《備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學一輪復(fù)習》課件-第八章-第2節(jié)-圓與方程

第2節(jié)圓與方程課程標準要求1.掌握確定圓的幾何要素,掌握圓的標準方程與一般方程.2.能根據(jù)給定直線、圓的方程,判斷直線與圓的位置關(guān)系;能根據(jù)給定兩個圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系.3.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題.必備知識·課前回顧關(guān)鍵能力·課堂突破必備知識·課前回顧回歸教材夯實四基知識梳理1.圓的定義與方程定點定長(a,b)rD2+E2-4F>02.點與圓的位置關(guān)系點M(x0,y0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2的位置關(guān)系:(1)若M(x0,y0)在圓外,則

.(2)若M(x0,y0)在圓上,則

.(3)若M(x0,y0)在圓內(nèi),則

.3.判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩種方法(1)幾何法:利用圓心到直線的距離d和圓的半徑r的大小關(guān)系.

?相交;

?相切;

?相離.(x0-a)2+(y0-b)2>r2(x0-a)2+(y0-b)2=r2(x0-a)2+(y0-b)2<r2d<rd=rd>r相交相切相離4.圓與圓的位置關(guān)系d>r1+r2無解d=r1+r2一組實數(shù)解|r1-r2|<d<r1+r2兩組不同的實數(shù)解d=|r1-r2|(r1≠r2)一組實數(shù)解0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)無解重要結(jié)論1.以A(x1,y1),B(x2,y2)為直徑端點的圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.2.圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2+y2=r2上一點P(x0,y0)的圓的切線方程為x0x+y0y=r2.(2)過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點P(x0,y0)的圓的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.(3)過圓x2+y2=r2外一點M(x0,y0)作圓的兩條切線,則兩切點所在直線方程為x0x+y0y=r2.3.圓系方程(1)同心圓系方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中a,b是定值,r是參數(shù);(2)過直線Ax+By+C=0與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0交點的圓系方程:x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R);(3)過圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交點的圓系方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)(該圓系不含圓C2,解題時,注意檢驗圓C2是否滿足題意,以防漏解).4.兩圓相交時公共弦的方程設(shè)圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,①圓C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0.②若兩圓相交,則有一條公共弦,其公共弦所在直線方程由①-②得,即(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.對點自測1.若點(1,1)在圓(x-a)2+(y+a)2=4的內(nèi)部,則實數(shù)a的取值范圍是(

)A.(-1,1) B.(0,1)C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.±1解析:點(1,1)在圓(x-a)2+(y+a)2=4的內(nèi)部,所以(1-a)2+(1+a)2<4,解得-1<a<1.故選A.A2.(多選題)已知圓M的一般方程為x2+y2-8x+6y=0,則下列說法正確的是(

)A.圓M的圓心為(4,-3)B.圓M被x軸截得的弦長為8C.圓M的半徑為25D.圓M被y軸截得的弦長為6解析:圓M的一般方程為x2+y2-8x+6y=0,則(x-4)2+(y+3)2=25.圓的圓心坐標為(4,-3),半徑為5.顯然選項C不正確,A,B,D均正確.故選ABD.ABDD4.圓(x+2)2+y2=4與圓(x-2)2+(y-1)2=9的位置關(guān)系為(

)A.內(nèi)切 B.相交 C.外切 D.相離B5.若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圓,則a的取值范圍是

.

考點一圓的方程關(guān)鍵能力·課堂突破類分考點落實四翼C2.已知圓C過點A(6,0),B(1,5),且圓心在直線l:2x-7y+8=0上,則圓C的方程為

.

答案:(x-3)2+(y-2)2=133.經(jīng)過三點(2,-1),(5,0),(6,1)的圓的一般方程為

.

答案:x2+y2-4x-8y-5=0題后悟通求圓的方程的兩種方法(1)直接法:根據(jù)圓的幾何性質(zhì),直接求出圓心坐標和半徑,進而寫出方程.(2)待定系數(shù)法:①若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān),則設(shè)圓的標準方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于a,b,r的方程組,從而求出a,b,r的值;②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑,則選擇圓的一般方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于D,E,F的方程組,進而求出D,E,F的值.考點二與圓有關(guān)的最值問題角度一利用幾何法求最值(2)已知M(x,y)為圓C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一點,且點Q(-2,3).①求|MQ|的最大值和最小值;(2)已知M(x,y)為圓C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一點,且點Q(-2,3).③求y-x的最大值和最小值.解題策略(2)形如m=ax+by的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題.(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值問題,可轉(zhuǎn)化為兩點間距離的平方的最值問題.角度二利用代數(shù)法求最值答案:10解題策略根據(jù)已知條件列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式,再根據(jù)關(guān)系式的特征選用基本不等式、函數(shù)單調(diào)性等方法求最值.[針對訓練](2)已知A(0,2),點P在直線x+y+2=0上,點Q在圓C:x2+y2-4x-2y=0上,則|PA|+|PQ|的最小值是

.

考點三直線與圓的位置關(guān)系例2-1已知點M(a,b)在圓O:x2+y2=1外,則直線ax+by=1與圓O的位置關(guān)系是(

)A.相切 B.相交 C.相離 D.不確定角度一位置關(guān)系的判斷判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的方法(1)幾何法:利用d與r的關(guān)系.(2)代數(shù)法:聯(lián)立方程組,消元得一元二次方程之后利用Δ判斷.(3)點與圓的位置關(guān)系法:若直線恒過定點且定點在圓內(nèi),可判斷直線與圓相交.解題策略角度二弦長問題弦長的兩種求法(1)代數(shù)法:將直線和圓的方程聯(lián)立方程組,消元后得到一個一元二次方程.在判別式Δ>0的前提下,利用根與系數(shù)的關(guān)系,根據(jù)弦長公式求弦長.解題策略角度三切線問題解題策略圓的切線方程的兩種求法(1)代數(shù)法:設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),與圓的方程組成方程組,消元后得到一個一元二次方程,然后令判別式Δ=0進而求得k.(2)幾何法:設(shè)切線方程為y-y0=k(x-x0),利用點到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d,然后令d=r,進而求出k.[針對訓練]解析:(1)直線2tx-y-2-2t=0恒過點(1,-2),因為12+(-2)2-2×1+4×(-2)=-5<0,所以點(1,-2)在圓x2+y2-2x+4y=0內(nèi),直線2tx-y-2-2t=0與圓x2+y2-2x+4y=0相交.故選C.(1)圓x2+y2-2x+4y=0與直線2tx-y-2-2t=0(t∈R)的位置關(guān)系為(

)A.相離 B.相切C.相交 D.以上都有可能答案:(1)C(2)過點P(2,4)作圓(x-1)2+(y-1)2=1的切線,則切線方程為(

)A.3x+4y-4=0B.4x-3y+4=0C.x=2或4x-3y+4=0D.y=4或3x+4y-4=0答案:(2)C(3)過點(3,1)作圓(x-2)2+(y-2)2=4的弦,則最短弦所在的直線方程為

.答案:(3)x-y-2=0考點四圓與圓的位置關(guān)系例3已知兩圓x2+y2-2x-6y-1=0,x2+y2-10x-12y+m=0.(1)m取何值時兩圓外切?(2)m取何值時兩圓內(nèi)切?解題策略解決圓與圓位置關(guān)系問題的兩大方法(1)處理兩圓位置關(guān)系多用圓心距與半徑和或差的關(guān)系判斷,一般不采用代數(shù)法.(2)若兩圓相交,則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差得到.[針對訓練]已知兩圓C1:x2+y2-2x-6y-1=0和C2:x2+y2-10x-12y+45=0.(1)求證:圓C1和圓C2相交;已知兩圓C