上海市上海中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題-帶詳解

2020-2021年上海中學(xué)高二期末數(shù)學(xué)試卷一、填空題1.若復(fù)數(shù)（，i為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為_____________．2.函數(shù)（，是虛數(shù)單位）值域可用集合表示為______．3.已知方程表示焦點在軸上橢圓，則的取值范圍為________.4.已知雙曲線的一條漸近線方程是，它的一個焦點在拋物線的準線上，則雙曲線的方程___________________.5.若點是拋物線的一條弦的中點，且弦的斜率為2，則______．6.把參數(shù)方程（為參數(shù)，）化成普通方程是______．7.已知F是拋物線y2=x的焦點，A、B是該拋物線上的兩點，|AF|+|BF|=3，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為__________.8.已知復(fù)數(shù)滿足條件，那么的最大值為______．9.若曲線與直線沒有公共點，則實數(shù)、分別應(yīng)滿足的條件是______．10.已知為雙曲線左、右焦點，點在上，，則________.11.已知雙曲線：的右焦點為，過點向雙曲線的一條漸近線引垂線，垂足為，交另一條漸近線于，若，則雙曲線的漸近線方程為__________．12.直線與拋物線交于、兩點，為坐標原點，直線、的斜率之積為，以線段的中點為圓心，為半徑的圓與直線交于、兩點，，則的最小值為______．二、選擇題13.已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.14.已知拋物線上存在關(guān)于直線對稱相異兩點、，則等于（）A.3 B.4 C. D.15.已知圓的圓心為.直線過點且與軸不重合，交圓于兩點，點在點，之間.過作直線的平行線交直線于點，則點的軌跡是A.橢圓的一部分 B.雙曲線的一部分C.拋物線一部分 D.圓的一部分16.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，如星形線（如圖），若讓一個半徑為的圓在一個半徑為的圓內(nèi)部，沿著圓的圓周滾動，小圓圓周上的任一點形成的軌跡即為星形線，其方程為，給出下列四個結(jié)論，正確的有（）（1）星形線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）（2）若，則星形線及其內(nèi)部包含33個整點；（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）（3）曲線在星形線的內(nèi)部（包含邊界）；（4）設(shè)星形線圍成的面積為，則；A.（1）（3）（4） B.（1）（2）（3）（4）C.（2）（3） D.（1）（2）（3）三、解答題17.已知復(fù)數(shù)z=1+i,求實數(shù)a,b使.18.已知關(guān)于的方程有實數(shù)根，求復(fù)數(shù)的模的最小值.19.已知直線與雙曲線，則為何值時，直線與雙曲線有一個公共點？20.已知關(guān)于t的一元二次方程.(1)當(dāng)方程有實根時,求點的軌跡;(2)求方程實根的取值范圍.21.已知拋物線：過點．（1）求拋物線的焦點到準線的距離；（2）已知點，過點的直線交拋物線于點、，直線，分別交直線于點、．求的值．22.已知橢圓，點為橢圓外一點．（1）過原點作直線交橢圓于、兩點，求直線與直線的斜率之積的范圍；（2）當(dāng)過點的動直線與橢圓相交于兩個不同點、時，線段上取點，滿足，證明：點總在某定直線上．

2020-2021年上海中學(xué)高二期末數(shù)學(xué)試卷一、填空題1.若復(fù)數(shù)（，i為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為_____________．【答案】【解析】解：因為復(fù)數(shù)（，i為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，故2.函數(shù)（，是虛數(shù)單位）的值域可用集合表示為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)可函數(shù)的值域.【詳解】，故答案為：.3.已知方程表示焦點在軸上的橢圓，則的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)焦點在軸上的橢圓方程的特點得到不等式組，解不等式組即可.【詳解】因為方程表示焦點在軸上的橢圓，所以有.故答案為：【點睛】本題考查了已知橢圓焦點的位置求參數(shù)取值范圍，考查了數(shù)學(xué)運算能力.4.已知雙曲線的一條漸近線方程是，它的一個焦點在拋物線的準線上，則雙曲線的方程___________________.【答案】【解析】由題意得,所以雙曲線的方程為5.若點是拋物線的一條弦的中點，且弦的斜率為2，則______．【答案】2【解析】【分析】設(shè)弦的兩個端點為，，代入拋物線方程，由點差法可得答案.【詳解】設(shè)弦的兩個端點為，，由條件點為的中點，所以且，顯然，則，兩式相減，得，所以，所以，則．故答案為：2【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查中點弦的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是由條件得出且，由點差法得到答案，屬于中檔題.6.把參數(shù)方程（為參數(shù)，）化成普通方程是______．【答案】，【解析】【分析】利用三角函數(shù)恒等變形，消參得到普通方程.【詳解】，，所以，．故答案為：，7.已知F是拋物線y2=x的焦點，A、B是該拋物線上的兩點，|AF|+|BF|=3，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)拋物線的方程求出準線方程，利用拋物線的定義拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，列出方程求出A，B的中點橫坐標，求出線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離.【詳解】由題意得，，準線方程為：，設(shè)，，，因此，線段的中點到軸的距離為.故答案為：.【點睛】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，將到焦點的距離轉(zhuǎn)化為其到準線的距離是關(guān)鍵，考查分析運算能力，屬于基礎(chǔ)題.8.已知復(fù)數(shù)滿足條件，那么的最大值為______．【答案】4【解析】【分析】由，所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在單位圓上，由表示復(fù)數(shù)對應(yīng)的點與復(fù)數(shù)對應(yīng)的點之間的距離，根據(jù)圓的性質(zhì)可得答案.【詳解】因為，所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在單位圓上，表示復(fù)數(shù)對應(yīng)的點與復(fù)數(shù)對應(yīng)的點之間的距離，而．所以的最大值為.故答案為：49.若曲線與直線沒有公共點，則實數(shù)、分別應(yīng)滿足的條件是______．【答案】，【解析】【分析】由條件作出曲線的圖象，根據(jù)圖象分析出當(dāng)直線與軸垂直且夾在直線之間.【詳解】曲線,作出其圖像，如圖所示，曲線的圖象關(guān)于軸對稱若，當(dāng)時，一次函數(shù)的增加的速度比函數(shù)快.所以當(dāng)時，若，則圖象與曲線的圖象一定有交點.所以當(dāng)時，若時，根據(jù)的圖象與曲線的圖象變化情況可得的圖象與曲線的圖象一定有交點，所以當(dāng)時，不滿足條件所以，根據(jù)圖象可得．故答案為：，10.已知為雙曲線的左、右焦點，點在上，，則________.【答案】4【解析】試題分析：因為，所以考點：雙曲線定義11.已知雙曲線：的右焦點為，過點向雙曲線的一條漸近線引垂線，垂足為，交另一條漸近線于，若，則雙曲線的漸近線方程為__________．【答案】【解析】由題意得雙曲線的右焦點F(c,0)，設(shè)一漸近線OM的方程為，則另一漸近線ON的方程為．設(shè)，∵，∴，∴，解得．∴點M的坐標為，又，∴，整理得，∴雙曲線的漸近線方程為．答案：．點睛：（1）已知雙曲線的標準方程求雙曲線的漸近線方程時，只要令雙曲線的標準方程中“1”為“0”就得到兩漸近線方程，即方程就是雙曲線的兩條漸近線方程．（2）求雙曲線的漸進線方程的關(guān)鍵是求出的關(guān)系，并根據(jù)焦點的位置確定出漸近線的形式，并進一步得到其方程．12.直線與拋物線交于、兩點，為坐標原點，直線、的斜率之積為，以線段的中點為圓心，為半徑的圓與直線交于、兩點，，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】設(shè)直線，與拋物線聯(lián)立方程，得韋達定理與，代入直線與拋物線表示出與，然后根據(jù)，利用數(shù)量積代入求解出，從而表示出圓心的坐標，根據(jù)平行四邊形的四邊平方和等于對角線平方和，代入列式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最小值.【詳解】設(shè)直線的方程為，，，由得，所以，得，，所以，，因為直線、的斜率之積為，所以，即，所以，所以，所以直線的方程為，，從而圓心為，由平行四邊形的四邊平方和等于對角線平方和（用向量法易證），得，所以，所以當(dāng)時，的最小值為．故答案為：【點睛】解決直線與拋物線的綜合問題時，要注意：（1）注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、拋物線的條件；（2）強化有關(guān)直線與拋物線聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、向量的數(shù)量積、三角形的面積等問題．二、選擇題13.已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓與雙曲線有相同焦點，即相等列式得，求解，代入求解離心率.【詳解】由題意得，所以，在橢圓中，，所以橢圓的離心率.故選：D14.已知拋物線上存在關(guān)于直線對稱的相異兩點、，則等于（）A.3 B.4 C. D.【答案】C【解析】【分析】【詳解】設(shè)直線的方程為，由，進而可求出的中點，又由在直線上可求出，∴，由弦長公式可求出．本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．自本題起運算量增大．15.已知圓的圓心為.直線過點且與軸不重合，交圓于兩點，點在點，之間.過作直線的平行線交直線于點，則點的軌跡是A.橢圓的一部分 B.雙曲線的一部分C.拋物線的一部分 D.圓的一部分【答案】B【解析】，又由圓的幾何性質(zhì)可得，，，且，點到定點與的差為定值，根據(jù)雙曲線的定義可得點的軌跡是雙曲線的一部分，故選Ｂ．16.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，如星形線（如圖），若讓一個半徑為的圓在一個半徑為的圓內(nèi)部，沿著圓的圓周滾動，小圓圓周上的任一點形成的軌跡即為星形線，其方程為，給出下列四個結(jié)論，正確的有（）（1）星形線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）（2）若，則星形線及其內(nèi)部包含33個整點；（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）（3）曲線在星形線的內(nèi)部（包含邊界）；（4）設(shè)星形線圍成的面積為，則；A.（1）（3）（4） B.（1）（2）（3）（4）C.（2）（3） D.（1）（2）（3）【答案】A【解析】分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式可判斷（1）（3）的正誤，計算出星形線內(nèi)部整點的個數(shù)后可判斷（2）的正誤，利用兩個特殊圖象的面積可判斷（4）的正誤.【詳解】（1）把代入，此方程成立，故（1）正確；（2）若，則，顯然，當(dāng)時，，2個整點，當(dāng)時，，2個整點，當(dāng)時，，2個整點，當(dāng)時，，6個整點，，當(dāng)時，，6個整點，，當(dāng)時，，11個整點，，…，，綜上，共29個整點，故（2）錯誤；（3）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）星形線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），因為，當(dāng)且僅當(dāng)或；或時等號成立，故比距離原點近或兩者重合，故曲線在星形線的內(nèi)部（包含邊界），故（3）正確；（4）直線交星形線于點，，數(shù)形結(jié)合，星形線的圍成的面積大于以這兩點為直徑的圓的面積，即，又顯然，星形線圍成的面積小于以，四點構(gòu)成的正方形的面積，即，所以，故（4）正確；故選：A．【點睛】思路點睛：特殊曲線的性質(zhì)的判斷，可根據(jù)其指數(shù)的特征進行合理的三角換元，也可以根據(jù)曲線的特征進行面積的估計.三、解答題17.已知復(fù)數(shù)z=1+i,求實數(shù)a,b使.【答案】.【解析】分析：將z=1+i,根據(jù)兩個復(fù)數(shù)相等的條件求a,b.詳解：∵z=1+i,∴az+2(a+2z)2=(a+2)2-4+4(a+2)i=(a2+4a)+4(a+2)i.∵a,b∈R,∴由復(fù)數(shù)相等,∴兩式相加整理,∴所求實數(shù)點睛：（1）本題主要考查復(fù)數(shù)相等的概念，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平和基本的計算能力.(2)復(fù)數(shù)相等:.18.已知關(guān)于的方程有實數(shù)根，求復(fù)數(shù)的模的最小值.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)，且，得到，根據(jù)復(fù)數(shù)模的計算公式，得到，進而可求出其最值.【詳解】由題意，可設(shè)，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故【點睛】本題主要考查求復(fù)數(shù)模的最值問題，熟記復(fù)數(shù)模的計算公式，以及基本不等式即可，屬于?？碱}型.19.已知直線與雙曲線，則為何值時，直線與雙曲線有一個公共點？【答案】或．【解析】【分析】聯(lián)立直線和雙曲線方程，就二次項系數(shù)分類討論可得所求的的值.【詳解】由得，因為直線與雙曲線有一個公共點，所以或，解得或．20.已知關(guān)于t的一元二次方程.(1)當(dāng)方程有實根時,求點的軌跡;(2)求方程實根的取值范圍.【答案】(1)軌跡是以點為圓心,為半徑的圓.(2).【解析】【分析】(1)由復(fù)數(shù)相等的定義化簡得出，將其代入中即可得出所求點的軌跡方程；(2)將方程根轉(zhuǎn)化為直線與圓的交點問題，由圓心到直線的距離小于等于半徑，即可求得方程實根的取值范圍.【詳解】解:(1)設(shè)方程實根為.根據(jù)題意得,即.根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件,得①由①得,代入得即.所以所求的點的軌跡方程是,軌跡是以點為圓心,為半徑的圓.(2)由(1)得圓心為,半徑,直線與圓有公共點,從而有,即,所以.故方程實根的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)相等的定義以及直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.21.已知拋物線：過點．（1）求拋物線的焦點到準線的距離；（2）已知點，過點的直線交拋物線于點、，直線，分別交直線于點、．求的值．【答案】（1）；（2）1.【解析】【分析】（1）求出后可得焦點到準線的距離.（2）設(shè)直線的方程為，，，可用的坐標表示，再聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程，利用韋達定理化簡可得所求的值.【詳解】（1）因為在拋物線上，即，拋物線的焦點到準線的距離為.（2）顯然直線的斜率不為0，故設(shè)直線的方程為，由得，由得，設(shè)，，則，，所以又，，所以直線：，：，令，得，，所以．【點睛】思路點睛：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中的定點、定值、最值問題，一般可通過聯(lián)立方程組并消元得到關(guān)