高考數(shù)學(xué)：數(shù)學(xué)歸納法

12.4數(shù)學(xué)歸納法

一、選擇題

1,用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)〃是正奇數(shù)時(shí)，/+/能被x+y整除"，在第二

步時(shí)，正確的證法是（）.

A.假設(shè)〃=4（4￡N.）,證明〃=4+1命題成立

B,假設(shè)〃=在（才是正奇數(shù)），證明〃=4+1命題成立

C.假設(shè)〃=24+1（4CN+）,證明〃=4+1命題成立

D.假設(shè)〃=女（々是正奇數(shù)），證明〃=4+2命題成立

解析A、B、C中，A+1不一定表示奇數(shù)，只有D中左為奇數(shù)，4+2為奇數(shù).

答案D

2.用數(shù)學(xué)歸納法證明"2〃＞仔+1對(duì)于侖小的正整數(shù)〃都成立"時(shí)，第一步

證明中的起始值論應(yīng)?。ǎ?/p>

A.2B.3C.5D.6

解析分別令m=2,3,5,依次驗(yàn)證即可.

答案C

3.對(duì)于不等式/三"+l（w￡N"）,某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過(guò)程如下：

（1）當(dāng)〃=1時(shí)，q/+i〈i+L不等式成立.

（2）假設(shè)當(dāng)〃=女（4右N?且421）時(shí)，不等式成立，即）/+KA+1,則當(dāng)〃=4+1

時(shí)，'k~\~1k+1=^*+34+2＜，M+3.+2+k+2=

7A+2~：=（A+l）+1,

,當(dāng)〃=A+1時(shí)，不等式成立，則上述證法（）.

A.過(guò)程全部正確

B.77=1驗(yàn)得不正確

C.歸納假設(shè)不正確

D.從到〃=4+1的推理不正確

解析在〃=4+1時(shí)，沒有應(yīng)用〃=A時(shí)的假設(shè)，不是數(shù)學(xué)歸納法.

答案D

1_/+2

4.利用數(shù)學(xué)歸納法證明“l(fā)+a+￡+…+——（aWLn@N"）”時(shí)，在驗(yàn)

1—a

證n=l成立時(shí)，左邊應(yīng)該是])

A1B14-a

C1+a+a2Dl+a+a^+a，

解析當(dāng)n=l時(shí)，左邊=l+a+a?,故選C.

答案C

4I2

5.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+…+6=]^,則當(dāng)〃=A+1時(shí)左端應(yīng)在〃=A

的基礎(chǔ)上加上().

A.發(fā)+1

B.(4+1)2

(k+l)4+(k+l)2

2

D.(2+1)+(〃+2)+(〃+3)+…+々+1)2

解析???當(dāng)〃=4時(shí)，左側(cè)=1+2+3+…+〃，

當(dāng)n=k+\時(shí)，

左側(cè)=1+2+3+…+片+左+1)+…+(4+1):

當(dāng)〃=4+1時(shí)，左端應(yīng)在刀=在的基礎(chǔ)上加上

(片+1)+(〃+2)+(片+3)+…+(4+1)2.

答案D

6.下列代數(shù)式(其中4￡N,)能被9整除的是()

A.6+6?7*B.2+7―

C.2(2+7*+l)D.3(2+7*)

解析(1)當(dāng)〃=1時(shí)，顯然只有3(2+79能被9整除.

(2)假設(shè)當(dāng)《=〃(〃￡")時(shí)，命題成立，即3(2+7”)能被9整除，

那么3(2+7.)=21(2+7。)-36.

這就是說(shuō)，4=〃+1時(shí)命題也成立.

由(1)(2)可知，命題對(duì)任何AEN"都成立.

答案D

7.用數(shù)學(xué)歸納法證明1一)+〈一；+…+#彳一"=47+』+…+；，則

234-1，/?z?十1〃十，ZZ?

當(dāng)〃=4+1時(shí)，左端應(yīng)在〃=4的基礎(chǔ)上加上().

A24+2B?-2)+2

C八----1----1--------n----1---4.-----1---

2A+12k+22〃+l2A+2

解析，?,當(dāng)〃=A時(shí)，左側(cè)=1—J+J—%----卜—1—為當(dāng)〃=4+1時(shí)，

ZO4LK-1乙k

1J1,,11,11

工閃2342k-\2424+12k+2'

答案C

二、填空題

8.對(duì)大于或等于2的自然數(shù)勿的〃次方嘉有如下分解方式：

22=1+3,32=1+3+5,42=1+3+5+7；23=3+5,33=7+9+11,

43=13+15+17+19.

根據(jù)上述分解規(guī)律，若方=1+3+5+…+19,忒陞M)的分解中最小的數(shù)是21,

則m+n的值為________.

解析依題意得//JX『9no。,

乙

口，,.mm-1

A/7=10.易知/=21勿+---------X2,

乙

整理得(廣5)(%+4)=0,又加WN*?所以加=5,所以加+〃=15.

答案15

9.用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1X3+3X5Hh(2n-l)(2n+1)=2(2n+1);當(dāng)推證當(dāng)n=k+1等式也成立

時(shí)，用上歸納假設(shè)后需要證明的等式是.

解析當(dāng)n=k+l時(shí)，

I222F(k+1”

1X3+3X5十…十(2k—l)(2k+l)+(2k+l)(2k+3)

_k(k+l)(k+l)」

一2(2k+l)+(2k+l)(2k+3)

Mn弟、TEk(k+D|(k+l)2

故八而證明2(2k+l)+(2k+l)(2k+3)

(k+1)(k+2)

2(2k+3)即可.

把安k(k+l)(k+l)’_(k+l)(k+2)

口茶2(2k+l)+(2k+l)(2k+3)―2(2k+3)

10.如下圖，在楊輝三角形中，從上往下數(shù)共有〃(,￡N*)行，在這些數(shù)中非1

的數(shù)字之和是

1

11

121

1331

14641

解析所有數(shù)字之和S=2°+2+2/+…+2”r=2"-1,

除掉1的和2,—1一(2〃-1)=2"一2〃.

答案2"-2〃

11.在數(shù)列｛a｝中，&=1且，=〃(2〃-1)&,通過(guò)計(jì)算的&,猜想&的表

O

達(dá)式是

解析當(dāng)〃=2時(shí)，&1色=6如即色=上尸急

當(dāng)〃=3時(shí)，囪+"+匈=1533,

即國(guó)=((國(guó)+&)=5

當(dāng)/7=4時(shí)，句+/+色+國(guó)=28的,

即色=*(句+電+國(guó))=表.

1111111

??4=§=]><3'"2=記=3乂5‘舔=而=5><7'的=7X9'

1

故猜想3=

n27?-12/?+1

答案an=2n-l2z?+l

12.用數(shù)學(xué)歸納法證明"當(dāng)月為正奇數(shù)時(shí)，/+/能被x+y整除"，當(dāng)?shù)诙?/p>

假設(shè)〃=24—1(4￡N")命題為真時(shí)，進(jìn)而需證〃=時(shí)，命題亦真.

解析為正奇數(shù)，假設(shè)〃=24—1成立后，需證明的應(yīng)為〃=24+1時(shí)成立.

答案答+1

三、解答題

13.用數(shù)學(xué)歸納法證明下面的等式

l2-22+32-42+-+(-l)fl--4=(一1尸，與1

證明(1)當(dāng)〃=1時(shí)，左邊=F=1,

IX1+1

右邊=(-1)°?

?,?原等式成立.

(2)假設(shè)〃=a(〃￡N*,Q1)時(shí),等式成立，

即有12-22+32-42+-+(-1)*_,?必

=(-

那么，當(dāng)〃=4+1時(shí)，則有

12-22+32-42+-+(-1)*-1-六+(-1)&(4+1)2

kkA-1

=(—i)J:+(—>?a+i)2

1

=(—1)3年[-4+2(A+l)]

kA+lA+2

=(-1)

2

.,?〃=4+1時(shí)，等式也成立，

由(1)(2)得對(duì)任意有

12+32-4葉…+(-1尸?4=(-1廠區(qū)

14.己知數(shù)列｛4｝中，at=a(a＞2),對(duì)一切〃WN*,&〉0,a+】=

2an-l

求證：區(qū)＞2且為+1V區(qū).

證明法一,』=23＞仇

??19

20,

2an-\—\

???422.若存在&=2,則&T=2,

由此可推出為-2=2,…，科=2,

與d=a＞2矛盾，故為＞2.

..a2-a

?a#i—a,=7njniV0,

2an-\

??a）+iv4.

法二（用數(shù)學(xué)歸納法證明為>2）

①當(dāng)〃=1時(shí)，a^=a>2,故命題a〃>2成立；

②假設(shè)〃=〃儀21且時(shí)命題成立，

濕&—22

即為>2,3B么，日什1——2——j——2=~j>0.

zak-1zak-1

所以a+i＞2,即〃=4+1時(shí)命題也成立.

綜上所述，命題為＞2對(duì)一切正整數(shù)成立.

為+1V%的證明同上.

15.已知數(shù)列｛4｝中，句=1,a=c——.

n+｛為

5I

（1）設(shè)。=5b=-求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

2na—2

⑵求使不等式為Va+iV3成立的c的取值范圍.

el/、-51八4—212a4,

解析D&+L2=5_7_2=2,~一與=_n2=.1—2+

（乙C*n乙“〃N/rH乙乙C*n乙

即時(shí)1=44+2.

2/2、1

，〃+1+鼻=44+不，又句=1,故瓦=-----z=-1,

O\o）31—Z

所以是首項(xiàng)為一小公比為4的等比數(shù)列，

oJ

21尸2

4+鼻=一鼻義4"，b=-z--

<5<5nJ<5

（2）d]=l,&z=c-1,由也>4，得。>2.

用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)c>2時(shí)，烝〈小

3）當(dāng)〃=1時(shí)，a2=c-->51，命題成立；

（ii）設(shè)當(dāng)〃=4（421且女CN*）時(shí)，&V&+”

則當(dāng)n=k+l時(shí)，

11

&+2=c---->c=&+I.

&+ia

故由（i）（ii）知當(dāng)。>2時(shí)，aW*.

當(dāng)。>2時(shí)，因?yàn)閏=4+i+工>4+',

a?an

所以襦-C&+1V0有解，

所以￡=/<&<￡±尹，令

當(dāng)2Vc<當(dāng)時(shí)，

J

當(dāng)乎時(shí)，。>3,且1〈品V。，于是a—a什]=^7（。一d）v）（。―a“）V4

3ano33

（。一男一）<?,?/（a-1）.

Q—]

當(dāng)〃>log3Q_3時(shí)'a-&+i<a—3,4+】>3,與已知矛盾.

因此c>與不符合要求.

所以。的取值范圍是（2,y.

16.是否存在常數(shù)仄b、c使等式l2+22+32+-+/72+（/7-l）2+-?+22+12=

d〃（2療+。）對(duì)于一切〃GN'都