2025年滬科版高一數學下冊月考試卷含答案

…………○…………內…………○…………裝…………○…………內…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年滬科版高一數學下冊月考試卷含答案考試試卷考試范圍：全部知識點；考試時間：120分鐘學校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五六總分得分評卷人得分一、選擇題(共7題，共14分)1、已知函數f(x)滿足f(x)＝f(π－x)，且當時，f(x)＝x＋sinx，則()A.f(1)B.f(2)C.f(3)D.f(3)2、【題文】如圖，正四棱錐的所有棱長相等，E為PC的中點，則異面直線BE與PA所成角的余弦值是（）

A.B.C.D.3、【題文】過點(2,-1)作圓的切線，其方程是（）A.x-2y-4=0B.2x-y-5=0C.2x+y-3=0D.2x-y-5=0或x-2y+4=04、【題文】已知兩直線和若且在軸上的截距為–1，則的值分別為（）A.2，7B.0，8C.-1，2D.0，-85、2014年11月11日的“雙十一”又掀購物狂潮，淘寶網站對購物情況做了一項調查，收回的有效問卷共500000份，其中購買下列四種商品的人數統計如下：服飾鞋帽198000人；家居用品94000人；化妝品116000人；家用電器92000人．為了解消費者對商品的滿意度，淘寶網站用分層抽樣的方法從中選出部分問卷進行調查，已知在購買“化妝品”這一類中抽取了116人，則在購買“家居用品”這一類中應抽取的問卷份數為（）A.92B.94C.116D.1186、已知平面向量=（1，2），=（1，-1），則向量-=（）A.（-2，-1）B.（-2，1）C.（-1，0）D.（-1，2）7、如圖是某幾何體的三視圖；則該幾何體的體積為（）

A.24B.36C.72D.144評卷人得分二、填空題(共9題，共18分)8、已知f（x）在R上是奇函數，且當x≥0時，f（x）=x2-ln（1+x）；則當x＜0時，f（x）的解析式為f（x）=____．9、在△ABC中，設==點D在線段BC上，且=3則用表示為____．10、已知=（2，1）與=（1，2），要使|+t|最小，則實數t的值為____11、.定義在實數集R上的函數如果存在函數（A、B為常數），使得對一切實數都成立，那么稱為函數的一個承托函數。給出如下四個結論：①對于給定的函數其承托函數可能不存在，也可能有無數個；②定義域和值域都是R的函數不存在承托函數；③為函數的一個承托函數；④為函數的一個承托函數。其中所有正確結論的序號是__________________.12、【題文】設指數函數是上的減函數，則的取值范圍是____13、直線ax+2y+1=0與直線x+y+4=0平行的充要條件是____14、若函數f（x）滿足f（x+3）=2x-1，則函數f（x）的解析式：f（x）=______．15、冪函數f（x）的圖象經過點則函數f（x）的解析式為______．16、已知向量=(1，2)，=(x，4)，且⊥則x=____________．評卷人得分三、解答題(共6題，共12分)17、計算的值．

18、已知．（1）求的值；（2）求的值．19、【題文】(本小題滿分12分)

如圖，四棱錐中，為矩形，平面平面

求證：

若問為何值時，四棱錐的體積最大？并求此時平面與平面夾角的余弦值.20、在四棱錐P鈭?ABCD

中；底面ABCD

為菱形，隆脧PAD=隆脧PABAC

交BD

于O

(I)

求證：平面PAC隆脥

平面PBD

(II)

延長BC

至G

使BC=CG

連結PGDG.

試在棱PA

上確定一點E

使PG//

平面BDE

并求此時AEEP

的值．21、已知{an}

是遞增的等差數列；它的前三項的和為鈭?3

前三項的積為8

．

(1)

求數列{an}

的通項公式；

(2)

求數列{|an|}

的前n

項和Sn

．22、已知以點C

為圓心的圓經過點A(鈭?1,2)

和點B(3,4)

且圓心在直線x+3y鈭?15=0

上．

(1)

求圓C

的方程；

(2)

設點P

在圓C

上，求鈻?PAB

的面積的最大值．評卷人得分四、證明題(共2題，共10分)23、已知G是△ABC的重心，過A、G的圓與BG切于G，CG的延長線交圓于D，求證：AG2=GC?GD．24、已知ABCD四點共圓，AB與DC相交于點E，AD與BC交于F，∠E的平分線EX與∠F的平分線FX交于X，M、N分別是AC與BD的中點，求證：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分別平分∠MFN與∠MEN．評卷人得分五、作圖題(共1題，共10分)25、繪制以下算法對應的程序框圖：

第一步；輸入變量x；

第二步，根據函數f（x）=

對變量y賦值；使y=f（x）；

第三步，輸出變量y的值．評卷人得分六、綜合題(共2題，共16分)26、如圖；在平面直角坐標系中，OB⊥OA，且OB=2OA，點A的坐標是（-1，2）．

（1）求點B的坐標；

（2）求過點A、O、B的拋物線的表達式．27、已知拋物線Y=x2-（m2+4）x-2m2-12

（1）證明：不論m取什么實數；拋物線必與x有兩個交點。

（2）m為何值時；x軸截拋物線的弦長L為12？

（3）m取什么實數，弦長最小，最小值是多少？參考答案一、選擇題(共7題，共14分)1、D【分析】試題分析：由已知得函數關于對稱，當時，是單調遞增函數，當時函數是單調遞減函數，比較1,2,3距離對稱軸的遠近得出故選D.考點：1.函數的對稱性；2.函數的單調性.【解析】【答案】D2、D【分析】【解析】

試題分析：由于正四棱錐的所有棱長相等，設為2，BE=EO=1，OB=E為PC的中點，那么可知連接AC,BD的交點O，則將BE平移到PA,則在三角形EOB中，利用三邊長度可知異面直線BE與PA所成角的余弦值是故選D.

考點：異面直線所成的角的求解。

點評：求解異面直線的所成的角，一般采用平移法，放在一個三角形中來求解運算，屬于基礎題。【解析】【答案】D3、B【分析】【解析】若切線斜率不存在，此時直線方程為到圓心即原點的距離為2，不符合，所以切線斜率存在，設過點切線方程為則有解得所以切線方程為即故選B【解析】【答案】B4、B【分析】【解析】略【解析】【答案】B5、B【分析】【解答】解：在購買“化妝品”這一類中抽取了116人；則在購買“家居用品”這一類中應抽取的問卷份數為x；

則

解得x=94；

故選：B

【分析】根據分層抽樣的定義建立比例關系即可得到結論．6、D【分析】解：平面向量=（1，2），=（1，-1），則向量-=（1，2）（1；-1）=（-1，2）．

故選：D．

直接利用向量的坐標運算求解即可．

本題考查平面向量的坐標運算．考查計算能力．【解析】【答案】D7、C【分析】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的四棱柱；

其底面面積S=×（2+4）×3=9；

高h=8；

故體積V=Sh=72；

故選：C

由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的四棱柱；代入柱體體積公式，可得答案．

本題考查的知識點是由三視圖，求體積和表面積，根據已知的三視圖，判斷幾何體的形狀是解答的關鍵．【解析】【答案】C二、填空題(共9題，共18分)8、略

【分析】

設x＜0；則-x＞0；

所以f（-x）=（-x）2-ln（1-x）=x2-ln（1-x）

又f（x）是奇函數；所以f（-x）=-f（x）；

于是f（x）=-f（-x）=-x2+ln（1-x）．

故答案為：-x2+ln（1-x）．

【解析】【答案】求函數f（x）的解析式；先設x＜0，則-x＞0，解出f（-x），再由奇函數的定義得到f（-x）=-f（x），兩者聯立解出x＜0的解析式。

9、略

【分析】

=

=

=

=

故答案為：．

【解析】【答案】表示要表示從A點開始沿著三角形的邊轉到D，則把要求的向量表示成兩個向量的和，把寫成的實數倍，再把寫成用表示的形式．

10、略

【分析】

=5t2+8t+5

當時最小。

故答案為

【解析】【答案】利用向量模的性質模的平方等于向量的平方；求出向量模的平方為二次函數，在對稱軸處函數值最小．

11、略

【分析】【解析】試題分析：由題意可知，如果存在函數（A、B為常數），使得對一切實數都成立，那么稱為函數的一個承托函數，那么對于f(x)=B來說，不存在承托函數，當f(x)=g(x)=x,則此時有無數個承托函數。②定義域和值域都是R的函數不存在承托函數，因為一個函數本身就是自己的承托函數。故錯誤。對于③因為恒成立，則可知為函數的一個承托函數；成立。對于④如果為函數的一個承托函數。則必然有并非對任意實數都成立。，只有當時成立，因此錯誤。故正確的序號為①③.考點：本試題是一個創(chuàng)新試題，新定義題型。【解析】【答案】①③.12、略

【分析】【解析】

試題分析：根據指數函數的定義知，指數函數在時為減函數，在時為增函數，故本題中

考點：指數函數的性質.【解析】【答案】13、a=2【分析】【解答】解：直線ax+2y+1=0與直線x+y+4=0平行的充要條件是a﹣2=0；

解得a=2；

故答案為：a=2．

【分析】根據一般方程，兩直線平行的充要條件是A1B2﹣A2B1=0，即可求得結論．14、略

【分析】解：設x+3=t；則x=t-3；

所以f（t）=2（t-3）-1=2t-7；

以f（x）=2x-7；

故答案為：2x-7．

設x+3=t；則x=t-3，得到關于t的解析式，即得到f（x）的解析式．

本題考查了利用換元法求函數的解析式；屬于基礎題．【解析】2x-715、略

【分析】解：設冪函數f（x）=xα；

其圖象過點

則2α=

解得α=-3；

所以函數f（x）=x-3（x≠0）．

故答案為：f（x）=x-3（x≠0）．

設出冪函數f（x）=xα，根據圖象過點求出α的值即可．

本題考查了冪函數的定義與應用問題，是基礎題目．【解析】f（x）=x-3（x≠0）16、略

【分析】解：由向量=(1，2)，=(x，4)，且⊥

則1×x+2×4=0；所以x=-8．

故答案為-8．【解析】-8三、解答題(共6題，共12分)17、略

【分析】

由換底公式得；

原式=?=1．

【解析】【答案】由換底公式即可求得．

18、略

【分析】試題分析：先用誘導公式求得的值，根據及角的范圍求得的值。（1）先求將按兩角差的正切公式展開即可求得其值。（2）由及二倍角公式分別求出再將按兩角差的余弦公式展開即可求其值。（1）∴∴3分∴．6分（2）9分∴．12分考點：1同角三角函數關系式；2二倍角公式；3兩角和差公式?！窘馕觥俊敬鸢浮浚?）7；（2）19、略

【分析】【解析】

試題分析：（1）先將面面垂直轉化為線面垂直：ABCD為矩形，故ABAD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以AB平面PAD，再根據線面垂直證線線垂直：因為PD平面PAD，所以ABPD

（2）求四棱錐體積，關鍵要作出高.這可利用面面垂直性質定理：過P作AD的垂線，垂足為O，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以PO平面ABCD，下面用表示高及底面積：設則故四棱錐P-ABCD的體積為。

故當時，即時；四棱錐的體積P-ABCD最大.

求二面角的余弦值；可利用空間向量求解，根據題意可建立空間坐標系，分別求出平面BPC的法向量及。

平面DPC的法向量；再利用向量數量積求夾角余弦值即可.

試題解析：（1）證明：ABCD為矩形，故ABAD；

又平面PAD平面ABCD

平面PAD平面ABCD=AD

所以AB平面PAD，因為PD平面PAD，故ABPD

（2）解：過P作AD的垂線；垂足為O，過O作BC的垂線，垂足為G，連接PG.

故PO平面ABCD，BC平面POG,BCPG

在直角三角形BPC中，

設則故四棱錐P-ABCD的體積為。

因為

故當時，即時；四棱錐的體積P-ABCD最大.

建立如圖所示的空間直角坐標系，

故

設平面BPC的法向量則由得

解得

同理可求出平面DPC的法向量從而平面BPC與平面DPC夾角的余弦值為。

考點：面面垂直性質定理，四棱錐體積，利用空間向量求二面角【解析】【答案】（1）詳見解析，（2）時，四棱錐的體積P-ABCD最大.平面BPC與平面DPC夾角的余弦值為20、略

【分析】

(I)

只需證明PO隆脥BDAC隆脥BD

可得BD隆脥

平面PAC

即可證平面PAC隆脥

平面PBD

．

(II)

連接AG

交BD

于M

在鈻?PAG

中，過M

作ME//PG

交PA

于E

連接ED

和EB

可得ADM

∽鈻?BGMAMGM=ADBG=12PG//ME

得EAEP=MAMG=12

即AEEP=12

．

本題考查了空間線面、面面位置關系，考查學生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力.

屬于中檔題．【解析】解：(I)隆脽隆脧PAD=隆脧PABAD=AB隆脿鈻?PAD

≌鈻?PAB

得PB=PD

隆脽O

為BD

中點；隆脿PO隆脥BD(2

分)

隆脽

底面ABCD

為菱形；隆脿AC隆脥BD

隆脽AC隆脡PO=O隆脿BD隆脥

平面PAC(4

分)

隆脽BD?

平面PBD隆脿

平面PAC隆脥

平面PBD(6

分)

(II)

連接AG

交BD

于M

在鈻?PAG

中；過M

作ME//PG

交PA

于E

連接ED

和EB

隆脽PG?

平面BDEME?

平面BDE隆脿PG//

平面BDE(8

分)

隆脽AD//BGBG=2AD鈻?ADM

∽鈻?BGM隆脿AMGM=ADBG=12(10

分)

隆脽PG//ME隆脿EAEP=MAMG=12

即AEEP=12(12

分)

21、略

【分析】

(1)

依題意，解方程組{a1鈰?(a1+d)鈰?(a1+2d)=8a1+(a1+d)+(a1+2d)=鈭?3

即可求得數列{an}

的首項與公差；再利用{an}

是遞增的等差數列進行取舍，即可求得答案；

(2)

由(1)

得當n鈮?3

時，an>0|an|=an

通過對n=1

與n=2

及n鈮?3

的情況的討論即可求得Sn

．

本題考查含有絕對值的數列的求和，通過對n

的取值情況的分類討論，去掉數列{|an|}

的前n

項和式Sn

中的絕對值符號是關鍵，也是難點，屬于中檔題．【解析】解：(1)

設{an}

的公差為d(d>0)

依題意，{a1鈰?(a1+d)鈰?(a1+2d)=8a1+(a1+d)+(a1+2d)=鈭?3(2

分)

即{a1鈰?(a1+2d)=鈭?8a1+d=鈭?1

解得{d=3a1=鈭?4

或{d=鈭?3a1=2(4

分)

因為d>0

所以{d=3a1=鈭?4{an}

的通項an=鈭?7+3n(5

分)

(2)

由(1)

得a1=鈭?4|a1|=4a2=鈭?1|a2|=1(6

分)

當n鈮?3

時，an>0|an|=an(7

分)

所以S1=4S2=5(8

分)

當n鈮?3

時；Sn=S2+(a3+an)=5+[2++(鈭?7+3n)](9

分)

=5+2+(鈭?7+3n)2隆脕(n鈭?2)

=32n2鈭?112n+10(11

分)

綜上所述，Sn={4,n=15,n=232n2鈭?112n+10,n鈮?3(12

分)

．22、略

【分析】

(1)

求出圓心與半徑；即可求圓C

的方程；

(2)

設點P

在圓C

上，求出高的最大值，弦AB

的長，即可求鈻?PAB

的面積的最大值．

本題考查圓的方程，考查三角形面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．【解析】解：(1)

取弦AB

的中點M

則M

的坐標為(1,3)

隆脽A(鈭?1,2)B(2,4)隆脿kAB=4鈭?23鈭?(鈭?1)=12隆脿kCM=鈭?2

隆脿

直線CM

的方程為：y鈭?3=鈭?2(x鈭?1)

即2x+y鈭?5=0(2

分)

隆脽

圓心在直線x+3y鈭?15=0

上，隆脿{x+3y鈭?15=02x+y鈭?5=0隆脿{y=5x=0

即C(0,5)(4

分)

隆脿

半徑r=(0+1)2+(5鈭?2)2=10隆脿

圓C

的方程為：x2+(y鈭?5)2=10(6

分)

(2)

設鈻?PAB

的高為h

由(1)

可知kAB=12隆脿

直線AB

的方程為：y鈭?4=12(x鈭?3)

即x鈭?2y+5=0(7

分)隆脽|CM|=|鈭?2隆脕5+5|12+22=5(9

分)

隆脿hmax=|CM|+r=5+10(10

分)

又|AB|=(3+1)2+(4鈭?2)2=25(12

分)

隆脿Smax=12隆脕25隆脕(5+10)=5+52(13

分)

四、證明題(共2題，共10分)23、略

【分析】【分析】構造以重心G為頂點的平行四邊形GBFC，并巧用A、D、F、C四點共圓巧證乘積．延長GP至F，使PF=PG，連接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四邊形，故GF=2GP．從而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四點共圓，從而GA、GF=GC?GD．于是GA2=GC?GD．【解析】【解答】證明：延長GP至F；使PF=PG，連接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四邊形GBFC是平行四邊形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵過A；G的圓與BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四點共圓；

∴GA；GF=GC?GD；

即GA2=GC?GD．24、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性質知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四邊形ABCD內接于圓，則∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，聯立①②，即可證得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分別是∠AFB和∠AED的角平分線，等量代換后可證得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可連接AX，此時發(fā)現∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可證得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲證∠MFX=∠NFX，必須先證得∠AFM=∠BFN，可通過相似三角形來實現；首先連接FM、FN，易證得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通過等量代換，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圓周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可證得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，進一步可證得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可證得EX是∠MEN的角平分線．【解析】【解答】證明：（1）連接AX；

由圖知：∠FDC是△ACD的一個外角；

則有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四邊形ABCD是圓的內接四邊形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分別是∠AFB、∠AED的角平分線；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性質知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）連接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可證得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分別平分∠MFN與∠MEN．五、作圖題(共1題，共10分)25、解：程序框圖如下：

【分析】【分析】該函數是分段函數，當x取不同范圍內的值時，函數解析式不同，因此當給出一個自變量x的值時，必須先判斷x的范圍