第02講-空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系-(精講)(解析版)

第02講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背 1第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過 4高頻考點(diǎn)一：基本事實(shí)的應(yīng)用 4高頻考點(diǎn)二：空間兩條直線的位置關(guān)系 10高頻考點(diǎn)三：立體幾何中的截線(截面)問題 14高頻考點(diǎn)四：異面直線所成角 21溫馨提醒：瀏覽過程中按ctrl+Home可回到開頭第一部分：知識(shí)點(diǎn)必背知識(shí)點(diǎn)一：與平面有關(guān)的基本事實(shí)及推論1、與平面有關(guān)的三個(gè)基本事實(shí)（1）基本事實(shí)1：過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn),有且只有一個(gè)平面

數(shù)學(xué)語言：,,三點(diǎn)不共線有且只有一個(gè)平面,使,,.（2）基本事實(shí)2：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)

數(shù)學(xué)語言：,,且,（3）基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線

數(shù)學(xué)語言：,且,且2、基本事實(shí)1的三個(gè)推論推論1:經(jīng)過一條直線與這條直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面;

推論2:經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面;

推論3:經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面.

知識(shí)點(diǎn)二：空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系直線與直線直線與平面平面與平面平行關(guān)系圖形語言符號(hào)語言相交關(guān)系圖形語言圖形語言獨(dú)有關(guān)系圖形語言圖形語言與是異面直線知識(shí)點(diǎn)三：平行公理和等角定理1、基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線平行數(shù)學(xué)符號(hào)語言；若直線,則2、等角定理①文字語言：如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)②圖形語言：③符號(hào)語言：,或④作用：判斷或證明兩個(gè)角相等或互補(bǔ)知識(shí)點(diǎn)四：異面直線所成角（1）異面直線的概念不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線（2）異面直線的畫法畫異面直線時(shí),為了體現(xiàn)它們不共面的特點(diǎn)，常借助一個(gè)或兩個(gè)平面來襯托（3）異面直線的判定①定義法②兩直線既不平行也不相交（4）異面直線所成角取值范圍：第二部分：高頻考點(diǎn)一遍過高頻考點(diǎn)一：基本事實(shí)的應(yīng)用典型例題例題1．（2023·全國·高三對(duì)口高考）下面幾個(gè)命題：①兩兩相交的三條直線共面；②如果兩個(gè)平面有公共點(diǎn)，則公共點(diǎn)有無數(shù)個(gè)；③一條直線與兩條平行直線都相交，那么這三條直線共面；④順次連接空間四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形．其中正確命題的個(gè)數(shù)是（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．1個(gè)【答案】B【詳解】命題①：三條直線兩兩相交，若三條直線相交于一點(diǎn)，則無法確定一個(gè)平面，故①錯(cuò)誤；命題②：如果兩個(gè)平面有公共點(diǎn)，若兩平面重合，則公共點(diǎn)有無數(shù)個(gè)，若兩平面不重合，則有且僅有一條過該公共點(diǎn)的公共直線，則公共點(diǎn)有無數(shù)個(gè)，故②正確；命題③：不妨設(shè)，，，則、唯一確定一個(gè)平面，所以，，所以，又，，所以，故一條直線與兩條平行直線都相交，那么這三條直線共面，即③正確；命題④：空間四邊形中，連接，可得一個(gè)三棱錐，將四個(gè)中點(diǎn)連接，得到四邊形，由中位線的性質(zhì)知，，，∴四邊形是平行四邊形，故順次連接空間四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形，即④正確．故選：B例題2．（2023·全國·高三對(duì)口高考）如圖，正方體中，是中點(diǎn)，與截面交于，那么、、三點(diǎn)共線，其理由是__________．

【答案】、P、O是平面和平面的公共點(diǎn)，所以它們共平面與平面的交線【詳解】O是中點(diǎn)，則O是中點(diǎn)，故平面，與截面交于P，故，故平面，又平面，故、、平面，又、、平面，故、、在平面和平面的交線上.故答案為：、P、O是平面和平面的公共點(diǎn)，所以它們共平面與平面的交線.例題3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在四面體中，、分別是、的中點(diǎn)，、分別是、邊上的點(diǎn)，且.求證：、、、四點(diǎn)共面；【答案】證明見解析【詳解】連接，因?yàn)镠、G分別是AD、CD的中點(diǎn)，所以，又，所以，所以，所以E、F、G、H四點(diǎn)共面.例題4．（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，直線、、兩兩相交，交點(diǎn)分別為、、，判斷這三條直線是否共面，并說明理由．

【答案】共面【詳解】由直線，可得直線在同一個(gè)平面內(nèi)，設(shè)為平面，因?yàn)槠矫?，且直線，所以平面，又因?yàn)槠矫?，且直線，所以平面，因?yàn)橹本€，直線，所以直線平面，所以三條中線在同一個(gè)平面內(nèi).例題5．（2023春·河南商丘·高一商丘市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在正四棱臺(tái)中，．(1)求正四棱臺(tái)的體積；(2)若分別為棱的中點(diǎn)，證明：相交于一點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）連接，取分別為和的中點(diǎn)，因?yàn)闉檎睦馀_(tái)，所以，且為的高，因?yàn)?，所以，所以正四棱臺(tái)的體積為；（2）因?yàn)榉謩e為棱的中點(diǎn)，所以，，所以，所以為梯形，則與必相交，設(shè)，因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫?，又平面平面，所以，所以交于一點(diǎn).練透核心考點(diǎn)1．（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）直線、，直線、，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，若直線直線，則點(diǎn)必在直線_________上．【答案】BD/DB【詳解】由，，，、，故，，同理，，故，

由，，則，，故，同理可得，又直線直線，故，即，所以必在的交線上.故答案為：2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，分別是的中點(diǎn)．求證：四點(diǎn)共面．

【答案】證明見解析【詳解】由分別是的中點(diǎn)可知，是中邊的中位線，所以；在三棱柱中，，由平行性質(zhì)的傳遞性可得；所以四點(diǎn)共面．3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，已知棱長(zhǎng)為1正方體中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)．

求證：三條直線交于一點(diǎn)；【答案】證明見解析【詳解】延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)O，如下圖所示：

易得．在與中，，所以所以，由等角定理可知三點(diǎn)共線；同理可得三點(diǎn)共線；∴三條直線交于一點(diǎn)O．4．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別在AB，BC，CD，AD上，且滿足，.(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)求證：EH，F(xiàn)G，BD三線共點(diǎn).【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1），∥∥∥，所以四點(diǎn)共面；（2）∥，且，，，四邊形EFGH為梯形，設(shè)，則，而平面ABD，所以平面ABD,又，平面BCD，所以平面BCD，而平面平面，，EH，F(xiàn)G，BD三線共點(diǎn).5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為6，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且.作出過點(diǎn)，，的平面截正方體所得的截面，寫出作法；【答案】答案見解析【詳解】如圖所示，五邊形即為所求截面.作法如下：連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，，所以五邊形即為所求截面.高頻考點(diǎn)二：空間兩條直線的位置關(guān)系典型例題例題1．（多選）（2023春·重慶渝中·高一重慶巴蜀中學(xué)?？计谥校┱襟w中，，分別是正方形和正方形的中心，則下列說法正確的有（

）A．直線與直線是相交直線 B．直線與直線是異面直線C．直線與直線是相交直線 D．直線與直線沒有公共點(diǎn)【答案】ABD【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：直線與直線相交于，正確；對(duì)選項(xiàng)B：三點(diǎn)在平面內(nèi)，在平面外，故直線與直線是異面直線，正確；對(duì)選項(xiàng)C：三點(diǎn)在平面內(nèi)，在平面外，直線與直線是異面直線，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：在平面內(nèi)，在平面外，直線與直線是異面直線，正確；故選：ABD例題2．（2023春·山東臨沂·高一統(tǒng)考期中）若直線在平面外，則（

）A． B．與至多有一個(gè)公共點(diǎn)C． D．與至少有一個(gè)公共點(diǎn)【答案】B【詳解】因?yàn)橹本€在平面外，所以或與相交，當(dāng)時(shí)與沒有公共點(diǎn)，當(dāng)與相交時(shí)與有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，所以與至多有一個(gè)公共點(diǎn).故選：B例題3．（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）空間不重合的三個(gè)平面可以把空間分成（

）A．4或6或7個(gè)部分 B．4或6或7或8個(gè)部分C．4或7或8個(gè)部分 D．6或7或8個(gè)部分【答案】B【詳解】空間不重合的三個(gè)平面，若三個(gè)平面互相平行，則可將空間分為4部分；若三個(gè)平面有兩個(gè)平面平行，則第三個(gè)平面與其它兩個(gè)平面相交，可將空間分為6部分；若三個(gè)平面交于一線，則可將空間分為6部分；若三個(gè)平面兩兩相交且三條交線平行（聯(lián)想三棱柱三個(gè)側(cè)面的關(guān)系），則可將空間分為7部分；若三個(gè)平面兩兩相交且三條交線交于一點(diǎn)（聯(lián)想墻角三個(gè)墻面的關(guān)系），則可將空間分為8部分.所以空間不重合的三個(gè)平面可以把空間分成4或6或7或8個(gè)部分.

故選：B.例題4．（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）若，，則，的位置關(guān)系是________．【答案】平行或異面【詳解】因?yàn)椋?，，所以m，n無公共點(diǎn)，如圖，m，n有可能平行或異面.故答案為：平行或異面.

練透核心考點(diǎn)1．（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，G，H，M，N均是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示GH，MN是異面直線的圖形的序號(hào)為（

）

A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】D【詳解】在題圖②④中，直線GH，MN是異面直線；在題圖①中，由G，M均為所在棱的中點(diǎn)，易得；在題圖③中，連接GM，由G，M均為所在棱的中點(diǎn)，所以,且，易得四邊形GMNH為梯形，則GH與MN相交．

故選：D．2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是（

）A．平行 B．異面C．相交 D．平行、相交或異面【答案】D【詳解】如圖，在長(zhǎng)方體中，所在直線為a，AB所在直線為b，已知a和b是異面直線，b和c是異面直線，則c可以是長(zhǎng)方體中的，，.故a和c可以平行、相交或異面．故選：D3．（2023·江蘇·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知直線平面，直線平面，則與不可能（

）A．平行 B．相交 C．異面 D．垂直【答案】B【詳解】直線平面，直線平面，則與可能平行，異面和垂直，若與相交，，則，，直線平面，故，即與有交點(diǎn)，這與題設(shè)矛盾.故選：B4．（2023春·黑龍江哈爾濱·高一黑龍江省哈爾濱市雙城區(qū)兆麟中學(xué)校考期中）已知直線平面，直線平面，則下面命題正確的為（

）A． B．與相交 C． D．與相交【答案】D【詳解】對(duì)于A、B，直線平面，直線平面，若，則與相交或，故A、B錯(cuò)誤；對(duì)于C、D，若，則且，又直線平面，直線平面，所以且，則與相交，故C錯(cuò)誤，D正確．故選：D．高頻考點(diǎn)三：立體幾何中的截線(截面)問題典型例題例題1．（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）如圖，正方體中，試畫出過其中三條棱的中點(diǎn)，，的平面截得正方體的截面形狀．

【答案】答案見解析【詳解】在正方體中，畫直線與的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)，如圖，

畫直線交棱于，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接交分別于點(diǎn)，連接，因此六邊形是過點(diǎn)三點(diǎn)的正方體的截面，如圖，

例題2．（2023春·江蘇·高三江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在四面體中，，，，、分別為、的中點(diǎn)．若用一個(gè)與直線垂直且與四面體各面均相交的平面去截該四面體，則得到的多邊形截面面積的最大值為______．【答案】10【詳解】

由題意，將四面體補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為，則，解得，則，由已知條件可得，，由于，所以可得截面為平行四邊形，由，可得，由，可得，所以，所以可得，設(shè)異面直線與所成角為，則，在中，由余弦定理可得，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào).所以多邊形截面的最大面積為.故答案為：.例題3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，是側(cè)棱的中點(diǎn)，則平面截正方體所得的截面圖形的周長(zhǎng)是________.【答案】【詳解】為中點(diǎn)，連接，正方體中，，，則四邊形為平行四邊形，有，，為中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則，得，則平面截正方體所得的截面圖形為梯形，其中，，，則梯形的周長(zhǎng)為即所得的截面圖形的周長(zhǎng)是故答案為：例題4．（2023·河北唐山·統(tǒng)考二模）正方體的棱長(zhǎng)為2，，分別為棱，的中點(diǎn)，過，，做該正方體的截面，則截面形狀為______，周長(zhǎng)為______．【答案】五邊形【詳解】連接EF并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于N，連接交于Q，連接QF，延長(zhǎng)FE交DA的延長(zhǎng)線于M，連接交于P，連接EP，順次連接，則五邊形即為平面截正方體的截面多邊形，如圖：由題意，正方體的棱長(zhǎng)為2，則，，則為等腰直角三角形，則，根據(jù)∽得，，則，則，，同理可得，，而，則五邊形的周長(zhǎng)為.故答案為：五邊形，.練透核心考點(diǎn)1．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知正方體是棱長(zhǎng)為1的正方體，M是棱的中點(diǎn)，過C、、M三點(diǎn)作正方體的截面，作出這個(gè)截面圖并求出截面的面積．【答案】作圖過程見解析，.【詳解】連接，并延長(zhǎng)，交延長(zhǎng)線于連交于，連接MP，則為過C、、M三點(diǎn)的正方體的截面，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以是的中點(diǎn)，所以是三角形的中位線，所以，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1，所以可得，所以三角形是以為腰，以為底的等腰三角形，邊上的高為，三角形是的面積所以2．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）正方體的棱長(zhǎng)為1，當(dāng)，，分別是，，的中點(diǎn)時(shí)，平面截正方體所截面的周長(zhǎng)為___【答案】【詳解】連接并延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于Q，則過Q作，交于H，交于K，則，過K作，交于T，連接，則六邊形即為平面截正方體所得截面，又均為棱的中點(diǎn)，則截面的周長(zhǎng)為故答案為：3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在正方體中，AB＝1，中點(diǎn)為Q，過三點(diǎn)的截面面積為_____．【答案】/1.125【詳解】解：如圖所示，取的中點(diǎn)P，連接、AQ和，∵分別是，的中點(diǎn)，∴，且，∵，∴，所以四邊形是過三點(diǎn)的截面，且四邊形是梯形，∵AB＝1，∴，，，且等腰梯形的高為，∴截面面積為，故答案為：4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別為棱BC，的中點(diǎn)，G是棱AB上一點(diǎn)，且.過G，E，F(xiàn)三點(diǎn)的平面截該正方體所得截面為______邊形（橫線上填多邊形的邊數(shù)），該截面多邊形的面積為______.【答案】五/5/【詳解】延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為棱BC，的中點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)?，所以點(diǎn)三點(diǎn)共線，連接，設(shè)線段交線段于點(diǎn)，連接，則過G，E，F(xiàn)三點(diǎn)的平面截該正方體所得截面為五邊形，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，，所以中邊上的高為，所以，因?yàn)椋晕暹呅蔚拿娣e為，故答案為：五；.高頻考點(diǎn)四：異面直線所成角典型例題例題1．（2023秋·廣東廣州·高二廣州市白云中學(xué)?？计谀┮阎钱惷嬷本€，，，，，且，，則與所成的角是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)，由，可得：，，故可得：，，，又，，故與所成的角是.故選：C.例題2．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校?？既＃┱庵睦忾L(zhǎng)均相等，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】連接，設(shè)F為的中點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)D，連接，由于四邊形為平行四邊形，故D為的中點(diǎn)，所以，則即為異面直線與所成角或其補(bǔ)角，連接，由于正三棱柱的棱長(zhǎng)均相等，設(shè)棱長(zhǎng)為2，則,，則，故在中，,由于異面直線與BE所成角的范圍為，故異面直線與BE所成角的余弦值為，故選：D例題3．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在正四棱臺(tái)中，，其體積為為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)正四棱臺(tái)的高為，連接，作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連接，則為異面直線與所成角或其補(bǔ)角.因?yàn)?，且正四棱臺(tái)的體積為，即，所以，即，易求，，，，所以.故選：D.

例題4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在直三棱柱中，，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖分別取的中點(diǎn)，連接，如下圖所示：因?yàn)闉橹比庵?，且點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，且，則四邊形為平行四邊形，所以，同理，所以異面直線與所成角為或其補(bǔ)角，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，，，因?yàn)?，所以，在中，，因此，直線與所成角的余弦值為.故選：A.例題5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在正四面體中，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連結(jié)，則由題意知，則為直線與所成角，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，則，則由余弦定理得．故選：C練透核心考點(diǎn)1．（2023·河南·洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在正三棱柱中，，D為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，則異面直線AD與BE所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】D為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，所以