專題02 相似多邊形及相似三角形5大題型-備戰(zhàn)2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末好題分類匯編（河南專用）

PAGE1PAGE2專題02相似多邊形及相似三角形5大題型題型一相似多邊形1．（23-24九年級(jí)上·河南安陽·期末）下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例 B．相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等C．相似多邊形的邊數(shù)相同 D．所有的矩形都相似【答案】D【分析】本題考查了相似多邊形的定義及性質(zhì)，熟記相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵【詳解】解：如果兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，這兩個(gè)或多個(gè)多邊形叫做相似多邊形，所以相似多邊形的邊數(shù)相同、對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)角相等，故A、B、C不符合題意；所有的矩形不一定對(duì)應(yīng)邊成比例，故所有的矩形不一定都相似，故D符合題意，故選：D2．（23-24九年級(jí)上·河南開封·期末）如圖，平行于正多邊形一邊的直線，將正多邊形分割成兩部分，則陰影部分多邊形與原多邊形相似的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)相似多邊形的定義逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、陰影三角形與原三角形的對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊的比相等，符合相似多邊形的定義，符合題意；B、陰影矩形與原矩形的對(duì)應(yīng)角相等，但對(duì)應(yīng)邊的比不相等，不符合相似多邊形的定義，不符合題意；C、陰影五邊形與原五邊形的對(duì)應(yīng)角相等，但對(duì)應(yīng)邊的比不相等，不符合相似多邊形的定義，不符合題意；D、陰影六邊形與原六邊形的對(duì)應(yīng)角相等，但對(duì)應(yīng)邊的比不相等，不符合相似多邊形的定義，不符合題意；故選：A．3．（22-23九年級(jí)上·河南鄭州·期末）有下列四種說法：①兩個(gè)菱形相似；②兩個(gè)矩形相似；③兩個(gè)平行四邊形相似；④兩個(gè)正方形相似其中說法正確的有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的多邊形相似判斷即可．【詳解】①兩個(gè)菱形對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角不一定相等，所以兩個(gè)菱形不一定相似；②兩個(gè)矩形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊不一定成比例，所以兩個(gè)矩形不一定相似；③兩個(gè)平行四邊形對(duì)應(yīng)角不一定相等，對(duì)應(yīng)邊也不一定成比例，所以兩個(gè)平行四邊形不一定相似；④兩個(gè)正方形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，所以兩個(gè)正方形一定相似；只有④正確，故選D4．（23-24九年級(jí)上·河南焦作·期末）寬與長的比是（約0.618）的矩形叫做黃金矩形，黃金矩形蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值，給我們以協(xié)調(diào)和勻稱的美感．我們可以用這樣的方法畫出黃金矩形：作正方形ABCD，分別取AD、BC的中點(diǎn)E、F，連接EF：以點(diǎn)F為圓心，以FD為半徑畫弧，交BC的延長線于點(diǎn)G；作GH⊥AD，交AD的延長線于點(diǎn)H，則圖中下列矩形是黃金矩形的是（）A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH【答案】D【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)以及勾股定理，求得DF的長，再根據(jù)DF=GF求得CG的長，最后根據(jù)CG與CD的比值為黃金比，判斷矩形DCGH為黃金矩形．【詳解】解：設(shè)正方形的邊長為2，則CD=2，CF=1在直角三角形DCF中，∴矩形DCGH為黃金矩形故選：D．5．（23-24九年級(jí)上·河南南陽·期末）如圖，一張矩形紙片沿它的長邊對(duì)折（EF為折痕），得到兩個(gè)全等的小矩形，如果小矩形與原來的矩形相似，那么小矩形的長邊與短邊的比是．【答案】：1．【分析】設(shè)原來矩形的長為x，寬為y，先表示出對(duì)折后的矩形的長和寬，再根據(jù)相似矩形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式，即可得答案.【詳解】設(shè)原來矩形的長為x，寬為y，則對(duì)折后的矩形的長為y，寬為，∵得到的兩個(gè)矩形都和原矩形相似，∴x：y＝y(tǒng)：，解得x：y＝：1．故答案為：：1題型二相似多邊形的性質(zhì)6．（23-24九年級(jí)上·河南安陽·期末）下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例 B．相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等C．相似多邊形的邊數(shù)相同 D．所有的矩形都相似【答案】D【分析】本題考查了相似多邊形的定義及性質(zhì)，熟記相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵【詳解】解：如果兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，這兩個(gè)或多個(gè)多邊形叫做相似多邊形，所以相似多邊形的邊數(shù)相同、對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)角相等，故A、B、C不符合題意；所有的矩形不一定對(duì)應(yīng)邊成比例，故所有的矩形不一定都相似，故D符合題意，故選：D7．（23-24九年級(jí)上·河南安陽·期末）如圖，在矩形中，，，連接，以對(duì)角線為邊，按逆時(shí)針方向作矩形，使矩形矩形；再連接，以對(duì)角線為邊，按逆時(shí)針方向作矩形，使矩形矩形，…，按照此規(guī)律作下去，則邊的長為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似多邊形的性質(zhì)“相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比”，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)求出的結(jié)果得出規(guī)律．根據(jù)已知和矩形的性質(zhì)可分別求得，利用相似多邊形的性質(zhì)可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律即可解決問題．【詳解】∵四邊形是矩形，∵按逆時(shí)針方向作矩形的相似矩形，∴矩形的邊長和矩形的相似比為，∴矩形的對(duì)角線和矩形的對(duì)角線的比，∵矩形的對(duì)角線為，∴矩形的對(duì)角線，依此類推，矩形的對(duì)角線和矩形的對(duì)角線的比為，∴矩形的對(duì)角線，∴矩形的對(duì)角線，按此規(guī)律第個(gè)矩形的對(duì)角線故選：A．8．（22-23九年級(jí)上·河南太康·期末）兩個(gè)相似多邊形的面積比是，若較小多邊形的周長為，則較大多邊形的周長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用面積比等于相似比的平方，求出相似比，再利用周長比等于相似比進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】∵兩相似多邊形的面積比是，∴兩相似多邊形的相似比為：，∴兩相似多邊形的周長比為：，∵較小多邊形的周長為，∴較大多邊形的周長為：．故選：C．9．（22-23九年級(jí)上·河南許昌·期末）如圖，四邊形是一張矩形紙片．將其按如圖所示的方式折疊：使邊落在邊上，點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕為；使邊落在邊上，點(diǎn)落在點(diǎn)處，折痕為．若矩形與原矩形相似，，則的長為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)與矩形性質(zhì)，求得，設(shè)的長為x，則，再根據(jù)相似多邊形性質(zhì)得出，即，求解即可．【詳解】解：，由折疊可得：，，∵矩形，∴，∴，設(shè)的長為x，則，∵矩形，∴，∵矩形與原矩形相似，∴，即，解得：（負(fù)值不符合題意，舍去）∴，故選：C．10．（22-23九年級(jí)上·河南濟(jì)源·期末）若兩個(gè)相似多邊形的面積之比為1：4，則它們的周長之比為（）A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1【答案】B【分析】根據(jù)相似多邊形的面積之比等于相似比的平方，周長之比等于相似比進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵兩個(gè)相似多邊形的面積之比為1：4，∴這兩個(gè)相似多邊形的相似之比為1：2，∴這兩個(gè)相似多邊形的周長之比為1：2，故選B．11．（21-22九年級(jí)上·河南鄭州·期末）小明用放大鏡將菱形ABCD放大3倍，下面說法中，錯(cuò)誤的是（

）A．放大后，邊長是原來的3倍 B．放大后，的大小是不變C．放大后，周長是原來的3倍 D．放大后，面積是原來的3倍【答案】D【分析】用放大鏡放大菱形，得到一個(gè)與原菱形形相似的菱形；根據(jù)相似圖形的性質(zhì)：相似圖形的面積比等于相似比的平方，周長比等于相似比．可知：放大后菱形的面積是原來的9倍，邊長和周長是原來的3倍，而內(nèi)角的度數(shù)不會(huì)改變．【詳解】解：∵放大前后的菱形相似，∴放大后菱形的內(nèi)角度數(shù)不變，面積為原來的9倍，周長和邊長均為原來的3倍，A.放大后，邊長是原來的3倍，正確，故選項(xiàng)A不合題意；

B.放大后，的大小是不變，正確，故選項(xiàng)B不合題意；C.放大后，周長是原來的3倍，正確，故選項(xiàng)C不合題意；

D.放大后，面積是原來的9倍，不正確，故選項(xiàng)D合題意；故選：D．12．（22-23九年級(jí)上·河南洛陽·期末）如圖，取一張長為、寬為的長方形紙片，將它對(duì)折兩次后得到一張小長方形紙片，若要使小長方形與原長方形相似，則原長方形紙片的邊應(yīng)滿足的條件是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題圖可知：得對(duì)折兩次后得到的小長方形紙片的長為，寬為，然后根據(jù)相似多邊形的定義，列出比例式即可求出結(jié)論．【詳解】解：由題圖可知：得對(duì)折兩次后得到的小長方形紙片的長為，寬為，∵小長方形與原長方形相似，故選B．13．（23-24九年級(jí)上·河南鄭州·期末）A4紙是我們常用的打印紙，把紙沿長邊中點(diǎn)對(duì)折，形成兩個(gè)相同的小長方形，我們發(fā)現(xiàn)折疊得到的小長方形與折疊前的大長方形相似，則大長方形與小長方形的相似比為．【答案】【分析】本題主要考查相似多邊形的性質(zhì)，如圖，設(shè)大長方形的長為，寬為，則小長方形的長為，寬為，根據(jù)矩形矩形列出比例式，求出的值即可．【詳解】解：設(shè)大長方形的長為，寬為，如圖，則，，，∵矩形矩形，∴，∴，∴，故答案為：．14．（21-22九年級(jí)上·河南洛陽·期末）已知四邊形ABCD與四邊形A'B'C′D'相似，邊AB與邊A'B'是對(duì)應(yīng)邊，S四邊形ABCD：S四邊形A'B′C′D′＝2：4，AB＝2，則A'B'＝．【答案】2【分析】利用相似多邊形的性質(zhì)解決問題即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD與四邊形A'B'C′D'相似，邊AB與邊A'B'是對(duì)應(yīng)邊，S四邊形ABCD：S四邊形A'B′C′D′＝2：4，∴，∵AB＝2，∴A′B′＝2，故答案為：2．15．（20-21九年級(jí)上·河南安陽·期末）“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，隨機(jī)在大正方形及其內(nèi)部區(qū)域投針，若針扎到小正方形區(qū)域（陰影部分）的概率是，則大、小兩個(gè)正方形的邊長之比是．【答案】【分析】根據(jù)針扎到小正方形（陰影部分）的概率是，求出小正方形與大正方形的面積之比，再根據(jù)相似多邊形面積之比等于相似比的平方即可求出答案．【詳解】解：∵針扎到小正方形（陰影部分）的概率是，∴，∴大、小兩個(gè)正方形的邊長之比是．故答案為：．16．（19-20九年級(jí)上·河南洛陽·期末）學(xué)生會(huì)要舉辦一個(gè)校園書畫藝術(shù)展覽會(huì)，為國慶獻(xiàn)禮，小華和小剛準(zhǔn)備將長AD為400cm，寬AB為130cm的矩形作品四周鑲上彩色紙邊裝飾，如圖所示，兩人在設(shè)計(jì)時(shí)要求內(nèi)外兩個(gè)矩形相似，矩形作品面積是總面積的，他們一致認(rèn)為上下彩色紙邊要等寬，左右彩色紙邊要等寬，這樣效果最好，請(qǐng)你幫助他們?cè)O(shè)計(jì)彩色紙邊寬度．【答案】上下彩色紙邊寬為13cm，左右彩色紙邊寬為40cm．【分析】由內(nèi)外兩個(gè)矩形相似可得，設(shè)A′B′=13x，根據(jù)矩形作品面積是總面積的列方程可求出x的值，進(jìn)而可得答案．【詳解】∵AB＝130，AD＝400，∴，∵內(nèi)外兩個(gè)矩形相似，∴，∴設(shè)A′B′＝13x，則A′D′＝40x，∵矩形作品面積是總面積的，∴，解得：x＝±12，∵x＝﹣12＜0不合題意，舍去，∴x＝12，∴上下彩色紙邊寬為（13x﹣130）÷2＝13，左右彩色紙邊寬為（40x﹣400）÷2＝40．答：上下彩色紙邊寬為13cm，左右彩色紙邊寬為40cm．題型三證明兩三角形相似17．（20-21九年級(jí)上·河南鄭州·期末）如圖，在三角形紙片中，，，．將沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形相似的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】B【分析】本題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．根據(jù)相似三角形的判定定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判定即可．【詳解】解：①陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故兩三角形相似；②陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故兩三角形相似；③兩三角形的對(duì)應(yīng)邊不成比例，故兩三角形不相似；④兩三角形對(duì)應(yīng)邊成比例且夾角相等，故兩三角形相似．故選：B18．（21-22九年級(jí)上·河南商丘·期末）已知圖中有兩組三角形，其邊長和角的度數(shù)已在圖上標(biāo)注，對(duì)于各組中的兩個(gè)三角形而言，下列說法正確的是（）A．都相似 B．都不相似C．只有①相似 D．只有②相似【答案】A【分析】根據(jù)相似三角形的判定去判斷兩個(gè)三角形是否相似即可．【詳解】在圖①中：第一個(gè)三角形三個(gè)角分別為：75°，35°，180°－75°－35°＝70°；第二個(gè)三角形的兩個(gè)角分別為：75°，70°；故根據(jù)兩個(gè)角分別相等的兩個(gè)三角形相似，得兩個(gè)三角形相似；在圖②中：∵，，∴，∵∠AOC＝∠BOD，∴△AOC∽△DOB,故都相似．故選：A19．（21-22九年級(jí)上·河南洛陽·期末）如圖，在四邊形ABDC中，不等長的兩對(duì)角線AD、BC相交于O點(diǎn)，且將四邊形ABDC分成甲、乙、丙、丁四個(gè)三角形．若OA：OB＝OC：OD＝2：3，則此四個(gè)三角形的關(guān)系，下列敘述正確的是（）A．甲與丙相似，乙與丁相似B．甲與丙相似，乙與丁不相似C．甲與丙不相似，乙與丁相似D．甲與丙不相似，乙與丁不相似【答案】A【分析】利用已知條件得到即，加上對(duì)頂角相等，則可判斷△AOB∽△COD；再利用比例性質(zhì)得到，而∠AOC＝∠BOD，所以△AOC∽△BOD．【詳解】解：∵OA：OB＝OC：OD＝2：3，即，而∠AOB＝∠COD，∴△AOB∽△COD，∵，∴，∵∠AOC＝∠BOD，∴△AOC∽△BOD．故選：A．20．（21-22九年級(jí)上·河南洛陽·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥CB，兩兩相似的三角形對(duì)數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】由垂線的定義得出∠ADC＝∠BDA＝90°，由∠BAC＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C，得出△ADC∽△BAC，同理：△ADB∽△CAB，即可得出△ADC∽△BAC∽△BDA；【詳解】解：∵AD⊥CB，∴∠ADC＝∠BDA＝90°，∴∠BAC＝∠ADC＝90°又∵∠C＝∠C，∴△ADC∽△BAC，同理：△ADB∽△CAB，∴△ADC∽△BAC∽△BDA，故選：B．21．（18-19九年級(jí)上·河南焦作·期末）如圖，△ABC中，∠B＝65°，AB＝3，BC＝6，將△ABC沿圖示中的虛線剪開，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判定即可．【詳解】解：A、陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故本選項(xiàng)不符合題意；B、陰影部分的三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故本選項(xiàng)不符合題意；C、兩三角形的對(duì)應(yīng)邊不成比例，故本選項(xiàng)符合題意；D、兩三角形對(duì)應(yīng)邊成比例（6﹣5）：（3﹣1）＝1：2＝3：6，且夾角∠B相等，故兩三角形相似，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．22．（20-21九年級(jí)上·河南洛陽·期末）如圖，，，在、、、、、中寫出一對(duì)相似三角形．【答案】【分析】設(shè)AP，求得AB=，由相似三角形的判定定理可求解．【詳解】解：設(shè)AP，∵∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，∴AP=PB=BC=CD，∴AB=，∴，，∴，又∵∠ABC=∠DBA，∴△ABC∽△DBA，故答案為：△ABC∽△DBA．23．（23-24九年級(jí)上·河南駐馬店·期末）如圖，在等邊三角形中，點(diǎn)D、E、F分別在邊、、上，且．找出圖中所有相似的三角形（不要求證明）．【答案】，【分析】本題考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，利用全等三角形的判定定理，找出是解題的關(guān)鍵．利用等邊三角形的性質(zhì)，可得出，，結(jié)合，可得出，利用全等三角形的判定定理，可證出，同理可得出，進(jìn)而可得出，利用全等三角形的性質(zhì)，可得出，進(jìn)而可得出是等邊三角形，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，可得出．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，，又∵，∴．在和中，，∴，∴．同理：，∴，，∴是等邊三角形，∴，，∴．24．（23-24九年級(jí)上·河南南陽·期末）在綜合與實(shí)踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．有一張矩形紙片如圖所示，點(diǎn)在邊上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)記為點(diǎn)，若點(diǎn)恰好落在邊上，請(qǐng)判斷與是否相似？如果不相似，請(qǐng)說明理由；如果相似，請(qǐng)證明．【答案】相似，證明見解析【分析】本題考查了相似三角形的判定，矩形的性質(zhì)；根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，進(jìn)而證明進(jìn)而即可得證．【詳解】解：相似證明：四邊形是矩形，，，由折疊的性質(zhì)可得：，，，，25．（23-24九年級(jí)上·河南南陽·期末）如圖，點(diǎn)D為邊上一點(diǎn)，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，使．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【分析】本題考查作圖﹣相似變換，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)以及作一個(gè)角等于已知角的方法是解答本題的關(guān)鍵．若，則，根據(jù)作一個(gè)角等于已知角的方法，作，交于點(diǎn)E即可．【詳解】解：如圖，點(diǎn)E即為所求．．26．（23-24九年級(jí)上·河南·期末）如圖，已知鈍角中．(1)請(qǐng)用無刻度直尺和圓規(guī)在上定一點(diǎn)P，使得．（保留痕跡，不寫作法）(2)請(qǐng)用數(shù)學(xué)語言簡述作圖的合理性．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了線段垂直平分線的基本作圖，熟練掌握作圖是解題的關(guān)鍵．(1)作線段的垂直平分線，交于點(diǎn)P，連接，點(diǎn)P即為所求作．(2)利用兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，說明即可．【詳解】（1）如圖，作線段的垂直平分線，交于點(diǎn)P，連接，則點(diǎn)P即為所求作．（2）根據(jù)作圖，得，∴，∵，∴，∴，∵，∴．故作法是合理的．題型四選擇或補(bǔ)充條件使兩三角形相似27．（23-24九年級(jí)上·河南周口·期末）如圖，在中，P為上一點(diǎn)，在下列四個(gè)條件中不能判定和相似的條件是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了相似三角形的判定，熟記判定定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形相似的判定方法逐一進(jìn)行判斷．【詳解】解：當(dāng)時(shí),，，當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，即,當(dāng)時(shí)，即而,所以不能判定，故選：D．28．（23-24九年級(jí)上·河南鄭州·期末）如圖，在中，點(diǎn)D、E分別在邊上，則下列條件中：①；②；③；④，能使得以A，D，E為頂點(diǎn)的三角形與相似的條件有（）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題考查的是相似三角形的判定．根據(jù)相似三角形的判定定理對(duì)各條件進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：①，則，故①符合題意；②，則，故②符合題意；③，且夾角，則，故③符合題意；④由可得，此時(shí)不確定，故④不符合題意，故選：C．29．（23-24九年級(jí)上·河南周口·期末）如圖，不能判定和相似的條件是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查相似三角形的判定，根據(jù)相似三角形的判定定理進(jìn)行判定即可．【詳解】解：A.由知，且，所以可判斷和相似，故選項(xiàng)A不符合題意；B.∵，且，所以可判斷和相似，故選項(xiàng)B不符合題意；C.∵，且，所以可判斷和相似，故選項(xiàng)C不符合題意；D.由，缺少條件，無法判斷和相似，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：D．30．（23-24九年級(jí)上·河南安陽·期末）如圖，在中，點(diǎn)，分別在，邊上，與不平行，那么下列條件中，不能判斷的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了相似三角形的判定，理解并掌握相似三角形的判定條件是解題關(guān)鍵．（1）三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似；（2）兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；（3）有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．結(jié)合選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A.因?yàn)?，，所以，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；B.因?yàn)?，，所以，故該選項(xiàng)正確，不符合題意；C.由條件，不能證明，故該選項(xiàng)不正確，符合題意；D.因?yàn)?，，所以，故該選項(xiàng)正確，不符合題意．故選：C．31．（22-23九年級(jí)上·河南南陽·期末）如圖，不能判定和相似的條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題中已知是對(duì)頂角，應(yīng)用兩三角形相似的判定定理，即可作出判斷．此題考查了相似三角形的判定：有兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似；有兩個(gè)對(duì)應(yīng)邊的比相等，且其夾角相等，則兩個(gè)三角形相似；三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，則兩個(gè)三角形相似．【詳解】解：A、不能判定，符合題意；B、能判定，利用兩邊成比例夾角相等，不符合題意；C、能判定，兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，不符合題意；D、能判定，兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，不符合題意．故選：A．32．（23-24九年級(jí)上·河南周口·期末）如圖，添加一個(gè)條件后，能判定的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了相似三角形的判定，熟記“兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似”是解題關(guān)鍵．【詳解】解：，，．故選：C．33．（23-24九年級(jí)上·河南周口·期末）如圖，給出下列條件：①；②；③；④．其中能夠單獨(dú)判定相似于的條件有（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題考查了相似三角形的判定，此題主要考查學(xué)生對(duì)相似三角形判定定理的理解和掌握，難度不大，屬于基礎(chǔ)題，要求學(xué)生應(yīng)熟練掌握．由圖可知與中為公共角，所以只要再找一組角相等，或一組對(duì)應(yīng)邊成比例即可解答．【詳解】解：有三個(gè)．①可以根據(jù)兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且相應(yīng)的夾角相等的兩個(gè)三角形相似來判定；②，再加上為公共角，可以根據(jù)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似來判定；③中不是已知的比例線段的夾角，不正確④，再加上為公共角，可以根據(jù)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似來判定；故選：C．34．（22-23九年級(jí)上·河南南陽·期末）如圖，在中，為上一點(diǎn)，下列四個(gè)條件中：①；②；③﹔④能滿足與相似的條件是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法對(duì)每個(gè)條件進(jìn)行分析，從而獲得答案．【詳解】解：①∵，∴，又∵，∴；②∵，∴，是的最短邊，是的最長邊，和不是對(duì)應(yīng)邊，不能判定與相似；③∵，，∴；④，，∴．綜上所述，能滿足與相似的條件是①③④．故選：C．35．（21-22九年級(jí)上·河南南陽·期末）如圖，點(diǎn)P是的邊AC上一點(diǎn)，如果添加一個(gè)條件后可以得到，那么以下添加的條件中不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分別利用相似三角形的判定方法判斷得出即可．【詳解】解：A.當(dāng)∠ABP＝∠C時(shí)，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)不符合題意；B.當(dāng)∠APB＝∠ABC時(shí)，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)不符合題意；C.當(dāng)AB2＝AP?AC，即時(shí)，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)不符合題意；D.無法得到△ABP∽△ACB，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．36．（23-24九年級(jí)上·河南安陽·期末）如圖，在中，，點(diǎn)D在邊上（點(diǎn)D不與A，C重合）．若再增加一個(gè)條件能使，則這個(gè)條件是______；結(jié)合你所添加的條件，證明．【答案】（答案不唯一），見解析【分析】本題考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定方法即可求解．【詳解】解：（答案不唯一）證明：在和中，∴．（有兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似）題型五相似三角形的證明37．（23-24九年級(jí)上·河南濮陽·期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，則圖中相似三角形共有()A．1對(duì) B．2對(duì) C．3對(duì) D．4對(duì)【答案】C【詳解】∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴△ABC∽△ACD，△ACD∽CBD，△ABC∽CBD，所以有三對(duì)相似三角形．故選C．38．（23-24九年級(jí)上·河南焦作·期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC邊上，DE∥BC，且∠DCE＝∠B．那么下列各判斷中，錯(cuò)誤的是（）A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACDC．△DEC∽△CDB D．△ADE∽△DCB【答案】D【分析】由相似三角形的判定方法得出A、B、C正確，D不正確；即可得出結(jié)論．【詳解】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∠BCD=∠CDE，∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB，∵∠DCE=∠B，∴∠ADE=∠DCE，又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD；∵∠BCD=∠CDE，∠DCE=∠B，∴△DEC∽△CDB；∵∠B=∠ADE，但是∠BCD<∠AED，且∠BCD≠∠A，∴△ADE與△DCB不相似；正確的判斷是A、B、C，錯(cuò)誤的判斷是D；故選D．39．（23-24九年級(jí)上·河南太康·期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，連接BD，若想使△ABD∽ACB，可添加的條件是.【答案】∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC【分析】根據(jù)兩角相等的三角形是相似三角形即可解題.【詳解】解：根據(jù)相似三角形的判定可知當(dāng)∠ABD=∠C時(shí),∠A=∠A,△ABD∽ACB，當(dāng)∠ADB=∠ABC時(shí),∠A=∠A,△ABD∽ACB，故答案為∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC40．（23-24九年級(jí)上·河南鄭州·期末）已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝，BC＝4，點(diǎn)D從A出發(fā)以每秒個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)以每秒4個(gè)單位的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，在DE的右側(cè)作∠DEF＝∠B，交直線AC于點(diǎn)F，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，則當(dāng)△ADF是一個(gè)以AD為腰的等腰三角形時(shí)，t的值為．【答案】【分析】當(dāng)△ADF是一個(gè)以AD為腰的等腰三角形時(shí)，如圖2，只能AD＝AF，由題意DF＝4t，BE＝4t，DF∥BE，推出四邊形BEFD是平行四邊形，由△ABC∽△BED，可得，延長構(gòu)建方程即可解決問題；【詳解】如圖1，過A作AG⊥BC于G，∵AB＝AC＝，∴BG＝CG＝2，由勾股定理得：AG＝＝1，由圖形可知：∠BAC是鈍角，∴當(dāng)△ADF是一個(gè)以AD為腰的等腰三角形時(shí)，如圖2，只能AD＝AF，由題意DF＝4t，BE＝4t，DF∥BE，∴四邊形BEFD是平行四邊形，∴∴DEF＝∠BDE＝∠B，∴△ABC∽△BED，∴，∴，∴t＝，故答案為．41．（23-24九年級(jí)上·河南商丘·期末）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，點(diǎn)D、E分別在邊AC、AB上，AD=DE=AB，連接DE．將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為θ．（1）問題發(fā)現(xiàn)①當(dāng)θ=0°時(shí)，=；②當(dāng)θ=180°時(shí)，=．（2）拓展探究試判斷：當(dāng)0°≤θ＜360°時(shí)，的大小有無變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明；（3）問題解決①在旋轉(zhuǎn)過程中，BE的最大值為；②當(dāng)△ADE旋轉(zhuǎn)至B、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，線段CD的長為．【答案】（1）①；（2）無變化，證明見解析；（3）①2+2+1或﹣1.【分析】（1）①先判斷出DE∥CB，進(jìn)而得出比例式，代值即可得出結(jié)論；②先得出DE∥BC，即可得出，，再用比例的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）先∠CAD=∠BAE，進(jìn)而判斷出△ADC∽△AEB即可得出結(jié)論；（3）分點(diǎn)D在BE的延長線上和點(diǎn)D在BE上，先利用勾股定理求出BD，再借助（2）結(jié)論即可得出CD．【詳解】解：（1）①當(dāng)θ=0°時(shí)，在Rt△ABC中，AC=BC=2，∴∠A=∠B=45°，AB=2，∵AD=DE=AB=，∴∠AED=∠A=45°，∴∠ADE=90°，∴DE∥CB，∴，∴，∴，故答案為，②當(dāng)θ=180°時(shí)，如圖1，∵DE∥BC，∴，∴，即：，∴，故答案為；（2）當(dāng)0°≤θ＜360°時(shí)，的大小沒有變化，理由：∵∠CAB=∠DAE，∴∠CAD=∠BAE，∵，∴△ADC∽△AEB，∴；（3）①當(dāng)點(diǎn)E在BA的延長線時(shí)，BE最大，在Rt△ADE中，AE=AD=2，∴BE最大=AB+AE=2+2；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在BD上時(shí)，∵∠ADE=90°，∴∠ADB=90°，在Rt△ADB中，AB=2，AD=，根據(jù)勾股定理得，BD==，∴BE=BD+DE=+