【教無(wú)憂】2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步講義（人教A版2019）4．3．1 等比數(shù)列的概念（八大題型）

4．3．1等比數(shù)列的概念目錄TOC\o"1-2"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導(dǎo)圖】 2【知識(shí)點(diǎn)梳理】 2【典型例題】 5題型一：等比數(shù)列的判斷 5題型二：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用 9題型三：等比數(shù)列的證明 11題型四：等比中項(xiàng)及應(yīng)用 14題型五：等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用 16題型六：等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣及應(yīng)用 19題型七：等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 22題型八：靈活設(shè)元求解等比數(shù)列問(wèn)題 24

【題型歸納目錄】【思維導(dǎo)圖】【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、等比數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母表示（），即：．知識(shí)點(diǎn)詮釋：①由于等比數(shù)列每一項(xiàng)都可能作分母，故每一項(xiàng)均不為0，因此q可不能是0；②“從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)”，這里的項(xiàng)具有任意性和有序性，常數(shù)是同一個(gè)；③隱含條件：任一項(xiàng)且；“”是數(shù)列成等比數(shù)列的必要非充分條件；④常數(shù)列都是等差數(shù)列，但不一定是等比數(shù)列．不為0的常數(shù)列是公比為1的等比數(shù)列；⑤證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列，其依據(jù)．利用這種形式來(lái)判定，就便于操作了．知識(shí)點(diǎn)二、等比中項(xiàng)如果三個(gè)數(shù)、、成等比數(shù)列，那么稱數(shù)為與的等比中項(xiàng)．其中．知識(shí)點(diǎn)詮釋：①只有當(dāng)與同號(hào)即時(shí)，與才有等比中項(xiàng)，且與有兩個(gè)互為相反數(shù)的等比中項(xiàng)．當(dāng)與異號(hào)或有一個(gè)為零即時(shí)，與沒(méi)有等比中項(xiàng)．②任意兩個(gè)實(shí)數(shù)與都有等差中項(xiàng)，且當(dāng)與確定時(shí)，等差中項(xiàng)唯一．但任意兩個(gè)實(shí)數(shù)與不一定有等比中項(xiàng)，且當(dāng)與有等比中項(xiàng)時(shí)，等比中項(xiàng)不唯一．③當(dāng)時(shí)，、、成等比數(shù)列．④是、、成等比數(shù)列的必要不充分條件．知識(shí)點(diǎn)三、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式等比數(shù)列的通項(xiàng)公式首相為，公比為的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為：推導(dǎo)過(guò)程：（1）歸納法：根據(jù)等比數(shù)列的定義可得：∴；；；……當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立∴歸納得出：（2）疊乘法：根據(jù)等比數(shù)列的定義可得：，，，……，把以上個(gè)等式的左邊與右邊分別相乘（疊乘），并化簡(jiǎn)得：，即又a1也符合上式∴．（3）迭代法：∴．知識(shí)點(diǎn)詮釋：①通項(xiàng)公式由首項(xiàng)和公比完全確定，一旦一個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比確定，該等比數(shù)列就唯一確定了．②通項(xiàng)公式中共涉及、、、四個(gè)量，已知其中任意三個(gè)量，通過(guò)解方程，便可求出第四個(gè)量．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的推廣已知等比數(shù)列中，第項(xiàng)為，公比為，則：證明：∵，∴∴由上可知，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以用數(shù)列中的任一項(xiàng)與公比來(lái)表示，通項(xiàng)公式可以看成是時(shí)的特殊情況．知識(shí)點(diǎn)四、等比數(shù)列的性質(zhì)設(shè)等比數(shù)列的公比為①若，且，則，特別地，當(dāng)時(shí)．②下標(biāo)成等差數(shù)列且公差為的項(xiàng)，，，…組成的新數(shù)列仍為等比數(shù)列，公比為．③若，是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，則、、（是常數(shù)且）、、（，是常數(shù)）、、也是等比數(shù)列；④連續(xù)項(xiàng)和（不為零）仍是等比數(shù)列．即，，，…成等比數(shù)列．知識(shí)點(diǎn)五、等比數(shù)列中的函數(shù)關(guān)系等比數(shù)列中，，若設(shè)，則：（1）當(dāng)時(shí)，，等比數(shù)列是非零常數(shù)列．它的圖象是在直線上均勻排列的一群孤立的點(diǎn)．（2）當(dāng)時(shí)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的指數(shù)型函數(shù)；它的圖象是分布在曲線（）上的一些孤立的點(diǎn)．①當(dāng)且時(shí)，等比數(shù)列是遞增數(shù)列；②當(dāng)且時(shí)，等比數(shù)列是遞減數(shù)列；③當(dāng)且時(shí)，等比數(shù)列是遞減數(shù)列；④當(dāng)且時(shí)，等比數(shù)列是遞增數(shù)列．（3）當(dāng)時(shí)，等比數(shù)列是擺動(dòng)數(shù)列．知識(shí)點(diǎn)詮釋：常數(shù)列不一定是等比數(shù)列，只有非零常數(shù)列才是公比為1的等比數(shù)列．【方法技巧與總結(jié)】等比數(shù)列常用的兩種解題方法1、基本量法（基本方法）（1）基本步驟：運(yùn)用方程思想列出基本量和的方程組，然后利用通項(xiàng)公式求解；（2）優(yōu)缺點(diǎn)：適應(yīng)面廣，入手簡(jiǎn)單，思路清晰，但有時(shí)運(yùn)算稍繁．2、性質(zhì)法（利用等比數(shù)列的性質(zhì)解題）（1）基本思想：充分發(fā)揮項(xiàng)的“下標(biāo)”的指導(dǎo)作用，分析等比數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系，選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)解題；（2）優(yōu)缺點(diǎn)：簡(jiǎn)單快捷，但是適應(yīng)面窄，有一定的思維含量．【典型例題】題型一：等比數(shù)列的判斷【典例1-1】（2024·高二·全國(guó)·專題練習(xí)）數(shù)列是各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列，則“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】設(shè)數(shù)列的公比為q（），，，可得，于是數(shù)列為遞增數(shù)列；反之不成立，例如數(shù)列是遞增數(shù)列，但．“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的充分不必要條件．故選：A．【典例1-2】（2024·高二·河南·階段練習(xí)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，則“”是“a，b，c成等比數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】因?yàn)閍，b，c是的三邊，所以a，b，c均不為0，則由，可得，所以a，b，c成等比數(shù)列，反之，當(dāng)a，b，c成等比數(shù)列，可得，所以“”是“a，b，c成等比數(shù)列”的充要條件．故選：C.【方法技巧與總結(jié)】一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母表示（），即：．【變式1-1】（2024·高二·湖北·期中）“數(shù)列{}是等比數(shù)列”是“數(shù)列是等比數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若是等比數(shù)列，設(shè)的公比為q，則，則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.假設(shè)數(shù)列是1，2，2，4，4，8，8，16，16，…，則數(shù)列是等比數(shù)列，但是數(shù)列不是等比數(shù)列.故數(shù)列“是等比數(shù)列”是“數(shù)列是等比數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A.【變式1-2】（2024·高二·福建·期中）已知數(shù)列各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若是等差數(shù)列，則是等差數(shù)列B．若是等比數(shù)列，則是等比數(shù)列C．若是等差數(shù)列，則是等比數(shù)列D．若是等比數(shù)列，則是等差數(shù)列【答案】C【解析】對(duì)于AC選項(xiàng)，若數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則為正常數(shù)，所以，數(shù)列是等比數(shù)列，但不是常數(shù)，故數(shù)列不是等差數(shù)列，A錯(cuò)C對(duì)；對(duì)于BD選項(xiàng)，若數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則不是常數(shù)，故數(shù)列不是等比數(shù)列，不是常數(shù)，故數(shù)列不是等差數(shù)列，BD都錯(cuò).故選：C.【變式1-3】（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)是公比不為1的無(wú)窮等比數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若為遞增數(shù)列，當(dāng)，且時(shí)，有，此時(shí)為遞增數(shù)列，當(dāng)對(duì)任意,，故“為遞增數(shù)列”不是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的充分條件；若存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，故，，假設(shè)存在，使得，則有，則，又且，故，則當(dāng)時(shí)，，與條件矛盾，故不存在，使，即在上恒成立，即，又，，故，即對(duì)任意的，，即為遞增數(shù)列，故“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的必要條件；綜上所述，“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的必要不充分條件.故選：B.【變式1-4】（2024·高二·湖北·階段練習(xí)）記數(shù)列的前項(xiàng)和是，前項(xiàng)積是．①若是等差數(shù)列，則是等差數(shù)列；②若和都是等差數(shù)列，則是等差數(shù)列；③若是等比數(shù)列，則是等比數(shù)列；④若是等比數(shù)列，則是等比數(shù)列．其中真命題的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【解析】對(duì)于①，若是等差數(shù)列，則，故，其中為常數(shù),故，整理得到：，故，此時(shí)，故是等差數(shù)列，故①正確.對(duì)于②，因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，則，其中常數(shù)為公差，則即，因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，故，故，此時(shí)，故是等差數(shù)列，故②正確.對(duì)于③，設(shè)等比數(shù)列的通項(xiàng)為，則，此時(shí)不是等比數(shù)列，故③錯(cuò)誤.對(duì)于④，設(shè)等比數(shù)列的通項(xiàng)為，則，此時(shí)，此時(shí)，故不為常數(shù)，故不是等比數(shù)列，故選：B.題型二：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用【典例2-1】（2024·高二·江蘇蘇州·期中）已知等比數(shù)列滿足，則.【答案】【解析】設(shè)公比為.因?yàn)?，故，解得或者，若，則且，此時(shí)，若，則且，此時(shí)，故答案為：.【典例2-2】（2024·高二·上海·期中）已知數(shù)列為等比數(shù)列，、，則【答案】【解析】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，、，所以，所以，又，所以，即，所以.故答案為：-2【方法技巧與總結(jié)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式涉及4個(gè)量，，，，只要知道其中任意三個(gè)就能求出另外一個(gè)，在這四個(gè)量中，和是等比數(shù)列的基本量，只要求出這兩個(gè)基本量，問(wèn)題便迎刃而解．【變式2-1】（2024·福建·模擬預(yù)測(cè)）已知是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，，則公比q的值是．【答案】2【解析】由等比數(shù)列性質(zhì)知，聯(lián)立，解得或，因?yàn)槭菃握{(diào)遞增的等比數(shù)列，所以，即．故答案為：2【變式2-2】（2024·高二·西藏林芝·期中）在等比數(shù)列中.(1)若它的前三項(xiàng)分別為，，，求；(2)若，，，求；(3)已知，，求；【解析】（1）在等比數(shù)列中，，而，所以.（2）依題意，，則，所以.（3）依題意，.【變式2-3】（2024·高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】將代入，得，解得．設(shè)數(shù)列的公比為q（），則的前三項(xiàng)依次為，2，2q，則有，整理得，解得或．所以或，所以或．【變式2-4】（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，為等差數(shù)列，若，，則．【答案】8【解析】由題得，即，，又，即，則，所以．故答案為：8.【變式2-5】（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則．【答案】486【解析】由得．因?yàn)?，所以，所以，即，所以，所以，故．故答案為?86.【變式2-6】（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）在等比數(shù)列中，，且，則公比．【答案】2【解析】依題意得，兩式相除得，所以，即.利用試根法分解因式得，解得．故答案為：2.題型三：等比數(shù)列的證明【典例3-1】（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知數(shù)列，，證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．【解析】因?yàn)樗?由，知，從而.所以.所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．所以，即.【典例3-2】（2024·高二·江西南昌·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并指出其首項(xiàng)及公比；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【解析】（1），，，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也滿足上式，故【方法技巧與總結(jié)】1、定義法：（常數(shù)）為等比數(shù)列；2、中項(xiàng)法：（）為等比數(shù)列；3、通項(xiàng)公式法：（，為常數(shù)）為等比數(shù)列．4、構(gòu)造法：在條件中出現(xiàn)關(guān)系時(shí)，往往構(gòu)造數(shù)列，方法是把與對(duì)照，求出即可．【變式3-1】（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）在數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，且滿足．判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并說(shuō)明理由．【解析】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，整理可得，因?yàn)椋?所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列．【變式3-2】（2024·高二·江蘇蘇州·期中）已知數(shù)列滿足且.(1)求；(2)證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，（2）∵，∴得到，∴，又滿足上式，∴，則代入①得：，則∴，且，∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，∴，∴【變式3-3】（2024·高二·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，，滿足.求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】∵，∴，∴，即．∵，∴．∵，∴，∴，∴數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2，∴．∵，∴．【變式3-4】（2024·高二·全國(guó)·專題練習(xí)）在數(shù)列中，，且.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【解析】（1）由于，所以．又，所以．所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）知，所以．【變式3-5】（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）若數(shù)列滿足，且．證明：數(shù)列為等比數(shù)列．【解析】因?yàn)?，所以，則，因?yàn)?，所以，所以，又，所以?shù)列為等比數(shù)列．題型四：等比中項(xiàng)及應(yīng)用【典例4-1】（2024·高二·甘肅蘭州·期中）在等比數(shù)列中，各項(xiàng)均為正數(shù)，且，，則與的等比中項(xiàng)是（

）A．2 B． C．1 D．【答案】B【解析】等比數(shù)列中，各項(xiàng)均為正數(shù)，，則，所以與的等比中項(xiàng)為.故選：B.【典例4-2】（2024·高二·北京大興·期末）若數(shù)列是等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，不滿足，故舍去；當(dāng)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以.故選：B【方法技巧與總結(jié)】（1）由等比中項(xiàng)的定義可知，所以只有a，b同號(hào)時(shí)，a，b的等比中項(xiàng)有兩個(gè)，異號(hào)時(shí)，沒(méi)有等比中項(xiàng)．（2）在一個(gè)等比數(shù)列中，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外）都是它的前一項(xiàng)和后一項(xiàng)的等比中項(xiàng)．（3）a，G，b成等比數(shù)列等價(jià)于．【變式4-1】（2024·高二·山東淄博·期中）等比數(shù)列中，，，則與的等比中項(xiàng)為（

）A．12 B． C． D．30【答案】C【解析】記與的等比中項(xiàng)為G，則，所以.故選：C【變式4-2】（2024·四川巴中·一模）已知，，若a，b，c三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則（

）A．5 B．1 C． D．或1【答案】D【解析】由題意知，，a，b，c三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則，故，故選：D【變式4-3】（2024·高二·江蘇無(wú)錫·期末）等比數(shù)列中，，則與的等比中項(xiàng)為（

）A．24 B． C． D．【答案】C【解析】與的等比中項(xiàng)，即48與12的等比中項(xiàng)，則與的等比中項(xiàng)為．故選：C．【變式4-4】（2024·安徽馬鞍山·三模）已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，若成等比數(shù)列，則（

）A．9 B．12 C．18 D．27【答案】D【解析】由成等比數(shù)列，得，所以，解得，所以.故選：D【變式4-5】（2024·高二·湖北十堰·期末）若是函數(shù)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則（

）A．8 B．12 C．16 D．24【答案】D【解析】由題可知，，則，這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則3必是等比中項(xiàng)，則，這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，則3必不是等差中項(xiàng)，若是等差中項(xiàng)，則，又，解得，則，故，若是等差中項(xiàng)，則，又，解得，則．故．故選：D.題型五：等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用【典例5-1】（2024·高二·全國(guó)·單元測(cè)試）從2017年起，某人每年的5月1日到銀行存入a元的定期儲(chǔ)蓄，若年利率為p且保持不變，并約定每年到期，存款的本息均自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年的定期，到2021年的5月1日將所有存款及利息全部取出，則可取出錢（元）的總數(shù)為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)自2018年起每年到5月1日存款本息合計(jì)為，，，.則，，，.故選：D【典例5-2】（2024·高二·福建漳州·期中）已知一小球從地面豎直向上射出到10m高度后落下，每次著地后又彈回到前一次高度的處，則該小球第6次落地時(shí)，經(jīng)過(guò)的路程為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)小球第一次落地時(shí)經(jīng)過(guò)的路程為，第次落地到第次落地經(jīng)過(guò)的路程為，由題意，，數(shù)列從第二項(xiàng)起構(gòu)成以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則第6次著地后經(jīng)過(guò)的路程為（），故選：D【方法技巧與總結(jié)】等比數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵是：建立數(shù)學(xué)模型即將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列的問(wèn)題，解數(shù)學(xué)模型即解等比數(shù)列問(wèn)題．【變式5-1】（2024·高二·全國(guó)·專題練習(xí)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)．”其大意是：有一個(gè)人要去某關(guān)口，路程為378里，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了六天到達(dá)該關(guān)口．則此人第二天走的路程為（

）A．80里 B．86里 C．90里 D．96里【答案】D【解析】由題意可知此人每天走的路程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，由題意和等比數(shù)列的求和公式可得，解得，∴此人第二天走的路程為（里）．故選：D【變式5-2】（2024·高二·遼寧沈陽(yáng)·期中）某牧場(chǎng)今年年初牛的存欄數(shù)為1200頭，預(yù)計(jì)以后每年存欄數(shù)的增長(zhǎng)率為，且在每年年底賣出100頭牛.若該牧場(chǎng)從今年起每年年初的計(jì)劃存欄數(shù)構(gòu)成數(shù)列，，則大約為（參考數(shù)據(jù)：（

）A．1420 B．1480 C．1520 D．1580【答案】B【解析】依題意，當(dāng)時(shí)，，則，于是數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為1.1的等比數(shù)列，則，即，所以.故選：B【變式5-3】（2024·山東·一模）如圖所示，在等腰直角三角形中，斜邊，過(guò)點(diǎn)作邊的垂線，垂足為，過(guò)點(diǎn)作邊的垂線，垂足為，過(guò)點(diǎn)作邊的垂線，垂足為，…，依此類推．設(shè)，，，…，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)分別為同一個(gè)等腰直角三角形的底邊和腰，即，因此數(shù)列是首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，，所以.故選：B【變式5-4】（2024·高二·福建·期中）一個(gè)彈力球從1m高處自由落下，每次著地后又彈回到原來(lái)高度的處，那么在第n次著地后，它經(jīng)過(guò)的總路程超過(guò)5m，則n的最小值是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解析】設(shè)小球第一次落地時(shí)經(jīng)過(guò)的路程為，第次落地到第次落地經(jīng)過(guò)的路程為，由題意，，數(shù)列從第二項(xiàng)起構(gòu)成以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則第n次著地后經(jīng)過(guò)的路程為，即，結(jié)合選項(xiàng)，檢驗(yàn)時(shí)，，時(shí)，成立，故選：A【變式5-5】（2024·高二·廣西柳州·階段練習(xí)）中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責(zé)之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬、“馬主曰：“我馬食半牛，”今欲衰償之，問(wèn)各出幾何？此問(wèn)題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償5斗粟、羊主人說(shuō)：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半，”馬主人說(shuō)：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半，”打算按此比例償還，他們各應(yīng)償還多少？該問(wèn)題中，1斗為10升，則馬主人應(yīng)償還（

）升粟.A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意，羊、馬、牛主人應(yīng)償還量構(gòu)成公比為2的等比數(shù)列，設(shè)馬主人應(yīng)償還升粟，則，解得，所以馬主人應(yīng)償還升粟.故選：C題型六：等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣及應(yīng)用【典例6-1】（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在等比數(shù)列中，公比，若，則______．【答案】【解析】等比數(shù)列中，公比，所以．故答案為：．【典例6-2】（2024·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知數(shù)列滿足，，則______．【答案】【解析】因?yàn)?，且，所以令，則，即數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，故．故答案為：．【方法技巧與總結(jié)】（1）應(yīng)用，可以憑借任意已知項(xiàng)和公比直接寫出通項(xiàng)公式，不必再求．（2）等比數(shù)列的單調(diào)性由，共同確定，但只要單調(diào)，必有．【變式6-1】（2024·廣西·平桂高中高二階段練習(xí)）數(shù)列是等比數(shù)列，且，，則___________．【答案】16【解析】設(shè)的公比為q，則，∴，∴﹒故答案為：16．【變式6-2】（2024·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則______．【答案】47【解析】∵，∴數(shù)列是公比的等比數(shù)列，∴，∴．故答案為：47【變式6-3】（2024·江蘇·高二專題練習(xí)）在等比數(shù)列中，存在正整數(shù)m，有，，則＝________．【答案】1536【解析】由題意知q5＝＝8，則．故答案為：1536【變式6-4】（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列公差不為0，正項(xiàng)等比數(shù)列，，，則以下命題中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列{an}公差為，正項(xiàng)等比數(shù)列{b因?yàn)?，所以，即，所以，又，所以，由得，，，所以時(shí)，，時(shí)，．，，由，，即，（*），令，，（*）式為，其中，且，由已知和是方程的兩個(gè)解，記，且，是一次函數(shù)，是指數(shù)函數(shù)，由一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知當(dāng)它們同增或同減時(shí)，圖象才能有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程才可能有兩解（題中時(shí)，，時(shí)，，滿足同增減）．如圖，作出和的圖象，它們?cè)诤蜁r(shí)相交，無(wú)論還是，由圖象可得，，，時(shí)，，時(shí)，，因此，，，，即，故選：B題型七：等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用【典例7-1】（2024·高三·廣東江門·階段練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列滿足，則.【答案】【解析】因?yàn)榈缺葦?shù)列滿足，所以，又，解得，故，，所以.故答案為：【典例7-2】（2024·江西上饒·一模）已知數(shù)列、均為正項(xiàng)等比數(shù)列，、分別為數(shù)列、的前項(xiàng)積，且，則的值為.【答案】【解析】推導(dǎo)出數(shù)列、為等差數(shù)列，由此可得出，即可得解.設(shè)等比數(shù)列的公比為，則（常數(shù)），所以，數(shù)列為等差數(shù)列，同理可知，數(shù)列也為等差數(shù)列，因?yàn)?，同理可得，因此?故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】利用等比數(shù)列的性質(zhì)解題（1）基本思路：充分發(fā)揮項(xiàng)的“下標(biāo)”的指導(dǎo)作用，分析等比數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系，選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)解題．（2）優(yōu)缺點(diǎn)：簡(jiǎn)便快捷，但是適用面窄，有一定的思維含量．【變式7-1】（2024·高二·遼寧大連·期中）已知數(shù)列成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的值為.【答案】/0.5【解析】由題意得，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，設(shè)公比為，則且，解得，故.故答案為：【變式7-2】（2024·高二·浙江寧波·開(kāi)學(xué)考試）（1）在等差數(shù)列中，，則的值；（2）在等比數(shù)列中，，則．【答案】15；12.【解析】（1）∵，∴根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，∴；（2）∵數(shù)列為等比數(shù)列，∴，，也成等比數(shù)列，∴，故答案為：15；12.【變式7-3】（2024·高二·廣西南寧·階段練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列{}是公比不等于1的等比數(shù)列，且若則.【答案】【解析】由等比數(shù)列性質(zhì)可得；，又因?yàn)楹瘮?shù)，所以，即，所以；令，則；所以，即.故答案為：.題型八：靈活設(shè)元求解等比數(shù)列問(wèn)題【典例8-1】（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，其乘積為1，第2項(xiàng)與第3項(xiàng)之和為－，求這四個(gè)數(shù)．【解析】設(shè)四個(gè)數(shù)依次為a，aq，aq2，aq3，則，解得或，故所求四個(gè)數(shù)依次為或【典例8-2】（2024·高一·廣西北?！て谀┯?/p>