【教無憂】2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步講義（人教A版2019）3.3 冪函數(shù)（九大題型）

3.3冪函數(shù)目錄TOC\o"1-2"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導(dǎo)圖】 2【知識點梳理】 2【典型例題】 4題型一：冪函數(shù)的概念 4題型二：求函數(shù)解析式 5題型三：定義域問題 7題型四：值域問題 9題型五：冪函數(shù)的圖象 11題型六：定點問題 15題型七：利用冪函數(shù)的單調(diào)性求解不等式問題 16題型八：比較大小 19題型九：冪函數(shù)性質(zhì)的綜合運用 22

【題型歸納目錄】【思維導(dǎo)圖】【知識點梳理】知識點一、冪函數(shù)概念形如的函數(shù)，叫做冪函數(shù)，其中為常數(shù)．知識點詮釋：冪函數(shù)必須是形如的函數(shù)，冪函數(shù)底數(shù)為單一的自變量，系數(shù)為1，指數(shù)為常數(shù)．例如：等都不是冪函數(shù)．知識點二、冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)1、作出下列函數(shù)的圖象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．知識點詮釋：冪函數(shù)隨著的取值不同，它們的定義域、性質(zhì)和圖象也不盡相同，但它們有一些共同的性質(zhì)：（1）所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都過點；（2）時，冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)時，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)時，冪函數(shù)的圖象上凸；（3）時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當(dāng)從右邊趨向原點時，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當(dāng)趨于時，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸．2、作冪函數(shù)圖象的步驟如下：（1）先作出第一象限內(nèi)的圖象；（2）若冪函數(shù)的定義域為或，作圖已完成；若在或上也有意義，則應(yīng)先判斷函數(shù)的奇偶性如果為偶函數(shù)，則根據(jù)軸對稱作出第二象限的圖象；如果為奇函數(shù)，則根據(jù)原點對稱作出第三象限的圖象．3、冪函數(shù)解析式的確定（1）借助冪函數(shù)的定義，設(shè)冪函數(shù)或確定函數(shù)中相應(yīng)量的值．（2）結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)，分析冪函數(shù)中指數(shù)的特征．（3）如函數(shù)是冪函數(shù)，求的表達式，就應(yīng)由定義知必有，即．4、冪函數(shù)值大小的比較（1）比較函數(shù)值的大小問題一般是利用函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)不便于利用單調(diào)性時，可與0和1進行比較．常稱為“搭橋”法．（2）比較冪函數(shù)值的大小，一般先構(gòu)造冪函數(shù)并明確其單調(diào)性，然后由單調(diào)性判斷值的大?。?）常用的步驟是：①構(gòu)造冪函數(shù)；②比較底的大?。虎塾蓡握{(diào)性確定函數(shù)值的大?。镜湫屠}】題型一：冪函數(shù)的概念【典例1-1】（2024·高一·上?！るS堂練習(xí)）下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)冪函數(shù)的定義，A、B、C均不是冪函數(shù)，只有D選項，形如（為常數(shù)），是冪函數(shù)，所以D正確故選：D.【典例1-2】（2024·高一·湖北·階段練習(xí)）下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由冪函數(shù)的定義,形如，叫冪函數(shù)，對A，，故A正確；B，C，D均不符合.故選：A．【方法技巧與總結(jié)】冪函數(shù)必須是形如的函數(shù)，冪函數(shù)底數(shù)為單一的自變量，系數(shù)為1，指數(shù)為常數(shù)．【變式1-1】（2024·高一·陜西咸陽·期中）現(xiàn)有下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤，其中冪函數(shù)的個數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】由于冪函數(shù)的一般表達式為：；逐一對比可知題述中的冪函數(shù)有①；⑤共兩個.故選：C.【變式1-2】（2024·高一·江西贛州·期中）在函數(shù)，中，冪函數(shù)的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】∵冪函數(shù)y＝xa，∴是冪函數(shù)，不是冪函數(shù)，不是冪函數(shù)，不是冪函數(shù)，比冪函數(shù)的圖象多一個點，∴冪函數(shù)的個數(shù)為1．故選：B.【變式1-3】（2024·高一·江西吉安·期中）下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由冪函數(shù)的定義可知，B選項中的函數(shù)為冪函數(shù)，ACD選項中的函數(shù)都不是冪函數(shù).故選：B.【變式1-4】（2024·高一·云南德宏·期末）下列函數(shù)既是冪函數(shù)又是奇函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對于A，由冪函數(shù)的定義知是冪函數(shù)，由題意可知的定義域為,，所以是奇函數(shù)，符合題意；故A正確；對于B，由冪函數(shù)的定義知是冪函數(shù)，由題意可知的定義域為,，所以是偶函數(shù)，不符合題意；故B錯誤；對于C，由冪函數(shù)的定義知不是冪函數(shù)，不符合題意；故C錯誤；對于D，由冪函數(shù)的定義知不是冪函數(shù)，不符合題意；故D錯誤；故選：A.題型二：求函數(shù)解析式【典例2-1】（2024·高一·江蘇南通·期中）已知冪函數(shù)為偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的解析式可以為寫一個即可)【答案】(答案不唯一)【解析】因為冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，又因為為偶函數(shù)，所以適合題意．故答案為:(答案不唯一).【典例2-2】（2024·高一·上?！るS堂練習(xí)）若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則函數(shù)的表達式為．【答案】【解析】設(shè)，因為圖像經(jīng)過點，則，所以．故答案為：【方法技巧與總結(jié)】冪函數(shù)的定義同指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)一樣，是一種形式定義，對表現(xiàn)形式要求非常嚴(yán)格．判定一個函數(shù)是否為冪函數(shù)，關(guān)鍵看它是否具有冪函數(shù)的三個特征：①指數(shù)為常數(shù)，且為任意常數(shù)；②底數(shù)為自變量；③系數(shù)為1．【變式2-1】（2024·高一·上?！るS堂練習(xí)）如果一個冪函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)，且圖像關(guān)于y軸對稱，寫出符合條件的冪函數(shù)的一個表達式：．【答案】（答案不唯一）【解析】冪函數(shù)在上是嚴(yán)格減函數(shù)且圖象關(guān)于y軸對稱，符合題意，故答案為：（答案不唯一）.【變式2-2】（2024·高一·上海·課后作業(yè)）已知冪函數(shù)圖象過點，當(dāng)時，.【答案】4【解析】設(shè)冪函數(shù)解析式為，代入點可得，所以冪函數(shù)為，當(dāng)，所以.故答案為：4.【變式2-3】（2024·高一·上海·課前預(yù)習(xí)）若冪函數(shù)的圖象過點，則表達式為．【答案】【解析】設(shè)冪函數(shù)為,將代入可得，解得，故，故答案為：【變式2-4】（2024·高一·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點，此冪函數(shù)的解析式是.【答案】【解析】將代入可得，解得，故答案為：【變式2-5】（2024·高一·安徽馬鞍山·期中）已知冪函數(shù)滿足①函數(shù)圖象不經(jīng)過原點;②，寫出符合上述條件的一個函數(shù)解析式.【答案】（答案不唯一）【解析】因為對，則在上為減函數(shù)，又因為冪函數(shù)（為常數(shù)），當(dāng)不經(jīng)過原點時，即可，故可取.故答案為：（答案不唯一）.題型三：定義域問題【典例3-1】（2024·高一·上?！ふn后作業(yè)）若冪函數(shù)（為整數(shù)）的定義域為，則的值為．【答案】1【解析】若冪函數(shù)（為整數(shù)）的定義域為R，則，解得，而是整數(shù)，則只能，經(jīng)檢驗符合題意.故答案為：1【典例3-2】（2024·高一·上海·隨堂練習(xí)）函數(shù)的定義域為．【答案】【解析】要使有意義，則，解得.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】使表達式有意義．【變式3-1】（2024·高一·上?！ふn后作業(yè)）在函數(shù)①；②；③；④；⑤；⑥中，定義域是的有個．【答案】3【解析】①的定義域為R；②的定義域為；③的定義域為R；④的定義域為；⑤的定義域為；⑥的定義域為R．故定義域為R的有①③⑥，共3個，故答案為：3．【變式3-2】（2024·高一·全國·期中）已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是．【答案】【解析】因為函數(shù)的定義域是，所以，解得，所以函數(shù)的定義域為0,2．要使有意義，則，解得，所以的定義域是．故答案為：【變式3-3】（2024·高一·山西呂梁·階段練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象過點，則的定義域為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】是冪函數(shù)，設(shè)，將代入解析式，得，解得，故，則，故，解得故選：B題型四：值域問題【典例4-1】（2024·高一·遼寧·階段練習(xí)）函數(shù)的值域為.【答案】【解析】由冪函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，又易知為偶函數(shù)，所以當(dāng)時，可知在上單調(diào)遞減，可得.故答案為：【典例4-2】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）函數(shù)，其中，則其值域為.【答案】【解析】設(shè)，則.因為，所以.當(dāng)時，.所以函數(shù)的值域為.故答案為：【方法技巧與總結(jié)】利用單調(diào)性求解．【變式4-1】（2024·高一·山東淄博·期中）函數(shù)圖象的對稱中心坐標(biāo)是；函數(shù)的值域是．【答案】【解析】因為，將奇函數(shù)圖象向左平移個單位，再向上平移個單位得到圖象，所以圖象的對稱中心為；，因為，所以，則，所以.故答案為：；【變式4-2】（2024·高一·浙江·期中）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；值域為．【答案】【解析】函數(shù)有意義，則，解得函數(shù)的定義域為，令，對稱軸為，開口向下，所以在上為增函數(shù)，在為減函數(shù)，又在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；由，，所以，即，所以.故答案為；【變式4-3】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）（1）使用五點作圖法，在圖中畫出的圖象，并注明定義域．（2）求函數(shù)的值域．【解析】（1）由于，則，，，所以過點，故的圖象，如圖所示，函數(shù)的定義域為；（2）由題可知，設(shè)，則，當(dāng)時取等號，故的值域為．【變式4-4】（2024·高一·全國·單元測試）已知冪函數(shù)，且在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)函數(shù)圖象是上升的．（1）求實數(shù)k的值；（2）若存在實數(shù)a，b使得函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的值域為[a，b]，求實數(shù)a，b的值．【解析】（1）為冪函數(shù)，∴，解得或，又在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)的函數(shù)圖象是上升的，，∴k＝2；（2）∵存在實數(shù)a，b使得函數(shù)在區(qū)間上的值域為，且，∴，即，，∴a＝0，b＝1．題型五：冪函數(shù)的圖象【典例5-1】（2024·高一·全國·隨堂練習(xí)）函數(shù)的圖象是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，定義域為，排除A，B．經(jīng)過定點，，則第一象限圖象是單調(diào)遞增，且增長率逐步變快.故選：C.【典例5-2】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）在同一坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)和的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對于A，由函數(shù)的圖象可知，由的圖象可知，互相矛盾，錯誤；對于B，由函數(shù)的圖象可知，由的圖象可知，互相矛盾，錯誤；對于C，由函數(shù)的圖象可知，由的圖象可知且，符合題意，正確；對于D，由函數(shù)的圖象可知，由的圖象可知且，互相矛盾，錯誤.故選：C【方法技巧與總結(jié)】先根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象特征，確定冪指數(shù)的取值區(qū)間；再根據(jù)圖象在軸左側(cè)有無圖象確定函數(shù)的定義域，進而確定中分母“”的奇偶性；當(dāng)圖象在軸左側(cè)有圖象時，再研究其圖象關(guān)于軸（或原點）的對稱性，從而確定函數(shù)的奇偶性，進而確定冪指數(shù)中分子“”的奇偶性．類似地，可作出冪函數(shù)的圖象，即先作出第一象限的圖象，再研究定義域在軸左側(cè)有無圖象，有圖象時，再利用奇偶性作出圖象即可．【變式5-1】（2024·高一·上?！ふn堂例題）函數(shù)的圖象是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，則，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故排除D，由冪函數(shù)性質(zhì)可知函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，且當(dāng)時的圖象高于的函數(shù)圖象，故排除B、C.故選：A.【變式5-2】（2024·四川南充·二模）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】對于A：函數(shù)的定義域為，顯然不符合題意，故A錯誤；對于B：函數(shù)的定義域為，顯然不符合題意，故B錯誤；對于C：函數(shù)的定義域為，又為奇函數(shù)，但是在上函數(shù)是下凸遞增，故不符合題意，故C錯誤；對于D：定義域為，又為奇函數(shù)，且在上函數(shù)是上凸遞增，故D正確.故選：D【變式5-3】（2024·高一·全國·課堂例題）冪函數(shù)，，，在第一象限內(nèi)的圖象依次是如圖中的曲線（

）

A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【答案】D【解析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知，在第一象限內(nèi)的圖像，當(dāng)時，圖像遞增，且越大，圖像遞增速度越快，由此可判斷是曲線，是曲線；當(dāng)時，圖像遞減，且越大，圖像越陡，由此可判斷是曲線，是曲線；綜上所述冪函數(shù)，，，，在第一象限內(nèi)的圖象依次是如圖中的曲線，，，.故選：D.【變式5-4】（2024·高一·吉林·期末）冪函數(shù)()的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由為冪函數(shù)，所以，則，所以可化為，其定義域為，檢驗各選項，可知B正確.故選：B.題型六：定點問題【典例6-1】（2024·高一·上海浦東新·階段練習(xí)）冪函數(shù)的圖象不可能在第四象限，但所有圖象過定點，定點坐標(biāo)為.【答案】【解析】因為對任意實數(shù)，當(dāng)時，，所以所有冪函數(shù)的圖象都過點.故答案為：【典例6-2】（2024·高一·福建莆田·期中）已知函數(shù)的圖象恒過定點，若點在一次函數(shù)的圖象上，其中，，則的最小值為.【答案】4【解析】函數(shù)的圖象恒過定點，所以,因為，所以，當(dāng)時，的最小值為4.故答案為：4【方法技巧與總結(jié)】所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都過點【變式6-1】（2024·高一·廣東東莞·期中）函數(shù)的圖象過定點．【答案】【解析】當(dāng)時，，所以定點為.故答案為：【變式6-2】（2024·高一·上海徐匯·期末）當(dāng)時，函數(shù)的圖象恒過定點A，則點A的坐標(biāo)為．【答案】【解析】由于對任意的，恒經(jīng)過點，所以函數(shù)的圖象恒過定點,故答案為：【變式6-3】（2024·高一·上海徐匯·階段練習(xí)）已知，則函數(shù)的圖象恒過的定點的坐標(biāo)為．【答案】【解析】令，得，故函數(shù)圖象過定點，故答案為：【變式6-4】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）冪函數(shù)的圖像恒過定點．【答案】【解析】冪函數(shù)的圖像恒過定點.故答案為：題型七：利用冪函數(shù)的單調(diào)性求解不等式問題【典例7-1】（2024·高一·河南鄭州·期中）若，則的取值范圍是

．【答案】【解析】因為冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以不等式，可化為，所以，所以，所以的取值范圍是.故答案為：.【典例7-2】（2024·高一·廣西百色·開學(xué)考試）已知冪函數(shù)滿足條件，則實數(shù)a的取值范圍是.【答案】【解析】因為為冪函數(shù)，所以，則，故的定義域為，且在定義域上為增函數(shù)，所以由，可得，解得，故a的取值范圍為.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】運用函數(shù)的單調(diào)性，必須對圖象的特征有深刻的認(rèn)識．可見，能很好地運用數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)問題的重要途徑．【變式7-1】（2024·高一·北京·期中）已知函數(shù).若該函數(shù)圖象經(jīng)過點，滿足條件的實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】由已知，所以，又是正整數(shù)，故解得，即，函數(shù)定義域是，易知是增函數(shù)，所以由得，解得，故答案為：．【變式7-2】（2024·高一·全國·期中）若，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】由在上單調(diào)遞增，故，解得.故答案為：【變式7-3】（2024·高一·安徽·期末）已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，那么的解析式為；不等式的解集為.【答案】【解析】設(shè)冪函數(shù)，依題意，，即，因此，解得，所以函數(shù)的解析式為；顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，于是不等式為：，解得，即或，所以不等式的解集為.故答案為：；【變式7-4】（2024·高一·廣東梅州·期末）已知冪函數(shù)的圖象過點，若，則的取值范圍是.【答案】【解析】由冪函數(shù)的圖象過點得，解得，則，定義域為.由可得為偶函數(shù)，又冪函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減.于是等價于，解得或.所以的取值范圍是.故答案為：.【變式7-5】（2024·高一·上?！るA段練習(xí)）不等式的解集為.【答案】【解析】構(gòu)造函數(shù)，該函數(shù)的定義域為，且，即函數(shù)為奇函數(shù)，因為函數(shù)在上為增函數(shù)，則該函數(shù)在上也為增函數(shù)，所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，由可得，可得，解得，因此，不等式的解集為.故答案為：.題型八：比較大小【典例8-1】（2024·高一·北京·期中）若，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對于選項A：例如，則，即，故A錯誤；對于選項B、D：例如，則，故BD錯誤；對于選項C：因為，且在上單調(diào)遞增，所以，故C正確；故選：C.【典例8-2】（2024·高一·上海浦東新·期末）如果，那么下列不等式中正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】對于A，當(dāng)時，可得，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，，故B錯誤；

對于C，∵，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，∴，故C正確；對于D，∵，∴，，可得，故D錯誤.故選：C．【方法技巧與總結(jié)】（1）兩個數(shù)都是“同指數(shù)”的冪，因此可看作是同一個冪函數(shù)的兩個不同的函數(shù)值，從而可根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性做出判斷．（2）利用冪函數(shù)的奇偶性，先把底數(shù)化為正數(shù)的冪解決的問題．當(dāng)然，若直接利用上冪函數(shù)的單調(diào)性解決問題也是可以的．（3）引進數(shù)“1”和“0”，三個數(shù)分別與“1”和“0”比較，得出結(jié)論．【變式8-1】（2024·高一·重慶·期中）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由單調(diào)遞增，則可知，由單調(diào)遞增，又，可得所以．故選：C．【變式8-2】（2024·高三·黑龍江牡丹江·階段練習(xí)）已知冪函數(shù)的圖象過點是函數(shù)圖象上的任意不同兩點，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)冪函數(shù)，因為的圖象經(jīng)過點，則，解得，所以.因為函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則當(dāng)時，，所以，且，故選項錯誤；又因為函數(shù)單調(diào)遞增，則當(dāng)時，，且，故選項D正確，選項錯誤.故選：D.【變式8-3】（2024·高一·福建泉州·期中）已知，那么（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，當(dāng)時，，，，，，此時，，，故A，B，C錯誤，由冪函數(shù)在上單調(diào)遞增可知，時，，故D正確，故選：D.【變式8-4】（2024·高一·海南省直轄縣級單位·期中）已知冪函數(shù)的圖象過點，且是函數(shù)圖象上的任意不同的兩點，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)，則，解得，所以，則在定義域上單調(diào)遞增，因為，所以，故選項A錯誤；在定義域上單調(diào)遞增，因為，所以，故選項B錯誤；在定義域上單調(diào)遞減，因為，所以，即，選項C正確；在定義域上單調(diào)遞增，因為，所以，故選項D錯誤.故選：C.【變式8-5】（2024·高一·天津·期中）若，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意得函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，所以得：，故A項正確.故選：A.題型九：冪函數(shù)性質(zhì)的綜合運用【典例9-1】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）已知冪函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增.（1）求的值；（2）當(dāng)時，記的值域為集合，若集合，且，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）∵為冪函數(shù)，∴，∴或2.當(dāng)時，在0,+∞上單調(diào)遞增，滿足題意.當(dāng)時，在0,+∞上單調(diào)遞減，不滿足題意，舍去.∴.（2）由（1）知，.∵在上單調(diào)遞增，∴.∵，，∴，∴解得.故實數(shù)的取值范圍為.【典例9-2】（2024·高一·陜西商洛·期中）已知冪函數(shù)滿足：①在上為增函數(shù)，②對，都有，求同時滿足①②的冪函數(shù)的解析式，并求出時，的值域.【解析】因為在上為增函數(shù)，所以，解得，又，所以，或．又因為，所以是偶函數(shù)，所以為偶數(shù)．當(dāng)時，滿足題意；當(dāng)時，不滿足題意，所以，又因為在上遞增，所以，，故時，的值域是．【方法技巧與總結(jié)】以內(nèi)函數(shù)或外函數(shù)為冪函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，來考查冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合的思想方法，是考試命題的熱點題型．解