組解答；

（2）根據（1）中k的值解方程，求出AD和BC的長，然后根據相似三角形的性質解答．【解析】【解答】解：（1）根據題意列方程組得：解得；

即3k2-37k+12=0，解得k=12或k=．

（2）把k=12或k=分別代入方程x2-（k-2）x+2k=0中；

當k=12時原方程可化為x2-10x+24=0；

解得x=4或x=6；

∵3AB=2BC；∴AB=4，BC=6．

當k=時原方程可化為x2+x+=0，解得x=-或x=-1（不合題意舍去）．

故AB=4；BC=6；

∵△AED的面積是△DEM的高相同；

∴△AED的面積是△DEM面積的3倍則AE=3ME；設

ME=x；則AE=3x，設BM=y．

在Rt△AED與Rt△MBA中；∵∠ABM=∠AED=90°，∠AMB=∠DAE，故兩三角形相似；

由勾股定理得AB2+BM2=16x2①，解得BM=；

即=，即=②；

整理得x4-4x2+4=0，解得x2=2，x=．

于是BM===4．

當點M離開點B的距離為4時，△AED的面積是△DEM面積的3倍．27、略

【分析】【分析】（1）根據若方程為一元一次方程；求出m的值即可，再根據若方程為一元二次方程，利用根的判別式求出即可；

（2）分別從當m-2=0，以及當m-2≠0時分析，得出若方程有兩個不等的實根，以及若方程有兩個相等的實根，利用根的判別式以及方程的根得出答案．【解析】【解答】解：（1）若方程為一元一次方程；則m-2=0，即m=2；

若方程為一元二次方程；則m-2≠0；

∵關于x的方程（m-2）x2+2x+1=0有實數根；

又∵a=m-2，b=2；c=1；

∴b2-4ac=22-4（m-2）≥0；

解得：m≤3；

∵m-2≠0；

∴m≠2；

∴m≤3且m≠2；

綜上所述；m≤3；

（2）設方程①所對應的函數記為y=f（x）=（m-2）x2+2x+1；

①當m-2=0，即m=2時，y=f（x）=（m-2）x2+2x+1；

即為y=2x+1；

y=0，x=-；即此時函數y=2x+1的圖象與線段AB沒有交點；

②當m-2≠0；即m≠2，函數為二次函數，依題