黃金卷01（江蘇專用）-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學模擬卷（解析版）

PAGE1試卷第=page22頁，共=sectionpages2222頁【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學模擬卷（江蘇專用）黃金卷01（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題可得：或，則.故選：D.2．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，則，有.故選：A3．若n為一組從小到大排列的數(shù)1，2，4，8，9，10的第六十百分位數(shù)，則二項式的展開式的常數(shù)項是（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】A【解析】因為n為一組從小到大排列的數(shù)1，2，4，8，9，10的第六十百分位數(shù)，，所以，二項式的通項公式為，令，所以常數(shù)項為，故選：A4．若函數(shù)為偶函數(shù)，則實數(shù)（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】由函數(shù)為偶函數(shù)，可得，即，解之得，則，故為偶函數(shù)，符合題意.故選：B5．在數(shù)列中，為其前n項和，首項，且函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)有唯一零點，則=（）A.26 B.63 C.57 D.25【答案】C【解析】因為，所以，由題意可知：有唯一零點.令，可知為偶函數(shù)且有唯一零點，則此零點只能0，即，代入化簡可得：，又，所以，，，，所以.故選：C6.已知，分別為橢圓：的左、右焦點，點在上，若大于，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因橢圓：，所以，，所以，所以，，因為點在上，所以，所以，，又，，所以，又，，所以，因為大于，所以，所以，解得，所以的取值范圍是.故選：.7．已知，則（）A.3 B. C. D.2【答案】A【解析】因為，可得，且，則，可得，則，所以.故選：A.8．已知一個正四棱臺的上、下底面邊長分別為2，8，側(cè)棱長為，則該正四棱臺內(nèi)半徑最大的球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】作出如圖所示正四棱臺，其中為正四棱臺的高，為其斜高，因為正四棱臺的上、下底面邊長分別為2，8，側(cè)棱長為，則，，，因為，故半徑最大的球不與上下底面同時相切，，則，則，過作正四棱臺的截面，截球得大圓，則該圓與等腰梯形兩腰和下底相切，則，則，則更確定最大內(nèi)切球與四側(cè)面及下底面相切，即該正四棱臺內(nèi)半徑最大的球半徑，球的表面積為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C.函數(shù)在上單調(diào)遞減D.將函數(shù)圖象向左平移個單位所得圖象關(guān)于y軸對稱【答案】AC【解析】由函數(shù)的部分圖象知，，，所以，又因為，所以；解得又因為，所以，所以；所以，選項A正確；時，，所以的圖象不關(guān)于對稱，選項B錯誤；時，函數(shù)單調(diào)遞減，選項C正確；函數(shù)圖象向左平移個單位，得，所得圖象不關(guān)于y軸對稱，選項D錯誤．故選：AC．10．如圖，一個正八面體的八個面分別標以數(shù)字1到8，任意拋擲一次這個正八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字，得到樣本空間，設(shè)事件為奇數(shù)，事件，事件，則（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】由題意可知：，可得.對于選項A：因為，則，所以，故A正確；對于選項B：因為，則，可得，所以，故B正確；對于選項C：因為，所以，故C正確；對于選項D：因為，所以，故D錯誤；故選：ABC.11．已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且滿足，，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】對于函數(shù)有，，則函數(shù)關(guān)于直線對稱，由，則函數(shù)關(guān)于點對稱，所以，所以得，則，故函數(shù)的周期為，且，故函數(shù)為偶函數(shù)，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)的大致圖象如下圖：由對稱性可得，所以，故A不正確；由于，，所以，故B正確；又，，所以，故C正確；，且，因為，所以，故，所以，故D正確.故選：BCD.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知向量，若，則實數(shù)__________【答案】【解析】，，解得.故答案為：13．已知隨機變量．若，則__________，若，則的方差為__________．【答案】①.0.4##②.64【解析】由題意可知：，即，所以；因為，且，所以.故答案為：0.4；64.14．雙曲線的左右焦點分別為，，以實軸為直徑作圓O，過圓O上一點E作圓O的切線交雙曲線的漸近線于A，B兩點（B在第一象限），若，與一條漸近線垂直，則雙曲線的離心率為______．【答案】2或【解析】記與漸近線的交點為，當一條漸近線斜率大于1時，根據(jù)題意，作圖如下：，，故；則在△中，設(shè)，又，由余弦定理可得，解得，即；在△中，，又，故；又左焦點到直線的距離，即，又，故，則在圓上，即與圓相切；顯然，則，又，又，故可得，根據(jù)對稱性，，故，故三點共線，點是唯一的，根據(jù)題意，必為雙曲線右頂點；此時顯然有，故雙曲線離心率為；同理，當一條漸近線斜率大于0小于1時，必為，此時有一條漸近線的傾斜角為，離心率為.故答案為：2或.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。15．（13分）在中，角的對邊分別為．（1）求；（2）若的面積為邊上的高為1，求的周長．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因為，由正弦定理，得，………2分即，即.………4分因為在中，，所以.………6分又因為，所以.………7分（2）因為的面積為，所以，得.………8分由，即，所以.………10分由余弦定理，得，即，化簡得，所以，即，所以的周長為.………13分16．（15分）如圖，在四棱柱中，四邊形與四邊形是面積相等的矩形，，，平面平面為的中點.（1）求點到平面距離的差；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）（2）【解析】（1）因為四邊形是矩形，所以，又平面平面，且平面平面平面，所以平面，………2分因為平面，所以.在矩形中，，所以，因，所以，又平面，所以平面.………5分設(shè)，則點到平面的距離分別為，又，所以點到平面距離的差為.………7分（2）因為平面平面，所以，又，所以，又由矩形知，兩兩垂直，………9分以點為坐標原點，以直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.則，所以………10分設(shè)平面的一個法向量為，則，即，取，得，所以，………12分設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.………15分17．（15分）函數(shù)的圖象在處的切線為.（1）求的值；（2）求在上零點的個數(shù).【答案】（1）（2）在上僅有1個零點【解析】（1）因為，………2分所以，所以切線斜率為，即，所切線方程為………4分又，所以切點坐標為，代入得則，解得.………6分（2）由（1）得，令，則，當時，恒成立，所以在上遞增，所以，因此在無零點；………10分當時，恒成立，所以單調(diào)遞增，又，所以在上存在唯一的零點，………12分當單調(diào)遞減；當單調(diào)遞增；又，，因此在上僅有1個零點；綜上，在上僅有1個零點.………15分18．（17分）已知拋物線，動直線與拋物線交于，兩點，分別過點、點作拋物線的切線和，直線與軸交于點，直線與軸交于點,和相交于點．當點為時，的外接圓的面積是．（1）求拋物線的方程；（2）若直線的方程是，點是拋物線上在，兩點之間的動點（異于點，），求的取值范圍；（3）設(shè)為拋物線的焦點，證明：若恒成立，則直線過定點【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析【解析】（1）當點為時，設(shè)外接圓的半徑為，，則，，中有，，，則，，即，，………3分設(shè)直線，與聯(lián)立得，令，又，得，所以拋物線方程為；………5分（2）聯(lián)立，整理得，解得或，………6分不妨設(shè)，，設(shè)，，則，，所以，又，，，………8分設(shè)，，則，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，而，故的取值范圍是；………10分（3）由得，設(shè)，，直線，，即，令，得，同理，，所以，………12分直線與直線兩方程聯(lián)立解得，得，又，由得，得，………14分設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得，則，所以，則直線過定點.………17分19．（17分）對于數(shù)列，如果存在一個正整數(shù)，使得對任意，都有成立，那么就把這樣的一類數(shù)列稱作周期為的周期數(shù)列，的最小值稱作數(shù)列的最小正周期，簡稱周期.（1）判斷數(shù)列和是否為周期數(shù)列，如果是，寫出該數(shù)列的周期，如果不是，說明理由.（2）設(shè)（1）中數(shù)列前項和為，試問是否存在，使對任意，都有成立，若存在，求出的取值范圍，若不存在，說明理由.（3）若數(shù)列和滿足，且，是否存在非零常數(shù)，使得是周期數(shù)列？若存在，請求出所有滿足條件的常數(shù)；若不存在，請說明理由.【答案】（1）數(shù)列是周期數(shù)列，其周期為1；數(shù)列是周期數(shù)列，其周期為6（2）存在，；（3）不存在，理由見解析【解析】（1）均是周期數(shù)列，理由如下：因為，所以數(shù)列是周期數(shù)列，其周期為1，………2分因為，所以.則，所以，所以數(shù)列是周期數(shù)列，其周期為6；………5分（2）由（1）可知，是周期為的數(shù)列，計算數(shù)列為：，故，…