第04講-對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)(學(xué)生版)

第04講對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（核心考點(diǎn)精講精練）1.4年真題考點(diǎn)分布4年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2023年新I卷，第10題,5分對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式2021年新Ⅱ卷，第7題,5分比較對(duì)數(shù)式的大小無2020年新I卷，第12題,5分對(duì)數(shù)的運(yùn)算隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)2020年新Ⅱ卷，第7題,5分對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的命題常考內(nèi)容，設(shè)題多為函數(shù)性質(zhì)或函數(shù)模型，難度中等，分值為5分【備考策略】1.理解對(duì)數(shù)的概念和運(yùn)算性質(zhì)，熟練指對(duì)互化，能用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)2.了解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，能畫出具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)3.熟練掌握對(duì)數(shù)函數(shù)且與指數(shù)函數(shù)且的圖象關(guān)系【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容通常會(huì)考查指對(duì)冪的大小比較、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、對(duì)數(shù)的函數(shù)模型等，需要重點(diǎn)備考復(fù)習(xí)知識(shí)講解對(duì)數(shù)的運(yùn)算對(duì)數(shù)的定義如果，那么把叫做以為底，的對(duì)數(shù)，記作，其中叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)對(duì)數(shù)的分類一般對(duì)數(shù)：底數(shù)為，，記為常用對(duì)數(shù)：底數(shù)為10，記為，即：自然對(duì)數(shù)：底數(shù)為e（e≈2.71828…），記為，即：對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則①兩個(gè)基本對(duì)數(shù)：①，②②對(duì)數(shù)恒等式：①，②。③換底公式：；推廣1：對(duì)數(shù)的倒數(shù)式推廣2：。④積的對(duì)數(shù)：；⑤商的對(duì)數(shù)：；⑥冪的對(duì)數(shù)：?，?，?，?對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義及一般形式形如：的函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)圖象性質(zhì)定義域：值域：當(dāng)時(shí)，即過定點(diǎn)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)（5）在上為減函數(shù)考點(diǎn)一、對(duì)數(shù)的運(yùn)算1．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）化簡的值為（

）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)可求代數(shù)式的值.【詳解】原式，故選：B2．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知，則（

）A．25 B．5 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，冪的運(yùn)算性質(zhì)以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可解出．【詳解】因?yàn)?，，即，所以．故選：C.3．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，則____________．【答案】1【分析】根據(jù)給定條件，把代入，利用指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)，所以.故答案為：11．（2023·山東濟(jì)寧·嘉祥縣第一中學(xué)統(tǒng)考三模）若且，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化可得出、的表達(dá)式，結(jié)合換底公式可求得的值.【詳解】因?yàn)榍遥?，且，所以，且，且有，，所以，，，所以，，則，又因?yàn)榍?，解?故選：B.2．（2023·河北·校聯(lián)考一模）若函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)自變量的取值，即可代入到分段函數(shù)中，計(jì)算即可.【詳解】由于，所以，故，故選C.3．（2023·廣東東莞·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】結(jié)合函數(shù)的解析式及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由題意可得，故選：D.4．（2023·江西·江西師大附中校考三模）已知函數(shù)是偶函數(shù)，，則_______．【答案】【分析】根據(jù)是偶函數(shù)，解出值，再根據(jù)分段函數(shù)解析式算出結(jié)果.【詳解】解：已知函數(shù)是偶函數(shù)，所以，即，整理得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意，因?yàn)?，則，則，，故答案為：.考點(diǎn)二、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域1．（全國·高考真題）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先，考查對(duì)數(shù)的定義域問題，也就是的真數(shù)一定要大于零，其次，分母不能是零．【詳解】解：由，得，又因?yàn)?，即，得故，的取值范圍是，且．定義域就是故選：B．2．（上?！じ呖颊骖}）函數(shù)的定義域?yàn)開____________．【答案】【分析】函數(shù)的定義域滿足且，解得答案.【詳解】函數(shù)的定義域滿足：且，解得.故答案為：1．（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由根式、對(duì)數(shù)性質(zhì)解不等式和定義域，再應(yīng)用集合交運(yùn)算求結(jié)果.【詳解】由，則，故，由，則，故，所以.故選：B2．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出集合，然后利用集合補(bǔ)集和并集運(yùn)算即可.【詳解】由已知，，，

.故選：C.3．（2023·安徽安慶·安徽省桐城中學(xué)?？家荒＃┘?，集合，全集，則為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)真數(shù)大于零以及根式的性質(zhì)可化簡集合，即可由集合的交并補(bǔ)運(yùn)算求解.【詳解】對(duì)于集合A，由或，所以，，，故.故選：B考點(diǎn)三、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．（全國·高考真題）當(dāng)a>1時(shí)，在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝a－x與y＝logax的圖像為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像，即可容易判斷.【詳解】∵a>1，∴0<<1，∴y＝a－x是減函數(shù)，y＝logax是增函數(shù)，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題.2．（山東·高考真題）已知函數(shù)（，是常數(shù)，其中且）的大致圖象如圖所示，下列關(guān)于，的表述正確的是A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和特征以及圖象的平移可得正確的選項(xiàng).【詳解】從題設(shè)中提供的圖像可以看出，故得，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查圖象的平移以及指數(shù)函數(shù)的圖象和特征，本題屬于基礎(chǔ)題.3．（全國·高考真題）下列函數(shù)中，其圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱的是A． B． C． D．【答案】B【詳解】分析：確定函數(shù)過定點(diǎn)（1，0）關(guān)于x=1對(duì)稱點(diǎn)，代入選項(xiàng)驗(yàn)證即可．詳解：函數(shù)過定點(diǎn)（1，0），（1，0）關(guān)于x=1對(duì)稱的點(diǎn)還是（1，0），只有過此點(diǎn)．故選項(xiàng)B正確點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)的對(duì)稱性和函數(shù)的圖像，屬于中檔題．1．（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（a，b為常數(shù)，其中且）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】由函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，可得，排除A，C；代入,得，從而得答案.【詳解】解：由圖象可得函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，所以，排除A，C；又因?yàn)楹瘮?shù)過點(diǎn),所以，解得．故選：D2．（2023·安徽安慶·?？家荒＃┖瘮?shù)與在同一直角坐標(biāo)系下的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.【詳解】，為定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)，故不成立；，為定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)，，故C和D不成立.故選：B.3．（2023·浙江嘉興·?？寄M預(yù)測(cè)）若函數(shù)的圖象不過第四象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．【答案】【分析】作出函數(shù)的大致圖象，結(jié)合圖象可得，即可得解.【詳解】函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，其定義域?yàn)?，作出函?shù)的大致圖象如圖所示，由圖可得，要使函數(shù)的圖象不過第四象限，則，即，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.考點(diǎn)四、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性1．（2020·海南·高考真題）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出的定義域，然后求出的單調(diào)遞增區(qū)間即可.【詳解】由得或所以的定義域?yàn)橐驗(yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增所以在上單調(diào)遞增所以故選：D【點(diǎn)睛】在求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)一定要先求函數(shù)的定義域.2．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)，則f(x)（

）A．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減C．是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增 D．是奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減【答案】D【分析】根據(jù)奇偶性的定義可判斷出為奇函數(shù)，排除AC；當(dāng)時(shí)，利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可判斷出單調(diào)遞增，排除B；當(dāng)時(shí)，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可判斷出單調(diào)遞減，從而得到結(jié)果.【詳解】由得定義域?yàn)椋P(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，又，為定義域上的奇函數(shù)，可排除AC；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，排除B；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞減，D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷；判斷奇偶性的方法是在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提下，根據(jù)與的關(guān)系得到結(jié)論；判斷單調(diào)性的關(guān)鍵是能夠根據(jù)自變量的范圍化簡函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)“同增異減”性得到結(jié)論.1．（2022·全國·哈師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為__________.【答案】/【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求解，需注意函數(shù)的定義域.【詳解】在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知在（也可）上單調(diào)遞減，故答案為：（也可）2．（2023·安徽黃山·統(tǒng)考三模）“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的（

）A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】結(jié)合對(duì)數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及充分條件、必要條件的定義，即可得答案.【詳解】令，，若在上單調(diào)遞增，因?yàn)槭巧系脑龊瘮?shù)，則需使是上的增函數(shù)且，則且，解得.因?yàn)?，故是的必要不充分條件，故選：C.3．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考二模）（多選）已知函數(shù)，則下列說法中正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B．函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱C．函數(shù)在上是減函數(shù) D．函數(shù)的值域?yàn)椤敬鸢浮緽D【分析】根據(jù)奇偶性的定義判斷AB選項(xiàng)；利用換元法分析函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)單調(diào)性求值域即可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，所以，所以為偶函?shù)，所以A錯(cuò)誤，B正確；令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以為增函數(shù)，又為增函數(shù)，所以為增函數(shù)，又為增函數(shù)，所以在上是增函數(shù).又為上的偶函數(shù)，所以，所以的值域?yàn)?所以C錯(cuò)誤，D正確.故選：BD.4．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）（多選）已知函數(shù)，則（

）A．的定義域是 B．有最大值C．不等式的解集是 D．在上單調(diào)遞增【答案】AB【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，求解函數(shù)定義域，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求解單調(diào)區(qū)間及最值，利用單調(diào)性解函數(shù)不等式?！驹斀狻坑深}意可得，解得，即的定義域是，則A正確；，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，則B正確；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，所以不等式的解集是，則C錯(cuò)誤；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以D錯(cuò)誤．故選：AB.5．（2023·安徽安慶·安慶一中校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)為R上單調(diào)遞減的奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為_____．【答案】1【分析】利用奇函數(shù)的定義求出a，再根據(jù)給定的單調(diào)性確定作答.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為R上的奇函數(shù)，則，，即有恒成立，因此對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，于是，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)與在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是奇函數(shù)在上單調(diào)遞增，即在R上單調(diào)遞增，不符合題意，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在R上單調(diào)遞減，符合題意，所以實(shí)數(shù)a的值為1.故答案為：1考點(diǎn)五、對(duì)數(shù)函數(shù)的值域與最值1．（山東·高考真題）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求得，再由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】，，，∴函數(shù)的值域?yàn)?故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.2．（山西·高考真題）設(shè)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之差為，則a=A． B．2 C．2 D．4【答案】D【詳解】試題分析：設(shè)，函數(shù)為上的增函數(shù)，則在區(qū)間上的最小值為，最大值為，則，即為，解得，故選D．考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的值域與最值.3．（2004·天津·高考真題）若函數(shù)，在區(qū)間上的最大值是最小值的3倍，則等于A． B． C． D．【答案】D【詳解】依據(jù)題設(shè)可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，即，解之得，故應(yīng)選答案D.1．（2023·福建廈門·廈門市湖濱中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的值域?yàn)镽，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【解析】利用函數(shù)的值域是R，通過判別式列出不等式求解即可．【詳解】函數(shù)的值域?yàn)镽，所以對(duì)數(shù)的真數(shù)取遍全體正實(shí)數(shù)，可得△＝（k﹣3）2﹣9≥0，解得k∈（﹣∞，0]∪[6，+∞）．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的值域，恒成立問題的處理方法，考查計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．2．（2022·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得且，則，即可求出的大致范圍，再令的根為、且，，，對(duì)分兩種情況討論，結(jié)合二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；【詳解】解：依題意且，所以，解得或，綜上可得，令的根為、且，，，若，則在定義域上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)不存在最小值，故舍去；若，則在定義域上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在取得最小值，所以；故選：A3．（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)镽B．一定存在最小值C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D．當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)镽【答案】AC【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及特殊值一一判斷.【詳解】對(duì)于A：若，則，則二次函數(shù)的圖象恒在軸的上方，即恒成立，所以的定義域?yàn)镽，故A正確；對(duì)于B：若，則的定義域?yàn)?，值域?yàn)镽，沒有最小值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由于函數(shù)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，將該函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度即可得到函數(shù)的圖象，此時(shí)對(duì)稱軸為直線，故C正確；對(duì)于D：若，則，故的值域不是R，故D錯(cuò)誤.故選：AC考點(diǎn)六、對(duì)數(shù)函數(shù)中奇偶性的應(yīng)用1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）若是奇函數(shù)，則_____，______．【答案】；．【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求出．【詳解】[方法一]：奇函數(shù)定義域的對(duì)稱性若，則的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱若奇函數(shù)的有意義，則且且，函數(shù)為奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，解得，由得，，，故答案為：；．[方法二]：函數(shù)的奇偶性求參函數(shù)為奇函數(shù)[方法三]：因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．由可得，，所以，解得：，即函數(shù)的定義域?yàn)?，再由可得，．即，在定義域內(nèi)滿足，符合題意．故答案為：；．1．（2021·山西臨汾·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，若，則______．【答案】﹣3【分析】利用函數(shù)的對(duì)稱性可求得函數(shù)值．【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，則，則，若，則，故答案為：﹣3．2．（2022·四川瀘州·四川省瀘縣第四中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．3【答案】C【分析】令，則為奇函數(shù)，根據(jù)已知求出，，再由即可求出答案.【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)，則，則有，故，若，則，故選：C.3．（2021·重慶沙坪壩·重慶一中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．是奇函數(shù)B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．若函數(shù)在上的最大值、最小值分別為、，則D．令，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】BCD【分析】利用函數(shù)的奇偶性的定義，可判定A錯(cuò)誤；利用圖像的平移變換，可判定B正確；利用函數(shù)的圖象平移和奇偶性，可得判定C正確；利用函數(shù)的單調(diào)性，可判定D正確.【詳解】由題意函數(shù)，因?yàn)楹愠闪?，即函?shù)的定義域?yàn)?，又因?yàn)?，所以不是奇函?shù)，所以錯(cuò)誤；將的圖象向下平移兩個(gè)單位得到，再向左平移一個(gè)單位得到，此時(shí)，所以圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，所以B正確；將函數(shù)的圖象向左平移一個(gè)單位得，因?yàn)?，即，所以函?shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以若在處取得最大值，則在處取得最小值，則，所以C正確；由，可得，由，設(shè)，，可得，所以為減函數(shù)，可得函數(shù)為減函數(shù)，所以函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，又由為減函數(shù)，所以為減函數(shù)，因?yàn)殛P(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，即，即，解得，所以D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】求解函數(shù)有關(guān)的不等式的方法及策略：1、解函數(shù)不等式的依據(jù)是函數(shù)的單調(diào)性的定義，具體步驟：①將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為的形式；②根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉對(duì)應(yīng)法則“”轉(zhuǎn)化為形如：“”或“”的常規(guī)不等式，從而得解.2、利用函數(shù)的圖象研究不等式，當(dāng)不等式問題不能用代數(shù)法求解但其與函數(shù)有關(guān)時(shí)，常將不等式問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的圖象上、下關(guān)系問題，從而利用數(shù)形結(jié)合求解.考點(diǎn)七、對(duì)數(shù)函數(shù)值的大小比較（構(gòu)造函數(shù)比較大?。?．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）已知，，，則下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可比較、與的大小關(guān)系，由此可得出結(jié)論.【詳解】，即.故選：C.2．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出的范圍即可求解.【詳解】，，，，，，.故選：D.3．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，，．則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性不難對(duì)a,b的大小作出判定，對(duì)于a與c，b與c的大小關(guān)系，將0.01換成x,分別構(gòu)造函數(shù),，利用導(dǎo)數(shù)分析其在0的右側(cè)包括0.01的較小范圍內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合f(0)=0,g(0)=0即可得出a與c，b與c的大小關(guān)系.【詳解】[方法一]：，所以；下面比較與的大小關(guān)系.記，則，，由于所以當(dāng)0<x<2時(shí)，，即，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即；令，則，，由于，在x>0時(shí)，，所以，即函數(shù)在[0，+∞)上單調(diào)遞減，所以，即，即b<c；綜上，，故選：B.[方法二]：令，即函數(shù)在（1，+∞)上單調(diào)遞減令，即函數(shù)在（1，3)上單調(diào)遞增綜上，，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查比較大小問題，難度較大，關(guān)鍵難點(diǎn)是將各個(gè)值中的共同的量用變量替換，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而比較大小，這樣的問題，憑借近似估計(jì)計(jì)算往往是無法解決的.4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定的大小.【詳解】方法一：構(gòu)造法設(shè)，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設(shè)，則,令，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以故選：C.方法二：比較法解：，，，①，令則，故在上單調(diào)遞減，可得，即，所以；②，令則，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以故1．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則三者的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分別求得，，再由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得，即可得到答案.【詳解】由，即又由，可得，因?yàn)椋?，所?故選：C.2．（2023·安徽銅陵·統(tǒng)考三模）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用換底公式得到，再利用基本不等式比較即可；同理得到的大小.【詳解】解：因?yàn)椋忠驗(yàn)?，所以，即；因?yàn)?，又因?yàn)?，所以，即，所以，故選：A3．（2023·湖南益陽·安化縣第二中學(xué)校考三模）已知，，，則，，的大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先可得，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到，即可判斷.【詳解】因?yàn)椋?，又，，因?yàn)?，，，所以，則，即，所以.故選：B4．（2022·廣東茂名·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則a，b，c的大小關(guān)系是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】判斷sin2和的大小，比較a與、b與、c與的大小可判斷a與b大小關(guān)系及b與c大小關(guān)系，判斷a與、c與的大小可判斷a與c大小關(guān)系，從而可判斷a、b、c大小關(guān)系．【詳解】，，即b，∴a>b；∵，，∴，；∵，，，；．故選：D．【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵是利用正弦函數(shù)的值域求出sin2的范圍，以和兩個(gè)值作為中間值，比較a、b、c與中間值的大小即可判斷a、b、c的大小．5．（2023·海南·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由正弦函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)易得，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，再判斷大小關(guān)系即可.【詳解】因?yàn)?，所以，顯然.令，則，，若，且，則，所以在上遞減，則，即，綜上，.故選：D.6．（2023·山東濱州·鄒平市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)，，，則下列關(guān)系正確的是（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可比較，再構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，即可比較，從而可得出答案.【詳解】令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，即，所以，令，則，令，則，所以在上遞減，所以，所以，所以在上遞減，所以，即當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以．故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)和，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，.【基礎(chǔ)過關(guān)】一、單選題1．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考三模）設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)不等式的解法和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得和，集合基本的交集與補(bǔ)集的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，集合，，可得，所以.故選：C．2．（2023·江蘇無錫·輔仁高中校考模擬預(yù)測(cè)）若集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出集合，再由交集和補(bǔ)集的運(yùn)算求解即可.【詳解】由可得：，解得：，由可得：，解得：或，所以，，所以故選：D.3．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則（

）A． B．1 C．-1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式求函數(shù)值即可.【詳解】由條件可得，則.故選：C.4．（2023·山東濟(jì)寧·嘉祥縣第一中學(xué)統(tǒng)考三模）若且，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化可得出、的表達(dá)式，結(jié)合換底公式可求得的值.【詳解】因?yàn)榍?，所以，且，所以，且，且有，，所以，，，所以，，則，又因?yàn)榍?，解?故選：B.5．（2023·寧夏銀川·銀川一中校考三模）設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算可知，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，且，所?故選：C6．（2023·北京通州·統(tǒng)考三模）設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性估算的范圍，即可比較大小.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以，化簡得；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，所以，化簡得；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以，化簡得；綜上，可知.故選：A7．（2023·北京海淀·?？既＃┫铝泻瘮?shù)中，在區(qū)間上是減函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性及對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.【詳解】對(duì)于A：在定義域上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：在定義域上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：定義域?yàn)?，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減且值域?yàn)?，又在定義域上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故D正確；故選：D8．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)為奇函數(shù)，則（

）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】利用即可求出，即可求解【詳解】，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，所以，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意,所以，所以.故選：B.9．（2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）設(shè)，，則（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指對(duì)冪函數(shù)的單調(diào)性以及中間值進(jìn)行比較即可.【詳解】由單調(diào)遞減可知：.由單調(diào)遞增可知：，所以，即，且.由單調(diào)遞減可知：，所以.故選：D二、填空題10．（2023·江蘇無錫·校聯(lián)考三模）已知函數(shù)滿足：①為偶函數(shù)；②的圖象過點(diǎn)；③對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)，，.請(qǐng)寫出一個(gè)滿足上述條件的函數(shù)______.【答案】（答案不唯一）【分析】由函數(shù)的奇偶性、對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)即可得答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿足：①為偶函數(shù)；②的圖象過點(diǎn)；③對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)，，所以滿足三個(gè)條件.故答案為：（答案不唯一）.【能力提升】一、單選題1．（2023·廣東東莞·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合放縮法可解.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，所以，因?yàn)?，所?故選：B2．（2023·河北衡水·衡水市第二中學(xué)?？既＃┤簦?，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造，對(duì)求導(dǎo)，得出的單調(diào)性、最值，可得，可判斷；將不等式中的換為，可得，可知，通過對(duì)數(shù)運(yùn)算可得，即可得出答案.【詳解】．令，則．所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．所以．將不等式中的換為，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以；又，所以．故．故選：B.3．（2023·山東濰坊·三模）已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)得出單調(diào)性，從而可得，即，得出大小，同理可得大小，得出答案.【詳解】∵，構(gòu)造函數(shù)，，令，則，∴在上單減，∴，故，所以在上單減，∴，∵，構(gòu)造函數(shù)，，令，則，∴在上單減，∴，故，所以在上單減，∴，故.故選：D.4．（2023·安徽·校聯(lián)考二模）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用函數(shù)單調(diào)性比較數(shù)的大小.【詳解】設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，取得最小值，即有，．令，則，令，易得在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增，，即，，.故選：B．5．（2023·湖南長沙·長沙市明德中學(xué)?？既＃┮阎獙?shí)數(shù)滿足：，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先可得，再設(shè)，即可得到，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到，同理得到、，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到，即可判斷.【詳解】因?yàn)椋?，所以，設(shè)，，設(shè)是單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以，即，又是單調(diào)遞減函數(shù)，且，所以，設(shè)設(shè)是單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以，即又是單調(diào)遞減函數(shù)，且，，所以，同理，由得，又是單調(diào)遞減函數(shù)，且，，所以，由，所以且是單調(diào)遞減函數(shù)，所以.綜上可得故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是合理的構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷.6．（2023·山西運(yùn)城·統(tǒng)考二模）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算，計(jì)算可得，則.構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，即可得出，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出；先證明當(dāng)時(shí)，.然后根據(jù)二倍角公式以及不等式的性質(zhì)，推得.【詳解】因?yàn)椋裕?令，，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以；令，則恒成立，所以，在R上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，有，即，所以.因?yàn)?，所以，所?所以.故選：B．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)變形后，作差構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，即可得出值的大小關(guān)系.7．（2023·海南海口·?？寄M預(yù)測(cè)）已知定義在R上的函數(shù)滿足：為奇函數(shù)，，且對(duì)任意，都有，則（

）A． B． C． D．1【答案】D【分析】由題設(shè)可得、，根據(jù)有，結(jié)合、即可求解.【詳解】由題設(shè)，則，所以，即關(guān)于對(duì)稱，又，則，由于，又任意都有，所以，由，故，而，故，故.綜上，.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)已知條件得到，結(jié)合對(duì)稱性和遞推關(guān)系求得.二、多選題8．（2023·廣東東莞·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】利用指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的運(yùn)算規(guī)則，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和基本不等式求最值，驗(yàn)證各選項(xiàng)是否正確.【詳解】對(duì)于A，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，A正確；對(duì)于B，由，得且，令，則，解得，解得，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，滿足，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D正確.故選：ABD.9．（2023·吉林長春·長春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）若正實(shí)數(shù)滿足，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】因?yàn)椋瑸閱握{(diào)遞增函數(shù)，故，由于，故，或.對(duì)于ABC，分、，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及作差比較法即可判斷；對(duì)于D，由兩邊取自然對(duì)數(shù)得到，即，構(gòu)造函數(shù)（且），通過導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性即可判斷.【詳解】因?yàn)?，為單調(diào)遞增函數(shù)，故，由于，故，或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；，故；，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，故；，；對(duì)于ABC，A正確，BC均錯(cuò)誤；對(duì)于D，，兩邊取自然對(duì)數(shù)，，因?yàn)椴还?，還是，均有，所以，故只需證即可，設(shè)（且），則，令（且），則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以在且上恒成立，故（且）單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，結(jié)論得證，D正確．故選：AD．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)是基本的解題思路，因此觀察題目所給的數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，以及數(shù)與數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，合理構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.三、填空題10．（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學(xué)校考三模）已知函數(shù)且過定點(diǎn)，且定點(diǎn)在直線上，則的最小值為________．【答案】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得，代入直線方程得，再根據(jù)基本不等式可求出結(jié)果.【詳解】令，即，得，故，由在直線上，得，即，因?yàn)榍遥?，所以且，，所?當(dāng)且僅當(dāng)，即，即，時(shí)，等號(hào)成立.故的最小值為.故答案為：【真題感知】一、單選題1．（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意得到，再解不等式組即可.【詳解】由題知：，解得且.所以函數(shù)定義域?yàn)?故選：B2．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知等式，利用指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可得解【詳解】由可得，所以，所以有，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查的是有關(guān)指對(duì)式的運(yùn)算的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，指數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題目.3．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）若，則（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】由已知表示出，再由換底公式可求.【詳解】，，.故選：C.4．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)椋?故答案為：C.5．（2020·海南·高考真題）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出的定義域，然后求出的單調(diào)遞增區(qū)間即可.【詳解】由得或所以的定義域?yàn)橐驗(yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增所以在上單調(diào)遞增所以故選：D【點(diǎn)睛】在求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)一定要先求函數(shù)的定義域.6．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別將,改寫為，，再利用單調(diào)性比較即可.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：A.【點(diǎn)晴】本題考查對(duì)數(shù)式大小的比較，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想，是一道中檔題.7．（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）已知55<84，134<85．設(shè)a=log53，b=log85，c=log138，則（

）A．a(chǎn)<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b【答案】A【分析】由題意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小關(guān)系，由，得，結(jié)合可得出，由，得，結(jié)合，可得出，綜合可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】由題意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；由，得，由，得，，可得.綜上所述，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)式的大小比較，涉及基本不等式、對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化以及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查推理能力，屬于中等題.8．（2021·全國·高考真題）青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測(cè)量．通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V的滿足．已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9，則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（

）（）A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6【答案】C【分析】根據(jù)關(guān)系，當(dāng)時(shí)，求出，再用指數(shù)表示，即可求解.【詳解】