概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章 隨機事件及其概率課件

概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率社會現(xiàn)象的分類

確定性現(xiàn)象模糊現(xiàn)象隨機現(xiàn)象概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率

隨機現(xiàn)象帶有隨機性、偶然性的現(xiàn)象.隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性概率論正是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的一門學科.概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率第一章隨機事件及其概率概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率樣本空間與隨機事件1.1概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率對研究對象進行觀察或試驗，即隨機試驗，簡稱試驗。

隨機試驗

擲一枚正六面體的色子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)。從水泥自動生產(chǎn)流水線上任意抽取一袋水泥，稱其重量。一射手打靶，直到擊中靶心為止，記錄其射擊次數(shù)。概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率

隨機試驗的特點實驗可以在相同條件下重復進行每次試驗，可能出現(xiàn)各種不同結(jié)果每次試驗，實際只出現(xiàn)一種結(jié)果，至于實際出現(xiàn)哪一種結(jié)果，試驗之前是無法預先知道的概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率

樣本空間與樣本點隨機試驗的每個基本結(jié)果稱為樣本點，記為ω。

全體樣本點的集合稱為樣本空間，記為Ω。.

ΩA樣本點ω.....概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率樣本點簡記為：

wi

={出現(xiàn)i點},i=1,2,…,6。則樣本空間可記為Ω={w1，w2，…,w6}

例子擲骰子打靶直到擊中靶心為止，記錄其射擊次數(shù):wi

={直到第i次才擊中目標},i=1,2,…。則樣本空間可記為Ω={w1，w2，…}

。概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率在隨機試驗中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事情稱為隨機事件，簡稱事件.

隨機事件“擲出奇數(shù)點”“擲出1點”概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率事件就是由樣本點組成的某個集合..

ΩA樣本點ω.....概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率事件基本事件：實驗中不可再分解的事件。復合事件：兩個或一些基本事件并在一起，就構(gòu)成一個復合事件。"擲出奇數(shù)點"“擲出1點”概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率必然事件:在試驗中必定發(fā)生的事件，記為Ω;

不可能事件:在一次試驗中不可能發(fā)生的事件，記為φ

。在擲骰子試驗中，“點數(shù)小于7”和“點數(shù)為8”是隨機事件嗎？概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率23479108615

例1.一個袋子裝有10個大小、形狀完全相同的球.將球編號為1－10.把球攪勻，從中任取一球.wk={取出的球號為k},k=1,…,10Ω={w1，w2，…,w10}A~"取出的球號為偶數(shù)"B~"取出的球號大于8"A={w2，w4，w6，w8,w10}B={w9，w10}D~"取出的球號不大于10"C~"取出的球號大于10"概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率1.事件的包含2.事件的相等3.事件的積（交）4.互不相容（互斥）事件

事件間的關(guān)系概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率5.事件的和（并）6.對立事件7.差事件

事件間的關(guān)系概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率1.交換律2.結(jié)合律3.分配律4.對偶原則

事件的運算法則概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率例2.概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率例3.概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率概率的直觀意義1.2概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率在n次重復實驗中，事件A出現(xiàn)m次，則n次實驗中，事件A出現(xiàn)的頻率fn(A)=m/n

統(tǒng)計概率概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率

擲硬幣試驗概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率頻率穩(wěn)定性指的是：當各輪試驗次數(shù)n1,n2,…,ns

充分大時，在各輪試驗中事件A出現(xiàn)的頻率總在一個定值附近擺動.而且，試驗次數(shù)越多，一般來說擺動越小.頻率

穩(wěn)定在某個值

附近頻率的穩(wěn)定值說明隨機事件發(fā)生的可能性大小是客觀存在的，是不以人的意志為轉(zhuǎn)移的客觀規(guī)律，這正是隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性。概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率在相同條件下對實驗E重復進行n次，其中事件A出現(xiàn)m次。當實驗次數(shù)n充分大時，事件A出現(xiàn)的頻率fn(A)=m/n的穩(wěn)定值p,稱為事件A的概率，記為P(A).P(A)≈fn(A)=m/n

概率的統(tǒng)計定義概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率

統(tǒng)計概率的性質(zhì)非負性：0≤P(A)≤1規(guī)范性：P(Ω)=1有限可加性：若A1，A2，…，An是一組兩兩互不相容的事件，則有概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率

頻率和概率有什么區(qū)別和聯(lián)系？頻率決定于實驗，而概率是先于實驗而客觀存在的。對于較大的n，n次試驗中事件A的頻率，一般與事件A的概率P相差不大，試驗次數(shù)n越大，頻率與概率有較大偏差的情形就越少見.因此人們常取實驗次數(shù)很大時事件的頻率或一系列頻率的平均值作為概率的估計值。概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率例2.抽查某廠的某一產(chǎn)品100件，發(fā)現(xiàn)有

5件不合格品，則不合格品(事件A)的概率為P（A）≈5/100=5%概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率醫(yī)生在檢查完病人的時候搖搖頭,“你的病很重，在十個得這種病的人中只有一個能救活.”當病人被這個消息嚇得夠嗆時，醫(yī)生繼續(xù)說“但你是幸運的.因為你找到了我，我已經(jīng)看過九個病人了，他們都死于此病.”概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率23479108615

例.一個袋子中裝有10個大小、形狀完全相同的球，其中六個紅球，四個白球，把球攪勻，蒙上眼睛，從中任取一球，求取到紅球的概率。

古典概率概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率有限性：試驗只有有限個基本事件

古典概型實驗等可能性：任何兩個基本事件不可能同時出現(xiàn)，且每次實驗中各可能結(jié)果出現(xiàn)的可能性均相同概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率n個基本事件m個

概率的古典定義若試驗中只有n個等可能的基本事件，而某個事件A由其中m個基本事件組成,則m/n為事件A的概率，即概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率

古典概率的性質(zhì)非負性：0≤P(A)≤1規(guī)范性：P(Ω)=1有限可加性：若A1，A2，…，An是一組兩兩互不相容的事件，則有概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率

古典概率計算舉例例1.從0，1，2,…，9共10個數(shù)字中任取1

個，假定每個數(shù)字都以1/10的概率被取中，取后放回，先后取出4個數(shù)字，試求下列各事件的概率。A1

：“4個數(shù)字各不相同”A2

：“4個數(shù)字組成一個3位數(shù)”A3

：“4個數(shù)字組成一個4位偶數(shù)”A4

：“4個數(shù)字恰好有2個0”概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率

古典概率計算舉例例2.設(shè)有n個人，每個人都等可能地被分配到N個房間中的任意一間中去住(n≤N)，且設(shè)每個房間可容納的人數(shù)不限，求下列事件的概率。A={某指定的n個房間中各有一個人住}。B={恰好有n個房間，其中各住一人}。C={某指定的一間房中恰好有m(m<n)人}.概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率

古典概率計算舉例例3.一批產(chǎn)品共有N件，其中M件是廢品?，F(xiàn)在從全部N件產(chǎn)品中隨機的抽取n件（n≤N),求恰好取到m(m≤M)件次品的概率。概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率

古典概率計算舉例例4.設(shè)有帶號碼1，2，3，4的四件物品，任意地放在標有1，2，3，4的空格中，求下列事件的概率。A={四件物品剛好都放在相應標號的空格中}B={沒有一件物品與所占空格號碼相一致}概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率

幾何概率A向該正方形隨機投針，求針落在紅色區(qū)域A的概率

幾何概型實驗有限區(qū)域、無限樣本點等可能性概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率

概率的幾何定義在幾何概型試驗中，設(shè)樣本空間為Ω，事件A包含于Ω，則事件A發(fā)生的概率為其中幾何度量指長度、面積或體積等。概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率

幾何概率應用1.設(shè)公共汽車每5分鐘一班，求乘客在車站等車不超過1分鐘的概率。2.在圓周上任取三個點A,B,C,求三角形ABC為銳角三角形的概率。概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率概率的公理化定義1.3概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率

概率的公理化定義設(shè)隨機試驗E的樣本空間為Ω，對試驗E的任一隨機事件A，定義一個實值函數(shù)P(A),若滿足：非負性規(guī)范性可列可加性：若A1,A2,…,An,…兩兩互不相容，則有則稱P(A)為事件A的概率。概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率

概率的重要性質(zhì)P(φ)=0有限可加性：若A1,A2,…,An是一組兩兩互不相容的事件，則有對任一隨機事件A,有若A包含B,有P(A-B)=P(A)-P(B)對任意事件A、B,有概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率

推論對任意事件A、B，有P(A-B)=P(A)-P(AB)若A包含B,有P(A)≥P(B)若AB=φ,有P(A+B)=P(A)+P(B)對任意n個事件A1,A2,…,An,有概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率例1.已知 在下列3種情況下分別求出 的值。

A與B互不相容；

；

例2.一批電子元件共有100件，其中有5件

次品，現(xiàn)從中任取5件，求其中至少有

一件

次品的概率。概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率條件概率與乘法公式1.4概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率設(shè)Ａ、B是隨機試驗E的兩個隨機事件，且P(A)>0,則稱為已知事件A發(fā)生條件下，事件B發(fā)生的條件概率。

條件概率概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率例1.某消費公司一直為某種肥皂產(chǎn)品做電視廣告，并對該產(chǎn)品進行了調(diào)查。設(shè)事件A表示“某人買了該產(chǎn)品”B表示“某人看過該廣告”C表示“某人既買了該產(chǎn)品又看過該廣告”若P(A)=0.2,P(B)=0.4,P(C)=0.12,則某人看過廣告會使他購買該產(chǎn)品的概率增加嗎？P(A|B)=P(AB)/P(B)=P(C)/P(B)=0.12/0.4=0.3>P(A)概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率例2.設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，現(xiàn)從中連續(xù)抽取兩件產(chǎn)品，在有一件是不合格品的情況下，問另一件也是不合格品的概率為多少？概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率

乘法公式設(shè)A，B為任意事件，若P(A)>0，P(AB)=P(A)P(B|A)若P(B)>0，P(AB)=P(B)P(A|B)推廣到n個事件的情況概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率例3.設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，現(xiàn)從中連續(xù)抽取兩次，每次1件，問第二次取得合格品的概率為多少？例4.已知某廠家的一批產(chǎn)品共100件，其中有5

件次品，但是采購員并不知道有幾件次品，為慎重起見，他對產(chǎn)品進行不放回的抽樣檢查，如果在被他抽查的3件產(chǎn)品中至少有一件是次品，則他拒絕購買這一批產(chǎn)品，求采購員購買這批產(chǎn)品的概率。概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率

全概率公式設(shè)A1,A2,…,An是完備事件組，P(Ak)>0(k=1,2,…,n)，且則對于事件B,有概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率例5.某保險公司把被保險人分為三類：“安全

的”、“一般的”與“危險的”。統(tǒng)計資料表

明，對于上述3種人而言，在一年期間內(nèi)發(fā)

生事故的概率依次為0.05、0.15與0.30。如

果在被保險人中“安全的”占15%，“一般

的”占55%，“危險的”占30%，試問：

1.任一被保險人在一年中發(fā)生事故的概

率是多少？

2.如果某被保險人在一年中發(fā)生了事故，

則他屬于“危險的”一類人的概率是多

少？概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率

由此可以形象地把全概率公式看成為“由原因推結(jié)果”，每個原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的“作用”，即結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的“作用”大小有關(guān).全概率公式表達了它們之間的關(guān)系.A1A2A3A4A5A6A7A8B諸Ai是原因B是結(jié)果概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率實際中還有下面一類問題，是“已知結(jié)果找原因”被保險人出事故危險的？一般的？安全的？概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率

貝葉斯公式設(shè)A1,A2,…,An是完備事件組，P(Ak)>0(k=1,2,…,n)，且則B已發(fā)生的條件下,Ak發(fā)生的概率為概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率例6.甲胎蛋白試驗法是早期發(fā)現(xiàn)肝癌的一種有效手段。據(jù)統(tǒng)計，肝癌患者甲胎蛋白試驗呈陽性反應的概率為95%，非肝癌患者甲胎蛋白試驗呈陽性反應的概率為4%。已知某地人群中肝癌患者占0.4%，現(xiàn)在此地有一人用甲胎蛋白試驗法進行檢查，結(jié)果顯示陽性，問這人確定是肝癌患者的概率是多少？概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率事件的獨立性1.5概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率23479108615

例如，一個袋子中裝有10個大小、形狀完全相同的球，其中六個紅球，四個白球，把球攪勻。1.連續(xù)兩次從中任取一球，求兩次都取到紅球的概率。2.取一球后放回袋中再任取一球，求兩次都取到紅球的概率。概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率

事件獨立性若兩事件A、B滿足P(AB)=P(A)P(B)，則稱A、B相互獨立。若P(A)>0，P(B)>0，A、B相互獨立，則有P(A)=P(A|B)，P(B)=P(B|A)。概率為零的事件與任何事件相互獨立。概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率定理：若兩事件A、B獨立，則證：概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率

什么關(guān)系？互不相容獨立性若AB獨立，則P(AB)=P(A)P(B)若AB=Φ，則P(A+B)=P(A)+P(B)概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率例1.設(shè)甲、乙兩射手擊中目標的概率分別

是0.7與0.8，現(xiàn)各射擊一次，試求同時擊中目標的概率。至少有一個擊中目標的概率。恰有一人擊中目標的概率。概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章隨機事件及其概率

多個事件的獨立性

對于三個事件A、B、C，若

P(AB)=P(A)P(B)

P(AC)=P