人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第8章 立體幾何初步-小結(jié)（4）綜合問(wèn)題【課件】

小結(jié)（4）綜合問(wèn)題主講人：宋群霞

學(xué)

校：北京市第八十中學(xué)學(xué) 科：數(shù)學(xué)（人教版） 年 級(jí)：高一下學(xué)期高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)深入理解空間直線、平面平行、垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化；

能夠綜合應(yīng)用直線、平面的平行、垂直關(guān)系證明基本的立體幾何問(wèn)題.教難點(diǎn)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：綜合應(yīng)用直線、平面的平行、垂直關(guān)系證明基本的立體幾何問(wèn)題.難點(diǎn):在復(fù)雜的圖形中識(shí)別出平行、垂直關(guān)系的判定定理教、難性點(diǎn)質(zhì)定理的基本圖形．高中數(shù)學(xué)基本事實(shí)

1基本事實(shí)

2推論

1,

推論

2,

推論

3.基本事實(shí)

3基本事實(shí)

4：a∥b,

a∥c

b∥c

l

l

a

l

a

l

l

a

ma

nm

a

n

m

n

O

a

a

bb

高中數(shù)學(xué)基本事實(shí)

1基本事實(shí)

2推論

1,

推論

2,

推論

3.基本事實(shí)

3基本事實(shí)

4：a∥b,

a∥c

b∥c結(jié)論

1：

a//b,l

a

l

b結(jié)論

2：

a

//

b,

a

b

結(jié)論

3：

//

,l

l

結(jié)論

4：

//

,

高中數(shù)學(xué)基本圖形AB⊥平面

BCD,

BC⊥CD.高中數(shù)學(xué)例

1

如圖，在正方體

ABCD－A1B1C1D1

中，求證：（Ⅰ）B1D⊥平面

A1B

C1;（Ⅱ）B1D

與平面

A1B

C1

的交點(diǎn)

H

是△A1C1B

的重心.O證明:（Ⅰ）連接

B1D1，與

A1C1

交于點(diǎn)

O,則

B1D1⊥A1C1又

DD1⊥平面

A1B1C1D1，

DD1⊥A1C1，B1D1

D1D=

D1，

A1C1⊥平面

D1DB1．

A1C1⊥B1D.同理可證

B1D⊥A1B，A1C1∩A1B

=

A1，

B1D⊥平面

A1BC1.高中數(shù)學(xué)證明:（Ⅱ）連接

A1H，BH，C1H，

A1B1=BB1=C1B1，

A1H=BH=C1H，

點(diǎn)

H

為△A1BC1

的外心.又△A1BC1

為正三角形，所以

H

是△A1BC1

的中心也即△A1BC1

的重心.三角形的四心：重心：三邊中線的交點(diǎn)；垂心：三邊高線的交點(diǎn)；內(nèi)心：三條角平分線的交點(diǎn)(內(nèi)切圓的圓心)；外心：三邊中垂線的交點(diǎn)(外接圓的圓心).例

1

如圖，在正方體

ABCD－A1B1C1D1

中，求證：（Ⅰ）B1D⊥平面

A1B

C1;（Ⅱ）B1D

與平面

A1B

C1

的交點(diǎn)

H

是△A1C1B

的重心.高中數(shù)學(xué)引申：

平面

A1BC1

與平面

D1AC

有什么關(guān)系？平面

A1BC1∥平面

D1AC.設(shè)

B1D

與平面

D1AC

交于點(diǎn)

K，點(diǎn)

H

和點(diǎn)

K是

B1D

上的特殊點(diǎn)嗎？KB1H=HK=KD.高中數(shù)學(xué)K設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為

a,RT△B1HB

中，B1B=a,33BH= BC1=33

32a

= 6a

,

B1H=3a2

( 6a)2

=a23 3

( 6a)2

= 3a

,

又

B1D=3a，31 1

B

H=

1 B

D，31同理：DK=

1 B

D，

B1H=HK=KD.G高中數(shù)學(xué)小結(jié)：K設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為

a,①

△A1BC1

和△D1AC

都是正三角形,邊長(zhǎng)為

2a②

平面

A1BC1∥平面

D1AC；③

H、K

為體對(duì)角線

B1D

的兩個(gè)三等分點(diǎn).基本圖形:正方體高中數(shù)學(xué)CABoD設(shè)正三角形的邊長(zhǎng)為

a,小結(jié)：2①正三角形的高h(yuǎn)

43

a

，面積S

3

a2；3②CO:OD=

2:1;③外接圓的半徑R

3

a；6④內(nèi)切圓的半徑r

3a

.基本圖形:正三角形高中數(shù)學(xué)例

2

如圖，在四棱錐

P

ABCD

中，平面

PAC

平面

ABCD

，且

PA

AC

，

PA

AD

2

．四邊形ABCD

滿足

BC AD

，

AB

AD

，

AB

BC

1

．

E

為側(cè)棱

PB

的中點(diǎn)，

F

為側(cè)棱

PC

上的任意一點(diǎn).

（Ⅰ）若

F

為

PC

的中點(diǎn)，求證：

EF平面

PAD

；

（Ⅱ）求證：平面

AFD

平面

PAB

；

（Ⅲ）是否存在點(diǎn)

F

，使得直線

AF

與平面

PCD

垂直？若存在，寫出證明過(guò)程并求出線段

PF

的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

PABCDEF高中數(shù)學(xué)證明：（Ⅰ）因?yàn)?/p>

E,

F

分別為側(cè)棱

PB,

PC

的中點(diǎn)，

所以

EF BC

．

因?yàn)?/p>

BC AD

，所以

EF AD

．

而

EF

平面

PAD

，

AD

平面

PAD

，所以

EF 平面

PAD

．例

2

如圖，在四棱錐

P

ABCD

中，平面

PAC

平面

ABCD

，且

PA

AC

，

PA

AD

2

．四邊形ABCD

滿足

BC AD

，

AB

AD

，

AB

BC

1

．

E

為側(cè)棱

PB

的中點(diǎn)，

F

為側(cè)棱

PC

上的任意一點(diǎn).

（Ⅰ）若

F

為

PC

的中點(diǎn)，求證：

EF 平面

PAD

；

PDABCFE高中數(shù)學(xué)例

2如圖，在四棱錐

P

ABCD

中，平面

PAC

平面

ABCD

，且

PA

AC

，

PA

AD

2

．四邊形ABCD

滿足

BC AD

，

AB

AD

，

AB

BC

1

．

E

為側(cè)棱

PB

的中點(diǎn)，

F

為側(cè)棱

PC

上的任意一點(diǎn).（Ⅱ）求證：平面

AFD

平面

PAB

；

PDABCFE平面

ABCD

平面

PAC

AC

，

且

PA

AC

，

PA

平面

PAC

.

所以

PA

平面

ABCD

，又

AD

平面

ABCD

，所以

PA

AD

．又因?yàn)?/p>

AB

AD

，

PA

AB

A

，所以

AD

平面

PAB

，

而

AD

平面

AFD

，

所以平面

AFD

平面

PAB

．

證明：（Ⅱ）因?yàn)槠矫?/p>

ABCD

平面

PAC

，

高中數(shù)學(xué)例2

如圖，在四棱錐

P

ABCD

中，平面

PAC

平面

ABCD

，且

PA

AC

，

PA

AD

2

．四邊形ABCD

滿足

BC AD

，

AB

AD

，

AB

BC

1

．

E

為側(cè)棱

PB

的中點(diǎn)，

F

為側(cè)棱

PC

上的任意一點(diǎn).

（Ⅲ）是否存在點(diǎn)

F

，使得直線

AF

與平面

PCD

垂直？若存在，寫出證明過(guò)程并求出線段

PF

的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

分析：CBAD平面

PAC⊥平面

PCD．PEFDAB CDC⊥AC高中數(shù)學(xué)．

證明：（Ⅲ）存在點(diǎn)

F

，使得直線

AF

與平面

PCD

垂直.在棱

PC

上顯然存在點(diǎn)

F

,使得

AF

PC

.

由已知，

AB

AD

，

BC AD

，

AB

BC

1

，

AD

2由平面幾何知識(shí)可得

CD

AC

．

由（Ⅱ）知，

PA

平面

ABCD

，所以

PA

CD

，因?yàn)?/p>

PA

AC

A

，所以CD

平面

PAC

．

而

AF

平面

PAC

，所以CD

AF

．

，

2 63可求得，

PC

6,PF

．

3APC可見(jiàn)直線

AF

與平面

PCD

能夠垂直，此時(shí)線段

PF

的長(zhǎng)為

2 6

．又因?yàn)镃D

PC

C

,所以

AF

平面

PCD

.

在

PAC

中，

PA

2,

AC

2,

PAC

90

F高中數(shù)學(xué)小結(jié)：基本圖形平面

ABC

平面

BCD；平面

ABD

平面

BCD；平面

ABC

平面

ACD．AB⊥平面

BCD,

BC⊥CD.高中數(shù)學(xué)鞏固練習(xí):1.在正方體

ABCD－A1B1C1D1

中，過(guò)點(diǎn)

A

作平面

A1BD

的垂線，垂足為點(diǎn)

H.

以下結(jié)論中，錯(cuò)誤的是

(

)A．點(diǎn)

H是△A1BD

的垂心B．AH⊥平面

CB1D1C．AH的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)

C1D．直線

AH

和

BB1

所成的角為

45°答案 D因?yàn)?/p>

AA1∥BB1，所以∠A1AH

為直線

AH

和

BB1

所成的角∠A1AH≠45°，故D

錯(cuò)誤．高中數(shù)學(xué)基本事實(shí)

1基本事實(shí)

2推論

1,

推論

2,

推論

3.基本事實(shí)

3基本事實(shí)

4：a∥b