第02講-空間點、直線、平面之間的位置關系-(精講)(解析版)

第02講空間點、直線、平面之間的位置關系目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：知識點必背 1第二部分：高頻考點一遍過 4高頻考點一：基本事實的應用 4高頻考點二：空間兩條直線的位置關系 10高頻考點三：立體幾何中的截線(截面)問題 14高頻考點四：異面直線所成角 21溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Home可回到開頭第一部分：知識點必背知識點一：與平面有關的基本事實及推論1、與平面有關的三個基本事實（1）基本事實1：過不在一條直線上的三個點,有且只有一個平面

數(shù)學語言：,,三點不共線有且只有一個平面,使,,.（2）基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi),那么這條直線在這個平面內(nèi)

數(shù)學語言：,,且,（3）基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線

數(shù)學語言：,且,且2、基本事實1的三個推論推論1:經(jīng)過一條直線與這條直線外一點,有且只有一個平面;

推論2:經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個平面;

推論3:經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個平面.

知識點二：空間點、直線、平面之間的位置關系直線與直線直線與平面平面與平面平行關系圖形語言符號語言相交關系圖形語言圖形語言獨有關系圖形語言圖形語言與是異面直線知識點三：平行公理和等角定理1、基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線平行數(shù)學符號語言；若直線,則2、等角定理①文字語言：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行,那么這兩個角相等或互補②圖形語言：③符號語言：,或④作用：判斷或證明兩個角相等或互補知識點四：異面直線所成角（1）異面直線的概念不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線（2）異面直線的畫法畫異面直線時,為了體現(xiàn)它們不共面的特點，常借助一個或兩個平面來襯托（3）異面直線的判定①定義法②兩直線既不平行也不相交（4）異面直線所成角取值范圍：第二部分：高頻考點一遍過高頻考點一：基本事實的應用典型例題例題1．（2023·全國·高三對口高考）下面幾個命題：①兩兩相交的三條直線共面；②如果兩個平面有公共點，則公共點有無數(shù)個；③一條直線與兩條平行直線都相交，那么這三條直線共面；④順次連接空間四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形．其中正確命題的個數(shù)是（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．1個【答案】B【詳解】命題①：三條直線兩兩相交，若三條直線相交于一點，則無法確定一個平面，故①錯誤；命題②：如果兩個平面有公共點，若兩平面重合，則公共點有無數(shù)個，若兩平面不重合，則有且僅有一條過該公共點的公共直線，則公共點有無數(shù)個，故②正確；命題③：不妨設，，，則、唯一確定一個平面，所以，，所以，又，，所以，故一條直線與兩條平行直線都相交，那么這三條直線共面，即③正確；命題④：空間四邊形中，連接，可得一個三棱錐，將四個中點連接，得到四邊形，由中位線的性質(zhì)知，，，∴四邊形是平行四邊形，故順次連接空間四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形，即④正確．故選：B例題2．（2023·全國·高三對口高考）如圖，正方體中，是中點，與截面交于，那么、、三點共線，其理由是__________．

【答案】、P、O是平面和平面的公共點，所以它們共平面與平面的交線【詳解】O是中點，則O是中點，故平面，與截面交于P，故，故平面，又平面，故、、平面，又、、平面，故、、在平面和平面的交線上.故答案為：、P、O是平面和平面的公共點，所以它們共平面與平面的交線.例題3．（2023·全國·高一專題練習）在四面體中，、分別是、的中點，、分別是、邊上的點，且.求證：、、、四點共面；【答案】證明見解析【詳解】連接，因為H、G分別是AD、CD的中點，所以，又，所以，所以，所以E、F、G、H四點共面.例題4．（2023春·高一課時練習）如圖，直線、、兩兩相交，交點分別為、、，判斷這三條直線是否共面，并說明理由．

【答案】共面【詳解】由直線，可得直線在同一個平面內(nèi)，設為平面，因為平面，且直線，所以平面，又因為平面，且直線，所以平面，因為直線，直線，所以直線平面，所以三條中線在同一個平面內(nèi).例題5．（2023春·河南商丘·高一商丘市實驗中學校聯(lián)考階段練習）如圖，在正四棱臺中，．(1)求正四棱臺的體積；(2)若分別為棱的中點，證明：相交于一點．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）連接，取分別為和的中點，因為為正四棱臺，所以，且為的高，因為，所以，所以正四棱臺的體積為；（2）因為分別為棱的中點，所以，，所以，所以為梯形，則與必相交，設，因為平面，所以平面，因為平面，所以平面，又平面平面，所以，所以交于一點.練透核心考點1．（2023春·高一課時練習）直線、，直線、，點，點，點，點，若直線直線，則點必在直線_________上．【答案】BD/DB【詳解】由，，，、，故，，同理，，故，

由，，則，，故，同理可得，又直線直線，故，即，所以必在的交線上.故答案為：2．（2023·全國·高一專題練習）如圖，在三棱柱中，分別是的中點．求證：四點共面．

【答案】證明見解析【詳解】由分別是的中點可知，是中邊的中位線，所以；在三棱柱中，，由平行性質(zhì)的傳遞性可得；所以四點共面．3．（2023·全國·高一專題練習）如圖所示，已知棱長為1正方體中，點分別是棱的中點．

求證：三條直線交于一點；【答案】證明見解析【詳解】延長交的延長線于點O，如下圖所示：

易得．在與中，，所以所以，由等角定理可知三點共線；同理可得三點共線；∴三條直線交于一點O．4．（2023·江蘇·高一專題練習）空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別在AB，BC，CD，AD上，且滿足，.(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)求證：EH，F(xiàn)G，BD三線共點.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1），∥∥∥，所以四點共面；（2）∥，且，，，四邊形EFGH為梯形，設，則，而平面ABD，所以平面ABD,又，平面BCD，所以平面BCD，而平面平面，，EH，F(xiàn)G，BD三線共點.5．（2023·全國·高一專題練習）如圖，正方體的棱長為6，是的中點，點在棱上，且.作出過點，，的平面截正方體所得的截面，寫出作法；【答案】答案見解析【詳解】如圖所示，五邊形即為所求截面.作法如下：連接并延長交的延長線于點，連接交于點，交的延長線于點，連接交于點，連接，，所以五邊形即為所求截面.高頻考點二：空間兩條直線的位置關系典型例題例題1．（多選）（2023春·重慶渝中·高一重慶巴蜀中學?？计谥校┱襟w中，，分別是正方形和正方形的中心，則下列說法正確的有（

）A．直線與直線是相交直線 B．直線與直線是異面直線C．直線與直線是相交直線 D．直線與直線沒有公共點【答案】ABD【詳解】對選項A：直線與直線相交于，正確；對選項B：三點在平面內(nèi)，在平面外，故直線與直線是異面直線，正確；對選項C：三點在平面內(nèi)，在平面外，直線與直線是異面直線，錯誤；對選項D：在平面內(nèi)，在平面外，直線與直線是異面直線，正確；故選：ABD例題2．（2023春·山東臨沂·高一統(tǒng)考期中）若直線在平面外，則（

）A． B．與至多有一個公共點C． D．與至少有一個公共點【答案】B【詳解】因為直線在平面外，所以或與相交，當時與沒有公共點，當與相交時與有且僅有一個公共點，所以與至多有一個公共點.故選：B例題3．（2023春·高一課時練習）空間不重合的三個平面可以把空間分成（

）A．4或6或7個部分 B．4或6或7或8個部分C．4或7或8個部分 D．6或7或8個部分【答案】B【詳解】空間不重合的三個平面，若三個平面互相平行，則可將空間分為4部分；若三個平面有兩個平面平行，則第三個平面與其它兩個平面相交，可將空間分為6部分；若三個平面交于一線，則可將空間分為6部分；若三個平面兩兩相交且三條交線平行（聯(lián)想三棱柱三個側面的關系），則可將空間分為7部分；若三個平面兩兩相交且三條交線交于一點（聯(lián)想墻角三個墻面的關系），則可將空間分為8部分.所以空間不重合的三個平面可以把空間分成4或6或7或8個部分.

故選：B.例題4．（2023春·高一課時練習）若，，則，的位置關系是________．【答案】平行或異面【詳解】因為，，，所以m，n無公共點，如圖，m，n有可能平行或異面.故答案為：平行或異面.

練透核心考點1．（2023春·高一課時練習）如圖，G，H，M，N均是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示GH，MN是異面直線的圖形的序號為（

）

A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】D【詳解】在題圖②④中，直線GH，MN是異面直線；在題圖①中，由G，M均為所在棱的中點，易得；在題圖③中，連接GM，由G，M均為所在棱的中點，所以,且，易得四邊形GMNH為梯形，則GH與MN相交．

故選：D．2．（2023·全國·高一專題練習）若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關系是（

）A．平行 B．異面C．相交 D．平行、相交或異面【答案】D【詳解】如圖，在長方體中，所在直線為a，AB所在直線為b，已知a和b是異面直線，b和c是異面直線，則c可以是長方體中的，，.故a和c可以平行、相交或異面．故選：D3．（2023·江蘇·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）已知直線平面，直線平面，則與不可能（

）A．平行 B．相交 C．異面 D．垂直【答案】B【詳解】直線平面，直線平面，則與可能平行，異面和垂直，若與相交，，則，，直線平面，故，即與有交點，這與題設矛盾.故選：B4．（2023春·黑龍江哈爾濱·高一黑龍江省哈爾濱市雙城區(qū)兆麟中學校考期中）已知直線平面，直線平面，則下面命題正確的為（

）A． B．與相交 C． D．與相交【答案】D【詳解】對于A、B，直線平面，直線平面，若，則與相交或，故A、B錯誤；對于C、D，若，則且，又直線平面，直線平面，所以且，則與相交，故C錯誤，D正確．故選：D．高頻考點三：立體幾何中的截線(截面)問題典型例題例題1．（2023春·高一課時練習）如圖，正方體中，試畫出過其中三條棱的中點，，的平面截得正方體的截面形狀．

【答案】答案見解析【詳解】在正方體中，畫直線與的延長線分別交于點，如圖，

畫直線交棱于，與的延長線交于點，連接交分別于點，連接，因此六邊形是過點三點的正方體的截面，如圖，

例題2．（2023春·江蘇·高三江蘇省前黃高級中學校聯(lián)考階段練習）在四面體中，，，，、分別為、的中點．若用一個與直線垂直且與四面體各面均相交的平面去截該四面體，則得到的多邊形截面面積的最大值為______．【答案】10【詳解】

由題意，將四面體補成一個長方體，設長方體的長寬高分別為，則，解得，則，由已知條件可得，，由于，所以可得截面為平行四邊形，由，可得，由，可得，所以，所以可得，設異面直線與所成角為，則，在中，由余弦定理可得，所以，則，當且僅當時，取等號.所以多邊形截面的最大面積為.故答案為：.例題3．（2023·全國·高一專題練習）如圖，正方體的棱長為2，是側棱的中點，則平面截正方體所得的截面圖形的周長是________.【答案】【詳解】為中點，連接，正方體中，，，則四邊形為平行四邊形，有，，為中點，是的中點，則，得，則平面截正方體所得的截面圖形為梯形，其中，，，則梯形的周長為即所得的截面圖形的周長是故答案為：例題4．（2023·河北唐山·統(tǒng)考二模）正方體的棱長為2，，分別為棱，的中點，過，，做該正方體的截面，則截面形狀為______，周長為______．【答案】五邊形【詳解】連接EF并延長交DC的延長線于N，連接交于Q，連接QF，延長FE交DA的延長線于M，連接交于P，連接EP，順次連接，則五邊形即為平面截正方體的截面多邊形，如圖：由題意，正方體的棱長為2，則，，則為等腰直角三角形，則，根據(jù)∽得，，則，則，，同理可得，，而，則五邊形的周長為.故答案為：五邊形，.練透核心考點1．（2023·江蘇·高一專題練習）已知正方體是棱長為1的正方體，M是棱的中點，過C、、M三點作正方體的截面，作出這個截面圖并求出截面的面積．【答案】作圖過程見解析，.【詳解】連接，并延長，交延長線于連交于，連接MP，則為過C、、M三點的正方體的截面，因為是的中點，所以是的中點，是的中點，因為，所以是的中點，所以是三角形的中位線，所以，因為正方體的棱長為1，所以可得，所以三角形是以為腰，以為底的等腰三角形，邊上的高為，三角形是的面積所以2．（2023·江蘇·高一專題練習）正方體的棱長為1，當，，分別是，，的中點時，平面截正方體所截面的周長為___【答案】【詳解】連接并延長交延長線于Q，則過Q作，交于H，交于K，則，過K作，交于T，連接，則六邊形即為平面截正方體所得截面，又均為棱的中點，則截面的周長為故答案為：3．（2023·全國·高一專題練習）如圖，在正方體中，AB＝1，中點為Q，過三點的截面面積為_____．【答案】/1.125【詳解】解：如圖所示，取的中點P，連接、AQ和，∵分別是，的中點，∴，且，∵，∴，所以四邊形是過三點的截面，且四邊形是梯形，∵AB＝1，∴，，，且等腰梯形的高為，∴截面面積為，故答案為：4．（2023·全國·高一專題練習）已知正方體的棱長為2，E，F(xiàn)分別為棱BC，的中點，G是棱AB上一點，且.過G，E，F(xiàn)三點的平面截該正方體所得截面為______邊形（橫線上填多邊形的邊數(shù)），該截面多邊形的面積為______.【答案】五/5/【詳解】延長與的延長線交于點，連接，延長與的延長線交于點，因為E，F(xiàn)分別為棱BC，的中點，所以，所以，因為，所以點三點共線，連接，設線段交線段于點，連接，則過G，E，F(xiàn)三點的平面截該正方體所得截面為五邊形，因為，所以，所以，因為，，所以中邊上的高為，所以，因為，所以五邊形的面積為，故答案為：五；.高頻考點四：異面直線所成角典型例題例題1．（2023秋·廣東廣州·高二廣州市白云中學校考期末）已知，是異面直線，，，，，且，，則與所成的角是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設，由，可得：，，故可得：，，，又，，故與所成的角是.故選：C.例題2．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學校?？既＃┱庵睦忾L均相等，是的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】連接，設F為的中點，設交于點D，連接，由于四邊形為平行四邊形，故D為的中點，所以，則即為異面直線與所成角或其補角，連接，由于正三棱柱的棱長均相等，設棱長為2，則,，則，故在中，,由于異面直線與BE所成角的范圍為，故異面直線與BE所成角的余弦值為，故選：D例題3．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預測）在正四棱臺中，，其體積為為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【詳解】設正四棱臺的高為，連接，作交于點，作交于點，連接，則為異面直線與所成角或其補角.因為，且正四棱臺的體積為，即，所以，即，易求，，，，所以.故選：D.

例題4．（2023·全國·高三專題練習）在直三棱柱中，，點分別是的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖分別取的中點，連接，如下圖所示：因為為直三棱柱，且點是的中點，所以，且，則四邊形為平行四邊形，所以，同理，所以異面直線與所成角為或其補角，因為分別為的中點，所以，，，因為，所以，在中，，因此，直線與所成角的余弦值為.故選：A.例題5．（2023·全國·高三專題練習）如圖，在正四面體中，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖，取的中點，連結，則由題意知，則為直線與所成角，設正四面體的棱長為，則，則由余弦定理得．故選：C練透核心考點1．（2023·河南·洛寧縣第一高級中學校聯(lián)考模擬預測）在正三棱柱中，，D為的中點，E為的中點，則異面直線AD與BE所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】D為的中點，E為的中點，所以