專題09 空間位置關(guān)系-2025年春季高考數(shù)學(xué)沖刺總復(fù)習(xí)（江蘇專用）

PAGE1專題09空間位置關(guān)系目錄TOC\o"1-2"\h\u明晰學(xué)考要求 1基礎(chǔ)知識梳理 1考點精講講練 5考點一：空間位置關(guān)系判斷 5考點二：空間位置關(guān)系的證明 12考點三：異面直線所成角的計算 17考點四：線面角、二面角的計算 23實戰(zhàn)能力訓(xùn)練 27明晰學(xué)考要求本部分包括兩個重點內(nèi)容：線面的位置關(guān)系判斷與證明、角度計算.判斷位置關(guān)系需要結(jié)合基本事實1～4和推論，并熟練應(yīng)用各種判定定理和性質(zhì)定理，考查空間想象能力；角度計算主要是異面直線所成角、線面角和二面角計算，需要明確各類性角的范圍和計算方法，考查運算求解能力.基礎(chǔ)知識梳理1、平面的基本事實(1)點、線、面之間的關(guān)系點P在直線l上，記作P∈l；點P在平面α內(nèi)，記作P∈α；點P在平面α外，記作P?α；直線l在平面α內(nèi)，記作l?α；直線l不在平面α內(nèi)，記作l?α.(2)平面的基本事實及推論基本事實內(nèi)容圖形符號基本事實1過不在一條直線上的三個點，有且只有一個平面A，B，C三點不共線?存在唯一的平面α使A，B，C∈α基本事實2如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α基本事實3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線P∈α，P∈β?α∩β＝l，且P∈l基本事實4平行于同一條直線的兩條直線平行.這一性質(zhì)叫做空間平行線的傳遞性推論1經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面(圖①).推論2經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面(圖②).推論3經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面(圖③).2、空間兩條直線的位置關(guān)系（1）異面直線①定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線.②異面直線的判定方法方法內(nèi)容定義法不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線反證法既不平行，也不相交的兩條直線（2）空間兩條直線的位置關(guān)系位置關(guān)系特點相交同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點平行同一平面內(nèi)，沒有公共點異面直線不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點3、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系（1）直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系定義圖形語言符號語言直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點a?α直線與平面相交有且只有一個公共點a∩α＝A直線與平面平行沒有公共點a∥α（2）平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號表示公共點兩個平面平行α∥β沒有公共點兩個平面相交α∩β＝l有一條公共直線4、線面平行的判定定理與性質(zhì)定理文字語言判定定理性質(zhì)定理如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行.符號語言a?α，b?α，且a∥b?a∥αa∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b圖形語言5、面面平行的判定定理與性質(zhì)定理文字語言判定定理性質(zhì)定理如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，那么這兩個平面平行兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線平行符號語言a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?β∥α.α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b6、線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語言判定定理性質(zhì)定理如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直垂直于同一個平面的兩條直線平行符號語言l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥αa⊥α，且b⊥α?a∥b圖形語言7、異面直線所成角、線面角、二面角（1）異面直線所成的角①定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).②空間兩條直線所成角α的取值范圍：0°≤α≤90°.（2）線面角有關(guān)概念對應(yīng)圖形斜線一條直線l與一個平面α相交，但不與這個平面α垂直，圖中直線PA斜足斜線和平面的交點，圖中點A射影過斜線上斜足以外的一點P向平面α引垂線PO，過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個平面上的射影直線和平面所成的角定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是eq\f(π,2)；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，它們所成的角是0.取值范圍eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))（3）二面角的平面角①定義：在二面角α－l－β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角.②二面角的平面角α的范圍：0°≤α≤180°.8、面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語言判定定理性質(zhì)定理如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直符號語言b⊥平面α，b?平面β?β⊥αα⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β考點精講講練考點一：空間位置關(guān)系判斷【典型例題】例題1．（2023高三·江蘇·學(xué)業(yè)考試）已知直線平面，直線平面，則與不可能（

）A．平行 B．相交 C．異面 D．垂直【答案】B【分析】若與相交，得到與有交點，這與題設(shè)矛盾，得到答案.【詳解】直線平面，直線平面，則與可能平行，異面和垂直，若與相交，，則，，直線平面，故，即與有交點，這與題設(shè)矛盾.故選：B例題2．（2024年江蘇省揚州市學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)模擬）關(guān)于三條不同直線a，b，l以及兩個不同平面，，下面命題正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，且，，則【答案】B【分析】ACD可舉出反例，B選項，可利用線面平行的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)推出.【詳解】A選項，若，，則a，b平行，相交或異面，比如圖1和圖2，A錯誤；B選項，因為，如圖3，不妨設(shè)，且，則，因為，，所以，由，則，B正確；C選項，如圖4，滿足，，但，C錯誤；D選項，，，且，，若，則不能得到，D錯誤.故選：B.例題3．（2022高三上·江蘇徐州·學(xué)業(yè)考試）已知a，b，c，m，l表示直線，α表示平面，下列說法正確的是（

）A．若ab，c⊥a，則c⊥b； B．若a⊥c，b⊥c，則ab；C．若ab，b?α，則aα； D．若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，則l⊥α.【答案】A【分析】由異面直線垂直定義判定選項A；由空間兩直線位置關(guān)系定義判定選項B；由線面平行判定定理判斷選項C；由線面垂直判定定理判斷選項D.【詳解】選項A：若ab，c⊥a，則c⊥b.判斷正確；選項B：若a⊥c，b⊥c，則a與b平行或相交或異面.判斷錯誤；選項C：若ab，b?α，則aα或.判斷錯誤；選項D：若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，則或或l與α相交.判斷錯誤.故選：A例題4．（2023高三·江蘇·學(xué)業(yè)考試）在空間，到一個三角形的三個頂點距離相等的點的集合表示的圖形是（

）A．一個點 B．一條直線 C．一個平面 D．一個球面【答案】B【分析】易得空間中到一個三角形的三個頂點距離相等的點組成的集合表示的圖形為過該三角形的外心且與該三角形所在平面垂直的直線，如圖，設(shè)點為的外心，且直線平面，點為直線上任意一點，證明即可.【詳解】空間中到一個三角形的三個頂點距離相等的點組成的集合表示的圖形為過該三角形的外心且與該三角形所在平面垂直的直線，如圖，設(shè)點為的外心，且直線平面，點為直線上任意一點，則，且平面，所以直線，直線，直線，當(dāng)點與點重合時，，即直線的點到的三個頂點距離相等，當(dāng)點與點不重合時，由勾股定理可得，即直線的點到的三個定點距離相等，綜上直線的點到的三個頂點距離相等，反之到的三個頂點距離相等的點都在直線l上，所以空間中到一個三角形的三個頂點距離相等的點組成的集合表示的圖形為過該三角形的外心且與該三角形所在平面垂直的直線.故選：B.判斷位置關(guān)系，可以將所有判斷的直線和平面放在正方體或者長方體中，通過舉例判斷.【即時演練】1．已知平面，是與無公共點的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)兩個平面平行的性質(zhì)，結(jié)合充要條件的定義即可求解.【詳解】若，則與無交點，若與無交點，則，故是與無公共點的充要條件，故選：C2．設(shè)，，是三條不同的直線，，，是三個不同的平面，下列命題正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】A【分析】選項A由平行的傳遞性可得；BCD由長方體中的線面、面面位置關(guān)系舉反例可知.【詳解】選項A，若，，則由平行的傳遞性可知，，故A正確；選項B，若，，則或都有可能，如圖，長方體中（以下同），設(shè)直線為，直線為，底面為，滿足，，但，與不平行，故B錯誤；

選項C，若，，則與不一定垂直，如圖，設(shè)上底面為，下底面為，平面為，滿足，，但，與不垂直，故C錯誤；

選項D，若，，則或或與相交都有可能，如圖，設(shè)直線為，直線為，設(shè)上底面為，滿足，，但，與不平行，故D錯誤．

故選：A.3.如圖，為正方體的兩個頂點，為所在棱的中點，則直線與平面不平行的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)線面平行的判定定理逐項進行判斷即可.【詳解】對A：如圖：連接，交于點，連接，則，平面，且直線與直線不平行，所以直線與平面相交，故A正確；對B：如圖：因為，平面，平面，所以平面，故B錯誤；對C：如圖：取中點，易證四點共面，且，平面，平面，所以平面，故C錯誤；對D：如圖：連接，則，平面，平面，所以平面，故D錯誤.故選A.4．已知，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，，，則【答案】D【分析】根據(jù)線面，面面位置的判定方法逐一判斷即可得.【詳解】對A：若，，則或，故A錯誤；對B：若，，則，又，故，故B錯誤；對C：若，，，則與可能平行，可能相交，也可能異面，故C錯誤；對D：若，，則，又，則，故D正確.故選：D.考點二：空間位置關(guān)系的證明【典型例題】例題1．（2022高三上·江蘇徐州·學(xué)業(yè)考試）在三棱柱中，AB⊥AC，平面ABC，E?F分別是棱中點.(1)求證：EF平面；(2)求證：平面.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）由線線平行證線面平行即可；（2）先由線線垂直證平面，再由即可證.【詳解】（1）證明：由E?F分別是棱中點得，又平面，平面，故EF平面（2）證明：由平面ABC，平面ABC，∴，又AB⊥AC，平面，故平面，由得平面.例題2．（2023高三·江蘇·學(xué)業(yè)考試）如圖，三棱錐的底面和側(cè)面都是邊長為2的等邊三角形，分別是的中點，.(1)證明：平面；(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用線面平行的判定定理即可求證；（2）先證明平面，即可求出三棱錐的體積【詳解】（1）因為分別是的中點，所以，因為平面，平面，所以平面；（2）因為是等邊三角形，是的中點，所以，因為，平面，所以平面，因為底面和側(cè)面都是邊長為2的等邊三角形，所以例題3．（2023高三上·江蘇徐州·學(xué)業(yè)考試）如圖，在四棱錐中，平面，底面是正方形，為的中點，且．(1)證明：平面；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明過程見解析(2)【分析】（1）作出輔助線，利用中位線得到線線平行，從而求出線面平行；（2）求出，進而求出.【詳解】（1）連接交于點，連接，因為底面是正方形，所以為的中點，因為為的中點，所以，因為平面，平面，所以平面；（2）因為，底面是正方形，平面，所以，因為為的中點，所以.證明線線平行，常用到線面平行的性質(zhì)；證明線面平行先證明線線平行，可以利用中位線或平行四邊形的性質(zhì).證明線線垂直，先證明線面垂直或利用面面垂直的性質(zhì)；證明線面垂直，先整線線垂直.【即時演練】1.如圖，四棱柱中，底面是菱形，底面，點為的中點.求證：(1)直線平面；(2)平面平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)，連接，可證，故由線面平行的判定定理可得平面.（2）由線面垂直的判定定理可證平面，故可得平面平面.【詳解】（1）設(shè)，連接，∵底面是菱形，∴為的中點，又∵是的中點，∴，又平面，平面，∴直線平面.（2）∵底面是菱形，∴.又平面，平面，∴.又，平面，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面.2．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)專著，書中將底面為直角三角形，側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“墊堵”．如圖，在墊堵中，已知，且點，，分別是，，邊的中點．(1)求證：平面；(2)求證：平面．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線面平行，通過構(gòu)造平行四邊形，證明；（2）利用面面垂直的性質(zhì)定理，即可證明.【詳解】（1）連結(jié)，因為分別是的中點，所以，且，因為點是的中點，所以，且，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，且平面，平面，所以平面；（2）因為，為AB的中點，所以，由平面，平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以平面.考點三：異面直線所成角的計算【典型例題】例題1．（2024年江蘇省揚州市學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)模擬試卷）在正方體中，為的中點，則直線與所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，解三角形即可【詳解】如圖，連接，，，因為，所以或其補角為直線與所成的角，因為平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，設(shè)正方體的棱長為2，則，，在中，，所以，故選：.例題2．如圖，在正方體中，E是棱的中點，則異面直線DE和所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)為的中點，連接，可證或其補角即為異面直線DE和所成的角，故可求它的余弦值.【詳解】設(shè)為的中點，連接，由正方體的性質(zhì)可得則四邊形為平行四邊形，故，而為所在棱的中點，故，故，故或其補角即為異面直線DE和所成的角，設(shè)正方體的棱長為2，則，故，故異面直線DE和所成的角的余弦值為，故選：C.例題3．已知正四面體，M為AB中點，則直線CM與直線BD所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)正四面體的棱長為，取的中點，連接、，利用幾何法求解作答.【詳解】如圖，設(shè)正四面體的棱長為，取的中點，連接、，因為、分別為、的中點，則且，因此或其補角為直線與直線所成的角，因為為等邊三角形，為的中點，則，且，同理，在等腰中，，所以直線CM與直線BD所成角的余弦值為.故選：B求異面直線所成的角，常利用平行四邊形的對邊平行或中位線的性質(zhì)，注意異面直線所成角的范圍為0°<α≤90°.【即時演練】1.在正方體中，為的中點，則直線與所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，解三角形即可【詳解】如圖，連接，，，因為，所以或其補角為直線與所成的角，因為平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，設(shè)正方體的棱長為2，則，，在中，，所以，故選：.2.如圖，在正方體中，分別是，的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取的中點，連接，，可得異面直線與所成的角為，然后解三角形即可.【詳解】取的中點，連接，．為正方體，．又，分別是，的中點，，異面直線與所成的角為．設(shè)正方體的棱長為，平面，，,，在中，．故選：B.3.如圖,在正方體中,點E,F分別是棱AD,的中點,則異面直線與BF所成角的大小為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先取中點為,連接,記與交點為,根據(jù)平行可知與BF所成角即為與所成角,通過正方體性質(zhì)可得,即,根據(jù)可知,即,即可知與BF所成角為.【詳解】取中點為,連接,記與交點為,如圖所示:因為G,F分別是棱,的中點,所以,且,故四邊形為平行四邊形,所以,所以與BF所成角即為與所成角,因為正方體,E,G是棱AD,的中點,所以,所以,即,因為,所以,所以,故與所成角為,即與BF所成角為.考點四：線面角、二面角的計算【典型例題】例題1．（2023高三·江蘇·學(xué)業(yè)考試）如圖，正方體中，直線與平面所成角的正切值為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】連接，平面，故是與平面所成角，計算得到答案.【詳解】如圖所示：連接，因為平面，故線與平面所成角，設(shè)正方體棱長為1，則，.故選：C例題2．（2022高三上·江蘇徐州·學(xué)業(yè)考試）在直四棱柱中，底面是邊長為2的正方形，，則二面角的大小為（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】B【分析】由直四棱柱中的性質(zhì)作出二面角的平面角，運用三角函數(shù)即可求得角度.【詳解】如圖所示，AC，BD交于O，連接，直四棱柱中，面，則為所求二面角，，則二面角的大小為45°.故選：B例題3．（2024高二上·江蘇揚州·學(xué)業(yè)考試）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，且，，平面，．(1)求證：；(2)已知三棱錐的體積為，求直線PC與平面PAB所成角的正切值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意分析證明平面PAC，進而可得結(jié)果；（2）由體積可得，可證平面PAB，結(jié)合線面夾角的定義分析求解.【詳解】（1）在梯形ABCD中，由，，，得，所以，所以，又因為平面ABCD，且平面ABCD，則，因為平面，平面PAC，且，所以平面PAC．又平面PAC，所以．（2）由（1）知，所以，解得，又因為平面，平面ABCD，則，因為，所以，因為平面，平面PAB，且，所以平面PAB，故PB是PC在平面PAB上的投影，所以即為直線PC與平面PAB所成的角的平面角，在中，解得，所以，所以直線PC與平面PAB所成角正切值為.【即時演練】1.如圖，為圓柱底面直徑，為母線，若，則與圓柱底面所成角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)線面角定義得為所求的角，再利用等腰直角三角形性質(zhì)即可得到答案.【詳解】因為母線底面，則與圓柱底面所成角即為，又因為為圓柱底面直徑，則，因為，所以.故選：B.2．如圖，在長方體中，,則直線與平面所成角的余弦值是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)線面角的定義，可知即為直線與平面所成角，解三角形即可求得結(jié)果.【詳解】如圖，連接直線，顯然，在長方體中，平面，故即為直線與平面所成角，在中，，，，，故選：C.

3.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD與底面ABCD所成的二面角A1－BD－A的正切值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用定義作出為所求的角，再通過可求.【詳解】如圖所示，連接AC交BD于點O，連接A1O，則，∠A1OA為二面角A1－BD－A的平面角，設(shè)A1A＝a，則AO＝a，所以.故選：C【點睛】求二面角，可利用定義直接作出其平面角來求，或者利用法向量公式解決.實戰(zhàn)能力訓(xùn)練1.如圖，在正方體中，直線與的位置關(guān)系是（

）

A．異面 B．平行 C．垂直且相交 D．相交【答案】A【分析】由異面直線的定義判斷即可.【詳解】體對角線與面對角線不在同一個平面內(nèi)，且不平行，故體對角線與面對角線的位置關(guān)系一定是異面.故選：A.2.在空間四邊形中，在上分別取E，F(xiàn)，G，H四點，如果交于一點P，則（

）A．P一定在直線上B．P一定在直線上C．P在直線或上D．P既不在直線上，也不在直線上【答案】B【分析】由題設(shè)知面，結(jié)合已知條件有面、面，進而可判斷P所在的位置.【詳解】由題意知：面，又交于一點P，∴面，同理，面，又面面，由公理3知：點P一定在直線上.故選：B.3.已知是空間中三個不同的平面，是空間中兩條不同的直線，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【分析】根據(jù)空間中線面之間的關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】對于A，若，則，故A正確；對于B，若，則，平行或相交，故B錯誤；對于C，若，則，故C正確；對于D，若，則，故D正確.故選：B.4．已知直線和兩個不重合的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】由空間直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】若，則不一定平行，還可以相交，故A錯誤；若，則，故B錯誤；若，則不一定平行，還可以相交，故C錯誤；若，則必存在直線，且，而，所以，所以，故D正確.故選：D5．在空間中，若直線平行于平面，則下列結(jié)論成立的是（

）A．內(nèi)不存在與共面的直線 B．內(nèi)不存在與異面的直線C．內(nèi)不存在與垂直的直線 D．內(nèi)不存在與相交的直線【答案】D【分析】根據(jù)題意作出圖形，利用空間線線，線面性質(zhì)逐項判斷從而可求解.【詳解】由題意作出下圖，在正方體中，設(shè)所在直線為，平面所在平面為，對A：由圖及正方體性質(zhì)可知，且平面，此時與共面，故A錯誤；對B：由圖及正方體性質(zhì)可