專(zhuān)題09 空間位置關(guān)系-2025年春季高考數(shù)學(xué)沖刺總復(fù)習(xí)（江蘇專(zhuān)用）

PAGE1專(zhuān)題09空間位置關(guān)系目錄TOC\o"1-2"\h\u明晰學(xué)考要求 1基礎(chǔ)知識(shí)梳理 1考點(diǎn)精講講練 5考點(diǎn)一：空間位置關(guān)系判斷 5考點(diǎn)二：空間位置關(guān)系的證明 12考點(diǎn)三：異面直線(xiàn)所成角的計(jì)算 17考點(diǎn)四：線(xiàn)面角、二面角的計(jì)算 23實(shí)戰(zhàn)能力訓(xùn)練 27明晰學(xué)考要求本部分包括兩個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容：線(xiàn)面的位置關(guān)系判斷與證明、角度計(jì)算.判斷位置關(guān)系需要結(jié)合基本事實(shí)1～4和推論，并熟練應(yīng)用各種判定定理和性質(zhì)定理，考查空間想象能力；角度計(jì)算主要是異面直線(xiàn)所成角、線(xiàn)面角和二面角計(jì)算，需要明確各類(lèi)性角的范圍和計(jì)算方法，考查運(yùn)算求解能力.基礎(chǔ)知識(shí)梳理1、平面的基本事實(shí)(1)點(diǎn)、線(xiàn)、面之間的關(guān)系點(diǎn)P在直線(xiàn)l上，記作P∈l；點(diǎn)P在平面α內(nèi)，記作P∈α；點(diǎn)P在平面α外，記作P?α；直線(xiàn)l在平面α內(nèi)，記作l?α；直線(xiàn)l不在平面α內(nèi)，記作l?α.(2)平面的基本事實(shí)及推論基本事實(shí)內(nèi)容圖形符號(hào)基本事實(shí)1過(guò)不在一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面A，B，C三點(diǎn)不共線(xiàn)?存在唯一的平面α使A，B，C∈α基本事實(shí)2如果一條直線(xiàn)上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線(xiàn)在這個(gè)平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α基本事實(shí)3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn)P∈α，P∈β?α∩β＝l，且P∈l基本事實(shí)4平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行.這一性質(zhì)叫做空間平行線(xiàn)的傳遞性推論1經(jīng)過(guò)一條直線(xiàn)和這條直線(xiàn)外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面(圖①).推論2經(jīng)過(guò)兩條相交直線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面(圖②).推論3經(jīng)過(guò)兩條平行直線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面(圖③).2、空間兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系（1）異面直線(xiàn)①定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn).②異面直線(xiàn)的判定方法方法內(nèi)容定義法不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)反證法既不平行，也不相交的兩條直線(xiàn)（2）空間兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系位置關(guān)系特點(diǎn)相交同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)平行同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)異面直線(xiàn)不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)3、直線(xiàn)與平面、平面與平面的位置關(guān)系（1）直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系定義圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言直線(xiàn)在平面內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)a?α直線(xiàn)與平面相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)a∩α＝A直線(xiàn)與平面平行沒(méi)有公共點(diǎn)a∥α（2）平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示公共點(diǎn)兩個(gè)平面平行α∥β沒(méi)有公共點(diǎn)兩個(gè)平面相交α∩β＝l有一條公共直線(xiàn)4、線(xiàn)面平行的判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言判定定理性質(zhì)定理如果平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，那么該直線(xiàn)與此平面平行一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，如果過(guò)該直線(xiàn)的平面與此平面相交，那么該直線(xiàn)與交線(xiàn)平行.符號(hào)語(yǔ)言a?α，b?α，且a∥b?a∥αa∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b圖形語(yǔ)言5、面面平行的判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言判定定理性質(zhì)定理如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線(xiàn)平行符號(hào)語(yǔ)言a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?β∥α.α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b6、線(xiàn)面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言判定定理性質(zhì)定理如果一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)垂直，那么該直線(xiàn)與此平面垂直垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行符號(hào)語(yǔ)言l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥αa⊥α，且b⊥α?a∥b圖形語(yǔ)言7、異面直線(xiàn)所成角、線(xiàn)面角、二面角（1）異面直線(xiàn)所成的角①定義：已知兩條異面直線(xiàn)a，b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O分別作直線(xiàn)a′∥a，b′∥b，我們把直線(xiàn)a′與b′所成的角叫做異面直線(xiàn)a與b所成的角(或夾角).②空間兩條直線(xiàn)所成角α的取值范圍：0°≤α≤90°.（2）線(xiàn)面角有關(guān)概念對(duì)應(yīng)圖形斜線(xiàn)一條直線(xiàn)l與一個(gè)平面α相交，但不與這個(gè)平面α垂直，圖中直線(xiàn)PA斜足斜線(xiàn)和平面的交點(diǎn)，圖中點(diǎn)A射影過(guò)斜線(xiàn)上斜足以外的一點(diǎn)P向平面α引垂線(xiàn)PO，過(guò)垂足O和斜足A的直線(xiàn)AO叫做斜線(xiàn)在這個(gè)平面上的射影直線(xiàn)和平面所成的角定義：平面的一條斜線(xiàn)和它在平面上的射影所成的角規(guī)定：一條直線(xiàn)垂直于平面，它們所成的角是eq\f(π,2)；一條直線(xiàn)和平面平行或在平面內(nèi)，它們所成的角是0.取值范圍eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))（3）二面角的平面角①定義：在二面角α－l－β的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線(xiàn)OA和OB，則射線(xiàn)OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角.②二面角的平面角α的范圍：0°≤α≤180°.8、面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語(yǔ)言判定定理性質(zhì)定理如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線(xiàn)，那么這兩個(gè)平面垂直兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一條直線(xiàn)垂直于這兩個(gè)平面的交線(xiàn)，那么這條直線(xiàn)與另一個(gè)平面垂直符號(hào)語(yǔ)言b⊥平面α，b?平面β?β⊥αα⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β考點(diǎn)精講講練考點(diǎn)一：空間位置關(guān)系判斷【典型例題】例題1．（2023高三·江蘇·學(xué)業(yè)考試）已知直線(xiàn)平面，直線(xiàn)平面，則與不可能（

）A．平行 B．相交 C．異面 D．垂直【答案】B【分析】若與相交，得到與有交點(diǎn)，這與題設(shè)矛盾，得到答案.【詳解】直線(xiàn)平面，直線(xiàn)平面，則與可能平行，異面和垂直，若與相交，，則，，直線(xiàn)平面，故，即與有交點(diǎn)，這與題設(shè)矛盾.故選：B例題2．（2024年江蘇省揚(yáng)州市學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)模擬）關(guān)于三條不同直線(xiàn)a，b，l以及兩個(gè)不同平面，，下面命題正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，且，，則【答案】B【分析】ACD可舉出反例，B選項(xiàng)，可利用線(xiàn)面平行的性質(zhì)和線(xiàn)面垂直的性質(zhì)推出.【詳解】A選項(xiàng)，若，，則a，b平行，相交或異面，比如圖1和圖2，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，因?yàn)?，如圖3，不妨設(shè)，且，則，因?yàn)?，，所以，由，則，B正確；C選項(xiàng)，如圖4，滿(mǎn)足，，但，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，，且，，若，則不能得到，D錯(cuò)誤.故選：B.例題3．（2022高三上·江蘇徐州·學(xué)業(yè)考試）已知a，b，c，m，l表示直線(xiàn)，α表示平面，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若ab，c⊥a，則c⊥b； B．若a⊥c，b⊥c，則ab；C．若ab，b?α，則aα； D．若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，則l⊥α.【答案】A【分析】由異面直線(xiàn)垂直定義判定選項(xiàng)A；由空間兩直線(xiàn)位置關(guān)系定義判定選項(xiàng)B；由線(xiàn)面平行判定定理判斷選項(xiàng)C；由線(xiàn)面垂直判定定理判斷選項(xiàng)D.【詳解】選項(xiàng)A：若ab，c⊥a，則c⊥b.判斷正確；選項(xiàng)B：若a⊥c，b⊥c，則a與b平行或相交或異面.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：若ab，b?α，則aα或.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，則或或l與α相交.判斷錯(cuò)誤.故選：A例題4．（2023高三·江蘇·學(xué)業(yè)考試）在空間，到一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的集合表示的圖形是（

）A．一個(gè)點(diǎn) B．一條直線(xiàn) C．一個(gè)平面 D．一個(gè)球面【答案】B【分析】易得空間中到一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)組成的集合表示的圖形為過(guò)該三角形的外心且與該三角形所在平面垂直的直線(xiàn)，如圖，設(shè)點(diǎn)為的外心，且直線(xiàn)平面，點(diǎn)為直線(xiàn)上任意一點(diǎn)，證明即可.【詳解】空間中到一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)組成的集合表示的圖形為過(guò)該三角形的外心且與該三角形所在平面垂直的直線(xiàn)，如圖，設(shè)點(diǎn)為的外心，且直線(xiàn)平面，點(diǎn)為直線(xiàn)上任意一點(diǎn)，則，且平面，所以直線(xiàn)，直線(xiàn)，直線(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，即直線(xiàn)的點(diǎn)到的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，由勾股定理可得，即直線(xiàn)的點(diǎn)到的三個(gè)定點(diǎn)距離相等，綜上直線(xiàn)的點(diǎn)到的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等，反之到的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)都在直線(xiàn)l上，所以空間中到一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)組成的集合表示的圖形為過(guò)該三角形的外心且與該三角形所在平面垂直的直線(xiàn).故選：B.判斷位置關(guān)系，可以將所有判斷的直線(xiàn)和平面放在正方體或者長(zhǎng)方體中，通過(guò)舉例判斷.【即時(shí)演練】1．已知平面，是與無(wú)公共點(diǎn)的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)兩個(gè)平面平行的性質(zhì)，結(jié)合充要條件的定義即可求解.【詳解】若，則與無(wú)交點(diǎn)，若與無(wú)交點(diǎn)，則，故是與無(wú)公共點(diǎn)的充要條件，故選：C2．設(shè)，，是三條不同的直線(xiàn)，，，是三個(gè)不同的平面，下列命題正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】A【分析】選項(xiàng)A由平行的傳遞性可得；BCD由長(zhǎng)方體中的線(xiàn)面、面面位置關(guān)系舉反例可知.【詳解】選項(xiàng)A，若，，則由平行的傳遞性可知，，故A正確；選項(xiàng)B，若，，則或都有可能，如圖，長(zhǎng)方體中（以下同），設(shè)直線(xiàn)為，直線(xiàn)為，底面為，滿(mǎn)足，，但，與不平行，故B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C，若，，則與不一定垂直，如圖，設(shè)上底面為，下底面為，平面為，滿(mǎn)足，，但，與不垂直，故C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D，若，，則或或與相交都有可能，如圖，設(shè)直線(xiàn)為，直線(xiàn)為，設(shè)上底面為，滿(mǎn)足，，但，與不平行，故D錯(cuò)誤．

故選：A.3.如圖，為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，為所在棱的中點(diǎn)，則直線(xiàn)與平面不平行的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】對(duì)A：如圖：連接，交于點(diǎn)，連接，則，平面，且直線(xiàn)與直線(xiàn)不平行，所以直線(xiàn)與平面相交，故A正確；對(duì)B：如圖：因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：如圖：取中點(diǎn)，易證四點(diǎn)共面，且，平面，平面，所以平面，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：如圖：連接，則，平面，平面，所以平面，故D錯(cuò)誤.故選A.4．已知，是兩條不同的直線(xiàn)，，是兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，，，則【答案】D【分析】根據(jù)線(xiàn)面，面面位置的判定方法逐一判斷即可得.【詳解】對(duì)A：若，，則或，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：若，，則，又，故，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：若，，，則與可能平行，可能相交，也可能異面，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：若，，則，又，則，故D正確.故選：D.考點(diǎn)二：空間位置關(guān)系的證明【典型例題】例題1．（2022高三上·江蘇徐州·學(xué)業(yè)考試）在三棱柱中，AB⊥AC，平面ABC，E?F分別是棱中點(diǎn).(1)求證：EF平面；(2)求證：平面.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由線(xiàn)線(xiàn)平行證線(xiàn)面平行即可；（2）先由線(xiàn)線(xiàn)垂直證平面，再由即可證.【詳解】（1）證明：由E?F分別是棱中點(diǎn)得，又平面，平面，故EF平面（2）證明：由平面ABC，平面ABC，∴，又AB⊥AC，平面，故平面，由得平面.例題2．（2023高三·江蘇·學(xué)業(yè)考試）如圖，三棱錐的底面和側(cè)面都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，分別是的中點(diǎn)，.(1)證明：平面；(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用線(xiàn)面平行的判定定理即可求證；（2）先證明平面，即可求出三棱錐的體積【詳解】（1）因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）因?yàn)槭堑冗吶切危堑闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)榈酌婧蛡?cè)面都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以例題3．（2023高三上·江蘇徐州·學(xué)業(yè)考試）如圖，在四棱錐中，平面，底面是正方形，為的中點(diǎn)，且．(1)證明：平面；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析(2)【分析】（1）作出輔助線(xiàn)，利用中位線(xiàn)得到線(xiàn)線(xiàn)平行，從而求出線(xiàn)面平行；（2）求出，進(jìn)而求出.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)榈酌媸钦叫?，所以為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）因?yàn)?，底面是正方形，平面，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以.證明線(xiàn)線(xiàn)平行，常用到線(xiàn)面平行的性質(zhì)；證明線(xiàn)面平行先證明線(xiàn)線(xiàn)平行，可以利用中位線(xiàn)或平行四邊形的性質(zhì).證明線(xiàn)線(xiàn)垂直，先證明線(xiàn)面垂直或利用面面垂直的性質(zhì)；證明線(xiàn)面垂直，先整線(xiàn)線(xiàn)垂直.【即時(shí)演練】1.如圖，四棱柱中，底面是菱形，底面，點(diǎn)為的中點(diǎn).求證：(1)直線(xiàn)平面；(2)平面平面.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)，連接，可證，故由線(xiàn)面平行的判定定理可得平面.（2）由線(xiàn)面垂直的判定定理可證平面，故可得平面平面.【詳解】（1）設(shè)，連接，∵底面是菱形，∴為的中點(diǎn)，又∵是的中點(diǎn)，∴，又平面，平面，∴直線(xiàn)平面.（2）∵底面是菱形，∴.又平面，平面，∴.又，平面，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面.2．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)專(zhuān)著，書(shū)中將底面為直角三角形，側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱(chēng)為“墊堵”．如圖，在墊堵中，已知，且點(diǎn)，，分別是，，邊的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求證：平面．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)面平行，通過(guò)構(gòu)造平行四邊形，證明；（2）利用面面垂直的性質(zhì)定理，即可證明.【詳解】（1）連結(jié)，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，且，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，且，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，且平面，平面，所以平面；（2）因?yàn)?，為AB的中點(diǎn)，所以，由平面，平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以平面.考點(diǎn)三：異面直線(xiàn)所成角的計(jì)算【典型例題】例題1．（2024年江蘇省揚(yáng)州市學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)模擬試卷）在正方體中，為的中點(diǎn)，則直線(xiàn)與所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】平移直線(xiàn)至，將直線(xiàn)與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，解三角形即可【詳解】如圖，連接，，，因?yàn)?，所以或其補(bǔ)角為直線(xiàn)與所成的角，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，，在中，，所以，故選：.例題2．如圖，在正方體中，E是棱的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)DE和所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)為的中點(diǎn)，連接，可證或其補(bǔ)角即為異面直線(xiàn)DE和所成的角，故可求它的余弦值.【詳解】設(shè)為的中點(diǎn)，連接，由正方體的性質(zhì)可得則四邊形為平行四邊形，故，而為所在棱的中點(diǎn)，故，故，故或其補(bǔ)角即為異面直線(xiàn)DE和所成的角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，故，故異面直線(xiàn)DE和所成的角的余弦值為，故選：C.例題3．已知正四面體，M為AB中點(diǎn)，則直線(xiàn)CM與直線(xiàn)BD所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，取的中點(diǎn)，連接、，利用幾何法求解作答.【詳解】如圖，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，取的中點(diǎn)，連接、，因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，則且，因此或其補(bǔ)角為直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角，因?yàn)闉榈冗吶切?，為的中點(diǎn)，則，且，同理，在等腰中，，所以直線(xiàn)CM與直線(xiàn)BD所成角的余弦值為.故選：B求異面直線(xiàn)所成的角，常利用平行四邊形的對(duì)邊平行或中位線(xiàn)的性質(zhì)，注意異面直線(xiàn)所成角的范圍為0°<α≤90°.【即時(shí)演練】1.在正方體中，為的中點(diǎn)，則直線(xiàn)與所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】平移直線(xiàn)至，將直線(xiàn)與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，解三角形即可【詳解】如圖，連接，，，因?yàn)?，所以或其補(bǔ)角為直線(xiàn)與所成的角，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，，在中，，所以，故選：.2.如圖，在正方體中，分別是，的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取的中點(diǎn)，連接，，可得異面直線(xiàn)與所成的角為，然后解三角形即可.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，．為正方體，．又，分別是，的中點(diǎn)，，異面直線(xiàn)與所成的角為．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，平面，，,，在中，．故選：B.3.如圖,在正方體中,點(diǎn)E,F分別是棱AD,的中點(diǎn),則異面直線(xiàn)與BF所成角的大小為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先取中點(diǎn)為,連接,記與交點(diǎn)為,根據(jù)平行可知與BF所成角即為與所成角,通過(guò)正方體性質(zhì)可得,即,根據(jù)可知,即,即可知與BF所成角為.【詳解】取中點(diǎn)為,連接,記與交點(diǎn)為,如圖所示:因?yàn)镚,F分別是棱,的中點(diǎn),所以,且,故四邊形為平行四邊形,所以,所以與BF所成角即為與所成角,因?yàn)檎襟w,E,G是棱AD,的中點(diǎn),所以,所以,即,因?yàn)?所以,所以,故與所成角為,即與BF所成角為.考點(diǎn)四：線(xiàn)面角、二面角的計(jì)算【典型例題】例題1．（2023高三·江蘇·學(xué)業(yè)考試）如圖，正方體中，直線(xiàn)與平面所成角的正切值為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】連接，平面，故是與平面所成角，計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示：連接，因?yàn)槠矫妫示€(xiàn)與平面所成角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則，.故選：C例題2．（2022高三上·江蘇徐州·學(xué)業(yè)考試）在直四棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，則二面角的大小為（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】B【分析】由直四棱柱中的性質(zhì)作出二面角的平面角，運(yùn)用三角函數(shù)即可求得角度.【詳解】如圖所示，AC，BD交于O，連接，直四棱柱中，面，則為所求二面角，，則二面角的大小為45°.故選：B例題3．（2024高二上·江蘇揚(yáng)州·學(xué)業(yè)考試）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，且，，平面，．(1)求證：；(2)已知三棱錐的體積為，求直線(xiàn)PC與平面PAB所成角的正切值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意分析證明平面PAC，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）由體積可得，可證平面PAB，結(jié)合線(xiàn)面夾角的定義分析求解.【詳解】（1）在梯形ABCD中，由，，，得，所以，所以，又因?yàn)槠矫鍭BCD，且平面ABCD，則，因?yàn)槠矫?，平面PAC，且，所以平面PAC．又平面PAC，所以．（2）由（1）知，所以，解得，又因?yàn)槠矫妫矫鍭BCD，則，因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫妫矫鍼AB，且，所以平面PAB，故PB是PC在平面PAB上的投影，所以即為直線(xiàn)PC與平面PAB所成的角的平面角，在中，解得，所以，所以直線(xiàn)PC與平面PAB所成角正切值為.【即時(shí)演練】1.如圖，為圓柱底面直徑，為母線(xiàn)，若，則與圓柱底面所成角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)線(xiàn)面角定義得為所求的角，再利用等腰直角三角形性質(zhì)即可得到答案.【詳解】因?yàn)槟妇€(xiàn)底面，則與圓柱底面所成角即為，又因?yàn)闉閳A柱底面直徑，則，因?yàn)?，所?故選：B.2．如圖，在長(zhǎng)方體中，,則直線(xiàn)與平面所成角的余弦值是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)線(xiàn)面角的定義，可知即為直線(xiàn)與平面所成角，解三角形即可求得結(jié)果.【詳解】如圖，連接直線(xiàn)，顯然，在長(zhǎng)方體中，平面，故即為直線(xiàn)與平面所成角，在中，，，，，故選：C.

3.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD與底面ABCD所成的二面角A1－BD－A的正切值等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用定義作出為所求的角，再通過(guò)可求.【詳解】如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接A1O，則，∠A1OA為二面角A1－BD－A的平面角，設(shè)A1A＝a，則AO＝a，所以.故選：C【點(diǎn)睛】求二面角，可利用定義直接作出其平面角來(lái)求，或者利用法向量公式解決.實(shí)戰(zhàn)能力訓(xùn)練1.如圖，在正方體中，直線(xiàn)與的位置關(guān)系是（

）

A．異面 B．平行 C．垂直且相交 D．相交【答案】A【分析】由異面直線(xiàn)的定義判斷即可.【詳解】體對(duì)角線(xiàn)與面對(duì)角線(xiàn)不在同一個(gè)平面內(nèi)，且不平行，故體對(duì)角線(xiàn)與面對(duì)角線(xiàn)的位置關(guān)系一定是異面.故選：A.2.在空間四邊形中，在上分別取E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，如果交于一點(diǎn)P，則（

）A．P一定在直線(xiàn)上B．P一定在直線(xiàn)上C．P在直線(xiàn)或上D．P既不在直線(xiàn)上，也不在直線(xiàn)上【答案】B【分析】由題設(shè)知面，結(jié)合已知條件有面、面，進(jìn)而可判斷P所在的位置.【詳解】由題意知：面，又交于一點(diǎn)P，∴面，同理，面，又面面，由公理3知：點(diǎn)P一定在直線(xiàn)上.故選：B.3.已知是空間中三個(gè)不同的平面，是空間中兩條不同的直線(xiàn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】B【分析】根據(jù)空間中線(xiàn)面之間的關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，若，則，故A正確；對(duì)于B，若，則，平行或相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，故C正確；對(duì)于D，若，則，故D正確.故選：B.4．已知直線(xiàn)和兩個(gè)不重合的平面，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】由空間直線(xiàn)與平面，平面與平面的位置關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】若，則不一定平行，還可以相交，故A錯(cuò)誤；若，則，故B錯(cuò)誤；若，則不一定平行，還可以相交，故C錯(cuò)誤；若，則必存在直線(xiàn)，且，而，所以，所以，故D正確.故選：D5．在空間中，若直線(xiàn)平行于平面，則下列結(jié)論成立的是（

）A．內(nèi)不存在與共面的直線(xiàn) B．內(nèi)不存在與異面的直線(xiàn)C．內(nèi)不存在與垂直的直線(xiàn) D．內(nèi)不存在與相交的直線(xiàn)【答案】D【分析】根據(jù)題意作出圖形，利用空間線(xiàn)線(xiàn)，線(xiàn)面性質(zhì)逐項(xiàng)判斷從而可求解.【詳解】由題意作出下圖，在正方體中，設(shè)所在直線(xiàn)為，平面所在平面為，對(duì)A：由圖及正方體性質(zhì)可知，且平面，此時(shí)與共面，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：由圖及正方體性質(zhì)可