2024-2025學年天津二十中高二（上）第三次學情調(diào)研數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年天津二十中高二（上）第三次學情調(diào)研數(shù)學試卷一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.直線3x?3y?2=0的傾斜角是(

)A.π3 B.2π3 C.π62.設A(3,3,1)、B(1,0,5)、C(0,1,0)，則AB的中點M到C點的距離為(

)A.534 B.532 C.3.若拋物線y2=2px(p>0)的焦點與橢圓x29A.x=?1 B.x=1 C.x=2 D.x=?24.空間四邊形ABCD中，若向量AB=(?3,5,2)，CD=(?7,?1,?4)點E，F(xiàn)分別為線段BC，AD的中點，則EF的坐標為(

)A.(2,3,3)

B.(?2,?3,?3)

C.(5,?2,1)

D.(?5,2,?1)5.已知A為拋物線C：y2=2px(p>0)上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則A.2 B.3 C.6 D.96.已知雙曲線E：x2m?y23=1(m>0)的離心率為2，右焦點為F，動點P在雙曲線右支上，點A.5 B.5?2 C.27.若圓x2+y2=r2(r>0)上僅有4個點到直線x?y?2=0A.(0,2?1) B.(2?1,8.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1的焦點為F1、F2A.2 B.3 C.2 9.布達佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達?芬奇方磚，在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案(如圖1)，把三片這樣的達?芬奇方磚形成圖2的組合，這個組合表達了圖3所示的幾何體．如圖3中每個正方體的棱長為1，則點A到平面QGC的距離是(

)

A.14 B.12 C.210.在矩形ABCD中，AB=2,AD=23，沿對角線AC將矩形折成一個大小為θ的二面角B?AC?D，若cosθ=13，則下列結(jié)論中正確結(jié)論的個數(shù)為(

)

①四面體ABCD外接球的表面積為16π；

②點B與點D之間的距離為23；

③四面體ABCD的體積為423；

④A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題：本題共8小題，每小題5分，共40分。11.已知正四棱柱的對角線的長為6，且對角線與底面所成角的余弦值為3312.圓C:x2+y2?4x?2y+4=0關于直線y=x+1對稱的圓13.若橢圓x24+y23=1的弦AB14.在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠BCA=90°，D1，F(xiàn)1分別是A1B115.若圓x2+y2+Dx?4y?4=0和圓x2+y16.已知橢圓x29+y2b2=1(0<b<3)的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為17.P是雙曲線x2a2?y2b2=1(a>b>0)上的點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是其焦點，雙曲線的離心率是518.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，C的上頂點為A，兩個焦點為F1，F(xiàn)2，離心率為12.過F1且垂直于A三、解答題：本題共4小題，共48分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。19.(本小題12分)

如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為DD1的中點．

(Ⅰ)求證：BD1//平面20.(本小題12分)如圖，在底面是正方形的四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，E,F,G是BC,PC,CD的中點．(1)求證：BG⊥平面PAE；(2)在線段BG上是否存在點H，使得FH//平面PAE？若存在，求出BHBG的值；若不存在，說明理由．21.(本小題12分)

已知橢圓C：x2+2y2=2b2(b>0)．

(1)求橢圓C的離心率e；

(2)若b=1，斜率為1的直線與橢圓交于A、22.(本小題12分)

如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為22，A為橢圓上異于頂點的一點，點P滿足OP=2AO．

(1)若點P的坐標為(2,2)，求橢圓的方程；

(2)設過點P

參考答案1.C

2.C

3.D

4.B

5.C

6.D

7.C

8.D

9.C

10.B

11.10

12.x2+13.?314.3015.?6

16.3

17.7

18.13

19.(Ⅰ)證明：連接BD交AC于點O，連接OE，

在正方形ABCD中，OB=OD．

因為E為DD1的中點，

所以OE/?/BD1

因為BD1?平面ACE，OE?平面ACE，

所以BD1//平面ACE．

(Ⅱ)解：不妨設正方體的棱長為2，建立如圖所示的空間直角坐標系A?xyz．

則A(0,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，E(0,2,1)，

所以AD=(0,2,0)，AC=(2,2,0)，AE=(0,2,1).

設平面ACE的法向量為n=(x,y,z)，

所以n?AC=0,n?AE=0,所以2x+2y=0,2y+z=0,即x=?y,z=?2y,

令y=?1，則x=1，z=2，

于是n=(1,?1,2)20.(1)證明：因為四棱錐P?ABCD的底面是正方形，且PA⊥平面ABCD，

以點A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標系，

則A(0,0,0)，B(2,0,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，

因為E，F(xiàn)，G分別是BC，PC，CD的中點，

所以E(2,1,0)，F(xiàn)(1,1,1)，G(1,2,0)，

所以BG=(?1,2,0)，AP=(0,0,2),AE=(2,1,0)，

所以BG?AP=0，且BG?AE=0．

所以BG⊥AP，BG⊥AE，且AE∩AP=A，AE?平面PAE，AP?平面PAE，

所以BG⊥平面PAE．

(2)解：假設在線段BG上存在點H，使得FH/?/平面PAE，

設BH=λBG(0≤λ≤1)，

則FH=FB+BH=AB?AF+λBG=(1?λ,2λ?1,?1)，

因為FH/?/平面PAE，BG⊥平面21.解：(1)由橢圓C：x2+2y2=2b2(b>0)，得x22b2+y2b2=1(b>0)．

∴a2=2b2，則c2=a2?b2=b2，

∴e=c2a2=b22b2=22；

(2)由b=1，可得橢圓方程為x222.解：(1)∵A為橢圓上異于頂點的一點，點P滿足OP=2AO，點P的坐標為(2,2)，

∴A(?1,?22)，代入橢圓