2024-2025學年新教材高中數(shù)學課時素養(yǎng)評價五十事件的獨立性含解析北師大版必修1

PAGE10-課時素養(yǎng)評價五十事務(wù)的獨立性(15分鐘35分)1.打靶時,甲每打10次可中靶8次,乙每打10次可中靶7次,若兩人同時射擊,則他們同時中靶的概率是 ()A.1425 B.1225 C.34【解析】選A.由題意可知甲乙同時中靶的概率為810×710=【補償訓練】從應(yīng)屆中學生中選拔飛行員,已知這批學生體型合格的概率為13,視力合格的概率為16,其他幾項標準合格的概率為15,從中任選一名學生,則該生各項均合格的概率為A.49 B.190 C.45【解析】選B.由獨立事務(wù)概率公式計算可得:該生各項均合格的概率為13×16×152.如圖所示,A,B,C表示3個開關(guān),若在某段時間內(nèi),它們正常工作的概率分別為0.9,0.8,0.7,則該系統(tǒng)的牢靠性(3個開關(guān)只要一個開關(guān)正常工作即牢靠)為()A.0.504 B.0.994C.0.496 D.0.064【解析】選B.1-(1-0.9)(1-0.8)(1-0.7)=1-0.006=0.994.3.中國古代的“禮”“樂”“射”“御”“書”“數(shù)”合稱“六藝”.某校國學社團打算于周六上午9點分別在6個教室開展這六門課程講座,每位同學只能選擇一門課程,則甲乙兩人至少有1人選擇“禮”的概率是 ()A.56 B.2536 C.13【解析】選D.由題意,甲和乙不選擇“禮”的概率均是56,且相互獨立,所以甲乙兩人都不選擇“禮”的概率是56×56=2536,所以甲乙兩人至少有1人選擇“禮”的概率是1-4.某校組織《最強大腦》PK賽,最終A,B兩隊進入決賽,兩隊各由3名選手組成,每局兩隊各派一名選手PK,除第三局勝者得2格外,其余各局勝者均得1分,每局的負者得0分.假設(shè)每局競賽A隊選手獲勝的概率均為23,且各局競賽結(jié)果相互獨立,競賽結(jié)束時A隊的得分高于B隊的得分的概率為A.827 B.49 C.1627【解析】選C.競賽結(jié)束時A隊的得分高于B隊的得分可分為以下3種狀況:第一局:A隊贏,其次局:A隊贏,第三局:A隊贏;第一局:A隊贏,其次局:B隊贏,第三局:A隊贏;第一局:B隊贏,其次局:A隊贏,第三局:A隊贏,則對應(yīng)概率為233+232·15.加工某一零件需經(jīng)過三道工序,設(shè)第一、二、三道工序的次品率分別為170,169,168,且各道工序互不影響,【解析】依題意得,加工出來的零件的正品率是1-170×1-169×1-168答案:36.在同一時間內(nèi),甲、乙兩個氣象臺獨立預(yù)報天氣精確的概率分別為45和34.在同一時間內(nèi),(1)甲、乙兩個氣象臺同時預(yù)報天氣精確的概率;(2)至少有一個氣象臺預(yù)報精確的概率.【解析】記“甲氣象臺預(yù)報天氣精確”為事務(wù)A,“乙氣象臺預(yù)報天氣精確”為事務(wù)B.(1)P(AB)=P(A)P(B)=45×34=(2)至少有一個氣象臺預(yù)報精確的概率P=1-P(AB)=1-P(A)P(B)=1-15×14(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.在某道路的A,B,C三處設(shè)有交通燈,這三盞燈在1分鐘內(nèi)開放綠燈的時間分別為25秒,35秒,45秒,某輛車在這段道路上勻速行駛,則在這三處都不停車的概率為 ()A.764 B.25192 C.35192【解析】選C.由題意可知汽車在這三處都不停車的概率為2560×3560×45602.如圖,元件Ai(i=1,2,3,4)通過電流的概率均為0.9,且各元件是否通過電流相互獨立,則電流能在M,N之間通過的概率是 ()A.0.729 B.0.8829 C.0.864 D.0.9891【解析】選B.電流能通過A1,A2的概率為0.9×0.9=0.81,電流能通過A3的概率為0.9,故電流不能通過A1,A2也不能通過A3的概率為1-0.811-0.9=0.019,所以電流能通過系統(tǒng)A1,A2,或A3的概率為1-0.019=0.981,而電流能通過A【補償訓練】電路從A到B共連接著6個燈泡(如圖),每個燈泡斷路的概率是13,整個電路的連通與否取決于燈泡是否斷路,則從A到B連通的概率是A.1027 B.448729 C.100243【解析】選B.可知A,C之間未連通的概率是132=19,連通的概率是1-19=89.E,F之間連通的概率是232=49,未連通的概率是1-49=59,故C,B之間未連通的概率是592=2581,故C,B之間連通的概率是1-3.國際羽毛球競賽規(guī)則從2006年5月起先,正式確定實行21分的競賽規(guī)則和每球得分制,并且每次得分者發(fā)球,全部單項的每局獲勝分至少是21分,最高不超過30分,即先到21分的獲勝一方贏得該局競賽,假如雙方比分為20∶20時,獲勝的一方需超過對方2分才算取勝,直至雙方比分打成29∶29時,那么先到第30分的一方獲勝.在一局競賽中,甲發(fā)球贏球的概率為12,甲接球贏球的概率為35,則在比分為20∶20,且甲發(fā)球的狀況下,甲以23∶21A.18 B.320 C.950【解析】選B.設(shè)雙方20∶20平后的第k個球甲獲勝為事務(wù)Ak(k=1,2,3,…),則P(甲以23∶21贏)=P(A1A2A3A4=P(A1)P(A2)P(A3)P(A4+P(A1)P(A2)P(A3)P(A4=12×35×4.設(shè)兩個獨立事務(wù)A和B都不發(fā)生的概率為19,A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相同,則事務(wù)A發(fā)生的概率P(A)等于A.29 B.118 C.13【解析】選D.由題意,P(A)·P(B)=19,P(A)·P(B)=P(A)·P(B設(shè)P(A)=x,P(B)=y,則(即1所以x2-2x+1=19所以x-1=-13,或x-1=13(所以x=23二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對的得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.甲罐中有3個紅球、2個白球,乙罐中有4個紅球、1個白球,先從甲罐中隨機取出1個球放入乙罐,分別以A1,A2表示由甲罐中取出的球是紅球、白球的事務(wù),再從乙罐中隨機取出1個球,以B表示從乙罐中取出的球是紅球的事務(wù),下列結(jié)論正確的是 ()A.P(B)=23B.事務(wù)B與事務(wù)A1相互獨立C.事務(wù)B與事務(wù)A2相互獨立D.A1,A2互斥【解析】選AD.依據(jù)題意畫出樹狀圖,得到有關(guān)事務(wù)的樣本點數(shù):因此P(A1)=1830=35,P(A2)=1230=25,P(B)=15+830又P(A1B)=1530,因此P(A1B)≠P(A1)P(B),B錯誤;同理,C錯誤A1,A2不行能同時發(fā)生,故彼此互斥,故D正確.6.從甲袋中摸出一個紅球的概率是13,從乙袋中摸出一個紅球的概率是12,從兩袋各摸出一個球,A.2個球都是紅球的概率為1B.2個球不都是紅球的概率為1C.至少有1個紅球的概率為2D.2個球中恰有1個紅球的概率為1【解析】選ACD.設(shè)“從甲袋中摸出一個紅球”為事務(wù)A1,“從乙袋中摸出一個紅球”為事務(wù)A2,則PA1=13,PA2=12,且A1在A中,2個球都是紅球為A1A2,其概率為13×12=16,A正確;在B中,“2個球不都是紅球”是“2個球都是紅球”的對立事務(wù),其概率為56,B錯誤;在C中,2個球中至少有1個紅球的概率為1-P(A)P(B)=1-23×12=23,C正確;2個球中恰有1個紅球的概率為13×1三、填空題(每小題5分,共10分)7.國產(chǎn)殺毒軟件進行競賽,每個軟件進行四輪考核,每輪考核中能夠精確對病毒進行查殺的進入下一輪考核,否則被淘汰.已知某個軟件在四輪考核中能夠精確殺毒的概率依次是56,35,34,13,且各輪考核能否通過互不影響【解析】設(shè)事務(wù)Ai(i=1,2,3,4)表示“該軟件能通過第i輪考核”,由已知得P(A1)=56,P(A2)=35,P(A3)=34,P(A4)=13,設(shè)事務(wù)C表示“該軟件至多進入第三輪”,則P(C)=P(A1+A1A2+A1A2A3)=P(A1)+P(A1A2)+P(A1A2A3)=16答案:58.同學甲參與某科普學問競賽,需回答三個問題,競賽規(guī)則規(guī)定:答對第一、二、三個問題分別得100分、100分、200分,答錯或不答均得零分.假設(shè)同學甲答對第一、二、三個問題的概率分別為0.8,0.6,0.5,且各題答對與否相互之間沒有影響,則同學甲得分不低于300分的概率是.

【解析】設(shè)“同學甲答對第i個問題”為事務(wù)Ai(i=1,2,3),則P(A1)=0.8,P(A2)=0.6,P(A3)=0.5,且A1,A2,A3相互獨立,同學甲得分不低于300分對應(yīng)于事務(wù)A1A2A3∪A1A2A3∪故所求概率P=P(A1A2A3∪A1A2A3∪A1A2A3)=P(A1A2A3)+P(A1A2P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A2)P(A0.8×0.6×0.5+0.8×0.4×0.5+0.2×0.6×0.5=0.46.答案:0.46四、解答題(每小題10分,共20分)9.小王某天乘火車從重慶到上海去辦事,若當天從重慶到上海的三列火車正點到達的概率分別為0.8,0.7,0.9,假設(shè)這三列火車之間是否正點到達互不影響.求:(1)這三列火車恰好有兩列正點到達的概率;(2)這三列火車至少有一列正點到達的概率.【解析】用A,B,C分別表示這三列火車正點到達的事務(wù),則P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,所以P(A)=0.2,P(B)=0.3,P(C)=0.1.(1)由題意得A,B,C之間相互獨立,所以恰好有兩列火車正點到達的概率P1=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=0.2×0.7×0.9+0.8×0.3×0.9+0.8×0.7×0.1=0.398.(2)三列火車至少有一列正點到達的概率P2=1-P(ABC)=1-P(A)P(B)P(10.甲、乙兩射擊運動員分別對一目標射擊1次,甲射中的概率為0.8,乙射中的概率為0.9,求:(1)2人都射中目標的概率;(2)2人中恰有1人射中目標的概率;(3)2人至少有1人射中目標的概率;(4)2人至多有1人射中目標的概率.【解析】設(shè)“甲射擊1次,擊中目標”為事務(wù)A,“乙射擊1次,擊中目標”為事務(wù)B,則A與B,A與B,A與B,A與B為相互獨立事務(wù).(1)2人都射中目標的概率為P(AB)=P(A)·P(B)=0.8×0.9=0.72.(2)“2人各射擊1次,恰有1人射中目標”包括兩種狀況:一種是甲射中、乙未射中(事務(wù)AB發(fā)生),另一種是甲未射中、乙射中(事務(wù)AB發(fā)生).依據(jù)題意,事務(wù)AB與AB互斥,依據(jù)互斥事務(wù)的概率加法公式和相互獨立事務(wù)的概率乘法公式,所求的概率P=P(AB)+P(AB)=P(A)·P(B)+P(A)·P(B)=0.8×(1-0.9)+(1-0.8)×0.9=0.08+0.18=0.26.(3)“2人至少有1人射中目標”包括“2人都中”和“2人有1人射中”兩種狀況,其概率P=P(AB)+[P(AB)+P(AB)]=0.72+0.26=0.98.(4)“2人至多有1人射中目標”包括“有1人射中”和“2人都未射中”兩種狀況,故所求概率P=P(AB)+P(AB)+P(A=P(A)·P(B)+P(A)·P(B)+P(A)·P(B)=0.02+0.08+0.18=0.28.1.某一部件由四個電子元件按如圖方式連接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3或元件4正常工作,則部件正常工作,若四個電子元件的運用壽命超過1000小時的概率都為12,且各個元件能否正常工作相互獨立,那么該部件的運用壽命超過1000小時的概率為【解析】設(shè)事務(wù)A為元件1或元件2正常工作,事務(wù)B為元件3或元件4正常工作,所以P(A)=1-12×12=34,P(B)=1-12×所以該部件的運用壽命超過1000小時的概率為P(AB)=P(A)·P(B)=34×34=答案:92.某校選拔若干名學生組建數(shù)學奧林匹克集訓隊,要求選拔過程分前后兩次進行,當?shù)谝淮芜x拔合格后方可進入其次次選拔,兩次選拔過程相互獨立.依據(jù)甲、乙、丙三人現(xiàn)有的水平,第一次選拔,甲、乙、丙三人合格的概率依次為0.5,0.6,0.4.其次次選拔,甲、乙、丙三人合格的概率依次為0.6,0.5,0.5.(1)求第一次選拔后甲、乙兩人中只有甲合格的概率;(2)分別求出甲、乙、丙