2023屆高考數(shù)學特訓營-第7節(jié)-拋物線

第7節(jié)拋物線A級(基礎應用練)1．(2022·浙江寧波市高三二模)已知拋物線y2＝2px(p>0)的準線經過點P(－1，－2)，則該拋物線的焦點坐標為()A．(1，0) B．(2，0)C．(0，1) D．(0，2)答案：A解析：因為拋物線的準線經過點P(－1，－2)，則eq\f(p,2)＝1，即p＝2，則該拋物線的焦點坐標為(1，0)．故選A.2．(2022·河南省高三仿真模擬)拋物線E：x2＝8y的焦點為F，在E上有一點P，|PF|＝8，PF的中點M到E的準線l的距離為()A．6 B．8C．4 D．1答案：A解析：如圖，過P作PC⊥l于C，由拋物線的定義可知|PF|＝|PC|＝8，|FA|＝4，故PF的中點M到E的準線l的距離為|MB|＝eq\f(1,2)(|FA|＋|PC|)＝6.故選A.3．(2022·四川綿陽市高三模擬)已知點P是拋物線C：y2＝4x上的動點，點P到y(tǒng)軸的距離為d，Q(－3，3)，則|PQ|＋d的最小值為()A．5 B.eq\r(30)＋1C.eq\r(30)－1 D．4答案：D解析：因為拋物線的準線方程為x＝－1，焦點F(1，0)．P到直線x＝－1的距離等于|PF|，所以P到y(tǒng)軸的距離d＝|PF|－1，所以d＋|PQ|＝|PF|＋|PQ|－1.所以當F，P，Q三點共線時，|PF|＋|PQ|取得最小值|QF|.因為Q(－3，3)，F(xiàn)(1，0)，所以|QF|＝5，所以d＋|PQ|的最小值為5－1＝4.故選D.4．(2022·福建龍巖市高三三模)已知拋物線x2＝4y的焦點為F，準線為l，過拋物線上一點P作PQ⊥l，垂足為Q，若|PF|＝4，則∠FQP＝()A．30° B．45°C．60° D．75°答案：C解析：設P(x0，y0)，則|PQ|＝y(tǒng)0＋1，由拋物線的定義可得|PQ|＝|PF|，即y0＋1＝4，則y0＝3.又xeq\o\al(2,0)＝4y0，則xeq\o\al(2,0)＝12，不妨令P位于第一象限，則x0＝2eq\r(3)，即P(2eq\r(3)，3)，因此Q(2eq\r(3)，－1)，所以|QF|＝eq\r(12＋4)＝4，所以|PQ|＝|PF|＝|QF|，因此△FQP為等邊三角形，所以∠FQP＝60°.故選C.5．(2022·陜西寶雞市高三模擬)拋物線x2＝4y的焦點為F，過點F作斜率為eq\f(\r(3),3)的直線l與拋物線在y軸右側的部分相交于點A，過點A作拋物線的準線的垂線，垂足為H，則△AHF的面積是()A．4 B．3eq\r(3)C．4eq\r(3) D．8答案：C解析：由拋物線的定義可得|AF|＝|AH|，∵AF的斜率為eq\f(\r(3),3)，∴直線AF的傾斜角為30°，∵AH垂直于準線，∴∠FAH＝60°，故△AHF為等邊三角形．設A(m，eq\f(m2,4))，m>0，過F作FM⊥AH于M，則在Rt△FAM中，|AM|＝eq\f(1,2)|AF|，∴eq\f(m2,4)－1＝eq\f(1,2)(eq\f(m2,4)＋1)，解得m＝2eq\r(3)，故等邊三角形AHF的邊長|AH|＝4，∴△AHF的面積是eq\f(1,2)×4×4sin60°＝4eq\r(3).故選C.6．(2022·湖南高三高考仿真)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，A，B為拋物線上的兩個動點，且滿足∠AFB＝60°.過弦AB的中點M作拋物線準線的垂線MN，垂足為N，則eq\f(|MN|,|AB|)的最大值為()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(2\r(3),3)C．1 D．2答案：C解析：設|AF|＝a，|BF|＝b，過A，B點分別作準線的垂線AQ，BP，由拋物線的定義，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|，在梯形ABPQ中，2|MN|＝|AQ|＋|BP|＝a＋b.由余弦定理得|AB|2＝a2＋b2－2abcos60°＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，又因為ab≤(eq\f(a＋b,2))2，所以(a＋b)2－3ab≥(a＋b)2－eq\f(3,4)(a＋b)2＝eq\f(1,4)(a＋b)2，所以|AB|≥eq\f(1,2)(a＋b)＝|MN|，所以eq\f(|MN|,|AB|)≤1，即eq\f(|MN|,|AB|)的最大值為1，故選C.7．(2022·甘肅省高三第一次診斷)拋物線y2＝－2px(p>0)的準線經過橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的右焦點，則p＝________．答案：4解析：由橢圓方程可得其右焦點為(2，0)，因為拋物線的準線經過橢圓的右焦點，所以eq\f(p,2)＝2，解得p＝4.8．(2022·云南昆明市高三期中)拋物線y2＝2px(p>0)的準線被圓x2＋y2－2y－1＝0所截得的弦長為2，則拋物線的焦點坐標為________．答案：(1，0)解析：拋物線y2＝2px(p>0)的準線為x＝－eq\f(p,2)，把圓化成標準方程為x2＋(y－1)2＝2，得圓心M(0，1)，半徑r＝eq\r(2)，圓心到準線的距離為eq\f(p,2)，所以(eq\f(p,2))2＋(eq\f(2,2))2＝(eq\r(2))2，即p＝2，所以焦點坐標為(1，0)．9.(2022·江西上饒市高三三模)某中學的張燕同學不僅學習認真，而且酷愛體育運動，經過艱苦的訓練，終于在校運會的投鉛球比賽中創(chuàng)造佳績．已知張燕所投鉛球的軌跡是一段拋物線(人的身高不計，鉛球看成一個質點)，如圖所示，設初速度為定值v0，且與水平方向所成角為變量θ.已知張燕投鉛球的最遠距離為10m，當她投得最遠距離時，鉛球軌跡拋物線的焦點到準線的距離為________m．(空氣阻力不計，重力加速度為10m/s2)答案：5解析：設鉛球運動時間為t0，t時刻的水平方向位移為x，則x＝v0tcosθ.由v0sinθ－eq\f(1,2)gt0＝0知t0＝eq\f(2v0sinθ,g)，所以x＝eq\f(veq\o\al(2,0)sin2θ,g)，故當x＝eq\f(π,4)時，xmax＝eq\f(veq\o\al(2,0),g)＝10，因為g＝10m/s2，所以t0＝eq\r(2)s，v0＝10m/s，所以h＝eq\f(1,2)g(eq\f(t0,2))2＝2.5m.如圖，建立平面直角坐標系，P(－5，－2.5)，設拋物線方程為x2＝－2py，則拋物線的焦點到準線的距離p＝eq\f(x2,－2y)＝eq\f(（－5）2,2×2.5)＝5m.B級(綜合創(chuàng)新練)10．(多選題)在平面直角坐標系xOy中，拋物線y2＝6x的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，PA⊥l，A為垂足．若直線AF的斜率k＝－eq\r(3)，則下列結論正確的是()A．準線方程為x＝－3B．焦點坐標F(eq\f(3,2)，0)C．點P的坐標為(eq\f(9,2)，3eq\r(3))D．PF的長為3答案：BC解析：由拋物線方程為y2＝6x，所以焦點坐標F(eq\f(3,2)，0)，準線方程為x＝－eq\f(3,2)，A錯誤，B正確；因為直線AF的斜率為－eq\r(3)，所以直線AF的方程為y＝－eq\r(3)(x－eq\f(3,2))，當x＝－eq\f(3,2)時，y＝3eq\r(3)，所以A(－eq\f(3,2)，3eq\r(3))，因為PA⊥l，A為垂足，所以點P的縱坐標為3eq\r(3)，可得點P的坐標為(eq\f(9,2)，3eq\r(3))，C正確；根據拋物線的定義可知|PF|＝|PA|＝eq\f(9,2)－(－eq\f(3,2))＝6，D錯誤，故選BC.11．(多選題)已知拋物線E：x2＝4y的焦點為F，圓C：x2＋(y－1)2＝16與拋物線E交于A，B兩點，點P為劣弧eq\o(AB,\s\up8(︵))上不同于A，B的一個動點，過點P作平行于y軸的直線l交拋物線E于點N(異于原點)，則以下結論正確的是()A．點P的縱坐標的取值范圍是(3，5)B．圓C的圓心到拋物線準線的距離為1C．|PN|＋|NF|等于點P到拋物線準線的距離D．△PFN周長的取值范圍是(8，10)答案：ACD解析：如圖所示，圓C：x2＋(y－1)2＝16的圓心為(0，1)，半徑為4，與y的正半軸交點為(0，5)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝4y，,x2＋（y－1）2＝16，))解得y＝3，所以點P的縱坐標的取值范圍是(3，5)，故A項正確；因為圓C的圓心為拋物線的焦點，所以圓C的圓心到拋物線準線的距離為p＝2，故B項錯誤；由拋物線的定義得|PN|＋|NF|等于點P到拋物線準線的距離，故C項正確；△PFN周長為|PF|＋|PN|＋|NF|＝r＋yP＋1＝y(tǒng)P＋5∈(8，10)，故D項正確，故選ACD.12．(2022·福建省寧德市高三三模)如圖，拋物線型太陽灶是利用太陽能輻射，通過聚光獲取熱量進行炊事烹飪食物的一種裝置．由于太陽光基本上屬于平行光線，所以當太陽灶(旋轉拋物面)的主光軸指向太陽的時候，平行的太陽光線入射到旋轉拋物面表面，經過反光材料的反射，這些反射光線都從它的焦點處通過，在這里形成太陽光線的高密集區(qū)，拋物面的焦點就在它的主光軸上．現(xiàn)有一拋物線型太陽灶，灶口直徑AB為2eq\r(3)m，灶深CD為0.5m，則焦點到灶底(拋物線的頂點)的距離為________．答案：1.5m解析：由題意建立如圖所示的平面直角坐標系，O與C重合．設拋物線的方程為y2＝2px(p>0)，由題意可得A(eq\f(1,2)，eq\r(3))，將A點坐標代入拋物線的方程可得3＝2p×eq\f(1,2)，解得p＝3，所以拋物線的方程為y2＝6x，焦點的坐標為(eq\f(p,2)，0)，即(eq\f(3,2)，0)，所以焦點到灶底(拋物線的頂點)的距離為eq\f(3,2)＝1.5m.13．(2022·靜寧縣高三模擬)已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F到準線l的距離為2，若點P在拋物線上，且點P到l的距離為d，Q在圓x2＋(y－3)2＝1上，則p＝________，|PQ|＋d的最小值為________．答案：2eq\r(10)－1解析：因為拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F到準線l的距離為2，所以p＝2，F(xiàn)(1，0)，準線l：x＝－1，由拋物線的定義可知點P到l的距離d＝|PF|，所以|PQ|＋d＝|PQ|＋|PF|，設圓x2＋(y－3)2＝1的圓心為C，則C(0，3)，圓的半徑為1，|PQ|＋|PF|≥|CF|－1＝eq\r(12＋32)－1＝eq\r(10)－1，當且僅當C，P，Q，F(xiàn)共線時等號成立，所以|PQ|＋d的最小值為eq\r(10)－1.14．(2022·上海高三模擬)已知過點M(eq\f(p,2)，0)的直線l與拋物線y2＝2px(p>0)交于A，B兩點，且eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－3，其中O為坐標原點．(1)求p的值；(2)當|AM|＋4|BM|最小時，求直線l的方程．解：(1)設直線l的方程為x＝my＋eq\f(p,2)，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝my＋\f(p,2),y2＝2px))，得y2－2pmy－p2＝0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2.因為eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－3，所以x1x2＋y1y2＝－3，又x1x2＝eq\f(yeq\o\al(2,1),2p)·eq\f(yeq\o\al(2,2),2p)＝eq\f(p2,4)，所以eq\f(p2,4)－p2＝－3，又因為p>0，所以p＝2.(2)根據拋物線定義，得|AM|＝x1＋eq\f(p,2)＝x1＋1，|BM|＝x2＋eq\f(p,2)＝x2＋1，所以|AM|＋4|BM|＝x1＋4x2＋5≥2eq\r(4x1x2)＋5＝9，當且僅當x1＝4x2時等號成立．將x1＝4x2代入x1x2＝eq\f(p2,4)＝1，得x2＝eq\f(1,2)(負值舍去)．將x2＝eq\f(1,2)代入y2＝4x，得y2＝±eq\r(2)，即點B(eq\f(1,2)，±eq\r(2))，將點B代入x＝my＋1，得m＝±eq\f(\r(2),4)，所以直線l的方程為x＝±eq\f(\r(2),4)y＋1，即4x±eq\r(2)y－4＝0.15．(2022·全國卷5月聯(lián)考)已知拋物線C1：y2＝2px(p>0)的焦點與雙曲線C2：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的右頂點重合．(1)求拋物線C1的標準方程；(2)設過點(0，1)的直線l與拋物線C1交于不同的兩點A，B，F(xiàn)是拋物線C1的焦點，且eq\o(FA,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))＝1，求直線l的方程．解：(1)由題設知，雙曲線C2：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的右頂點為(2，0)，所以eq\f(p,2)＝2，解得p＝4，所以拋物線C1的標準方程為y2＝8x.(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，顯然直線l的斜率存在，故設直線l的方程為y＝kx＋1，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,y2＝8x，))，消去y得k2x