專題03 特殊平行四邊形的折疊問題-備戰(zhàn)2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期末好題分類匯編（河南專用）

PAGE1PAGE2專題03特殊平行四邊形的折疊問題題型一菱形的折疊1．（22-23九年級上·河南鄭州·期末）如圖，將菱形紙片折疊，使點A恰好落在菱形的對角線交點O處，折痕為，若菱形的邊長為，，那么為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接、，根據(jù)菱形性質(zhì)得出，平分，求出，求出，、，根據(jù)折疊得出，平分，推出，可證得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出即可．【詳解】解：連接、，與相交于點G，如圖，∵四邊形是菱形，，平分，，，，，由勾股定理得：，，沿折疊與O重合，，平分，，，，，，，故選：C．2．（22-23九年級上·河南開封·期末）如圖，甲、乙兩人分別用一張矩形紙做一個折菱形的游戲．甲沿折疊使得點落在上，沿折疊使得點落在上，甲說得到的四邊形為菱形；乙沿折疊使得與重合，再折出，，乙說得到的四邊形為菱形；下列說法正確的是（

）A．甲一定成立，乙可能成立 B．甲可能成立，乙一定不成立C．甲一定成立，乙一定不成立 D．甲可能成立，乙也可能成立【答案】B【分析】由折疊的方法可知，四邊形和四邊形為平行四邊形；再判斷它們鄰邊是否相等即可得出結(jié)論；【詳解】解：∵四邊形是矩形∴

∴，由折疊知：，∴

∴∥,∴四邊形是平行四邊形當(dāng)時，四邊形是平行四邊形，∴，又∵，，∴，故時，四邊形為菱形，甲甲可能成立，而由乙折疊方法可知，所以，故四邊形為不可能為菱形．綜上所述：甲可能成立，乙一定不成立，故選B．3．（20-21九年級上·河南濮陽·期末）如圖，將菱形紙片折疊，使點A恰好落在菱形的對稱中心O處，折痕為EF．若菱形的邊長為4，，則的值是（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)證明△ABD是等邊三角形，求得BD=4，再證明EF是△ABD的中位線即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接AC，BD∵四邊形ABCD是菱形，∴，BD平分∠ABC，∴∠∵∴△ABD是等邊三角形，∴由折疊的性質(zhì)得：，EF平分AO，又∵，∴∴EF為△ABD的中位線，∴故選：B．4．（23-24九年級上·河南安陽·期末）如圖，點是菱形的邊上一點，將沿折疊，點的對應(yīng)點恰好在邊上，若，點為的中點，則的長度為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，折疊性質(zhì)，關(guān)鍵是證明．延長，與的延長線交于點H，證明，求出，根據(jù)，便可求得結(jié)果．【詳解】解：延長，與的延長線交于點H，∵四邊形是菱形，∴，，∴，由折疊性質(zhì)知，，∴，∴，∵F是的中點，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故選：B．5．（20-21九年級上·河南駐馬店·期末）如圖，在折疊千紙鶴時，其中某一步需要將如圖所示的菱形紙片分別沿，所在直線進行折疊，使得菱形的兩邊，重合于．若此時，則．【答案】30°/30度【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得∠B=∠D，∠B+∠BAD=180°，再由折疊的性質(zhì)得∠B=∠AOM，∠D=∠AON，∠BAM=∠OAM=∠DAN=∠OAN=∠BAD，所以∠AOM=∠AON=(360°-∠MON)=140°，所以∠B=∠AOM=140°,從而可求得∠BAD=40°,繼而求得∠OAM=10°,再由三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD為菱形，∴∠B=∠D，∠B+∠BAD=180°，由折疊的性質(zhì)得：∠B=∠AOM，∠D=∠AON，∠BAM=∠OAM=∠DAN=∠OAN=∠BAD，∵∠MON=80°，∴∠AOM=∠AON=(360°-80°)=140°，∴∠B=∠AOM=140°,∴∠BAD=40°,∴∠OAM=10°,∴∠AMO=180°-140°-10°=30°,故答案為:30°．6．（22-23九年級上·河南許昌·期末）如圖，在菱形中，，，點為邊的中點，為射線上一動點，連接，把沿折疊，得到，當(dāng)與菱形的邊垂直時，線段的長為．【答案】或【分析】存在兩種情況①當(dāng)點F在線段AB上時，由題意得出AE的長，在中可求出AG的長，由根據(jù)折疊的性質(zhì)，可知在中，可求出GF的長，即可得出AF的長．②當(dāng)點F在線段AB延長線上時，由得出由中，求出由得出即可得出結(jié)果．【詳解】解：如圖1所示：當(dāng)點F在線段AB上時，過點E作于G，∵四邊形是菱形，∵點E是AD的中點，如圖2所示：當(dāng)點F在線段AB延長線上時，過點E作交AD于點H，∵四邊形是菱形，∵點E是AD的中點，又故答案為：或7．（23-24九年級上·河南鶴壁·期末）菱形是矩形紙片按如圖所示的方式折疊而成，若菱形的面積為，則長為．【答案】【分析】本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)折疊以及菱形的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)特殊角，根據(jù)的直角三角形中各邊之間的關(guān)系求得的長．根據(jù)折疊的性質(zhì)結(jié)合菱形的性質(zhì)可得，再根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理與菱形的面積即可求得結(jié)果．【詳解】解：∵四邊形為菱形，∴，，由折疊的性質(zhì)可知，，又，∴，∵矩形，∴，，∴，，∵菱形的面積為，∴；∴，∴，∴，∴；故答案為：8．（23-24九年級上·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，點E是菱形的邊上一點，將沿折疊，點D的對應(yīng)點F恰好在邊上，設(shè)．若點F是邊的中點，則．

【答案】2【分析】延長，與的延長線交于點H，證明，便可求得結(jié)果．【詳解】延長，與的延長線交于點H，

∵四邊形是菱形，∴，，∴，由折疊性質(zhì)知，，∴，∴，∵F是的中點，∴，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：2．9．（20-21九年級上·河南安陽·期末）將矩形按如圖所示的方式折疊，得到菱形，若，則菱形的周長為.【答案】24【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得AD=AO，CO=BC，∠BCE=∠OCE，所以AC=2BC，則根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得∠CAB=30°，于是BC=AB=33，∠ACB=60°，接著計算出∠BCE=30°，然后計算出BE=BC=3，CE=2BE=6，于是可得菱形AECF的周長．【詳解】解：∵矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，得到菱形AECF，∴AD=AO，CO=BC，∠BCE=∠OCE，而AD=BC，∴AC=2BC，∴∠CAB=30°，∴BC=AB=33，∠ACB=60°，∴∠BCE=30°，∴BE=BC=3，∴CE=2BE=6，∴菱形AECF的周長=4×6=24．故答案為24題型二矩形的折疊10．（23-24九年級上·河南信陽·期末）如圖，在矩形中，，，E是邊上一點，連接，沿翻折，得到，連接．當(dāng)長度最小時，的面積是（

）

A． B． C． D．2【答案】C【分析】連接，如圖，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，當(dāng)點、、三點共線時，最小，此時的最小值，根據(jù)勾股定理得到，得到長度的最小值，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得到根據(jù)三角形的面積公式得到的面積是．【詳解】解：連接，如圖，

沿翻折至，，，，，當(dāng)點、、三點共線時，最小，此時的最小值，四邊形是矩形，，，，，長度的最小值，設(shè)，則，，，，，解得，，的面積是，故選：．11．（23-24九年級上·河南許昌·期末）如圖，有一張矩形紙片．先對折矩形，使與重合，得到折痕，把紙片展平．再一次折疊紙片，使點落在上，并使折痕經(jīng)過點，得到折痕﹐同時得到線段，．觀察所得的線段，若，則（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，得出，，進而得到，在中，由特殊銳角的三角函數(shù)可求即可．【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：，，，，∴∵四邊形是矩形，∴，，∴，在中，，∴，∴∴，在中，，∴，∴，故選：．12．（23-24九年級上·河南商丘·期末）如圖，把一張長方形紙條ABCD沿EF折疊，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)結(jié)合平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：由折疊可知：故選：B13．（23-24九年級上·河南平頂山·期末）如圖，在矩形ABCD中，點E在DC上，將矩形沿AE折疊，使點D落在BC邊上的點F處．若AB＝3，BC＝5，則DE的長為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)得AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理計算出BF＝4，則CF＝BC﹣BF＝1，設(shè)CE＝x，則DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根據(jù)勾股定理得到x2+12＝（3﹣x）2，解方程即可得到DE的長．【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，∵矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點D恰好落在BC邊上的F處，∴AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，BF＝＝＝4，∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，設(shè)CE＝x，則DE＝EF＝3﹣x，在Rt△ECF中，CE2+FC2＝EF2，∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x＝，∴DE＝3﹣x＝，故選：B．14．（22-23九年級上·河南南陽·期末）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，將△ABC沿AC折疊，點B落到E點，此時AE交CD于F，則AF：EF＝（）

A．24：7 B．25：7 C．2：1 D．3：1【答案】B【分析】設(shè)EF的長為x，則AF的長為4－x，根據(jù)勾股定理列方程求出x的值，進而可得AF：EF.【詳解】設(shè)EF的長為x，則AF的長為4－x，依題意有，所以△ADF≌△CEF，所以DF＝EF＝x，再Rt△ADF中，根據(jù)勾股定理可得，即，解得x＝，所以EF＝，AF＝，所以AE：EF＝25:7.故選B.15．（23-24九年級上·河南鄭州·期末）如圖，在矩形紙片中，，，為邊上一點，將沿折疊，得到．點關(guān)于對稱，若，則的度數(shù)為．【答案】或【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，分兩種情況解答即可求解，掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：當(dāng)點在上方時，如圖，連接，∵點關(guān)于對稱，∴垂直平分，∵四邊形是矩形，∴，若，則是等邊三角形，∴，∴，∴；當(dāng)點在下方時，如圖，由圖可得，；∴的度數(shù)為或，故答案為：或．16．（23-24九年級上·河南南陽·期末）如圖，點是矩形的邊上的動點，沿直線將折疊，，，則當(dāng)點恰好落在了矩形的對稱軸上時，．【答案】或【詳解】設(shè)，則，，分兩種情況討論：當(dāng)點恰好落在了矩形的橫向?qū)ΨQ軸上，即、分別為、的中點，用勾股定理解和，即可求解，恰好落在了矩形的縱向?qū)ΨQ軸上，即、分別為、的中點，過點作，交于點，交于點，用勾股定理解和，即可求解，本題考查翻折變換、矩形的性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握基本知識，學(xué)會構(gòu)建方程解決問題．【解答】解：設(shè)：，則，，當(dāng)點恰好落在了矩形的橫向?qū)ΨQ軸上時，、分別為、的中點，，在，，，在中，，即：，解得：，當(dāng)恰好落在了矩形的縱向?qū)ΨQ軸上，即、分別為、的中點，過點作，交于點，交于點，，在中，，，在中，，即：，解得：，故答案為：或．17．（23-24八年級上·河南濮陽·期末）把一張長方形紙片沿對角線折疊，使折疊后的圖形如圖所示．若，則°．【答案】【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)翻折的性質(zhì)求出，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出即可．【詳解】解：如圖，由題意，得，，，，，，故答案為：18．（23-24九年級上·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，在矩形中，，，是延長線上的一點，且，是邊上的一個動點（點不與點，重合），將沿折疊，當(dāng)點的對應(yīng)點落在矩形任意一邊所在的直線上時，的長為．【答案】或【分析】本題考查了矩形與折疊問題，用勾股定理解三角形，先根據(jù)矩形的性質(zhì)找到邊長之間的關(guān)系，設(shè)出邊長的值，構(gòu)造出直角三角形，根據(jù)勾股定理求出的長，然后再根據(jù)勾股定理可得到有關(guān)的一元二次方程，求解即可，作輔助線，根據(jù)直角三角形三邊關(guān)系得到等式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵在矩形中，，，∴，∵，∴,設(shè)，∵沿折疊得到，∴，，①當(dāng)點F落在上時，過點F作的平行線交于一點M，如圖所示：，此時，∵，∴在中，，∴，∵，∴，即，∵，∴，∴，在中，，即，解得：；②當(dāng)點F落在直線上時，延長邊,過點F作的平行線交的延長線于一點N，如圖所示：，在中，，即，∴，在中，，即，解得：，綜上的長為或，故答案為：或．19．（22-23九年級上·河南鄭州·期末）如圖，矩形中，，，點P是邊上一個動點，且不與點B，C重合，將沿直線AP折疊得到，點落在矩形的內(nèi)部，連接，則周長的最小值為．【答案】/（寫法不唯一）【分析】根據(jù)勾股定理求出，由翻折可知，由三角形兩邊之差小于第三邊得，從而求解．【詳解】解：連接，由題意可知，，，，，，，故答案為：．20．（22-23九年級上·河南鄭州·期末）如圖，矩形的邊長為4，將沿對角線翻折得到，與交于點E，再以為折痕，將進行翻折，得到．若兩次折疊后，點恰好落在的邊上，則的長為．【答案】或【分析】根據(jù)題意分兩種情況討論：①當(dāng)點恰好落在上時，由翻折以及矩形的性質(zhì)利用可證明，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出的長，再依據(jù)勾股定理求解即可；②當(dāng)點恰好落在上時，同理利用可證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出的長，再根據(jù)線段的和差關(guān)系即可得出答案．【詳解】∵四邊形為矩形，∴，，∵沿對角線翻折得到，∴，，∵以為折痕，將進行翻折，得到，∴，，①當(dāng)點恰好落在上時，如圖，在和中，∴∴，即為等腰三角形，∵∴點為中點，∴，在中，有，即，解得②當(dāng)點恰好落在上時，如圖，∵∴四邊形為矩形，∴，∵沿進行翻折，得到，∴在中，，在和中，∴≌（）∴∴．故答案為：或．21．（21-22九年級上·河南鄭州·期末）如圖，在矩形ABCD中，，，點E為射線CB上一動點（不與點C重合），將沿DE所在直線折疊，點C落在點處，連接，當(dāng)為直角三角形時，CE的長為．【答案】2或8/8或2【分析】由折疊的性質(zhì)得：C'D＝CD＝4，C'E＝CE，∠DC'E＝∠C＝90°，設(shè)CE＝C'E＝x，分點C'在矩形內(nèi)與矩形外兩種情況，如圖1，在△AC'D利用勾股定理求得AC'的長，在Rt△ABE中，利用勾股定理得到關(guān)于x的方程，然后求解方程即可；如圖2，同理1進行求解即可．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，AD＝BC＝5，CD＝AB＝4，由折疊的性質(zhì)得：C'D＝CD＝4，C'E＝CE，∠DC'E＝∠C＝90°，設(shè)CE＝C'E＝x，當(dāng)△AC′D為直角三角形時，則∠AC'D＝90°，∴∠AC'D+∠DC'E＝180°，∴A、C'、E三點共線，分兩種情況：①點E在線段CB上時，如圖1所示：則∠DC'E＝∠C＝90°，∴∠AC'D＝90°，∴AC'＝，在Rt△ABE中，BE＝5﹣x，AE＝x+，由勾股定理得：（5﹣x）2+42＝（x+）2，解得：x＝2，∴CE＝2；②點E在線段CB的延長線上時，如圖2所示：則∠DC'E＝∠C＝90°，∴AC'＝，在Rt△ABE中，BE＝x﹣5，AE＝x﹣3，由勾股定理得：（x﹣5）2+42＝（x﹣3）2，解得：x＝8，∴CE＝8；綜上所述，當(dāng)△AC′D為直角三角形時，CE的長為2或8；故答案為：2或8．22．（21-22九年級上·河南漯河·期末）如圖，已知點E是長方形ABCD中AD邊上一點，將四邊形BCDE沿直線BE折疊，折疊后點C的對應(yīng)點為，點D的對應(yīng)點為，若點A在上，且AB＝10，BC＝8，則AE＝．【答案】5【分析】先求出，，設(shè)，則，運用勾股定理列出關(guān)于的方程，求出即可解決問題．【詳解】解：∵四邊形ABCD為長方形，AB＝10，BC＝8，∴∠D＝∠C＝∠DAB＝90°，AB＝DC＝10，AD＝BC＝8，∵折疊，∴，，，；∵在中，，∴，∴，設(shè)，則，∵在中，，∴，解得：，∴，故答案為：5．23．（23-24九年級上·河南鄭州·期末）如圖，矩形OABC在平面直角坐標系內(nèi)，其中點A（2，0），點C（0，4），點D和點E分別位于線段AC，AB上，將△ABC沿DE對折，恰好能使點A與點C重合．若x軸上有一點P，能使△AEP為等腰三角形，則點P的坐標為．【答案】（﹣，0）或（，0）【分析】由矩形的性質(zhì)可得BC＝2＝OA，AB＝OC＝4，∠B＝90°＝∠OAE，由折疊的性質(zhì)可得AE＝CE，由勾股定理可求AE的長，由等腰三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：∵矩形OABC，且點A（2，0），點C（0，4），∴BC＝2＝OA，AB＝OC＝4，∠B＝90°＝∠OAE，∵將沿DE對折，恰好能使點A與點C重合．∴AE＝CE，∴在中：∵CE2＝BC2+BE2，∴CE2＝4+（4﹣CE）2，∴CE＝，∴AE＝，∵為等腰三角形，且∠EAP＝90°，∴AE＝AP＝，又∵∴點P坐標，或故答案為：（﹣，0）或（，0）24．（21-22九年級上·河南平頂山·期末）如圖，已知點，軸，點C為射線上的一個動點，連接，將沿折疊，點A落在點D處，過點D作x軸的垂線，分別交x軸，于點M，N．當(dāng)時，點C的坐標為．【答案】【分析】由題意可證四邊形AOMN是矩形，可得OA=MN=3，AN=OM，由折疊的性質(zhì)可得DM=1，DN=2，由勾股定理可求OM的長，可得AN=，由勾股定理可求AC的長，即可求解．【詳解】解：∵MN⊥x軸，AB∥x軸，∴MN⊥AB，又∵∠AOM=90°，∴四邊形AOMN是矩形，∴OA=MN=3，AN=OM，∵DN=2DM，∴DM=1，DN=2，∵將△OAC沿OC折疊，∴OD=OA=3，AC=CD，∴OM=，∴AN=，∵CD2=CN2+DN2，∴AC2=（AC）2+4，∴AC=，∴點C（，3），故答案為：（，3）．25．（18-19九年級上·河南鄭州·期末）已知，如圖，在矩形ABCD中，，，點E為線段AB上一動點不與點A、點B重合，先將矩形ABCD沿CE折疊，使點B落在點F處，CF交AD于點H，若折疊后，點B的對應(yīng)點F落在矩形ABCD的對稱軸上，則AE的長是．【答案】或【分析】依據(jù)點B的對應(yīng)點F落在矩形ABCD的對稱軸上，分兩種情況討論：F在橫對稱軸上與F在豎對稱軸上，分別求出BF的長即可．【詳解】解：分兩種情況：當(dāng)F在橫對稱軸MN上，如圖所示，此時，，，，由折疊得，，，，即，，；當(dāng)F在豎對稱軸MN上時，如圖所示，此時，，，，，由折疊的性質(zhì)得，，，，，，是等邊三角形，，，，．綜上所述，點B的對應(yīng)F落在矩形ABCD的對稱軸上，此時AE的長是或．故答案為或．26．（23-24九年級上·河南南陽·期末）折疊問題是我們常見的數(shù)學(xué)問題，它是利用圖形變化的軸對稱性質(zhì)解決的相關(guān)問題．?dāng)?shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展了數(shù)學(xué)活動．

圖1

圖2【操作】如圖1，在矩形中，點在邊上，將矩形紙片沿所在的直線折疊，使點落在點處，與交于點．【猜想】請直接寫出線段的數(shù)量關(guān)系______．【應(yīng)用】如圖2，繼續(xù)將矩形紙片折疊，使恰好落在直線上，點落在點處，點落在點處，折痕為．（1）猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）若，，求的長．【答案】[猜想]；[應(yīng)用]（1）,理由見解析；（2）5【分析】此題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理等知識，熟練掌握矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵．【猜想】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，根據(jù)矩形的性質(zhì)推出，則，根據(jù)等腰三角形的判定即可得解；【應(yīng)用】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，根據(jù)矩形的性質(zhì)推出，則，根據(jù)等腰三角形的判定即可得出，結(jié)合即可得解；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)得出，，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：【猜想】矩形紙片沿所在的直線折疊，，四邊形是矩形，，，，．故答案為：；【應(yīng)用】（1）；理由如下：由四邊形折疊得到四邊形，，四邊形是矩形，，，，，，，即；（2）矩形沿所在直線折疊，，，，設(shè)，，在中，，，，解得，，．題型三正方形的折疊27．（23-24九年級上·河南三門峽·期末）如圖所示，在矩形中，，，將矩形沿折疊，點D落在點處，則重疊部分的面積為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】本題考查了矩形與折疊、勾股定理、等腰三角形的判定．證得，則，設(shè)，則在中，根據(jù)勾股定理求x，于是得到，即可得到結(jié)果．【詳解】解：∵是矩形，∴，，，∴，由折疊可得，，，∴，，，∴，∴，設(shè)，則，在中，，解之得：，∴，∴．故選：C．28．（23-24九年級上·河南焦作·期末）如圖，在正方形中，，點E，F(xiàn)分別在邊，上，，若將四邊形沿折疊，點恰好落在邊上，則的長度為（

）A．3 B．6 C． D．【答案】B【分析】本題考查正方形與折疊，含30度角的直角三角形，根據(jù)正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，得到，進而得到，，設(shè)，則，，即可得到，求解即可．解題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∴，∵將四邊形沿折疊，點恰好落在邊上，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，，∴，解得：．故選：B．29．（23-24九年級上·河南鄭州·期末）如圖，正方形的邊長為，分別是邊上的一點，將正方形沿折疊，使點恰好落在的中點處，點的對應(yīng)點為點，則折痕的長為．【答案】【分析】連接交于點，作，分別交、于點、點，由正方形的性質(zhì)得，，則，所以，由垂直平分，得，則，可證明四邊形是平行四邊形，得，再證明，則，于是得到問題的答案．【詳解】解：連接交于點，作，分別交、于點、點，∵四邊形是邊長為的正方形，∴，，∵點為邊的中點，∴，∴，由折疊得點與點關(guān)于直線對稱，∴垂直平分，，∴，∴，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，在和中，，∴，∴，∴，故答案為：．30．（2022·河南周口·二模）如圖，在正方形中，，點是邊上一個動點（不與點，重合），將沿翻折到，再將沿翻折得到．當(dāng)點恰好落在正方形的邊所在的直線上時，線段的長度為．

【答案】或【分析】分兩種情況討論，當(dāng)點落在邊上時，證明是等腰直角三角形，設(shè)，利用勾股定理列式計算求解；當(dāng)點落在的延長線上，證明，利用含30度的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可.【詳解】解：①當(dāng)點落在邊上時，

∵四邊形是正方形，∴，，根據(jù)折疊可知，在與中，，∴，∴，∴．∴是等腰直角三角形，設(shè)，則，，∴，解得．②當(dāng)點落在的延長線上時，

∴，∴，綜上可知，或．故答案為：或．31．（22-23九年級上·河南鄭州·期末）已知正方形的邊長為12，點P是邊上的一個動點，連接，將沿折疊，使點A落在點上，延長交于E，當(dāng)點E與的中點F的距離為2時，則此時的長為．【答案】2.4或6【分析】分兩種情況討論：E點在線段上和E點在線段上.接，先根據(jù)折疊的性質(zhì)和HL得到，.設(shè)，則，，求出，把用含有x的式子表示出來.中，根據(jù)勾股定理列方程求出x即可.【詳解】解：①如圖1，當(dāng)E點在線段上時，連接,∵四邊形是正方形，∵折疊后，又(HL)∴

設(shè),則，在Rt中，

解得②如圖2，E點在線段上時，連接,

設(shè),則，在Rt中解得

故答案為：2.4或632．（21-22九年級上·河南平頂山·期末）如圖，在正方形紙片ABCD中，E是CD的中點，將正方形紙片折疊，點B落在線段AE上的點G處，折痕為AF．若，則CF的長為cm．【答案】【分析】設(shè)BF=x，則FG=x，CF=2-x，在Rt△GEF中，利用勾股定理可得，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得，從而得到關(guān)于x方程，求解x，最后用2-x即可．【詳解】解：∵正方形紙片ABCD中，E是CD的中點，，∴設(shè)BF=x，則FG=x，CF=2-x．在Rt△ADE中，利用勾股定理可得AE=，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知AG=AB=2，所以．在Rt△GEF中，利用勾股定理可得，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得，所以解得．則．故答案為：33．（21-22九年級上·河南鄭州·期末）如圖，正方形中，點E為邊的中點，點P為邊上一個動點，連接，以為對稱軸折疊得到，點B的對應(yīng)點為點F，若，當(dāng)射線經(jīng)過正方形邊的中點（不包括點E）時，的長為．【答案】1或【分析】分EF經(jīng)過正方形ABCD另三邊三種情況求解即可【詳解】解：①EF經(jīng)過CD邊中點O時，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，，∵點O是CD邊中點，點E是BC邊中點，∴．∵CE=CO=1，∴，由折疊得，∴．∴，作FG⊥AB于G，作EH⊥FG于H，如圖，設(shè)FH=x，則BG=EH=FH=x，∵，∴PG＝FG=x+1，∴BP=2x+1，由勾股定理得，由折疊得PB=PF，∴，解得．∴，∴點P在AB外，不符合題意；②EF經(jīng)過AD邊中點，如圖，此時，，∴BP=BE=1；③EF經(jīng)過AB中點，如圖，∵B=BE，∴．由折疊得，設(shè)PF=x，則，∴，∴x=，即BP=，綜上，BP的長為1或，故答案為：1或．34．（23-24九年級上·河南鶴壁·期末）如圖，在正方形紙片ABCD中，E是CD的中點，將正方形紙片折疊，點B落在線段AE上的點G處，折痕為AF．若AD＝2，則BF的長為．【答案】﹣1【分析】設(shè)BF＝x，則FG＝x，CF＝2﹣x，在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（2﹣x）2+12，從而得到關(guān)于x的方程，求解x即可．【詳解】解：設(shè)BF＝x，則FG＝x，CF＝2﹣x．在Rt△ADE中，利用勾股定理可得AE＝．根據(jù)折疊的性質(zhì)可知AG＝AB＝2，所以GE＝﹣2．在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝（﹣2）2+x2，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（2﹣x）2+12，所以（﹣2）2+x2＝（2﹣x）2+12，解得x＝﹣1，∴BF＝﹣1，故答案為：﹣1．35．（19-20九年級上·河南平頂山·期末）如圖，四邊形ABCD是邊長為4的正方形，若AF＝3，E為AB上一個動點，把△AEF沿著EF折疊，得到△PEF，若△BPE為直角三角形，則BP的長度為．【答案】2或．【分析】根據(jù)題意可得分兩種情況討論：①當(dāng)∠BPE＝90°時，點B、P、F三點共線，②當(dāng)∠PEB＝90°時，證明四邊形AEPF是正方形，進而可求得BP的長．【詳解】根據(jù)E為AB上一個動點，把△AEF沿著EF折疊，得到△PEF，若△BPE為直角三角形，分兩種情況討論：①當(dāng)∠BPE＝90°時，如圖1，點B、P、F三點共線，根據(jù)翻折可知：∵AF＝PF＝3，AB＝4，∴BF＝5，∴BP＝BF﹣PF＝5﹣3＝2；②當(dāng)∠PEB＝90°時，如圖2，根據(jù)翻折可知：∠FPE＝∠A＝90°，∠AEP＝90°，AF＝FP＝3，∴四邊形AEPF是正方形，∴EP＝3，BE＝AB﹣AE＝4﹣3＝1，∴BP＝＝＝．綜上所述：BP的長為：2或．故答案為：2或．36．（19-20九年級上·河南鄭州·期末）如圖，正方形的面積為81，點是邊上的一個動點，沿過點的直線將正方形折疊，使頂點恰好落在邊上的三等分點處，則線段的長是【答案】或5【分析】分兩種情況討論：①EC=BC，②EC=BC，設(shè)DH=x，則CH=9-x，在Rt△CEH中利用勾股定理建立方程求解即可．【詳解】∵正方形ABCD的面積為81∴BC=CD=9設(shè)DH=x，則CH=9-x，由折疊的性質(zhì)可得EH=DH=x∵E點為BC的三等分點①若EC=BC=3，在Rt△CEH中，CE2+CH2=EH2即解得②若EC=BC=6，在Rt△CEH中，CE2+CH2=EH2即解得綜上可得，DH的長為或5，故答案為：或5．37．（23-24九年級上·河南新密·期末）如圖，正方形的邊長為，點G是邊的中點，點E是邊上一動點，連接，將沿翻折得到，連接，當(dāng)最小時，的長是．【答案】/【分析】本題主要考查了翻折的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理．由翻折知，得點在以為圓心，為半徑的圓上運動，可知當(dāng)點、、三點共線時，最小，再利用勾股定理可得的長，繼而解題．【詳解】解：∵正方形的邊長為，∴，，∵點G是邊的中點，∴，∵將沿翻折得到，∴，∴點在以為圓心，為半徑的圓上運動，∴當(dāng)點、、三點共線時，最小，由勾股定理得，,∴，故答案為：．38．（22-23九年級上·河南鄭州·期末）實踐與探究操作一：如圖①，已知正方形紙片，將正方形紙片沿過點A的直線折疊，使點B落在正方形ABCD的內(nèi)部點M，再將紙片沿過點A的直線AF折疊，使與重合，此時______度．操作二：如圖②，將正方形紙片沿繼續(xù)折疊，點C的對應(yīng)點為點N．當(dāng)點E在邊某一位置時，點N恰好落在折痕上，此時______度．在圖②中，運用以上操作所得結(jié)論，解答下列問題：（1）設(shè)與的交點為點P．求證：；（2）若，則線段的長______．【答案】操作一：45；操作二：60；（1）見解析；（2）【分析】操作一：由正方形的性質(zhì)得，再由折疊的性質(zhì)得：，，即可求解；操作二：先證是等腰直角三角形，得，則，求出，即可求解；（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)得，再證，由即可得出結(jié)論；（2）由全等三角形的性質(zhì)得，再證，然后由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得，，設(shè)，，由得出方程即可【詳解】操作一：解：∵四邊形是正方形，∴，由折疊的性質(zhì)得：，，∴∴；操作二：解：∵四邊形是正方形，∴，由折疊的性質(zhì)得：，∴，由操作一得：，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，（1）證明：∵是等腰直角三角形，∴，∵，∴，在和中，∴；（2）由（1）得：，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴∴，設(shè)，∵，∴∵∴∴∴39．（23-24九年級上·河南新鄭·期末）數(shù)學(xué)活動課上，老師讓同學(xué)們以“正方形的折疊”為主題開展活動．【操作】：操作一：對折正方形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平；操作二：在上選一點(點不與重合)，沿折疊，使點落在正方形內(nèi)部處，把紙片展平，連結(jié)，延長交于點，連結(jié)．【琛究】：（1）如圖①，當(dāng)點在上時，______．（2）改變點在上位置，如圖②，判斷線段之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【應(yīng)用】：若正方形紙片的邊長為，當(dāng)時，的長為______．【答案】[探究]（1）；（2）；應(yīng)用．【分析】[