20屆高考數(shù)學一輪(江蘇版)習題-第2講空間點、線、面之間的位置關系

第2講空間點、線、面之間的位置關系一、填空題1．若空間三條直線a，b，c滿足a⊥b，b⊥c，則直線a與c的位置關系是________．解析當a，b，c共面時，a∥c；當a，b，c不共面時，a與c可能異面也可能相交．答案相交、平行或異面2．(2017·蘇州期末)已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關系是________．解析依題意，直線b和c的位置關系可能是相交、平行或異面．答案相交、平行或異面3．平面α，β相交，在α，β內(nèi)各取兩點，這四點都不在交線上，這四點能確定________個平面．解析若過四點中任意兩點的連線與另外兩點的連線相交或平行，則確定一個平面；否則確定四個平面．答案1或44．如果兩條異面直線稱為“一對”，那么在正方體的十二條棱中共有異面直線________對．解析如圖所示，與AB異面的直線有B1C1，CC1，A1D1，DD1四條，因為各棱具有不同的位置，且正方體共有12條棱，排除兩棱的重復計算，共有異面直線eq\f(12×4,2)＝24(對)．答案245．(2017·哈爾濱一模)如圖，在四棱錐P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等邊三角形，則異面直線CD與PB所成角的大小為________．解析如圖，過點B作直線BE∥CD，交DA的延長線于點E，連接PE.∴∠PBE(或其補角)是異面直線CD與PB所成角．∵△PAB和△PAD都是等邊三角形，∴∠PAD＝60°，DA＝PA＝AB＝PB＝AE，∴∠PAE＝120°.設PA＝AB＝PB＝AE＝a，則PE＝eq\r(3)a.又∠ABC＝∠BAD＝90°，∴∠BAE＝90°，∴BE＝eq\r(2)a，∴在△PBE中，PB2＋BE2＝PE2，∴∠PBE＝90°.即異面直線CD與PB所成角為90°.答案90°6．如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，則直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為________．解析取CD的中點H，連接EH，F(xiàn)H.在正四面體CDEF中，由于CD⊥EH，CD⊥HF，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，則平面EFH與正方體的左右兩側面平行，則EF也與之平行，與其余四個平面相交．答案47．(2017·蘇北四市期末)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．其中正確的結論為________(填序號)．解析A，M，C1三點共面，且在平面AD1C1B中，但C?平面AD1C1B，C1?AM，因此直線AM與CC1是異面直線，同理AM與BN也是異面直線，AM與DD1也是異面直線，①②錯，④正確；M，B，B1三點共面，且在平面MBB1中，但N?平面MBB1，B?MB1，因此直線BN與MB1是異面直線，答案③④8．(2016·全國Ⅰ卷改編)平面α過正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，解析根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)，將m，n所成的角轉(zhuǎn)化為平面CB1D1與平面ABCD的交線及平面CB1D1與平面ABB1A1的交線所成的角．設平面CB1D1∩平面ABCD＝m1∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m.又平面ABCD∥平面A1B1C1D1且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m.∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，同理可證CD1∥n.因此直線m與n所成的角即直線B1D1與CD1所成的角．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，△CB1D1故直線B1D1與CD1所成角為60°，其正弦值為eq\f(\r(3),2).答案eq\f(\r(3),2)二、解答題9.如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是A1B1，B1C(1)AM和CN是否是異面直線？說明理由；(2)D1B和CC1是否是異面直線？說明理由．解(1)AM，CN不是異面直線．理由：連接MN，A1C1，AC因為M，N分別是A1B1，B1C1的中點，所以MN∥A1C又因為A1A綊C1C，所以四邊形A1ACC所以A1C1∥AC，所以MN∥AC所以A，M，N，C在同一平面內(nèi)，故AM和CN不是異面直線．(2)直線D1B和CC1是異面直線．理由：因為ABCD－A1B1C1D1是正方體，所以B，C，C1，D1不共面．假設D1B與CC1則存在平面α，使D1B?平面α，CC1?平面α，所以D1，B，C，C1∈α，這與B，C，C1，D1不共面矛盾．所以假設不成立，即D1B和CC1是異面直線．10．(2017·成都月考)如圖所示，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點．已知∠BAC＝eq\f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，PA＝2.求：(1)三棱錐P－ABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值．解(1)S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，三棱錐P－ABC的體積為V＝eq\f(1,3)S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2＝eq\f(4,3)eq\r(3).(2)如圖，取PB的中點E，連接DE，AE，則ED∥BC，所以∠ADE是異面直線BC與AD所成的角(或其補角)．在△ADE中，DE＝2，AE＝eq\r(2)，AD＝2，cos∠ADE＝eq\f(22＋22－2,2×2×2)＝eq\f(3,4).故異面直線BC與AD所成角的余弦值為eq\f(3,4).11．給出以下四個命題：①不共面的四點中，其中任意三點不共線；②若點A，B，C，D共面，點A，B，C，E共面，則點A，B，C，D，E共面；③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面．則以上命題正確的是________(填序號)．解析①假設其中有三點共線，則該直線和直線外的另一點確定一個平面．這與四點不共面矛盾，故其中任意三點不共線，所以①正確．②從條件看出兩平面有三個公共點A，B，C，但是若A，B，C共線，則結論不正確；③不正確；④不正確，因為此時所得的四邊形的四條邊可以不在一個平面上，如空間四邊形．答案①12．四棱錐P－ABCD的所有側棱長都為eq\r(5)，底面ABCD是邊長為2的正方形，則CD與PA所成角的余弦值為________．解析因為四邊形ABCD為正方形，故CD∥AB，則CD與PA所成的角即為AB與PA所成的角，即為∠PAB.在△PAB內(nèi)，PB＝PA＝eq\r(5)，AB＝2，利用余弦定理可知cos∠PAB＝eq\f(PA2＋AB2－PB2,2×PA×AB)＝eq\f(5＋4－5,2×\r(5)×2)＝eq\f(\r(5),5).答案eq\f(\r(5),5)13．如圖，正方形ACDE與等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F(xiàn)，G分別是線段AE，BC的中點，則AD與GF所成的角的余弦值為________．解析取DE的中點H，連接HF，GH.由題設，HF綊eq\f(1,2)AD.∴∠GFH為異面直線AD與GF所成的角(或其補角)．在△GHF中，可求HF＝eq\r(2)，GF＝GH＝eq\r(6)，∴cos∠HFG＝eq\f(2＋6－6,2×\r(2)×\r(6))＝eq\f(\r(3),6).答案eq\f(\r(3),6)14.如圖，在四棱錐O－ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M為OA的中點．(1)求四棱錐O－ABCD的體積；(2)求異面直線OC與MD所成角的正切值．解(1)由已知可求得正方形ABCD的面積S＝4，所以四棱錐O－ABCD的體積V＝eq\f(1,3)×4×2＝eq\f(8,3).(2)如圖，連接AC，設線段AC的中點為E，連接ME，DE，又M為OA中點，∴ME∥OC，則∠EMD(或其補角)為異面直線OC與MD所成的