2024屆湖南省岳陽市某中學(xué)高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷含解析

2024屆湖南省岳陽市第一中學(xué)高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷

注意事項:

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5亳米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.如圖是二次函數(shù)/（x）=f-法+。的部分圖象，則函數(shù)g（x）=alnx+/'（x）的零點所在的區(qū)間是（）

71、

C.(1,2)D.(2,3)

A.Z2

2.函數(shù)〃、）=乎的大致圖象為（）

A.-60B.-12C.12D.60

4.函數(shù)f(x)=4sin(0%+@)(A>0,①>0,的部分圖象如圖所示，則④。的值分別為（）

71

A.2,0B.2,C.2----D.2,-

4f36

5.函數(shù)y=sinx（3sinx+4cos工）（XEH）的最大值為〃，最小正周期為丁，則有序數(shù)對（",7）為（）

A.(5,乃)B.(4,4)C.(—1,24)D.(4,2幻

6.已知盒中有3個紅球,3個黃球，3個白球，且每種顏色的三個球均按A,B,C編號，現(xiàn)從中摸出3個球（除顏

色與編號外球沒有區(qū)別）,則恰好不同時包含字母A,8,C的概率為（）

1719723

A.—D.—

2128928

7.窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，它歷史悠久，風(fēng)格獨特，神獸人們喜愛.下

圖即是一副窗花，是把一個邊長為12的大正方形在四個角處都剪去邊長為1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部

分中的四個角處再剪出邊長全為1的一些小正方形.若在這個窗花內(nèi)部隨機取一個點，則該點不落在任何一個小正方

456

D.-

7777

8.已知函數(shù)/（x）=ln（x+l）-or,若曲線y=/。）在點（0J（0））處的切線方程為y=2x,則實數(shù)。的取值為（）

B.C.1D.2

9.從集合｛-3,4｝中隨機選取一個數(shù)記為機，從集合｛-2,-1,2,3,4｝中隨機選取一個數(shù)記為〃，則在方

程《+二=1表示雙曲線的條件下,方程二+￡=1表示焦點在）'軸上的雙曲線的概率為（）

mnmn

98179

A.—B.—C.—D.—

17173535

2

10.若z=l-i+I，貝！h的虛部是

A.3B.-3C.3iD.-3i

22

11.己知集合人={（乂），）|丁=/},B={^y）\x+y=[}f則的真子集個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

12.已知橢圓C:二+y2=i內(nèi)有一條以點P1,-為中點的弦A3,則直線A8的方程為（）

3I3J

A.3x-3y-2=0B.3x-3y+2=0

C.3x+3y-4=0D.3x+3y+4=0

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

x+y<10

13.設(shè)實數(shù)％）'滿足約束條件,x-yW2,則z=2x+3y的最大值為.

x>4

14.已知圓柱的兩個底面的圓周在同一個球的球面上，圓柱的高和球半徑均為2,則該圓柱的底面半徑為.

15.AB,。三所學(xué)校舉行高三聯(lián)考，三所學(xué)校參加聯(lián)考的人數(shù)分別為160,240,400,為調(diào)查聯(lián)考數(shù)學(xué)學(xué)科的成績,

現(xiàn)采用分層抽樣的方法在這三所學(xué)校中抽取樣本，若在8學(xué)校抽取的數(shù)學(xué)成績的份數(shù)為30,則抽取的樣本容量為

16.如圖，養(yǎng)殖公司欲在某湖邊依托互相垂直的湖岸線C4、C8圍成一個三角形養(yǎng)殖區(qū)ACH.為了便于管理，在線段

之間有一觀察站點M到直線BC,C4的距離分別為8百米、1百米，則觀察點M到點A、8距離之和的

最小值為______________百米.

K

.pk

P，—---------i---

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

22

17.（12分）已知橢圓七：￡+*=1（〃>〃>（））的左、右焦點分別為耳和尸2,右頂點為A,且|A用二3,短軸

長為2G

（1）求橢圓七的方程；

（2）若過點A作垂直工軸的直線/,點/為直線/上縱坐標不為零的任意一點，過F?作次的垂線交橢圓E于點。和

Q,當(dāng)因=迪時，求此時四邊形7P￡Q的面積.

IPQI24

18.（12分）在考察疫情防控工作中，某區(qū)衛(wèi)生防控中心提出了“要堅持開展愛國衛(wèi)生運動，從人居環(huán)境改善、飲食習(xí)

慣、社會心理健康、公共衛(wèi)生設(shè)施等多個方面開展，特別是要堅決杜絕食用野生動物的陋習(xí)，提倡文明健康、綠色環(huán)

保的生活方式”的要求.某小組通過問卷調(diào)查，隨機收集了該區(qū)居民六類日常生活習(xí)慣的有關(guān)數(shù)據(jù),六類習(xí)慣是：（1）衛(wèi)

生習(xí)慣狀況類；（2）垃圾處理狀況類；（3）體育鍛煉狀況類；（4）心理健康狀況類；（5）膳食合理狀況類；（6）作息

規(guī)律狀況類.經(jīng)過數(shù)據(jù)整理，得到下表：

衛(wèi)生習(xí)慣狀垃圾處理狀體育鍛煉狀心理健康狀膳食合理狀作息規(guī)律狀

況類況類況類況類況類況類

有效答卷份數(shù)380550330410400430

習(xí)慣良好頻率0.60.90.80.70.650.6

假設(shè)每份調(diào)查問卷只調(diào)查上述六類狀況之一，各類調(diào)查是否達到良好標準相互獨立.

（1）從小組收集的有效答卷中隨機選取1份，求這份試卷的調(diào)查結(jié)果是膳食合理狀況類中習(xí)慣良好者的概率；

（2）從該區(qū)任選一位居民，試估計他在“衛(wèi)生習(xí)慣狀況類、體育鍛煉狀況類、膳食合理狀況類”三類習(xí)慣方面，至少具

備兩類良好習(xí)慣的概率；

（3）利用上述六類習(xí)慣調(diào)查的排序，用“4=1”表示任選一位第％類受訪者是習(xí)慣良好者，“4=0”表示任選一位第

A類受訪者不是習(xí)慣良好者（4=1,2,34,5,6）.寫出方差。-D4,。短的大小關(guān)系?

19.（12分）某商場為改進服務(wù)質(zhì)量，隨機抽取了200名進場購物的顧客進行問卷調(diào)查,調(diào)查后，就顧客“購物體驗”

的滿意度統(tǒng)計如下:

□滿意不滿意

E□□

0□FI

（1）是否有97.5%的把握認為顧客購物體驗的滿意度與性別有關(guān)?

（2）為答謝顧客，該商場對某款價格為100元/件的商品開展促銷活動.據(jù)統(tǒng)計，在此期間顧客購買該商品的支付情

況如下:

購物卡支

支付方式現(xiàn)金支付APP支付

付

頻率10%30%60%

按9折支其中有1/3的顧客按4折支付，1/2的顧客按6折支付，1/6的顧

優(yōu)惠方式按8折支付

付客按8折支付

將上述頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，記某顧客購買一件該促銷商品所支付的金額為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

尢彳

附表及公式：K?=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

尸（爛.名）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

20.（12分）已知某種細菌的適宜生長溫度為12?C~27e,為了研究該種細菌的繁殖數(shù)量》（單位：個）隨溫度x（單

位：?C）變化的規(guī)律，收集數(shù)據(jù)如下：

溫度必℃14161820222426

繁殖數(shù)量）'/個2530385066120218

對數(shù)據(jù)進行初步處理后，得到了一些統(tǒng)計量的值，如表所示:

7

可化-7)

XykZG-元)(丫-到

1=11=1/=1/=1

20784.11123.8159020.5

_17

其中左=如％,

?i=i

（1）請繪出）'關(guān)于K的散點圖，并根據(jù)散點圖判斷），="+〃與），=（/'哪一個更適合作為該種細菌的繁殖數(shù)量），關(guān)

于溫度X的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）；

（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表格數(shù)據(jù)，建立丁關(guān)于X的回歸方程（結(jié)果精確到0.1）；

（3）當(dāng)溫度為27P時，該種細菌的繁殖數(shù)量的預(yù)報值為多少？

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（%,匕）（i=1,2,3,???,〃），其回歸直線V=pu+a的斜率和截距的最小二成估計分別為

5

尸二『------------，a=v-Put參考數(shù)據(jù)：?245.

￡（4-五『

r=i

21.（12分）如圖，在多面休488石戶中，四邊形ABC。是菱形，EF//AC,EF=\,ZABC=60\?！阓1平

面ABC。，CE=6CD=2,G是。石的中點.

（I）求證：平面ACG//平面8所；

（II）求直線AO與平面A3尸所成的角的正弦值.

22.（10分）已知橢圓C:二+與=1（。＞方＞0）的左，右焦點分別為片，居，直線/：），=丘+機與橢圓C相交于P,。

a~b~

兩點；當(dāng)直線/經(jīng)過橢圓。的下頂點A和右焦點用時，△耳的周長為4拒，且/與橢圓。的另一個交點的橫坐標

為9

（1）求橢圓。的方程；

（2）點M為△P。。內(nèi)一點，。為坐標原點，滿足MP+MO+M2=0,若點M恰好在圓O：/+/=6上，求

實數(shù)〃z的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解析】

根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱軸得出。范圍，)'軸截距，求出。的范圍，判斷g(x)在區(qū)間端點函數(shù)值正負，即可求出結(jié)論.

【詳解】

2

'：f(x)=x-bx+af結(jié)合函數(shù)的圖象可知，

二次函數(shù)的對稱軸為工=

—<x=-<1,<f\x)=2x-b

22t

所以gO)=。Inx+/'(x)=aInx+2彳一在(0,+oo)上單調(diào)遞增.

又因為g(g)=t/ln^+l-Z?<0,^(I)=4zlnl+2-Z?>0,

所以函數(shù)g(x)的零點所在的區(qū)間是［』'.

IZ/

故選:B.

【點睛】

本題考查二次函數(shù)的圖象及函數(shù)的零點，屬于基礎(chǔ)題.

2、A

【解析】

利用特殊點的坐標代入，排除掉C,D；再由判斷A選項正確.

【詳解】

/(-l.l)=~L1^,|1J|<0,排除掉GD；

el

1,1

——In—

/(-!)=212=五卜正，

2

e-I-

?.TnV541n〃=g,Je<2^

.../(-l)=V^lnV2<l.

2

故選：A.

【點睛】

本題考查了由函數(shù)解析式判斷函數(shù)的大致圖象問題，代入特殊點，采用排除法求解是解決這類問題的一種常用方法，

屬于中檔題.

3、B

【解析】

在二項展開式的通項公式中，令X的幕指數(shù)等于3,求出，?的值，即可求得含丁項的系數(shù).

【詳解】

(x—的展開式通項為&?產(chǎn)=C；?(—2)’?產(chǎn)%

令6-3r=3,得r=1,可得含爐項的系數(shù)為《x(—2)=-12.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

4、D

【解析】

/\

由題意結(jié)合函數(shù)的圖象，求出周期7,根據(jù)周期公式求出3,求出A,根據(jù)函數(shù)的圖象過點：，1,求出。，即可求

得答案

【詳解】

4T3r1\71乃3幾

由函數(shù)性象可知：—=--——=—

41264

T=兀,

co—2,/I=1

函數(shù)的圖象過點心)

/.1=sin2x—十。，

\6J

II71rt兀

則。

2o

故選。

【點睛】

本題主要考查的是y=Asin(5+。)的圖像的運用，在解答此類題目時一定要挖掘圖像中的條件，計算三角函數(shù)的周

期、最值，代入已知點坐標求出結(jié)果

5、B

【解析】

函數(shù)），=sinx（3sinx+4cosx）=3sin2x+4sinxcosx=2sin2x——cos2x+—=—sin（2x-0）+—（夕為輔助角）

2222

???函數(shù)的最大值為M=4,最小正周期為7=券="

故選B

6、B

【解析】

首先求出基本事件總數(shù)，則事件“恰好不同時包含字母A,8,C”的對立事件為“取出的3個球的編號恰好為字母A,

B,C”，記事件“恰好不同時包含字母4,B,L為E,利用對立事件的概率公式計算可得；

【詳解】

解：從9個球中摸出3個球，則基本事件總數(shù)為C：=84（個），

則事件“恰好不同時包含字母A,B,C”的對立事件為“取出的3個球的編號恰好為字母A,B,C”

3319

記事件“恰好不同時包含字母A,B，C”為E,則P（E）=1-不■=丁.

C92o

故選：B

【點睛】

本題考查了古典概型及其概率計算公式，考查了排列組合的知識，解答的關(guān)鍵在于正確理解題意，屬于基礎(chǔ)題.

7、D

【解析】

由幾何概型可知,概率應(yīng)為非小正方形面積與窗花面積的比，即可求解.

【詳解】

由題,窗花的面積為122-4x1=140,其中小正方形的面積為5x4=20,

eIHas*n140—206

所以所求概率P=———=—,

故選:D

r點睛】

本題考查幾何概型的面積公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.

8、B

【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用切線方程通過/（0）,求解即可；

【詳解】

J（X）的定義域為（-1,+8）,

因為r(x)=——一a,曲線y=/(x)在點(0,J(U))處的切線方程為y=2x,

x+1

可得1-4=2,解得。=T,

故選：B.

【點睛】

本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線方程的求法，考查計算能力.

9、A

【解析】

設(shè)事件4為“方程三十￡=1表示雙曲線“，事件8為“方程上+￡=1表示焦點在y軸上的雙曲線”，分別計算出

mnmn

fXA),P(AB),再利用公式P(3/A)=與學(xué)計算即可.

P(A)

【詳解】

設(shè)事件A為“方程—+^-=1表示雙曲線*事件B為“方程■?十￡=1表示焦點在>'軸上

mnmn

3x3-i-4x?173x39

的雙曲線”，由題意，P(A)='；g,P(A8)=汜=9，則所求的概率為

7x5357x535

P(AB)9

P(B/A)=

P(A)n

故選：A.

【點睛】

本題考查利用定義計算條件概率的問題，涉及到雙曲線的定義，是一道容易題.

10、B

【解析】

因為z=l-i-2i=l-3i,所以z的虛部是-3.故選B.

11、C

【解析】

求出A「8的元素，再確定其真子集個數(shù).

【詳解】

-—2-—2

,.2X=----------X=------------

由)「?：，解得「2或L2，工ACIB中有兩個元素，因此它的真子集有3個.

［廠+曠=175-1V5-1

y=—y=—

故選：c.

【點睛】

本題考查集合的子集個數(shù)問題，解題時可先確定交集中集合的元素個數(shù)，解題關(guān)鍵是對集合元素的認識，本題中集合

A3都是曲線上的點集.

12、C

【解析】

Y2222

設(shè)A（XQ，J,研巧,%），則上+乂2=],工+%2=1，相減得到Q+Q女=0,解得答案.

3333

【詳解】

設(shè)A（X1,y）,8（毛,%），設(shè)直線斜率為左，則曰+y：=i,/:+）/二1，

相減得到：（%一二!%+%）+（）+%）（），「力。,AB的中點為尸卜,；）

224

即；+7%=。，故Z=—1,直線A4的方程為：y=-x+—.

333

故選：C.

【點睛】

本題考查了橢圓內(nèi)點差法求直線方程，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、26

【解析】

x+y<\0

試題分析：作出不等式組，2所表示的平面區(qū)域如圖，當(dāng)直線2=2工+3），過點（4,6）時，Z最大，且

x>4

zImIU.lIxA=2x4+3x6=26

14、G

【解析】

由圓柱外接球的性質(zhì)，即可求得結(jié)果.

【詳解】

解：由于圓柱的高和球半徑均為2,,則球心到圓柱底面的距離為1,

設(shè)圓柱底面半徑為人由已知有/+]2=22,

r=應(yīng)，

即圓柱的底面半徑為由.

故答案為：V3.

【點睛】

本題考查由圓柱的外接球的性質(zhì)求圓柱底面半徑，屬于基礎(chǔ)題.

15、100

【解析】

某層抽取的人數(shù)等于該層的總?cè)藬?shù)乘以抽樣比.

【詳解】

X

設(shè)抽取的樣本容量為X,由已知，30=240x解得x=100.

160+240+400

故答案為：100

【點睛】

本題考杳隨機抽樣中的分層抽樣，考查學(xué)生基本的運算能力，是一道容易題.

16、5石

【解析】

建系，將直線A4用方程表示出來，再用參數(shù)表示出線段A8的長度，最后利用導(dǎo)數(shù)來求函數(shù)最小值.

【詳解】

以。為原點，CA,CB所在直線分別作為X〉軸，建立平面直角坐標系，則”(8,1).設(shè)直線A4:y-l=?x-8),即

(1__O、

),二履+1—83則A--=—,0,B(01-8k),

\^)

4>0

所以k,所以kvO,

1-8攵>0

AB2=\------+(1-82)2=/(&)/<0),

\k)

貝ij/(幻=(1-8幻211+J|(z<o),

貝廳”)=2(1—82八(一8)'(1+￡)+(1-8攵)2'(一2G

-2(1-8%)(8公+1)—2(1—8Z)(2A+1)(4/—2攵+1)

"F=P，

當(dāng)xef—8,—時，Ax)<0,則單調(diào)遞減，當(dāng)xcf—；,()］時，f\x)>0,則/(x)單調(diào)遞增，

\乙)、乙)

所以當(dāng)&二一;時，A8最短，此時AB=5行.

故答案為：5石

【點睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)—+^-=1(2)馬亞

437

【解析】

a+c=3

（1）依題意可得＜8=6,解方程組即可求出橢圓的方程;

a2=b2+c2

（2）設(shè)r（2,T〃）G〃wO）,則=+設(shè)直線。。的方程為X=m），+1,聯(lián)立直線與橢圓方程，消去X,設(shè)

P（A，y）,Q（%2，）’2），列出韋達定理，即可表示IPQL再根據(jù)四=述求出參數(shù)機，從而得出A最后

IPQI24

QPQ

由點寫到直線PQ的距離得到SATPQ=SAFFQ,由3四邊形孫=32+3她尸。=2,7P°即可得解;

【詳解】

。+c=3a=2

解：(1)???在=6???解得匕二6,

，/2

a-=b~+c~

22

，橢圓￡的方程為工+工=1.

43

(2)???A(2,0),???可設(shè)T(2,T〃)(WNO),???|叫|=J/%?+[.?.?%.=』=—m,

??.k也二,，???設(shè)直線P。的方程為x=my+l,

m

x=my+1

:.■x2y1，；?(3療+4)y?+6wy-9=0,顯然J>0恒成立.

T+T=

設(shè)P(X，X)，。仁，%)，則y+必=[：4,丁?二&；9，

5m+43〃z+4

???I也1=，(％-42『+()北-％)2=%)『+(1f'

=JW+l)[(y+)J_]==12(>+1)

9兒"R7172J十/[l3w2+4j3w2+4j3m2+4

.I跖3〃?+4_3〃P+4_75/2

‘兩12"+1)=1262+1一百

:.1Sm4-in2-17=0，，解得irr=I，解得m=±]t

...|明1slp。煤??%=38)竽

???此時直線PQ的方程為x±)，-l=O,^(-1,0),

，點寫到直線PQ的距離為d=匕導(dǎo)二J2,

,?S四邊形rpqo=SATPQ+S&F\PQ=2SATPQ=~］一

即此時四邊形TPZQ的面積為芋.

【點睛】

本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的綜合應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題.

18、(1)0.104(2)0.766(3)=D^>>D^2

【解析】

(1)設(shè)“選取的試卷的調(diào)查結(jié)果是膳食合理狀況類中習(xí)慣良好者”的事件為A,根據(jù)古典概型求出即可；

(2)設(shè)該區(qū)“衛(wèi)生習(xí)慣狀況良好者“，”體育鍛煉狀況良好者“、"膳食合理狀況良好者”事件分別為人，B,C,設(shè)事

件E1為“該居民在“衛(wèi)生習(xí)慣狀況類、體育鍛煉狀況類、膳食合理狀況類”三類習(xí)慣方面，至少具備兩類良好習(xí)慣“，則

P(E)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC),求出即可；

(3)根據(jù)題意，寫出即可.

【詳解】

(1)設(shè)“選取的試卷的調(diào)查結(jié)果是膳食合理狀況類中習(xí)慣良好者”的事件為A,

有效問卷共有380+550+330+410+460+430=2500(份)，

其中受訪者中膳食合理習(xí)慣良好的人數(shù)是400x0.65=260人，

故26)=怒260=0.104；

(2)設(shè)該區(qū)“衛(wèi)生習(xí)慣狀況良好者“，”體育鍛煉狀況良好者“、"膳食合理狀況良好者”事件分別為4,B,C,

根據(jù)題意，可知P(A)=0.6,(B)=0.8,P(C)=0.65,

設(shè)事件?為“該居民在“衛(wèi)生習(xí)慣狀況類、體育鍛煉狀況類、膳食合理狀況類”三類習(xí)慣方面，至少具備兩類良好習(xí)慣”

貝!JP(E)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)

=0.6x0.8x0.35+0.6x0.2x0.65+0.4x0.8x0.65+0.6x0.8x0.65

=0.168+0.078+0.208+0.312

=0.766.

所以該居民在“衛(wèi)生習(xí)慣狀況類、體育鍛煉狀況類、膳食合理狀況類”三類習(xí)慣至少具備2個良好習(xí)慣的概率為0.766.

(3)。［=。白＞。女＞。$＞。芻＞。芻.

【點睛】

本題考查了古典概型求概率，獨立性事件，互斥性事件求概率等，考查運算能力和事件應(yīng)用能力，中檔題.

19、（1）有97.5%的把握認為顧客購物體驗的滿意度與性別有關(guān)；（2）67元，見解析.

【解析】

（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)代入公式，結(jié)合臨界值即得解；

（2）X的可能取值為40,60,80,1,根據(jù)題意依次計算概率，列出分布列，求數(shù)學(xué)期望即可.

【詳解】

（1）由題得

“2200(40x40-80x40)250

K-=——----------------------=——?5.556>5.024,

120x80x80x1209

所以，有97.5%的把握認為顧客購物體驗的滿意度與性別有關(guān).

(2)由題意可知X的可能取值為40,60,80,1.

1113

p(X=40)=-x60%=-,P(X=60)=-x60%=京,

P(X=80)=30%+^x60%=|,P(X=90)=10%=^.

則X的分布列為

X4060801

321

P

510510

1321

所以，EX=40x-+60x—+80X-+90X—=67(元).

51051()

【點睛】

本題考查了統(tǒng)計和概率綜合，考查了列聯(lián)表，隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望等知識點，考查了學(xué)生數(shù)據(jù)處理，綜合分

析，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.

20、（1）作圖見解析；），=ce必更適合&）（3）預(yù)報值為245

【解析】

（1）由散點圖即可得到答案；

-可（勺一%）__

（2）把＞，=。*兩邊取自然對數(shù)，得1”，=公+lnc,由”=上―___________計算得到，再將（工工）代入

Iny=c/r+lnc,可得Inc,最終求得lny=0.2x+0.1,即），=/」"2\

（3）將刀=27代入=/」?*2、中計算即可.

【詳解】

解：（1）繪出y關(guān)于x的散點圖，如圖所示:

由散點圖可知，），=C-A更適合作為該種細菌的繁殖數(shù)量丁關(guān)于X的回歸方程類型；

（2）把＞，=。*兩邊取自然對數(shù)，得1”=公+hic,

即攵=辦+Inc,

7_

力（斗-初勺-D205

由“二上---------；——二上。0.183a0.2

112

lnc=4.1-0.2x20?0.1.

/.Iny=0.2x+0.1,

則y關(guān)于x的回歸方程為y=e"」?e°2‘；

（3）當(dāng)x=27時，計算可得.y=網(wǎng)

即溫度為27*C時，該種細菌的繁殖數(shù)量的預(yù)報值為245.

【點睛】

本題考查求非線性回歸方程及其應(yīng)用的問題，考查學(xué)生數(shù)據(jù)處理能力及運算能力，是一道中檔題.

21、（I）詳見解析；（II）姮.

5

【解析】

試題分析：（I）連接8Z）交AC于。，得OGHBE,所以O(shè)G〃面BEF,又EFHAC,得AC〃面8砂,

即可利用面面平行的判定定理，證得結(jié)論；

（II）如圖，以O(shè)為坐標原點，建立空間直角坐標系，求的平面A3廠的一個法向量小，利用向量A力和向量〃7夾

角公式，即可求解AD與平面A8廠所成角的正弦值.

試題解析：

(I)連接笈D交AC于O,易知O是夕。的中點，故OGI/BE,BEu面BEF,OG在面BEF夕卜，所以O(shè)G//

面BEF；

又EFHAC,4c在面尸外，AC〃面BEF,又AC與。G相交于點O,面ACG有兩條相交直線與面尸

平行，故面4CG〃面尸；

(11)如羽，以0為坐標原點，分別以0。、0〃、0戶為小)，、1軸建立空間直角坐標系，則4(-1,0,0),川(),一6,0),

D(0,V3,0),F(0,0,5/3),AO=(l,G,0),A8=(l,—G,0),A尸二(1,O,G),