第9章《整式的乘法與因式分解》（解析）

2022-2023學年蘇科版數(shù)學七年級下冊易錯題真題匯編（提高版）第9章《整式的乘法與因式分解》考試時間：120分鐘試卷滿分：100分一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2022春?高新區(qū)校級期末）若多項式2x2+ax﹣6能分解成兩個一次因式的積，且其中一個一次因式2x﹣3，則a的值為（）A．1 B．5 C．﹣1 D．﹣5解：∵多項式2x2+ax﹣6能分解成兩個一次因式的積，且其中一個次因式2x﹣3，﹣6＝﹣3×2．∴2x2+ax﹣6＝（2x﹣3）（x+2）＝2x2+x﹣6．∴a＝1．故選A．2．（2分）（2022春?榕城區(qū)期末）如圖，點C是線段BG上的一點，以BC，CG為邊向兩邊作正方形，面積分別是S1和S2，兩正方形的面積和S1+S2＝40，已知BG＝8，則圖中陰影部分面積為（）A．6 B．8 C．10 D．12解：設BC＝a，CG＝b，則S1＝a2，S2＝b2，a+b＝BG＝8．∴a2+b2＝40．∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝64，∴2ab＝64﹣40＝24，∴ab＝12，∴陰影部分的面積等于ab＝×12＝6．故選：A．3．（2分）（2021秋?中山區(qū)期末）從前，一位農(nóng)場主把一塊邊長為a米（a＞4）的正方形土地租給租戶張老漢，第二年，他對張老漢說：“我把這塊地的一邊增加4米，相鄰的另一邊減少4米，變成長方形土地繼續(xù)租給你，租金不變，你也沒有吃虧，你看如何？”如果這樣，你覺得張老漢的租地面積會（）A．沒有變化 B．變大了 C．變小了 D．無法確定解：原來租的土地面積：a2（平方米）．現(xiàn)在租的土地面積：（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16（平方米）．∵a2＞a2﹣16．∴張老漢的租地面積會減少．故選：C．4．（2分）（2022春?高新區(qū)校級期末）觀察：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，據(jù)此規(guī)律，當（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0時，代數(shù)式x2021﹣1的值為（）A．1 B．0 C．1或﹣1 D．0或﹣2解：∵（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0．∴x6﹣1＝0．∴x6＝1．∴（x3）2＝1．∴x3＝±1．∴x＝±1．當x＝1時，原式＝12021﹣1＝0．當x＝﹣1時，原式＝12021﹣1＝﹣2．故選：D．5．（2分）（2022秋?湟中區(qū)校級期末）如圖，邊長為a的大正方形剪去一個邊長為b的小正方形后，將剩余部分通過割補拼成新的圖形．根據(jù)圖形能驗證的等式為（）A．a(chǎn)2﹣b2＝（a﹣b）2 B．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2解：圖中陰影部分的面積等于兩個正方形的面積之差，即為a2﹣b2；剩余部分通過割補拼成的平行四邊形的面積為（a+b）（a﹣b），∵前后兩個圖形中陰影部分的面積相等，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故選：B．6．（2分）（2021秋?崇川區(qū)校級月考）若x2+2mx+16是完全平方式，則（m﹣1）2+2的值是（）A．11 B．3 C．11或27 D．3或11解：∵x2+2mx+16是完全平方式．∴m2＝16．∴m＝±4．當m＝4時，（m﹣1）2+2＝9+2＝11．當m＝﹣4時（m﹣1）2+2＝25+2＝27．故答案為：C．故選：C．7．（2分）（2021?龍崗區(qū)模擬）如圖，矩形ABCD的周長是10cm，以AB，AD為邊向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面積之和為17cm2，那么矩形ABCD的面積是（）A．3cm2 B．4cm2 C．5cm2 D．6cm2解：設AB＝x，AD＝y(tǒng)，∵正方形ABEF和ADGH的面積之和為17cm2∴x2+y2＝17，∵矩形ABCD的周長是10cm∴2（x+y）＝10，∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，∴25＝17+2xy，∴xy＝4，∴矩形ABCD的面積為：xy＝4cm2，故選：B．8．（2分）（2021春?張店區(qū)校級期中）若A＝﹣（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）…（1+）+1，則A的值是（）A．0 B．1 C． D．解：A＝﹣（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）……（1+）+1＝﹣（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）……（1+）+1＝﹣（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）……（1+）+1＝﹣（1﹣）（1+）+1＝﹣（1﹣）+1＝故選：D．9．（2分）（2020秋?叢臺區(qū)期末）已知x2+2x﹣1＝0，則x4﹣5x2+2x的值為（）A．0 B．﹣1 C．2 D．1解：∵x2+2x﹣1＝0，∴x2＝1﹣2x，x4﹣5x2+2x＝（x2）2﹣5x2+2x＝（1﹣2x）2﹣5（1﹣2x）+2x＝1﹣4x+4x2﹣5+10x+2x＝4x2+8x﹣4＝4（1﹣2x）+8x﹣4＝4﹣8x+8x﹣4＝0，故選：A．10．（2分）（2022春?拱墅區(qū)期末）如圖，用1塊邊長為a的大正方形，4塊邊長為b的小正方形和4塊長為a，寬為b的長方形（a＞b），密鋪成正方形ABCD，已知ab＝2，正方形ABCD的面積為S，（）A．若a＝2b+1，則S＝16 B．若a＝2b+2，則S＝25 C．若S＝25，則a＝2b+3 D．若S＝16，則a＝2b+4解：由題意，正方形ABCD的邊長為a+2b，ab＝2，a＞b＞0，若a＝2b+1，則正方形ABCD的邊長為a+2b＝4b+1，b（2b+1）＝2，即2b2+b﹣2＝0，解得：b＝（負值不合題意，舍去），∴b＝，∴S＝（4b+1）2＝（4×+1）2＝17，∴選項A不正確；若a＝2b+2，則正方形ABCD的邊長為a+2b＝4b+2，b（2b+2）＝2，即b2+b﹣1＝0，解得：（負值不合題意，舍去），∴b＝，∴S＝（4b+2）2＝（4×+2）2＝20，∴選項B不正確；若S＝25，則（a+2b）2＝25，∵a+2b＞0，∴a+2b＝5，∴a＝5﹣2b，∴b（5﹣2b）＝2，即2b2﹣5b+2＝0，解得：b1＝，b2＝2，當b＝時，a＝5﹣2b＝4，2b+3＝4，此時，a＝2b+3；當b＝2時，a﹣5﹣2b＝1，a＜b，不合題意，∴選項C正確；若S＝16，則（a+2b）2＝16，∵a+2b＞0，∴a+2b＝4，∴a＝4﹣2b，∴b（4﹣2b）＝2，即b2﹣2b+1＝0，解得：b1＝b2＝1，當b＝1時，a＝4﹣2b＝2，2b+4＝6，∴a≠2b+4，∴選項D不正確；故選：C．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023春?龍湖區(qū)校級月考）分解因式：16a﹣a3＝a（4+a）（4﹣a）．解：16a﹣a3＝a（16﹣a2）＝a（4+a）（4﹣a），故答案為：a（4+a）（4﹣a）．12．（2分）（2023?濟南模擬）已知x2﹣x＝2022，則代數(shù)式（x+1）（x﹣1）+x（x﹣2）＝4043．解：（x+1）（x﹣1）+x（x﹣2）＝x2﹣1+x2﹣2x＝2x2﹣2x﹣1，當x2﹣x＝2022時，原式＝2（x2﹣x）﹣1＝2×2022﹣1＝4044﹣1＝4043，故答案為：4043．13．（2分）（2022春?織金縣校級期中）如果多項式x2+mx+9是一個完全平方式，則m的值是±6．解：∵x2+mx+9＝x2+mx+（±3）2＝（x±3）2，∴m＝2×1×（±#）＝±6，故答案為：±6．14．（2分）（2022春?市北區(qū)期中）數(shù)學興趣小組發(fā)現(xiàn)：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律：求：72021+72020+72019+…+7+1＝．解：72021+72020+72019+…+7+1＝×（7﹣1）（72021+72020+72019+…+7+1）＝×（72022﹣1）＝．故答案為：．15．（2分）（2023?大慶一模）若關于x的多項式x2﹣ax+36＝（x+b）2，則a+b的值是6或﹣6．解：由題意得：x2﹣ax+36＝x2+2bx+b2，∴，∴a＝12，b＝﹣6或a＝﹣12，b＝6．∴a+b＝6或﹣6．故答案為：6或﹣616．（2分）（2022春?榆次區(qū)期中）如圖，兩個正方形的邊長分別為a，b（a＞b），若a+b＝10，ab＝6，則陰影部分的面積為41．解：S陰影＝S大正方形+S小正方形﹣S△ABD﹣S△BEF＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）＝a2+b2﹣ab＝（a2+b2+2ab）﹣ab＝（a+b）2﹣ab∵a+b＝10，ab＝6；∴原式＝×102﹣×6＝×100﹣9＝41故答案為：41．17．（2分）（2022春?柯橋區(qū)期中）若一個正整數(shù)能表示為兩個正整數(shù)的平方差，那么就稱這個正整數(shù)為智慧數(shù)．如，52﹣32＝16，則16是一個智慧數(shù)，5和3稱為16的一對智慧分解數(shù)．則2019的智慧分解數(shù)有338和335，1010和1009．解：設2019＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．其中a，b是正整數(shù)，且a＞b．∵2019＝673×3＝2019×1，∴或．∴或．∴2019的智慧分解數(shù)有338和335及1010和1009．故答案為：338和335及1010和1009．18．（2分）（2021春?東臺市期中）如圖，一塊直徑為2a+2b的圓形鋼板，從中挖去直徑分別為2a與2b的兩個圓，已知剩下鋼板的面積與一個長為a的長方形面積相等，則這個長方形的寬為2πb．解：設長方形的寬為x，S陰影＝π×（a+b）2﹣π×a2﹣πb2＝ax．∴2πab＝ax．∴x＝2πb．故答案為：2πb．19．（2分）（2021春?天橋區(qū)期末）已知在（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣16中，a、b為整數(shù)，則m的值一共有5種可能．解：∵（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣16，∴x2+bx+ax+ab＝x2+mx﹣16．∴x2+（a+b）x+ab＝x2+mx﹣16．∴a+b＝m，ab＝﹣16．又∵a、b為整數(shù)，∴a＝±1或a＝±2或a＝±4或a＝±8或a＝±16．當a＝1時，b＝﹣16，則a+b＝﹣15．當a＝﹣1時，b＝16，則a+b＝15．當a＝2時，b＝﹣8，則a+b＝﹣6．當a＝﹣2時，b＝8，則a+b＝6．當a＝4時，b＝﹣4，則a+b＝0．當a＝﹣4時，b＝4，則a+b＝0．當a＝8時，b＝﹣2，則a+b＝6．當a＝﹣8時，b＝2，則a+b＝﹣6．當a＝16時，b＝﹣1，則a+b＝15．當a＝﹣16時，b＝1，則a+b＝﹣15．綜上：a+b＝﹣15或15或﹣6或6或0．故答案為：5．20．（2分）（2022春?龍泉驛區(qū)期末）在學習教材上的綜合與實踐《設計自己的運算程序》時，小萱對自己設計的運算給出如下定義：（a，b）＝（ax+b）（bx+a）．（1，2）的化簡結(jié)果是2x2+5x+2；若（a，b）乘以（b，a）的結(jié)果為9x4﹣60x3+118x2﹣60x+9，則a+b的值為±2．解：（1）（1，2）＝（x+2）（2x+1）＝2x2+x+4x+2＝2x2+5x+2，故答案為：2x2+5x+2．（2）（a，b）＝（ax+b）（bx+a），（b，a）＝（bx+a）（ax+b）；∴（a，b）（b，a）＝（ax+b）2（bx+a）2＝a2b2x4+（2a3b+2ab3）x3+（a4+4a2b2+b4）x2+（2a3b+2ab3）x+a2b2，∴a2b2＝9，ab＝±3，2a3b+2ab3＝﹣60，即2ab（a2+b2）＝﹣60，∴ab＝﹣3，∴﹣3×2（a2+b2）＝﹣60，a2+b2＝10，（a+b）2＝a2+b2+2ab＝10+2×（﹣3）＝4，∴a+b＝±2．故答案為：±2．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023春?鹽城月考）計算：（1）a2?（﹣a）3?（﹣a4）；（2）﹣2a6﹣（﹣3a2）3；（3）；（4）（p﹣q）4÷（q﹣p）3?（p﹣q）2．解：（1）a2?（﹣a）3?（﹣a4）＝a2?（﹣a3）?（﹣a4）＝a9；（2）﹣2a6﹣（﹣3a2）3＝﹣2a6﹣（﹣27a6）＝﹣2a6+27a6＝25a6；（3）＝1﹣+9﹣4＝5；（4）（p﹣q）4÷（q﹣p）3?（p﹣q）2＝（p﹣q）4÷[﹣（p﹣q）3]?（p﹣q）2＝﹣（p﹣q）?（p﹣q）2＝﹣（p﹣q）3．22．（6分）（2022秋?二道區(qū)校級期末）對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積，就可以得到一個數(shù)學等式．（1）模擬練習：如圖，寫出一個我們熟悉的數(shù)學公式：（a+b）2＝a2+b2+2ab．；（2）解決問題：如果，求a2+b2的值；（3）類比探究：如果一個長方形的長和寬分別為（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，求這個長方形的面積．解：（1）圖中大正方形的面積可以表示為：（a+b）2，還可以表示為：a2+b2+2ab．∴（a+b）2＝a2+b2+2ab．故答案為：（a+b）2＝a2+b2+2ab．（2）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝﹣24＝63﹣24＝39．（3）設a＝8﹣x，b＝x﹣2，則a+b＝6，a2+b2＝20．∵（a+b）2＝a2+b2+2ab．∴36＝20+2ab．∴ab＝8．∴這個長方形的面積為：（8﹣x）（x﹣2）＝ab＝8．23．（6分）（2023春?禪城區(qū)校級月考）乘法公式的探究及應用．數(shù)學活動課上，老師準備了若干個如圖1所示的三種紙片，A種紙片是邊長為a的正方形，B種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片是長為b，寬為a的長方形，并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成了如圖2所示的大正方形．（1）請用兩種不同的方法求圖2大正方形的面積（用含a，b的式子表示）：方法1：（a+b）2；方法2：a2+2ab+b2．（2）觀察圖2，請你寫出代數(shù)式（a+b）2，a2+b2，ab之間的等量關系式（a+b）2＝a2+b2+2ab．（3）根據(jù)（2）題中的等量關系，解決如下問題：①已知a+b＝6，a2+b2＝26，求ab的值；②已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝48，求（x﹣2022）2的值．解：（1）方法1：大正方形的邊長為（a+b），∴S＝（a+b）2；方法2：大正方形＝各個部分相加之和，∴S＝a2+2ab+b2．故答案為：（a+b）2，a2+2ab+b2．（2）由圖2可得總面積減掉兩個小矩形面積等于兩個正方形面積之和，即（a+b）2﹣2ab＝a2+b2；故答案為：（a+b）2＝a2+b2+2ab；（3）①∵a+b＝6，∴（a+b）2＝36，∵a2+b2＝26，∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2）＝36﹣26＝10，∴ab＝5．②令a＝x﹣2022，∴x﹣2021＝[x﹣（2022﹣1）]＝x﹣2022+1＝a+1，x﹣2023＝[x﹣（2022+1）]＝x﹣2022﹣1＝a﹣1，∵（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝48，∴（a+1）2+（a﹣1）2＝48，解得a2＝23．∴（x﹣2022）2＝23．24．（6分）（2022春?順德區(qū)校級月考）定義＝ad﹣bc，如＝1×4﹣2×3＝﹣2．已知A＝，已知B＝（n為常數(shù)）．（1）若B＝4，求x的值；（2）若A的代數(shù)式中不含x的一次項時，當x＝1，求A+B的值．（3）若A中的n滿足2×2n+1＝22時，且A＝B+2，求8x2?4x+3的值．解：（1）∵B＝，∴B＝（x+1）2﹣（x﹣1）2＝x2+2x+1﹣x2+2x﹣1＝4x，∵B＝4，∴4x＝4，∴x＝1；（2）∵A＝，∴A＝2x（2x+1）﹣（nx﹣1）＝4x2+2x﹣nx+1＝4x2+（2﹣n）x+1，∵A的代數(shù)式中不含x的一次項，∴2﹣n＝0，∴n＝2，∴A＝4x2+1，當x＝1時，A+B＝4×12+1+4×1＝4×1+1+4＝4+1+4＝9，∴A+B的值為9；（3）∵2×2n+1＝22，∴2n+2＝22，∴n+2＝2，∴n＝0，∴A＝4x2+2x+1，∵A＝B+2，∴4x2+2x+1＝4x+2，∴4x2﹣2x﹣1＝0，∴4x2﹣2x＝1，∴8x2﹣4x＝2，∴8x2?4x+3＝2+3＝5，∴8x2?4x+3的值為5．25．（8分）（2022春?南潯區(qū)期末）小偉同學的錯題本上有一道練習題，這道題被除式的第二項和商的第一項不小心被墨水污染了（污染處用字母M和N表示），污染后的習題如下：（30x4y2+M+12x2y2）÷（﹣6x2y）＝N+3xy﹣2y．（1）請你幫小偉復原被污染的M和N處的代數(shù)式，并寫出練習題的正確答案；（2）愛動腦的小芳同學把練習題的正確答案與代數(shù)式x2y+xy+y相加，請幫小芳求出這兩個代數(shù)式的和，并判斷所求的和能否進行因式分解？若能，請分解因式；若不能，請說明理由．解：（1）由題意得：N＝30x4y2÷（﹣6x2y）＝﹣5x2y，M＝3xy×（﹣6x2y）＝﹣18x3y2．∴正確答案為：﹣5x2y+3xy﹣2y．（2）﹣5x2y+3xy﹣2y+x2y+xy+y＝﹣4x2y+4xy﹣y．這個和能夠因式分解，﹣4x2y+4xy﹣y＝﹣y（4x2﹣4x+1）＝﹣y（2x﹣1）2．26．（8分）（2022春?沙坪壩區(qū)校級期末）若在意一個三位數(shù)M，滿足各數(shù)位上的數(shù)字均不為0，百位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字的2倍之和等于十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字的2倍之和，則稱這個三位數(shù)M為“雙增數(shù)”．對于一個“雙增數(shù)”M＝，規(guī)定：s＝a+c，t＝b+c，F(xiàn)（M）＝3s+2t．例如，M＝243，因為2+2×4＝4+2×3，故M是一個“雙增數(shù)”，s＝2+3＝5，t＝4+3＝7，則F（M）＝3×5+2×7＝29．（1）請判斷365，597是不是“雙增數(shù)”，說明理由．若是，請求出F（M）的值；（2）若三位數(shù)N為“雙增數(shù)”，N的百位數(shù)字為x﹣1，個位數(shù)字為y（其中x，y是正整數(shù)，且3≤y≤7），當N各數(shù)位上的數(shù)字之和與F（N）的和能被17整除時，求所有滿足條件的“雙增數(shù)”N的值．解：（1）∵3+6×2＝15，6+2×5＝16，∴365不是“雙增數(shù)”．∵5+9×2＝9+7×2＝23，∴597是“雙增數(shù)”．（2）設N的十位數(shù)字是a，∵N是“雙增數(shù)”，∴x﹣1+2a＝a+2y，∴a＝2y﹣x+1，s＝x﹣1+y，t＝a+y＝3y﹣x+1，∴F（N）＝3（x﹣1+y）+2（3y﹣x+1）＝x+9y﹣1，∴N各數(shù)位上的數(shù)字之和與F（N）的和＝x﹣1+a+y+x+9y﹣1＝x﹣1+2y﹣x+1+y+x+9y﹣1＝12y+x﹣1，∵N各數(shù)位上的數(shù)字之和與F（N）的和能被17整除，3≤y≤7，∴當y＝4，x＝4符合題意，此時N＝354，當y＝5，x＝9合題意，此時N＝825，∴符合條件的N有：354，82527．（10分）（2019春?西湖區(qū)校級期中）如圖1，小明同學用1張邊長為a的正方形，2張邊長為b的正方形，3張邊長分別為a、b的長方形紙片拼出了一個長方形紙片拼成了一個長為（a+2b），寬為（a+b）的長方形，它的面積為（a+2b）（a+b），于是，我們可以得到等式（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．請解答下列問題：（1）寫出圖2，寫出一個代數(shù)恒等式；（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問題：已知a+b+c＝10，a2+b2+c2＝40，求ab+bc+ac的值；（3）小明同學又用4張邊長為a的正方形，3張邊長為b的正方形，8張邊長分別為a、b的長方形紙片拼出了一個長方形，那么該長方形的長為2a+3b，寬為2a+b．解：（1）如圖2所示：∵由圖可知，外面邊長為（a+b+c）正方形的面積等于3個邊長分別為a、b、c小正方形的面積，2個邊長分別為a、b的長方形，2個邊長分別為a、c的長方形，