2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章三角函數(shù)5.1任意角和蝗制5.1.2蝗制課時(shí)作業(yè)含解析新人教A版必修第一冊(cè)

PAGE1-第五章5.15.1.2A組·素養(yǎng)自測(cè)一、選擇題1．下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是(D)A．“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位B．1°的角是周角的eq\f(1,360)，1rad的角是周角的eq\f(1,2π)C．1rad的角比1°的角要大D．用弧度制度量角時(shí)，角的大小與圓的半徑有關(guān)[解析]由角度制和弧度制的定義，知A，B，C說(shuō)法正確．用弧度制度量角時(shí)，角的大小與所對(duì)圓弧長(zhǎng)與半徑的比有關(guān)，而與圓的半徑無(wú)關(guān)，故D說(shuō)法錯(cuò)誤．2．下列轉(zhuǎn)化結(jié)果錯(cuò)誤的是(C)A．22°30′化成弧度是eq\f(π,8)B．－eq\f(10π,3)化成角度是－600°C．－150°化成弧度是－eq\f(7π,6)D．eq\f(π,12)化成角度是15°[解析]對(duì)A,22°30′＝22.5°＝eq\f(π,8)，正確；對(duì)B，－eq\f(10π,3)＝－eq\f(10π,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝－600°，正確；對(duì)C，－150°＝－150×eq\f(π,180)＝－eq\f(5π,6)，錯(cuò)誤；對(duì)D，eq\f(π,12)＝eq\f(π,12)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝15°，正確．3．若α＝5rad，則角α的終邊所在的象限為(D)A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限[解析]∵eq\f(3π,2)<5<2π，∴α＝5rad為第四象限角，其終邊位于第四象限．4．將－1485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是(D)A．－eq\f(π,4)－8π B．eq\f(7,4)π－8πC．eq\f(π,4)－10π D．eq\f(7,4)π－10π[解析]∵－1485°＝－5×360°＋315°，又2πrad＝360°，315°＝eq\f(7,4)πrad.故－1485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是eq\f(7,4)π－10π.5．若角α的終邊落在如圖所示的陰影部分內(nèi)，則角α的取值范圍是(D)A．(eq\f(π,6)，eq\f(π,3)) B．(eq\f(2π,3)，eq\f(7π,6))C．[eq\f(2π,3)，eq\f(7π,6)] D．[2kπ＋eq\f(2π,3)，2kπ＋eq\f(7π,6)](k∈Z)[解析]陰影部分的兩條邊界分別是eq\f(2π,3)和eq\f(7π,6)角的終邊，所以α的取值范圍是[2kπ＋eq\f(2π,3)，2kπ＋eq\f(7π,6)](k∈Z)．6．若弧度為2的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2，則這個(gè)圓心角所夾扇形的面積是(C)A．tan1 B．eq\f(1,sin1)C．eq\f(1,sin21) D．eq\f(1,cos1)[解析]如圖所示，設(shè)∠AOB＝2，AB＝2.過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB于C，延長(zhǎng)OC交eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))于D，則∠AOD＝eq\f(1,2)∠AOB＝1，AC＝eq\f(1,2)AB＝1.在Rt△AOC中，OA＝eq\f(AC,sin∠AOC)＝eq\f(1,sin1).∴扇形的面積S＝eq\f(1,2)×2×eq\f(1,sin21)＝eq\f(1,sin21).二、填空題7．315°＝__eq\f(7,4)π__弧度，eq\f(7,12)π弧度＝__105__度．8．將－1360°表示成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式為__－8π＋eq\f(4π,9)__.[解析]∵－1360°＝－4×360°＋80°，而80°＝eq\f(4π,9)，∴應(yīng)填－8π＋eq\f(4π,9).9．如圖，點(diǎn)A，B，C是圓O上的點(diǎn)，且AB＝4，∠ACB＝eq\f(π,6)，則劣弧eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))的長(zhǎng)為__eq\f(4π,3)__.[解析]連接AO，OB，因?yàn)椤螦CB＝eq\f(π,6)，所以∠AOB＝eq\f(π,3)，又OA＝OB，所以△AOB為等邊三角形，故圓O的半徑r＝AB＝4，劣弧eq\o\ac(AB,\s\up10(︵))的長(zhǎng)為eq\f(π,3)×4＝eq\f(4π,3).三、解答題10．一個(gè)半徑為r的扇形，假如它的周長(zhǎng)等于弧所在圓的周長(zhǎng)的一半，那么這個(gè)扇形的圓心角是多少弧度？是多少度？扇形的面積是多少？[解析]設(shè)扇形的圓心角為θ，則弧長(zhǎng)l＝rθ，∴2r＋rθ＝πr，∴θ＝π－2＝(π－2)·(eq\f(180,π))°＝(180－eq\f(360,π))°，扇形的面積S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)r2(π－2)．11．(1)把310°化成弧度；(2)把eq\f(5π,12)rad化成角度；(3)已知α＝15°、β＝eq\f(π,10)、γ＝1、θ＝105°、φ＝eq\f(7π,12)，試比較α、β、γ、θ、φ的大?。甗解析](1)310°＝eq\f(π,180)rad×310＝eq\f(31π,18)rad.(2)eq\f(5π,12)rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)×\f(5π,12)))°＝75°.(3)解法一(化為弧度)：α＝15°＝15×eq\f(π,180)＝eq\f(π,12).θ＝105°＝105×eq\f(π,180)＝eq\f(7π,12).明顯eq\f(π,12)<eq\f(π,10)<1<eq\f(7π,12).故α<β<γ<θ＝φ.解法二(化為角度)：β＝eq\f(π,10)＝eq\f(π,10)×(eq\f(180,π))°＝18°，γ＝1≈57.30°，φ＝eq\f(7π,12)×(eq\f(180,π))°＝105°.明顯，15°<18°<57.30°<105°.故α<β<γ<θ＝φ.B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．若eq\f(α,3)＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，則eq\f(α,2)的終邊在(D)A．第一象限 B．第四象限C．x軸上 D．y軸上[解析]∵eq\f(α,3)＝2kπ＋eq\f(π,3)(k∈Z)，∴α＝6kπ＋π(k∈Z)，∴eq\f(α,2)＝3kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，eq\f(α,2)的終邊在y軸的非正半軸上；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，eq\f(α,2)的終邊在y軸的非負(fù)半軸上．綜上，eq\f(α,2)終邊在y軸上，故選D．2．(多選題)圓的半徑變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，弧長(zhǎng)也增加到原來(lái)的2倍，則(BC)A．扇形的面積不變B．扇形的圓心角不變C．扇形的面積增大到原來(lái)的4倍D．扇形的圓心角增大到原來(lái)的2倍[解析]α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2l,2r)＝α，故圓心角不變，由面積公式S＝eq\f(1,2)lr知，扇形的面積增大到原來(lái)的4倍，故選BC．3．(多選題)下列表述中正確的是(ABC)A．終邊在x軸上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}B．終邊在y軸上角的集合是{α|α＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z}C．終邊在坐標(biāo)軸上角的集合是{α|α＝k·eq\f(π,2)，k∈Z}D．終邊在直線y＝x上角的集合是{α|α＝eq\f(π,4)＋2kπ，k∈Z}[解析]終邊在直線y＝x上角的集合應(yīng)是{α|α＝eq\f(π,4)＋kπ，k∈Z}，D不正確，其他選項(xiàng)均正確．故選ABC．4．一個(gè)半徑為R的扇形，它的周長(zhǎng)是4R，則這個(gè)扇形所含弓形的面積是(D)A．eq\f(1,2)(2－sin1cos1)R2 B．eq\f(1,2)R2sin1cos1C．eq\f(1,2)R2 D．R2－R2sin1cos1[解析]設(shè)弧長(zhǎng)為l，則l＋2R＝4R，∴l(xiāng)＝2R，∴S扇形＝eq\f(1,2)lR＝R2.∵圓心角|α|＝eq\f(l,R)＝2，∴S三角形＝eq\f(1,2)·2R·sin1·Rcos1＝R2sin1·cos1，∴S弓形＝S扇形－S三角形＝R2－R2sin1cos1.二、填空題5．已知θ∈{α|α＝kπ＋(－1)k·eq\f(π,4)，k∈Z}，則θ的終邊所在的象限是__第一或其次象限__.[解析]當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，α＝2mπ＋eq\f(π,4)(m∈Z)，當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，α＝(2m－1)π－eq\f(π,4)＝2mπ－eq\f(5π,4)(m∈Z)，∴θ的終邊在第一或其次象限．6．如圖所示，已知一長(zhǎng)為eq\r(3)dm，寬為1dm的長(zhǎng)方形木塊在桌面上做無(wú)滑動(dòng)的翻滾，翻滾到第四次時(shí)被一小木板攔住，使木塊底面與桌面成30°的角，則點(diǎn)A走過(guò)的路程是__eq\f(9＋2\r(3)π,6)__dm，走過(guò)的弧所對(duì)應(yīng)的扇形的總面積是__eq\f(7π,4)__dm2.[解析]eq\o\ac(AA1,\s\up10(︵))所在的圓的半徑是2，所對(duì)圓心角為eq\f(π,2)，eq\o\ac(A1A2,\s\up10(︵))所在的圓的半徑是1，所對(duì)圓心角為eq\f(π,2)，eq\o\ac(A2A3,\s\up10(︵))所在的圓的半徑是eq\r(3)，所對(duì)圓心角是eq\f(π,3).點(diǎn)A走過(guò)的路程是3段圓弧長(zhǎng)之和，即：eq\f(2×π×2,4)＋eq\f(1×π×2,4)＋eq\f(2×\r(3)×π,6)＝eq\f(9＋2\r(3)π,6)(dm)；3段弧所對(duì)應(yīng)的扇形總面積為：eq\f(π·22,4)＋eq\f(π·12,4)＋eq\f(π·\r(3)2,6)＝eq\f(7π,4)(dm2)．三、解答題7．(1)已知某扇形的圓心角為75°，半徑為15cm，求扇形的面積．(2)已知一個(gè)扇形的周長(zhǎng)為12cm，當(dāng)扇形的半徑為何值時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？并求出此時(shí)的圓心角．[解析](1)扇形的圓心角為75×eq\f(π,180)＝eq\f(5π,12)，扇形半徑為15cm.扇形面積S＝eq\f(1,2)|α|r2＝eq\f(1,2)×eq\f(5π,12)×152＝eq\f(375,8)πcm2.(2)設(shè)扇形的半徑為r，圓心角為θ，則扇形的弧長(zhǎng)為l＝rθ，依據(jù)題意，扇形的周長(zhǎng)2r＋l＝12，解得l＝12－2r，所以扇形的面積S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)(12－2r)×r＝－r2＋6r＝－(r－3)2＋9，故當(dāng)r＝3時(shí)，S取得最大值，此時(shí)l＝12－2×3＝6，扇形的圓心角θ＝eq\f(l,r)＝eq\f(6,3)＝2.8．某企業(yè)欲做一個(gè)介紹企業(yè)發(fā)展史的銘牌，銘牌的截面形態(tài)是如圖所示的扇形環(huán)面(由扇形OAD挖去扇形OBC后構(gòu)成的)．已知OA＝10，OB＝x(0<x<10)，線段BA，CD與弧BC、弧AD的長(zhǎng)度之和為30m，設(shè)圓心角為θ弧度．(1)求θ關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)記銘牌的截面面積為y，試問(wèn)x取何值時(shí)，y的值最大？并求出最大值．[解析](1)依據(jù)題意，可算得弧BC＝x·θ(m)，弧AD＝10θ(m)．因?yàn)锽A＋CD＋leq\o\ac(B