2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章概率與統(tǒng)計(jì)4.2隨機(jī)變量4.2.1隨機(jī)變量及其與事件的聯(lián)系4.2.2離散型隨機(jī)變量的分布列課后提升訓(xùn)練含解析新人教B版選擇性必修第二冊

4.2隨機(jī)變量4.2.1隨機(jī)變量及其與事務(wù)的聯(lián)系4.2.2離散型隨機(jī)變量的分布列課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.(多選)①某電話亭內(nèi)的一部電話1小時(shí)內(nèi)運(yùn)用的次數(shù)記為X;②某人射擊2次,擊中目標(biāo)的環(huán)數(shù)之和記為X;③測量一批電阻,阻值在950Ω~1200Ω之間;④一個(gè)在數(shù)軸上隨機(jī)運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn),它在數(shù)軸上的位置記為X.其中是離散型隨機(jī)變量的是()A.① B.②C.③ D.④解析①②中變量X全部可能取值是可以一一列舉出來的,是離散型隨機(jī)變量,而③④中的結(jié)果不能一一列出,故不是離散型隨機(jī)變量.故選AB.答案AB2.(2024天津高二期中)同時(shí)拋擲3個(gè)硬幣,正面對上的個(gè)數(shù)是隨機(jī)變量,這個(gè)隨機(jī)變量的全部可能取值為()A.3 B.4C.1,2,3 D.0,1,2,3解析同時(shí)拋擲3個(gè)硬幣,正面對上的個(gè)數(shù)可能取值為0,1,2,3.故選D.答案D3.設(shè)隨機(jī)變量ξ等可能取值1,2,3,…,n,假如P(ξ<4)=0.3,那么()A.n=3 B.n=4C.n=10 D.n=9解析由ξ<4知ξ=1,2,3,所以P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.3=3n,解得n=10.故選C答案C4.(2024山東濰坊檢測)隨機(jī)變量X的概率分布規(guī)律為P(X=n)=an(n+1)(n=1,2,3,4),其中a為常數(shù),則P12<X<A.23 B.34 C.45解析依據(jù)題意,由于P(X=n)=an(n+1),那么可知,n=1,2,3,4時(shí),則可得概率和為1,即a2+a6+a12+a20=1,解得a=54.∴P12答案D5.一用戶在打電話時(shí)忘了號碼的最終四位數(shù)字,只記得最終四位數(shù)字兩兩不同,且都大于5,于是他隨機(jī)撥最終四位數(shù)字(兩兩不同),設(shè)他撥到所要號碼時(shí)總共撥的次數(shù)為ξ,則隨機(jī)變量ξ的全部可能取值的種數(shù)為.

解析由于后四位數(shù)字兩兩不同,且都大于5,因此只能是6,7,8,9四位數(shù)字的不同排列,故有A44=答案246.一批產(chǎn)品分為四級,其中一級產(chǎn)品是二級產(chǎn)品的兩倍,三級產(chǎn)品是二級產(chǎn)品的一半,四級產(chǎn)品與三級產(chǎn)品相等,從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一個(gè)檢驗(yàn)質(zhì)量,設(shè)其級別為隨機(jī)變量ξ,則P(ξ>1)=.

解析依題意,P(ξ=1)=2P(ξ=2),P(ξ=3)=12P(ξ=2),P(ξ=3)=P(ξ=由分布列性質(zhì)得P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4)=1,則4P(ξ=2)=1,即P(ξ=2)=14,P(ξ=3)=P(ξ=4)=1所以P(ξ>1)=P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4)=12答案1實(shí)力提升練1.(2024天津月考)袋中有3個(gè)白球、5個(gè)黑球,從中任取2個(gè),可以作為離散型隨機(jī)變量的是()A.至少取到1個(gè)白球 B.至多取到1個(gè)白球C.取到白球的個(gè)數(shù) D.取到的球的個(gè)數(shù)解析依據(jù)離散型隨機(jī)變量的定義可得選項(xiàng)C是離散型隨機(jī)變量,其可以一一列出,其中隨機(jī)變量X的取值為0,1,2,故選C.答案C2.(多選)下列問題中的隨機(jī)變量聽從兩點(diǎn)分布的是()A.拋擲一枚骰子,所得點(diǎn)數(shù)為隨機(jī)變量XB.某射手射擊一次,擊中目標(biāo)的次數(shù)為隨機(jī)變量XC.從裝有5個(gè)紅球,3個(gè)白球的袋中取1個(gè)球,令隨機(jī)變量X=1D.某醫(yī)生做一次手術(shù),手術(shù)勝利的次數(shù)為隨機(jī)變量X解析A中隨機(jī)變量X的取值有6個(gè),不聽從兩點(diǎn)分布,故選BCD.答案BCD3.設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布如下表所示,則P(|X-3|=1)=()X1234P1m11A.712 B.16 C.14解析m=1-13-14-16=14,P(|X-3|=答案D4.(2024青海高二月考)離散型隨機(jī)變量X的分布列中的部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失,丟失數(shù)據(jù)以x,y(x,y∈N)代替,分布列如下:X=i123456P(X=i)0.200.100.x50.100.1y0.20則P32<X<113等于()A.0.25 B.0.35 C.0.45 D.0.55解析依據(jù)分布列的性質(zhì)知,隨機(jī)變量的全部取值的概率和為1,因此0.1x+0.05+0.1+0.01y=0.4,即10x+y=25,由x,y是0~9間的自然數(shù)可解得x=2,y=5,故P32<X<113=P(X=2)+P(X=3)=0.35.故選B.答案B5.若P(ξ≤n)=1-a,P(ξ≥m)=1-b,其中m<n,則P(m≤ξ≤n)等于.

解析P(m≤ξ≤n)=1-P(ξ>n)-P(ξ<m)=1-[1-(1-a)]-[1-(1-b)]=1-(a+b).答案1-(a+b)6.(2024浙江高三專題練習(xí))設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X=i)=k2i(i=1,2,3),則P(X≥2)=解析因?yàn)殡S機(jī)變量X的分布列P(X=i)=k2i(i=1,2,3),所以P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=k2+k因此P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=38k=3答案37.袋中裝有黑球和白球共7個(gè),從中任取2個(gè)球都是白球的概率為17,現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪番摸取1球,甲先取,乙后取,然后甲再取……取后不放回,直到兩人中有一人取到白球時(shí)終止,每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會是等可能的,用ξ表示取球終止所須要的取球次數(shù)(1)求袋中全部的白球的個(gè)數(shù);(2)求隨機(jī)變量ξ的分布列;(3)求甲取到白球的概率.解(1)設(shè)袋中原有n個(gè)白球,由題意知17=Cn2C72解得n=3或n=-2(舍去),即袋中原有3個(gè)白球.(2)由題意,ξ的可能取值為1,2,3,4,5.P(ξ=1)=37,P(ξ=2)=4×37×6=27,P(ξ=3)=4×3×37×6×5=6ξ12345P32631(3)因?yàn)榧紫热?所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球,記“甲取到白球”為事務(wù)A,則P(A)=P(ξ=1)+P(ξ=3)+P(ξ=5)=2235素養(yǎng)培優(yōu)練1.(2024北京月考)拋擲兩枚骰子一次,ξ為第一枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)與其次枚骰子擲出的點(diǎn)數(shù)之差,則ξ的全部可能的取值為()A.0≤ξ≤5,ξ∈N B.-5≤ξ≤0,ξ∈ZC.1≤ξ≤6,ξ∈N D.-5≤ξ≤5,ξ∈Z解析第一枚的最小值為1,其次枚的最大值為6,差為-5.第一枚的最大值為6,其次枚的最小值為1,差為5.故ξ的取值范圍是-5≤ξ≤5,故選D.答案D2.已知隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ-2-10123P111111分別求出隨機(jī)變量η1=12ξ,η2=ξ2的分布列解由η1=12ξ知,對于ξ取不同的值-2,-1,0,1,2,3時(shí),η1的值分別為-1,-12,