小學(xué)數(shù)學(xué)6年級培優(yōu)奧數(shù)講義-第14講-圓類面積計算(含解析)-

第14講圓類面積計算教學(xué)目標教學(xué)目標熟練掌握圓類面積計算的八種方法：相加法、相減法、重新組合法、割補法、平移法、旋轉(zhuǎn)法、對稱添補法、重疊法；能運用上述方法快速解題。知識梳理知識梳理圓的面積：，扇形的面積：。無特殊說明，圓周率都取π=3.14。典例分析典例分析考點1：相加法將不規(guī)則圖形分解轉(zhuǎn)化成幾個基本規(guī)則圖形，分別計算它們的面積，然后相加求出整個圖形的面積。例1、下圖中，要求整個圖形的面積，只要先求出上面半圓的面積，再求出下面正方形的面積，然后把它們相加就可以了?？键c2：相減法將所求的不規(guī)則圖形的面積看成是若干個基本規(guī)則圖形的面積之差。例1、下圖中，若求陰影部分的面積，只需先求出正方形的面積再減去里面圓的面積即可?？键c3：重新組合法將不規(guī)則圖形拆開，根據(jù)具體情況和計算上的需要，重新組合成一個新的圖形，設(shè)法求出這個新圖形的面積即可。例1、欲求下圖中陰影部分的面積，可以把它拆開使陰影部分分布在正方形的4個角處，這時就可以采用相減法求出其面積了?？键c4：割補法將原圖形的一部分切割下來補在圖形中的另一部分使之成為基本規(guī)則圖形，從而使問題得到解決。例1、如下圖，欲求陰影部分的面積，只需把右邊弓形切割下來補在左邊，這樣整個陰影部分的面積恰是正方形面積的一半?？键c5：平移法將圖形中某一部分切割下來平行移動到一恰當(dāng)位置，使之組合成一個新的基本規(guī)則圖形，便于求出面積。例1、下圖中，欲求陰影部分的面積，可先沿中間切開把左邊正方形內(nèi)的陰影部分平行移到右邊正方形內(nèi)，這樣整個陰影部分恰是一個正方形?？键c6：旋轉(zhuǎn)法將圖形中某一部分切割下來之后，使之沿某一點或者某一軸旋轉(zhuǎn)一定角度貼補在另一圖形的一側(cè)，從而組合成一個新的基本規(guī)則圖形，便于求出面積。例1、欲求下圖(1)中陰影部分的面積，可以將左半圖形繞B點逆時針方向旋轉(zhuǎn)180度，使A與C重合，從而構(gòu)成如下圖(2)的樣子，此時陰影部分的面積可以看成半圓面積減去中間等腰直角三角形的面積?？键c7：對稱添補法作出原圖形的對稱圖形，從而得到一個新的基本規(guī)則圖形，原來圖形的面積就是這個新圖形的一半。例1、下圖中，欲求右圖中陰影部分的面積，沿AB在原圖下方作關(guān)于AB為對稱軸的對稱扇形ABD。弓形CBD的面積的一半就是所求陰影部分的面積?？键c8：重疊法將所求圖形看成是兩個或兩個以上圖形的重疊部分，然后運用“容斥原理”解決。注：容斥原理：例1、欲求下圖陰影部分的面積，可先求兩個扇形面積的和，減去正方形面積，因為陰影部分的面積恰好是兩個扇形重疊的部分。實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練課堂狙擊1、求圖中陰影部分的面積(單位：厘米)。2、下圖是一個直角等腰三角形,直角邊長2厘米,求圖中陰影部分面積。3、如右圖,陰影部分的面積為2平方厘米,求等腰直角三角形的面積。4、ABC是等腰直角三角形.D是半圓周的中點,BC是半圓的直徑,已知:AB=BC=10,那么陰影部分的面積是多少?(圓周率)A10DCA10DCB5、右圖中4個圓的圓心是正方形的4個頂點,它們的公共點是該正方形的中心.如果每個圓的半徑都是1厘米,那么陰影部分的總面積是多少平方厘米?6、如圖所示，求圖中陰影部分的面積(單位：厘米)。課后反擊1、求圖中陰影部分的面積(單位：厘米)。2、求如圖所示，圖中圓的直徑AB是4厘米，平行四邊形ABCD的面積是7平方厘米，∠ABC＝30度，求陰影部分的面積(得數(shù)保留兩位小數(shù))。在圖中，正方形的邊長是10厘米，求圖中陰影部分的面積。4、三角形ABC是直角三角形,陰影部分①的面積比陰影部分②的面積小28平方厘米.AB長40厘米,求BC長。5、如圖19－10所示，兩圓半徑都是1厘米，且圖中兩個陰影部分的面積相等。求長方形ABO1O的面積。如圖所示，求圖中陰影部分的面積。直擊賽場直擊賽場1、如圖，圓O的直徑AB與CD互相垂直，AB=20厘米，以C為圓心，CA為半徑畫圓弧AB，則陰影部分的面積是()平方厘米。2、如圖，邊長為12cm的正方形與直徑為16cm的圓部分重疊(圓心是正方形的一個頂點)，用S1，S2分別表示兩塊空白部分的面積，則S1—S2=cm2(圓周率取3)。重點回顧重點回顧=1\*GB3①有些圓類面積計算必須借助于圖形本身的特征，添加一些輔助線，運用平移旋轉(zhuǎn)、剪拼組合等方法，對圖形進行恰當(dāng)合理的變形，再經(jīng)過分析推導(dǎo)，方能尋求出解題的途徑。=2\*GB3②在進行組合圖形的面積計算時，要仔細觀察，認真思考，看清組合圖形是由幾個基本單位組成的，還要找出圖中的隱蔽條件與已知條件和要求的問題間的關(guān)系。=3\*GB3③對于一些比較復(fù)雜的組合圖形，有時直接分解有一定的困難，這時，可以通過把其中的部分圖形進行平移、翻折或旋轉(zhuǎn)，化難為易。有些圖形可以根據(jù)“容斥問題“的原理來解答。名師點撥名師點撥=1\*GB3①在正方形里的最大圓的面積占所在正方形的面積的eq\f(3.14,4),而在圓內(nèi)的最大正方形占所在圓的面積的eq\f(2,3.14)。=2\*GB3②在圓的半徑r用小學(xué)知識無法求出時，可以把“r2”整體地代入面積公式求面積。學(xué)霸經(jīng)驗學(xué)霸經(jīng)驗本節(jié)課我學(xué)到我需要努力的地方是

第14講圓類面積計算教學(xué)目標教學(xué)目標熟練掌握圓類面積計算的八種方法：相加法、相減法、重新組合法、割補法、平移法、旋轉(zhuǎn)法、對稱添補法、重疊法；能運用上述方法快速解題。知識梳理知識梳理圓的面積：，扇形的面積：。無特殊說明，圓周率都取π=3.14。典例分析典例分析考點1：相加法將不規(guī)則圖形分解轉(zhuǎn)化成幾個基本規(guī)則圖形，分別計算它們的面積，然后相加求出整個圖形的面積。例1、下圖中，要求整個圖形的面積，只要先求出上面半圓的面積，再求出下面正方形的面積，然后把它們相加就可以了?？键c2：相減法將所求的不規(guī)則圖形的面積看成是若干個基本規(guī)則圖形的面積之差。例1、下圖中，若求陰影部分的面積，只需先求出正方形的面積再減去里面圓的面積即可?？键c3：重新組合法將不規(guī)則圖形拆開，根據(jù)具體情況和計算上的需要，重新組合成一個新的圖形，設(shè)法求出這個新圖形的面積即可。例1、欲求下圖中陰影部分的面積，可以把它拆開使陰影部分分布在正方形的4個角處，這時就可以采用相減法求出其面積了?？键c4：割補法將原圖形的一部分切割下來補在圖形中的另一部分使之成為基本規(guī)則圖形，從而使問題得到解決。例1、如下圖，欲求陰影部分的面積，只需把右邊弓形切割下來補在左邊，這樣整個陰影部分的面積恰是正方形面積的一半?？键c5：平移法將圖形中某一部分切割下來平行移動到一恰當(dāng)位置，使之組合成一個新的基本規(guī)則圖形，便于求出面積。例1、下圖中，欲求陰影部分的面積，可先沿中間切開把左邊正方形內(nèi)的陰影部分平行移到右邊正方形內(nèi)，這樣整個陰影部分恰是一個正方形。考點6：旋轉(zhuǎn)法將圖形中某一部分切割下來之后，使之沿某一點或者某一軸旋轉(zhuǎn)一定角度貼補在另一圖形的一側(cè)，從而組合成一個新的基本規(guī)則圖形，便于求出面積。例1、欲求下圖(1)中陰影部分的面積，可以將左半圖形繞B點逆時針方向旋轉(zhuǎn)180度，使A與C重合，從而構(gòu)成如下圖(2)的樣子，此時陰影部分的面積可以看成半圓面積減去中間等腰直角三角形的面積?？键c7：對稱添補法作出原圖形的對稱圖形，從而得到一個新的基本規(guī)則圖形，原來圖形的面積就是這個新圖形的一半。例1、下圖中，欲求右圖中陰影部分的面積，沿AB在原圖下方作關(guān)于AB為對稱軸的對稱扇形ABD。弓形CBD的面積的一半就是所求陰影部分的面積?？键c8：重疊法將所求圖形看成是兩個或兩個以上圖形的重疊部分，然后運用“容斥原理”解決。注：容斥原理：例1、欲求下圖陰影部分的面積，可先求兩個扇形面積的和，減去正方形面積，因為陰影部分的面積恰好是兩個扇形重疊的部分。實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練課堂狙擊1、求圖中陰影部分的面積(單位：厘米)?！窘馕觥咳鐖D所示的特點，陰影部分的面積可以拼成圓的面積。62×3.14×＝28.26(平方厘米)

2、下圖是一個直角等腰三角形,直角邊長2厘米,求圖中陰影部分面積?！窘馕觥坑蓤D示可知,圖中陰影部分面積為兩個圓心角為的扇形面積減去直角三角形的面積.即(平方厘米)。3、如右圖,陰影部分的面積為2平方厘米,求等腰直角三角形的面積?！窘馕觥繉⒌妊苯侨切窝a成一個正方形,設(shè)正方形邊長為x厘米,則圓的半徑為厘米.圖中陰影部分面積是正方形與圓的面積之差的,于是有,解得.故等腰直角三角形的面積為(平方厘米)。4、ABC是等腰直角三角形.D是半圓周的中點,BC是半圓的直徑,已知:AB=BC=10,那么陰影部分的面積是多少?(圓周率)A10DCA10DCB【解析】如圖作出輔助線,則陰影部分的面積為三角形AED的面積減去正方形BEDO的面積再加上圓面積的。三角形AED的面積是;正方形面積是,圓面積的是,故陰影部分面積為:(平方厘米)。5、右圖中4個圓的圓心是正方形的4個頂點,它們的公共點是該正方形的中心.如果每個圓的半徑都是1厘米,那么陰影部分的總面積是多少平方厘米?【解析】正方形可以分割成兩個底為2,高為1的三角形,其面積為(平方厘米).正方形內(nèi)空白部分面積為4個圓即一個圓的面積與正方形面積之差,即(平方厘米),所有空白部分面積為平方厘米.故陰影部分面積為四個圓面積之和與兩個空白面積之和的差,即為(平方厘米)。6、如圖所示，求圖中陰影部分的面積(單位：厘米)?！窘馕?】先用長方形的面積減去小扇形的面積，得空白部分(a)的面積，再用大扇形的面積減去空白部分(a)的面積。如圖所示。3.14×62×1/4－(6×4－3.14×42×1/4)＝16.82(平方厘米)【解析2】把陰影部分看作(1)和(2)兩部分如圖20－8所示。把大、小兩個扇形面積相加，剛好多計算了空白部分和陰影(1)的面積，即長方形的面積。3.14×42×1/4+3.14×62×1/4－4×6＝16.28(平方厘米)課后反擊1、求圖中陰影部分的面積(單位：厘米)?！窘馕觥筷幱安糠滞ㄟ^翻折移動位置后，構(gòu)成了一個新的圖形(如圖所示)。從圖中可以看出陰影部分的面積等于大扇形的面積減去大三角形面積的一半。3.14×42×1/4－4×4÷2÷2＝8.56(平方厘米)。2、求如圖所示，圖中圓的直徑AB是4厘米，平行四邊形ABCD的面積是7平方厘米，∠ABC＝30度，求陰影部分的面積(得數(shù)保留兩位小數(shù))?！窘馕觥筷幱安糠值拿娣e等于平行四邊形的面積減去扇形AOC的面積，再減去三角形BOC的面積。半徑：4÷2＝2(厘米)扇形的圓心角：180－(180－30×2)＝60(度)扇形的面積：2×2×3.14×60/360≈2.09(平方厘米)三角形BOC的面積：7÷2÷2＝1.75(平方厘米)7－(2.09+1.75)＝3.16(平方厘米)。在圖中，正方形的邊長是10厘米，求圖中陰影部分的面積?！窘馕?】先用正方形的面積減去一個整圓的面積，得空部分的一半(如圖所示)，再用正方形的面積減去全部空白部分?？瞻撞糠值囊话耄?0×10－(10÷2)2×3.14＝21.5(平方厘米)陰影部分的面積：10×10－21.5×2＝57(平方厘米)?！窘馕?】把圖中8個扇形的面積加在一起，正好多算了一個正方形(如圖所示)，而8個扇形的面積又正好等于兩個整圓的面積。(10÷2)2×3.14×2－10×10＝57(平方厘米)。4、三角形ABC是直角三角形,陰影部分①的面積比陰影部分②的面積小28平方厘米.AB長40厘米,求BC長?！窘馕觥繌膱D中可以看出陰影部分①加上空白部分的面積是半圓的面積,陰影部分②加上空白部分的面積是三角形ABC的面積.又已知①的面積比②的面積小28平方厘米,故半圓面積比三角形ABC的面積小28平方厘米。半圓面積為(平方厘米),三角形ABC的面積為628+28=656(平方厘米).BC的長為(厘米)。5、如圖19－10所示，兩圓半徑都是1厘米，且圖中兩個陰影部分的面積相等。求長方形ABO1O的面積?！窘馕觥恳驗閮蓤A的半徑相等，所以兩個扇形中的空白部分相等。又因為圖中兩個陰影部分的面積相等，所以扇形的面積等于長方形面積的一半(如圖19－10右圖所示)。所以3.14×12×1/4×2＝1.57(平方厘米)。如圖所示，求圖中陰影部分的面積?！窘馕?】陰影部分的一半，可以看做是扇形中減去一個等腰直角三角形(如圖)，等腰直角三角形的斜邊等于圓的半徑，斜邊上的高等于斜邊的一半，圓的半徑為20÷2＝10厘米[3.14×102×1/4－10×(10÷2)]×2＝107(平方厘米)。【解析2】以等腰三角形底的中點為中心點。把圖的右半部分向下旋轉(zhuǎn)90度后，陰影部分的面積就變?yōu)閺陌霃綖?0厘米的半圓面積中，減去兩直角邊為10厘米的等腰直角三角形的面積所得的差。(20÷2)2×1/2－(20÷2)2×1/2＝107(平方厘米)。直擊賽場直擊賽場1、(2016年希望杯第18題)如圖，圓O的直