2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)考點《導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的作用》含答案解析

高中PAGE1高中清單10導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的作用（個考點梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法（1）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)①已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，恒成立.②已知在區(qū)間上單調(diào)遞減，恒成立.注：已知單調(diào)性，等價條件中的不等式含等號.（2）已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間①已知在區(qū)間上存在單調(diào)增區(qū)間使得有解②已知在區(qū)間上存在單調(diào)減區(qū)間使得有解（3）已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，使得有變號零點【清單02】含參問題討論單調(diào)性第一步：求的定義域第二步：求（導(dǎo)函數(shù)中有分母通分）第三步：確定導(dǎo)函數(shù)有效部分，記為對于進行求導(dǎo)得到，對初步處理（如通分），提出的恒正部分，將該部分省略，留下的部分則為的有效部分（如：，則記為的有效部分）.接下來就只需考慮導(dǎo)函數(shù)有效部分，只有該部分決定的正負.第四步：確定導(dǎo)函數(shù)有效部分的類型：①為一次型（或可化為一次型）②為二次型（或可化為二次型）第五步：通過分析導(dǎo)函數(shù)有效部分，討論的單調(diào)性【清單03】函數(shù)的極值一般地，對于函數(shù)，（1）若在點處有，且在點附近的左側(cè)有，右側(cè)有，則稱為的極小值點，叫做函數(shù)的極小值.（2）若在點處有，且在點附近的左側(cè)有，右側(cè)有，則稱為的極大值點，叫做函數(shù)的極大值．（3）極小值點與極大值點通稱極值點，極小值與極大值通稱極值.注：極大（?。┲迭c，不是一個點，是一個數(shù).【清單04】函數(shù)的最大（?。┲狄话愕?，如果在區(qū)間上函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值.設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，求在上的最大值與最小值的步驟為：（1）求在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.【清單05】函數(shù)的最值與極值的關(guān)系（1）極值是對某一點附近(即局部)而言，最值是對函數(shù)的定義區(qū)間的整體而言；（2）在函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)，極大（?。┲悼赡苡卸鄠€（或者沒有），但最大（?。┲抵挥幸粋€（或者沒有）；（3）函數(shù)的極值點不能是區(qū)間的端點，而最值點可以是區(qū)間的端點；（4）對于可導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的最大(小)值必在極大(小)值點或區(qū)間端點處取得.【考點題型一】求已知函數(shù)（不含參）的單調(diào)區(qū)間核心方法：求導(dǎo)（一定要注意定義域）【例1】（2024·海南?？凇つM預(yù)測）已知函數(shù)，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B．C． D．【變式1-1】（23-24高二下·江蘇南通·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（

）A． B．0,1 C． D．1,+∞【變式1-2】（24-25高三上·山西運城·開學(xué)考試）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B．C． D．【變式1-3】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【考點題型二】已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，求參數(shù)核心方法：①已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，恒成立.②已知在區(qū)間上單調(diào)遞減，恒成立.【例2-1】（24-25高二上·浙江寧波·期中）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【例2-2】（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知函數(shù).若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的最小值為（

）A．0 B．3 C． D．【變式2-1】（24-25高三上·云南保山·期中）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式2-2】（2024·廣西玉林）若函數(shù)在上為增函數(shù)，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【考點題型三】已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)核心方法：①已知在區(qū)間上存在單調(diào)增區(qū)間使得有解②已知在區(qū)間上存在單調(diào)減區(qū)間使得有解【例3】（23-24高二下·重慶巴南·期中）已知函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式3-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【變式3-2】（23-24高二下·湖北武漢·階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【考點題型四】已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求參數(shù)核心方法：，使得有變號零點【例4】（24-25高三上·重慶渝中·階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式4-1】（24-25高三上·河北滄州·期中）若函數(shù)在上不單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式4-2】（2024·四川·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則m的取值范圍是.【考點題型五】函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系核心方法：導(dǎo)函數(shù)看正負，原函數(shù)看增減【例5】（24-25高三上·安徽黃山·期中）已知函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的圖象的一部分如圖所示，則關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性說法正確的是（

）A．在單調(diào)遞減 B．在單調(diào)遞減C．在單調(diào)遞減 D．在單調(diào)遞減【變式5-1】（24-25高三上·江蘇·階段練習(xí)）下列在同一坐標(biāo)系中的圖象，可以作出三次函數(shù)fxA． B．C． D．【變式5-2】（多選）（24-25高三上·廣東汕尾·階段練習(xí)）如圖所示是的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下列結(jié)論中正確的是（

）

A．在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．是的極小值點C．在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．是的極小值點【考點題型六】導(dǎo)函數(shù)有效部分是一次型或可化為一次型核心方法：圖象法【例6】（23-24高二下·吉林遼源·階段練習(xí)）已知函數(shù)，(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；【變式6-1】（24-25高三上·四川成都·期中）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；【變式6-2】（23-24高二上·福建莆田·期末）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；【變式6-3】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【考點題型七】導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型或可化為二次型核心方法：因式分解法【例7】（24-25高三上·云南玉溪·期中）已知函數(shù).(1)若函數(shù)在處的切線平行于軸，求的值；(2)討論的單調(diào)性；【變式7-1】（2024·江西新余·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若，求在處的切線方程.(2)討論的單調(diào)性.【變式7-2】（24-25高三上·福建龍巖·期中）已知函數(shù).(1)求fx【變式7-3】（2024·廣東佛山·一模）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；【考點題型八】導(dǎo)函數(shù)有效部分是不可因式分解的二次型核心方法：法【例8】（23-24高二下·河南許昌·期末）函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；【變式8-1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)討論函敞的單調(diào)性；【考點題型九】根據(jù)圖象判斷函數(shù)極值，最值【例9】（23-24高二下·北京順義·階段練習(xí)）如圖所示為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)圖象，則下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的有（

）①單調(diào)減區(qū)間是；

②和4都是極小值點；③沒有最大值；④最多能有四個零點.A．①② B．②③ C．②④ D．②③④【變式9-1】（多選）（23-24高二下·吉林長春·期中）已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)和的導(dǎo)函數(shù)f′x、圖象如圖所示，則關(guān)于函數(shù)的判斷正確的是（

）A．有1個極大值點和2個極小值點 B．有2個極大值點和1個極小值點C．有最大值 D．有最小值【變式9-2】（多選）（23-24高二下·河南洛陽·階段練習(xí)）已知定義域為的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為f′x，且f′x的圖象如圖所示，則（

A．在上單調(diào)遞減 B．有極小值C．有3個極值點 D．在處取得最大值【考點題型十】求已知函數(shù)（不含參）極值（點）最值【例10】（24-25高三上·上?！て谥校┮阎?(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.【變式10-1】（23-24高二下·甘肅張掖·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，曲線在點處取得極值.(1)求的值；(2)求函數(shù)的極值點.【變式10-2】（23-24高二下·重慶九龍坡·階段練習(xí)）已知函數(shù)，且在點處的切線與平行．(1)求切線的方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點．【考點題型十一】根據(jù)函數(shù)的極值（點）求參數(shù)【例11】（23-24高二下·四川成都·期中）已知在處的極大值為5，則（

）A． B．6 C．2 D．【變式11-1】（24-25高三上·甘肅天水·階段練習(xí)）已知在處取得極大值16.(1)求的解析式；(2)求經(jīng)過坐標(biāo)原點且與曲線相切的切線方程.【變式11-2】（24-25高三上·山東聊城·期中）已知函數(shù)在處取得極小值.(1)求m，n的值；(2)若函數(shù)有3個不同零點，求實數(shù)的取值范圍.【考點題型十二】求已知函數(shù)（含參）極值（點）、最值【例12】（23-24高二下·全國·課前預(yù)習(xí)）已知函數(shù)，，.(1)求的值；(2)求在區(qū)間上的最大值.【變式12-1】（24-25高三上·河南·期中）已知向量，.若存在不同時為零的實數(shù)和，使得，，且.(1)求的解析式；(2)求（1）中的在上的極值.【變式12-2】（24-25高三上·全國·期中）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)求在上的最大值．【考點題型十三】根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)【例13】（24-25高三上·云南昆明·期中）已知函數(shù).(1)若直線是曲線的一條切線，求a的值；(2)若在上的最大值為1，求a的取值范圍.【變式13-1】（河南省金科新未來大聯(lián)考2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期11月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱.(1)求、的值；(2)若，當(dāng)時，的最小值為，求的值.【變式13-2】（24-25高三上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)若在上單調(diào)遞減，求a的取值范圍，(2)若在區(qū)間的最小值為，求a的值.提升訓(xùn)練一、單選題1．（24-25高三上·江西新余·階段練習(xí)）已知函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的最小值為（

）A．0 B．1 C． D．3．（24-25高三上·江西贛州·階段練習(xí)）若對任意的，且，則的最小值是（

）A． B． C．1 D．4．（24-25高三上·黑龍江雞西·期中）函數(shù)在R上存在極大值的充分條件是：（

）A． B． C． D．5．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在處有極大值，則（

）A．1 B．2 C．3 D．46．（24-25高三上·重慶涪陵·開學(xué)考試）已知函數(shù)在內(nèi)有最小值點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．（24-25高三上·貴州貴陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則（

）A． B．或C． D．8．（24-25高三上·遼寧·期中）已知定義在上的函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)，滿足，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（24-25高三上·寧夏銀川·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時，是的極大值點B．當(dāng)時，有三個零點C．若滿足，則D．當(dāng)時，若在上有最大值，則10．（24-25高三上·福建南平·期中）設(shè)函數(shù)，，給定下列命題，則正確的命題是（

）A．不等式的解集為；B．函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；C．若函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)；D．時，總有恒成立.三、填空題11．（23-24高二下·福建龍巖·期中）函數(shù)既有極大值，又有極小值，則整數(shù)a的最大值為．12．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若對任意恒成立，則的最大值為．四、解答題13．（24-25高三上·山西大同·期中）已知函數(shù)的圖象在點處的切線與直線平行．(1)求；(2)求在區(qū)間上的最大值．（參考數(shù)據(jù)：）14．（24-25高三上·北京朝陽·期中）已知函數(shù).(1)若，求的最小值；(2)若存在極小值，求的取值范圍.15．（24-25高三上·江蘇宿遷·期中）已知函數(shù)(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值;(2)若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍.16．（24-25高三上·貴州黔西·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，求的圖象在處的切線方程；(2)若恰有兩個極值點，求的取值范圍.17．（24-25高三上·廣東湛江·期中）已知函數(shù).(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若既有極大值，又有極小值，求實數(shù)的取值范圍.18．（24-25高三上·河北滄州·期中）已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線方程；(2)若過點可作曲線的三條切線，求的取值范圍．清單10導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的作用（個考點梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法（1）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)①已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，恒成立.②已知在區(qū)間上單調(diào)遞減，恒成立.注：已知單調(diào)性，等價條件中的不等式含等號.（2）已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間①已知在區(qū)間上存在單調(diào)增區(qū)間使得有解②已知在區(qū)間上存在單調(diào)減區(qū)間使得有解（3）已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，使得有變號零點【清單02】含參問題討論單調(diào)性第一步：求的定義域第二步：求（導(dǎo)函數(shù)中有分母通分）第三步：確定導(dǎo)函數(shù)有效部分，記為對于進行求導(dǎo)得到，對初步處理（如通分），提出的恒正部分，將該部分省略，留下的部分則為的有效部分（如：，則記為的有效部分）.接下來就只需考慮導(dǎo)函數(shù)有效部分，只有該部分決定的正負.第四步：確定導(dǎo)函數(shù)有效部分的類型：①為一次型（或可化為一次型）②為二次型（或可化為二次型）第五步：通過分析導(dǎo)函數(shù)有效部分，討論的單調(diào)性【清單03】函數(shù)的極值一般地，對于函數(shù)，（1）若在點處有，且在點附近的左側(cè)有，右側(cè)有，則稱為的極小值點，叫做函數(shù)的極小值.（2）若在點處有，且在點附近的左側(cè)有，右側(cè)有，則稱為的極大值點，叫做函數(shù)的極大值．（3）極小值點與極大值點通稱極值點，極小值與極大值通稱極值.注：極大（?。┲迭c，不是一個點，是一個數(shù).【清單04】函數(shù)的最大（?。┲狄话愕?，如果在區(qū)間上函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值與最小值.設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，求在上的最大值與最小值的步驟為：（1）求在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值.【清單05】函數(shù)的最值與極值的關(guān)系（1）極值是對某一點附近(即局部)而言，最值是對函數(shù)的定義區(qū)間的整體而言；（2）在函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)，極大（?。┲悼赡苡卸鄠€（或者沒有），但最大（?。┲抵挥幸粋€（或者沒有）；（3）函數(shù)的極值點不能是區(qū)間的端點，而最值點可以是區(qū)間的端點；（4）對于可導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的最大(小)值必在極大(小)值點或區(qū)間端點處取得.【考點題型一】求已知函數(shù)（不含參）的單調(diào)區(qū)間核心方法：求導(dǎo)（一定要注意定義域）【例1】（2024·海南?？凇つM預(yù)測）已知函數(shù)，則的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）【分析】求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)為負即可求解.【詳解】的定義域為0,+∞，，令，解得，故的單調(diào)遞減區(qū)間為0,1，故選：B【變式1-1】（23-24高二下·江蘇南通·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（

）A． B．0,1 C． D．1,+∞【答案】B【知識點】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）【分析】求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)大于0可得答案.【詳解】函數(shù)的定義域為0,+∞，，由得，解得，所以的單調(diào)增區(qū)間為0,1.故選：B.【變式1-2】（24-25高三上·山西運城·開學(xué)考試）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，即可求解.【詳解】，，令，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故選：B【變式1-3】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）【分析】求出導(dǎo)數(shù)，解不等式可得解.【詳解】，令，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減．故選：A【考點題型二】已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，求參數(shù)核心方法：①已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，恒成立.②已知在區(qū)間上單調(diào)遞減，恒成立.【例2-1】（24-25高二上·浙江寧波·期中）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)、函數(shù)不等式恒成立問題【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性把問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，利用函數(shù)單調(diào)性求出最值即可【詳解】由，得，又在上單調(diào)遞增，所以f′x≥0在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，只需求出的最小值即可，又在單調(diào)遞減，所以，則，所以，故.故選：D【例2-2】（23-24高二下·安徽合肥·期中）已知函數(shù).若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的最小值為（

）A．0 B．3 C． D．【答案】C【知識點】由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)、由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)【分析】求導(dǎo)函數(shù)，令恒成立，變量分離轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的最大值.【詳解】，令，得，令，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以.故選：C【變式2-1】（24-25高三上·云南保山·期中）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)【分析】利用題給條件列出關(guān)于實數(shù)的不等式組，解之即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】法一：令，則在上單調(diào)遞減，且在上恒成立，所以解得.法二：，則，則在區(qū)間上恒成立，則或，解之得.故選：A.【變式2-2】（2024·廣西玉林）若函數(shù)在上為增函數(shù)，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、由函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)題意可得對恒成立，列出不等式組，解之即可求解.【詳解】依題意得對恒成立，即對恒成立．因為y＝ax＋a＋1的圖象為直線，所以，解得．故選：B.【考點題型三】已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)核心方法：①已知在區(qū)間上存在單調(diào)增區(qū)間使得有解②已知在區(qū)間上存在單調(diào)減區(qū)間使得有解【例3】（23-24高二下·重慶巴南·期中）已知函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)、根據(jù)極值求參數(shù)【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合常變量分離法、配方法進行求解即可.【詳解】因為在0,+∞上存在單調(diào)遞減區(qū)間，而在0,+∞上有解，即在0,+∞上有解，而，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，若，，不符合題意，所以，即，所以實數(shù)a的取值范圍為.故選：B.【變式3-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點】函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題、由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為在上有解，得到在上有解，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最大值，即可求解.【詳解】因為函數(shù)，可得，因為函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間，可得在上有解，即在上有解，令，則，且，當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，所以，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，所以.故選：D．【點睛】結(jié)論點睛：“恒成立問題”與“有解問題”在等價轉(zhuǎn)化上的區(qū)別：恒成立問題：①恒成立；恒成立．②恒成立；恒成立．③恒成立；恒成立．④．有解問題：①有解；有解．②有解；有解．③有解；有解．④，使得．【變式3-2】（23-24高二下·湖北武漢·階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)【分析】根據(jù)在有解，結(jié)合參變分離，即可求得參數(shù)范圍.【詳解】，若在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則在有解，故有解，而在遞增，，故.故選：A.【考點題型四】已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求參數(shù)核心方法：，使得有變號零點【例4】（24-25高三上·重慶渝中·階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)、根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用在上有變號零點列式求解即得.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，由函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，得在上有變號零點，由，得，則，令，于是，即有，令，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)值從減小到，在上單調(diào)遞增，函數(shù)值從增大到，由在上有變號零點，得直線與函數(shù)的圖象有交點，且當(dāng)有兩個交點時，兩個交點不重合，因此，解得，所以k的取值范圍是.故選：B【變式4-1】（24-25高三上·河北滄州·期中）若函數(shù)在上不單調(diào)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)、利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由在上有變號零點求解得答案.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，依題意，在上有變號零點，由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，；在上單調(diào)遞增，，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：A【變式4-2】（2024·四川·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則m的取值范圍是.【答案】【知識點】由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)【分析】根據(jù)題意可知在區(qū)間有變號零點，結(jié)合變號零點與給定區(qū)間的關(guān)系求解即可.【詳解】由題意知，因為在區(qū)間上不單調(diào)，即在區(qū)間有變號零點，又，所以，，，所以在區(qū)間內(nèi)，所以，解得，即m的取值范圍是.故答案為：.【考點題型五】函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系核心方法：導(dǎo)函數(shù)看正負，原函數(shù)看增減【例5】（24-25高三上·安徽黃山·期中）已知函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的圖象的一部分如圖所示，則關(guān)于函數(shù)的單調(diào)性說法正確的是（

）A．在單調(diào)遞減 B．在單調(diào)遞減C．在單調(diào)遞減 D．在單調(diào)遞減【答案】B【知識點】用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系【分析】根據(jù)圖象判斷出過點的為的圖象，過點的為導(dǎo)函數(shù)的圖象，求導(dǎo)得到，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，得到答案.【詳解】從圖象可以看出過點的為的圖象，過點的為導(dǎo)函數(shù)的圖象，，當(dāng)時，，故，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，故，在上單調(diào)遞增，ACD錯誤，B正確，故選：B【變式5-1】（24-25高三上·江蘇·階段練習(xí)）下列在同一坐標(biāo)系中的圖象，可以作出三次函數(shù)fxA． B．C． D．【答案】C【知識點】函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系【分析】分析可知，f′【詳解】因為fx=ax3+b對于A選項，如下圖所示：當(dāng)或時，f′x<0，則函數(shù)在區(qū)間、上均為減函數(shù)，不合乎題意，A錯；對于B選項，由圖可知，，f′x>0，則函數(shù)在上為增函數(shù)，不合乎題意，B錯；對于C選項，由圖可知，，f′x>0，則函數(shù)在上為增函數(shù)，合乎題意，C對；對于D選項，如下圖所示：當(dāng)或時，f′x<0，則函數(shù)在區(qū)間、上均為減函數(shù)，不合乎題意，D錯.故選：C.【變式5-2】（多選）（24-25高三上·廣東汕尾·階段練習(xí)）如圖所示是的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下列結(jié)論中正確的是（

）

A．在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．是的極小值點C．在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．是的極小值點【答案】BC【知識點】函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系、函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)）圖像與極值點的關(guān)系【分析】先由導(dǎo)函數(shù)圖象得到原函數(shù)的單調(diào)性，進而得到極值點情況，得到答案.【詳解】A選項，由導(dǎo)函數(shù)圖象可知，當(dāng)時，，時，，時，，時，，故在，上單調(diào)遞增，不能用連接，A錯誤；B選項，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，故為的極小值點，B正確；C選項，在區(qū)間上單調(diào)遞減，C正確；D選項，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，故是的極大值點，D錯誤.故選：BC【考點題型六】導(dǎo)函數(shù)有效部分是一次型或可化為一次型核心方法：圖象法【例6】（23-24高二下·吉林遼源·階段練習(xí)）已知函數(shù)，(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】(1)當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【知識點】求已知函數(shù)的極值、含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【分析】（1）求導(dǎo)后，分類討論a，利用導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性；【詳解】（1）函數(shù)，定義域為，，①當(dāng)時，，函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，令，得，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【變式6-1】（24-25高三上·四川成都·期中）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析【知識點】含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、根據(jù)極值求參數(shù)【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)并分類討論參數(shù)，即可得出的單調(diào)性；【詳解】（1），①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，無遞減區(qū)間，②當(dāng)時，，可得f′x>0，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，無遞減區(qū)間，當(dāng)a>0時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．【變式6-2】（23-24高二上·福建莆田·期末）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析【知識點】由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）、含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式【分析】（1）將原函數(shù)求導(dǎo)，就參數(shù)進行分類討論導(dǎo)函數(shù)的符號，即得函數(shù)的單調(diào)性；【詳解】（1）的定義域,若則在0,+∞上單調(diào)遞增；若當(dāng)時，則單調(diào)遞減，時，則單調(diào)遞增.綜上：當(dāng)時，在0,+∞上單調(diào)遞增，無減區(qū)間；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【變式6-3】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【答案】(1)答案見解析【分析】（1）求導(dǎo)后，對進行分類討論，研究導(dǎo)數(shù)正負即可；【詳解】（1）因為，所以的定義域為.當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時，由得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；由得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【考點題型七】導(dǎo)函數(shù)有效部分是二次型或可化為二次型核心方法：因式分解法【例7】（24-25高三上·云南玉溪·期中）已知函數(shù).(1)若函數(shù)在處的切線平行于軸，求的值；(2)討論的單調(diào)性；【答案】(1)；(2)答案見解析；【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點、含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍、已知切線（斜率）求參數(shù)【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出.（2）利用導(dǎo)數(shù)分類討論求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1）函數(shù)，求導(dǎo)得，由函數(shù)在處的切線平行于軸，得，則，此時，，函數(shù)圖象在處的切線為，符合題意，所以.（2）函數(shù)的定義域為，由（1）知，，當(dāng)時，由，得或，由，解得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，由，得或，由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，由，得，由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；當(dāng)時，函數(shù)的遞增區(qū)間是；當(dāng)時，函數(shù)的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；當(dāng)時，函數(shù)的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.【變式7-1】（2024·江西新余·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若，求在處的切線方程.(2)討論的單調(diào)性.【答案】(1)；(2)答案見解析；【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點、含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、零點存在性定理的應(yīng)用、求在曲線上一點處的切線方程（斜率）【分析】（1）把代入，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.（2）根據(jù)給定條件，按，，，分類，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1）當(dāng)時，，求導(dǎo)得，則，而，所以函數(shù)的圖象在處的切線方程為，即.（2）函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，①當(dāng)時，由，得，由，得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時，由，得，由，得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減；③當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；④當(dāng)時，由，得，由，得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，；當(dāng)時，函數(shù)的遞減區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，.【變式7-2】（24-25高三上·福建龍巖·期中）已知函數(shù).(1)求fx【答案】(1)答案見解析【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)分情況討論導(dǎo)函數(shù)零點情況及函數(shù)單調(diào)性；【詳解】（1）由，，得.令，解得.當(dāng)時，，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增.當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時，，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.【變式7-3】（2024·廣東佛山·一模）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】(1)(2)答案見解析【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點、含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、求在曲線上一點處的切線方程（斜率）【分析】（1）求出，再求出導(dǎo)函數(shù)，即可得到切線的斜率，從而求出切線方程；（2）由（1）可得，再分、、三種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【詳解】（1）因為，所以，，則，所以函數(shù)在處的切線方程為；（2）函數(shù)的定義域為，且，當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，則當(dāng)或時，當(dāng)時，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，則當(dāng)或時，當(dāng)時，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上可得，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【考點題型八】導(dǎo)函數(shù)有效部分是不可因式分解的二次型核心方法：法【例8】（23-24高二下·河南許昌·期末）函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【分析】（1）先求導(dǎo)函數(shù)，分兩情況談?wù)?，分別求函數(shù)的單調(diào)性；【詳解】（1）由題意，定義域為，即，

對于方程，，當(dāng)，即時，，，在上單調(diào)遞增，

當(dāng)，即或時，方程有兩不等根，，，而，，所以當(dāng)時，，在上恒成立，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，或時，，時，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；【變式8-1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)討論函敞的單調(diào)性；【答案】(1)答案見解析【知識點】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【分析】（1）求導(dǎo)，分，兩種情況可求的單調(diào)區(qū)間；【詳解】（1）函數(shù)的定義域為．若，則在恒成立，在單調(diào)遞增．若，則．當(dāng)時，在恒成立，在單調(diào)遞增．若，則有兩個正實數(shù)根，從而在遞增，在遞減，在遞增．綜上，當(dāng)時，在單調(diào)遞增；當(dāng)時，在遞增，在遞減，在遞增．【考點題型九】根據(jù)圖象判斷函數(shù)極值，最值【例9】（23-24高二下·北京順義·階段練習(xí)）如圖所示為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)圖象，則下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的有（

）①單調(diào)減區(qū)間是；

②和4都是極小值點；③沒有最大值；④最多能有四個零點.A．①② B．②③ C．②④ D．②③④【答案】C【知識點】函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)）圖象與極值的關(guān)系、函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系、用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、零點存在性定理的應(yīng)用【分析】利用給定的導(dǎo)函數(shù)圖象，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再逐一分析各個命題判斷得解.【詳解】觀察圖象知，當(dāng)或時，，當(dāng)或時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上不單調(diào)，①錯誤；和4都是極小值點，②正確；函數(shù)在取得極大值，當(dāng)不小于函數(shù)在上的所有函數(shù)值時，函數(shù)有最大值，③錯誤；當(dāng)，，且函數(shù)函數(shù)在上的圖象都與軸相交時，函數(shù)在上各有1個零點，共有4個零點，因此最多能有四個零點，④正確，所以關(guān)于函數(shù)的說法正確的有②④.故選：C【變式9-1】（多選）（23-24高二下·吉林長春·期中）已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)和的導(dǎo)函數(shù)f′x、圖象如圖所示，則關(guān)于函數(shù)的判斷正確的是（

）A．有1個極大值點和2個極小值點 B．有2個極大值點和1個極小值點C．有最大值 D．有最小值【答案】BC【知識點】函數(shù)極值的辨析、函數(shù)最值與極值的關(guān)系辨析、函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)）圖象與極值的關(guān)系【分析】圖象可知，的圖象有三個不同交點，將其橫坐標(biāo)按從小到大依次設(shè)為，則，結(jié)合圖象，利用導(dǎo)數(shù)判定的單調(diào)性，即可得到極值點.【詳解】根據(jù)的圖象可得，與的圖象有三個不同的交點，設(shè)這些點的橫坐標(biāo)依次為，滿足，其中.由圖可知，當(dāng)時，，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞減.綜上所述，函數(shù)分別在時取得極大值，在時取得極小值,即函數(shù)有2個極大值點和1個極小值點,故B項正確，A項錯誤；因時，的趨近值未知，時，的趨近值也未知，故無法判斷函數(shù)的最小值能否取得，但因函數(shù)分別在時取得極大值，故可取與中的較大者作為函數(shù)的最大值，故C項正確，D項錯誤.故選：BC.【變式9-2】（多選）（23-24高二下·河南洛陽·階段練習(xí)）已知定義域為的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為f′x，且f′x的圖象如圖所示，則（

A．在上單調(diào)遞減 B．有極小值C．有3個極值點 D．在處取得最大值【答案】ABC【知識點】函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系、函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)）圖象與極值的關(guān)系【分析】首先分析給定圖像，由f′x的圖象可知時，f′x<0，則單調(diào)遞減，進一步分析其他選項，由f′x的圖象可知當(dāng)時，【詳解】由f′x的圖象可知時，f則單調(diào)遞減，故A正確；又時，f′x>0，則單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，有極小值，故B正確；由f′x的圖象可知時，有極值，所以有3個極值點，故C正確；當(dāng)時，f′x>0，則單調(diào)遞增，所以，則在處不能取得最大值，故D錯誤．故選：ABC．【考點題型十】求已知函數(shù)（不含參）極值（點）最值【例10】（24-25高三上·上海·期中）已知.(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.【答案】(1)(2)單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為,函數(shù)的極大值為19,極小值為.【知識點】基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、求已知函數(shù)的極值、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)運算法則求解；（2）令求其解，分區(qū)間判斷導(dǎo)數(shù)的正負，列表確定函數(shù)單調(diào)性及極值.【詳解】（1）因為，所以.（2）因為,所以,令,可得或,當(dāng)變化時,的變化情況如下表,?24正0負0正單調(diào)遞增極大值19單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為,函數(shù)的極大值為19,極小值為.【變式10-1】（23-24高二下·甘肅張掖·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，曲線在點處取得極值.(1)求的值；(2)求函數(shù)的極值點.【答案】(1)(2)極大值點為，極小值點為.【知識點】求已知函數(shù)的極值點、根據(jù)極值點求參數(shù)【分析】（1）求出函數(shù)得導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)曲線在點（1，f（1））處取得極值可得，從而可求出a的值，再檢驗所得結(jié)果是否符合要求即可；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)極值的定義求出極值即可.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，導(dǎo)函數(shù)，因為曲線在點處取得極值，所以，所以，解得，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，所以為函數(shù)的極值點，滿足條件，所以.（2）由（1）可知，，則，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故的極大值點為，極小值點為.【變式10-2】（23-24高二下·重慶九龍坡·階段練習(xí)）已知函數(shù)，且在點處的切線與平行．(1)求切線的方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點．【答案】(1)(2)增區(qū)間，減區(qū)間，極小值點為2，無極大值點【知識點】已知切線（斜率）求參數(shù)、求在曲線上一點處的切線方程（斜率）、求已知函數(shù)的極值點、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不含參）【分析】（1）求導(dǎo)，然后通過列方程求出的值，代入求出，利用點斜式可求出切線的方程；（2）令，求出單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)區(qū)間可得極值點.【詳解】（1）由已知，在點處的切線與平行，，解得，，切線的方程為，即；（2）由（1）得，令，得，令，得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，極小值點為2，無極大值點.【考點題型十一】根據(jù)函數(shù)的極值（點）求參數(shù)【例11】（23-24高二下·四川成都·期中）已知在處的極大值為5，則（

）A． B．6 C．2 D．【答案】B【知識點】根據(jù)極值求參數(shù)、根據(jù)極值點求參數(shù)、求已知函數(shù)的極值【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用極大值及極大值點求出,并驗證即得.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，依題意，，即，解得或，當(dāng)時，，當(dāng)或時，f′x>0，當(dāng)時，f′x<0，因此在當(dāng)時，，當(dāng)時，f′x>0，當(dāng)或時，f′x<0，因此在所以，所以.故選：B【變式11-1】（24-25高三上·甘肅天水·階段練習(xí)）已知在處取得極大值16.(1)求的解析式；(2)求經(jīng)過坐標(biāo)原點且與曲線相切的切線方程.【答案】(1)(2).【知識點】求過一點的切線方程、根據(jù)極值求參數(shù)、根據(jù)極值點求參數(shù)【分析】（1）由函數(shù)的極值點處導(dǎo)數(shù)為零和極值列方程組解出即可；（2）設(shè)切點坐標(biāo)為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和點斜式得到切線方程，再由切線過原點求出即可；【詳解】（1）解得，經(jīng)檢驗，函數(shù)在處取得極值.（2）設(shè)切點坐標(biāo)為，，則切線方程為.切線的過原點，，解得，所以斜率為12，切線方程為.【變式11-2】（24-25高三上·山東聊城·期中）已知函數(shù)在處取得極小值.(1)求m，n的值；(2)若函數(shù)有3個不同零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，(2)【知識點】根據(jù)極值求參數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點、用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)極值點求參數(shù)【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)得到方程組，求出，，檢驗為極小值點，得到答案；（2）在（1）基礎(chǔ)上，得到的極大值為，極小值為，轉(zhuǎn)化為y=fx與有3個不同的交點，所以.【詳解】（1），，，解得，，故，，令得或，令得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故為極小值點，滿足要求；（2）由（1）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，故的極大值為，極小值為，又趨向于時，趨向于，當(dāng)趨向于時，趨向于，綜上，要想有3個不同零點，即有3個不同的實數(shù)根，即y=fx與有3個不同的交點，所以.【考點題型十二】求已知函數(shù)（含參）極值（點）、最值【例12】（23-24高二下·全國·課前預(yù)習(xí)）已知函數(shù)，，.(1)求的值；(2)求在區(qū)間上的最大值.【答案】(1)(2)【知識點】由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（含參）、求某點處的導(dǎo)數(shù)值、導(dǎo)數(shù)的乘除法【分析】（1）求出f′x，代值計算可得出（2）求得，對實數(shù)的取值進行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，即可求得函數(shù)在區(qū)間上的最大值.【詳解】（1）解：由得，所以.（2）解：由得，當(dāng)時，對任意的恒成立，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以；當(dāng)時，令，可得.（1）當(dāng)時，即當(dāng)時，對任意的恒成立，此時，函數(shù)在上為減函數(shù)，則；（2）當(dāng)時，即當(dāng)時，對任意的恒成立，此時，函數(shù)在上為增函數(shù)，則；（3）當(dāng)時，即當(dāng)時，列表如下：增極大值減此時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則.綜上可得：.【變式12-1】（24-25高三上·河南·期中）已知向量，.若存在不同時為零的實數(shù)和，使得，，且.(1)求的解析式；(2)求（1）中的在上的極值.【答案】(1)；(2)當(dāng)，沒有極大值，也沒有極小值；當(dāng)，有極小值為，沒有極大值.【知識點】求已知函數(shù)的極值、向量垂直的坐標(biāo)表示【分析】（1）根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示可得答案；（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷出的單調(diào)性，分、討論，結(jié)合單調(diào)性可得答案.【詳解】（1）因為，，所以，又因為，所以，所以，所以；（2）由（1）得，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由題可得，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，所以沒有極大值，也沒有極小值；當(dāng)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在時有極小值，為，沒有極大值.綜上所述，當(dāng)，沒有極大值，也沒有極小值；當(dāng)，有極小值為，沒有極大值.【變式12-2】（24-25高三上·全國·期中）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)求在上的最大值．【答案】(1)答案見解析(2)【知識點】含參分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（含參）【分析】（1）分、兩種情況討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號變化，由此可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）分、、三種情況討論，分析函數(shù)在上的單調(diào)性，可得出的表達式.【詳解】（1）解：函數(shù)的定義域為，則.當(dāng)時，對任意的，，此時函數(shù)的減區(qū)間為，無增區(qū)間；當(dāng)時，由，可得，由，可得.此時，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的減區(qū)間為，無增區(qū)間；當(dāng)時，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）解：由（1）知，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時，；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時，；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時，.綜上所述，.【考點題型十三】根據(jù)函數(shù)的最值求參數(shù)【例13】（24-25高三上·云南昆明·期中）已知函數(shù).(1)若直線是曲線的一條切線，求a的值；(2)若在上的最大值為1，求a的取值范圍.【答案】(1)(2)【知識點】已知切線（斜率）求參數(shù)、已知函數(shù)最值求參數(shù)、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（含參）【分析】（1）求導(dǎo)，令，可得或，分類討論計算可得結(jié)論；（2），分，，，，五種情況討論可得結(jié)論.【詳解】（1）因為切線為，所以切線斜率為0，由，令，解得或，若是函數(shù)在的切線，則有，所以，即，令，求導(dǎo)得，令，解得，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以無解；若是函數(shù)在的切線，，解得；（2）因為，因為，令，解得或，當(dāng)時，若，，函數(shù)在單調(diào)遞增，所以不符合題意，當(dāng)時，若時，，函數(shù)在單調(diào)遞減，若，，函數(shù)在單調(diào)遞增，若，，函數(shù)在單調(diào)遞減，所以時，函數(shù)在時取得極大值，所以，解得，又，所以當(dāng)，可得時，，函數(shù)在單調(diào)遞減，符合題意；當(dāng)時，若，，函數(shù)在單調(diào)遞減，若，，函數(shù)在單調(diào)遞增，若，，函數(shù)在單調(diào)遞減，所以時函數(shù)取得極大值，又，令，求導(dǎo)，所以，即，所以，所以時，在上的最大值為1，當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，符合題意，綜上所述：a的取值范圍為.【變式13-1】（河南省金科新未來大聯(lián)考2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期11月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱.(1)求、的值；(2)若，當(dāng)時，的最小值為，求的值.【答案】(1)，(2)【知識點】已知函數(shù)最值求參數(shù)、由函數(shù)對稱性求函數(shù)值或參數(shù)【分析】（1）由已知可得出，可得出關(guān)于、的方程組，即可解得這兩個未知數(shù)的值；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，分、兩種情況討論，結(jié)合函數(shù)在上的最小值為，可求得實數(shù)的值.【詳解】（1）依題意，，即，所以，，所以，.（2）由（1）可知，，則，所以當(dāng)時，f′x<0，當(dāng)x∈1,+∞時，f′若，則在區(qū)間內(nèi)的最小值為，即，解得或，均不符題意；若，則函數(shù)在0,1上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在區(qū)間內(nèi)的最小值為，解得，符合題意..【變式13-2】（24-25高三上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)若在上單調(diào)遞減，求a的取值范圍，(2)若在區(qū)間的最小值為，求a的值.【答案】(1)(2)【知識點】函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用、由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)、已知函數(shù)最值求參數(shù)【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)單調(diào)性建立不等式，分離參數(shù)即可得解；（2）求出導(dǎo)數(shù)的零點和0，根據(jù)與所給自變量區(qū)間0,2分類討論，利用導(dǎo)數(shù)得出最小值，解得.【詳解】（1）因為，在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，故在上恒成立，由，所以.（2）由，令，則或，當(dāng)時，，∴fx在0,2上單調(diào)遞增，，不符合題意；當(dāng)時，，則當(dāng)時，f′x<0，當(dāng)時，f′x∴fx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，解得，符合題意；當(dāng)時，，則當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，，解得，不符合題意，若在區(qū)間0,2的最小值為，則的值為.提升訓(xùn)練一、單選題1．（24-25高三上·江西新余·階段練習(xí)）已知函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】求二次函數(shù)的值域或最值、導(dǎo)數(shù)的運算法則、由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)【分析】題目轉(zhuǎn)化為在上恒成立，然后用分離參數(shù)的方法求解即可．【詳解】函數(shù)的定義域為，因為函數(shù)在內(nèi)是增函數(shù)，所以在恒成立，所以在上恒成立，只需,即可，因為,，當(dāng)，即時，，所以，即的取值范圍為．故選：D．2．（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的最小值為（

）A．0 B．1 C． D．【答案】D【知識點】用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】的定義域為，所以當(dāng)x∈0,1時，f′x當(dāng)x∈1,+∞時，所以的最小值為．故選：D.3．（24-25高三上·江西贛州·階段練習(xí)）若對任意的，且，則的最小值是（

）A． B． C．1 D．【答案】D【知識點】用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)【分析】先根據(jù)函數(shù)有意義得出，再構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意得出在上單調(diào)遞減，進而求出的單調(diào)遞減區(qū)間，再根據(jù)即可求解.【詳解】解：對任意的，且，易知：，化簡得：，即，即，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，因為，由，可得：，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，所以，所以，因此，實數(shù)的最小值為.故選：D.4．（24-25高三上·黑龍江雞西·期中）函數(shù)在R上存在極大值的充分條件是：（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】根據(jù)極值求參數(shù)、判斷命題的充分不必要條件【分析】求導(dǎo)，利用判別式求出的范圍，然后由包含關(guān)系可得.【詳解】要使在R上存在極大值，只需有兩個異號零點，所以，即，記集合，則在R上存在極大值的充分條件是的子集.故選：A5．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在處有極大值，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【知識點】根據(jù)極值點求參數(shù)【分析】首先根據(jù)，求，再代入驗證，即可求解.【詳解】，由題意可知，，得或，當(dāng)時，，得或，當(dāng)f′x>0，得或，f′x所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和1,+∞，單調(diào)遞減區(qū)間是，所以是極小值，故，時，，得或，當(dāng)f′x>0，得或，f′x所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是，所以是極大值，故.故選：C6．（24-25高三上·重慶涪陵·開學(xué)考試）已知函數(shù)在內(nèi)有最小值點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【知識點】根據(jù)極值點求參數(shù)【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極小值點，從而得到關(guān)于的不等式組，求解即可.【詳解】函數(shù)的定義域為，，令，可得或（舍），當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，即最小值，又因為函在內(nèi)有最小值，故，解得，所以的取值范圍是.故選：C.7．（24-25高三上·貴州貴陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則（

）A． B．或C． D．【答案】D【知識點】用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、已知函數(shù)最值求參數(shù)【分析】根據(jù)題設(shè)有、求參數(shù)，注意驗證所得函數(shù)是否符合題設(shè)，進而求對應(yīng)函數(shù)值.【詳解】由題設(shè)，故，且，所以，故，即，此時，且，所以，時，在上單調(diào)遞增；時，在上單調(diào)遞減；故處為極大值，也是最大值，滿足題設(shè)；所以.故選：D8．（24-25高三上·遼寧·期中）已知定義在上的函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)，滿足，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】導(dǎo)數(shù)的運算法則、用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式【分析】令，結(jié)合題意得，所以在0,+∞上單調(diào)遞增，，即，即，根據(jù)單調(diào)性解不等式即可.【詳解】令，則，因為，所以，所以在0,+∞上單調(diào)遞增，，即，又，則，所以，即，所以，解得.故選：.二、多選題9．（24-25高三上·寧夏銀川·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時，是的極大值點B．當(dāng)時，有三個零點C．若滿足，則D．當(dāng)時，若在上有最大值，則【答案】AC【知識點】求已知函數(shù)的極值、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點、由函數(shù)對稱性求函數(shù)值或參數(shù)、由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（含參）【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的形式討論導(dǎo)數(shù)的符號后可判斷A的正誤，再討論單調(diào)性后可判斷BD的正誤，根據(jù)題設(shè)中的恒等式可求的值，故可判斷C的正誤.【詳解】對于A，，當(dāng)時，或時，f′x<0；當(dāng)時，f′x故為的極大值點，故A正確；對于B，當(dāng)時，由A的分析同理可得：當(dāng)或時，f′x>0；當(dāng)時，f′故在為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，而，，，故只有一個零點；對于C，，由題設(shè)可得恒成立，故即，故C正確.對于D，取，由B的分析可得：在為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在為增函數(shù)，而，，此時在無最大值，故選：AC.10．（24-25高三上·福建南平·期中）設(shè)函數(shù)，，給定下列命題，則正確的命題是（

）A．不等式的解集為；B．函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；C．若函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)；D．時，總有恒成立.【答案】AD【知識點】用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、根據(jù)極值點求參數(shù)【分析】根據(jù)的正負可求得的單調(diào)性，結(jié)合可確定AB正誤；將Fx極值點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為與有兩個不同交點問題，采用數(shù)形結(jié)合的方式可知C錯誤；根據(jù)fx,gx的單調(diào)性可求得最值，通過最值比較可知D正確.【詳解】對于AB，，，，當(dāng)x∈0,1時，；當(dāng)x∈1,+∞時，；在0,1上單調(diào)遞增，在1,+∞上單調(diào)遞減，B錯誤；又，當(dāng)時，gx>0恒成立，的解集為，A正確；對于C，，，有兩個極值點，有兩個不等正實根，由得：，與有兩個不同交點，圖象如下圖所示，結(jié)合圖象可知：當(dāng)，即時，與有兩個不同交點，即若函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)，C錯誤；對于D，，當(dāng)時，，∴fx在上單調(diào)遞增，；在0,1上單調(diào)遞增，，的最大值與的最小值不同時取得，當(dāng)時，恒成立，D正確.故選：AD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性、求解函數(shù)不等式、根據(jù)極值點個數(shù)求解參數(shù)范圍、恒成立問題的求解；根據(jù)極值點個數(shù)求解參數(shù)范圍的關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點個數(shù)的求解問題，采用數(shù)形結(jié)合的方式，利用函數(shù)圖象來進行求解.三、填空題11．（23-24高二下·福建龍巖·期中）函數(shù)既有極大值，又有極小值，則整數(shù)a的最大值為．【答案】【知識點】用導(dǎo)數(shù)判斷或證明已知函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)極值求參數(shù)【分析】求導(dǎo)，當(dāng)時，恒成立，不合要求，，至少有兩個變號零點，令，則至少有兩個不等正根，由根的判別式和韋達定理得到不等式，求出，得到答案.【詳解