動(dòng)力學(xué)普遍定理及綜合應(yīng)用

動(dòng)力學(xué)普遍定理及綜合應(yīng)用

「動(dòng)量定理矢量形式，投影求解。

動(dòng)力學(xué)普遍定理V動(dòng)量矩定理/

〔動(dòng)能定理一標(biāo)量形式

’①根據(jù)問題的已知條件和待求量，選擇適當(dāng)?shù)亩?/p>

。理求解，包括各種守恒定理的應(yīng)用。

綜合應(yīng)用②比較復(fù)雜的問題，根據(jù)需要選用兩、三個(gè)定理聯(lián)

合求解。一般可用動(dòng)能定理求運(yùn)動(dòng)有關(guān)的量（速度

I、加速度），用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理或?qū)ΧㄝS的動(dòng)量矩定

y理、對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理求力。

求解過程中，往往要正確

進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析，提供正=>平面運(yùn)動(dòng)速度和

確的運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)充方程。加速度的分析。

動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用［例］置于光滑水平面上的兩均質(zhì)桿

AC和各重為P,長(zhǎng)為1,在C處光滑較接，初始靜止，。點(diǎn)高度為九

求較C到達(dá)地面時(shí)的速度。

解：整體分析受力如圖。因?yàn)椤旯?=0，

且初始靜止，所以水平方向質(zhì)心位置守恒

°十=07；=11-/2^2><2=1-/2^2

-23g3g

VC=1（D..工二產(chǎn)誣

h3g

「W=P［x2=Ph

代入動(dòng)能定理節(jié)里-O=Ph:.vc=43gh

?'g

動(dòng)量守恒定理+動(dòng)能定理求解。

計(jì)算動(dòng)能時(shí)，利用平面運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系。

［例］重Pi=60N、長(zhǎng)24cm的均質(zhì)桿48與重P2=150N的均質(zhì)圓盤在8處用錢

鏈連接。系統(tǒng)由圖示位置無初速地釋放。求系統(tǒng)經(jīng)過最低位置時(shí)〃的速

度及支座4處的約束力。解：（1）取

圓盤在任意位置為研究對(duì)象

工％（尸）=。=°%=0

⑨=〃）=0圓盤運(yùn)動(dòng)始終為平移

（2）用好能定理求速度I取系統(tǒng)研究。初始

時(shí)丁尸0,最低位置時(shí)：

T=-J6924--V2n

22A2TBlCD=V^

=一1.1一6,「?+一1」2十2二qD+.3Q號(hào)D

23g2g6g

X叱2二4(；一；cos60°)+E(/-/cos60")=(g+舄)(/一/cos60°)

<+38彳_0=芭+用(/_/cos600)

（一刀=2叫26gB2

代入數(shù)據(jù),vB=1.58m/s

（3）用動(dòng)量矩定理求桿的角加速度a

o系統(tǒng)到達(dá)最低位置時(shí)受力如圖

L=''『①卜2y/=（'6"十■F）co

Ao—o-

3g—gR3gg

由于與L=Z例A（尸⑻）=。所以a=0。

山.4—1蘇f

桿質(zhì)心C的加速度：%J24二°）

盤質(zhì)心加速度：%2T簿二°）

co=Vfi==6.58rad/s

~t~0.24

（4）由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求支座約束力。

研究整個(gè)系統(tǒng)，受力圖如圖。由剛體系的質(zhì)心

運(yùn)動(dòng)定理，列方程所用定理有相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量

矩守恒定理；動(dòng)能定理；動(dòng)量矩定理；質(zhì)心運(yùn)

動(dòng)定理。注意：如果用對(duì)積分形式的動(dòng)能定理

求導(dǎo)計(jì)算角加速度，則必須取桿A3在一般

位置進(jìn)行分析。

6tJtk

?-a=0n=尸

，/iixCBAr

sg

->ma="M+￡1#￡/蘇二/

L/iy—C-B-c-Av一片一呂

ggg2g

得入x=0,右，=401N

［例］質(zhì)量為，〃的板置于兩個(gè)半徑為，，質(zhì)量為罩的均質(zhì)圓柱上，如在

板上作用水平力尸，求板的加速度。設(shè)接觸處兼有摩擦，而無相對(duì)滑動(dòng)

解：用功率方程求解

設(shè)任一瞬時(shí)板的速度為力則圓柱體質(zhì)

心速度為W2,角速度0=W2r。

系統(tǒng)的動(dòng)能

7='〃"2+2［上％義）2+1（皿『）（工）2］=11"爪2

22222222r16

—?

主動(dòng)力的功率之

ZP=F"=域山2\口

和—(—mv^)=Fv

由功率方程dZ_ypdr16

dr一乙〃

8F

1Im

此題單求加速度，最簡(jiǎn)單的方法是動(dòng)能定理。在十三章達(dá)朗貝爾原

理作為習(xí)題出現(xiàn)，P347.13-17o用其它方法較麻煩。

［例］均質(zhì)桿質(zhì)量為/小長(zhǎng)為，，可繞距端點(diǎn)〃3的轉(zhuǎn)軸。轉(zhuǎn)動(dòng)，求桿由水平

位置靜止開始轉(zhuǎn)動(dòng)到任一位置時(shí)的角速度、角加速度以及軸承。的約束力

在此過程中所有的力所作的功,2=mgh=~mgZsin①

3186

蘇=4sin。（o=sin（p

a=濁coscp

21

解法2：用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程求運(yùn)動(dòng)

Oy

由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方Joa=ZM()(F)

程1I

-mlz2a=mg-cos/

得

9屹6

即a=fcos(pmgZ

21G)

dco3P

dco_dcodcp_d69co—=fcos。

又a=——co所以

dtA(pdrd(pd(p21

()coAa)=\fcos/de

2/

。￡sin0。

1CD=

即-co2/所以

2o0

求質(zhì)心加速度進(jìn)而求約束力。質(zhì)心加速度有切

向和法向分量：

他

=OCa=1,c°s9=&c°scp

6214

/=OC-co1=-.毀sin>=gsin(p

6/23女.

t._ncose=-isinecos0a

?C.t--asin(p-a?

將其向直角坐cc

標(biāo)軸上投影得=-a1cos^+tznsin=-^(1-3sin2(p)

4

由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定ma=26,ma=2F

CxCvva

理—皿sin°cos0=Cy

04——

b4

得:C

皿(l-3sin2(p)=F-mg

4Oy

a

解得:%=一個(gè)sin即心-^-(l+9sin2(p)

［例］物塊A和區(qū)的質(zhì)量分別為嗎、啊，且叫

＞機(jī)2,分別系在繩索的兩端，繩跨過一定滑

輪，如圖。滑輪的質(zhì)量為陽(yáng)，并可看成是半

徑為，的均質(zhì)圓盤。假設(shè)不計(jì)繩的質(zhì)量和軸

承摩擦，繩與滑輪之間無相對(duì)滑動(dòng)，試求物塊A

的加速度和軸承。的約束力。

解1：取單個(gè)物體為研究對(duì)象。分別以物

塊A、B和滑輪為研究對(duì)象，受力如圖。

由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程，得

0)

m}a=m,g-FA

⑵

tn2a=FB-m2g

-mr2-a-(F'一F")r⑶

2AB

(4)

0=Fox

⑸

4=Foy_F〔_F\_mg

注意到a=ra由以上方程聯(lián)立求解得：。'叫一〃"g

=m+2（肛+加2）

P2(/??-/??)2

r!

ox=0FOx=(tn+mx+m2)g-----------=---

m+2(犯+也)

解2：用動(dòng)能定理和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力如圖,

運(yùn)動(dòng)分析如圖。系統(tǒng)動(dòng)能為

T='/+1mv2+1(1mr2)(盯2=1(m+2m+2m)v2

212222r41

dT=+2/w)vdv

所有力的兀功為23叱=(町-也)gds=(???|-m2)gvdt

由微分形式l(m+2m+2m)vdv=(zn-tn)gvdt

的動(dòng)能定理得21212

TULA2（犯一g）

于是可得"加+2（犯+明打

考慮剛體系統(tǒng)的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

工明。6=ZF：)

Fcx=0

成+叫)g

m2a-m}a=FOy_(m+

2（m-m）2

于是可得以=（，"g+”）g,〃+二+/）

解3：用動(dòng)量矩定理和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

解：以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力如圖

運(yùn)動(dòng)分析如圖。系統(tǒng)對(duì)定軸的動(dòng)量矩為

L=mvr+mvr+(J-mr2)co

0122

=J-(m+2m+2m)vr

212

d

由d/。=￡M。(尸電)得

-(m4-2m+2m)r~=(m-m)gr

212d.t12

dv2(仍一m2)

a=—

dtm+2(/??|+恤),

然后按解2的方法即可求得軸承0的約束力。

［例］如圖所示，均質(zhì)圓盤可繞。軸在鉛垂面

內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng),園盤的質(zhì)量為機(jī)，半徑為在園

盤的質(zhì)心。上連結(jié)一剛性系數(shù)為4的水平彈

簧，彈簧的另一端固定在A點(diǎn)，CA=2K為彈

簧的原長(zhǎng),園盤在常力偶矩"的作用下，由

最低位置無初速地繞0軸向上轉(zhuǎn)。試求圓盤

到達(dá)最高位置時(shí)，軸承。的約束力。

解：以圓盤為研究對(duì)象，受力如圖。

J=-mR-+mR2=-mR2

°22

7；=0(Jo①2二；機(jī)氏2①2

乙I

2

ZW=Mn-2mgR+&「0一(2血R_2R)

122L

=M7i-2mgR-0.343MR2

由T2-T.=YWl2得

2

3mRar=M兀-2mgR-0.3431ZR?

4

解得

a)=—^(M兀-2mgR-0.3431kR)

3mR2

2(M—0.5859/7?2)

解得a=

3"小2

2(A/-0.5859^T?2)

acx=-Ra=

43mR

a=—R①2=--^(Mn-2mgR-0.3431kR2)

Cv3mR

由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)微分方程

得

niaCx=FOx+Fcos45°

maCy-FOY-mg-Fsin45

代入加速度解得

F-0.1953Z:/?

°3R

FaM

oy=3.667mg+1.043kR-4.189—

［例］均質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng)為1,質(zhì)量為如靜止直立于光

滑水平面上。當(dāng)桿受微小干擾而倒下時(shí)，求桿

剛剛到達(dá)地面時(shí)的角速度和地面的約束力。

解：由于地面光滑，直桿沿水平方向不受力,

倒下過程中質(zhì)心將鉛直下落。桿運(yùn)動(dòng)到任一

位置（與水平方向夾角為）時(shí)的角速度為

0)=-c=2-c

CPIcos0

此時(shí)桿的動(dòng)能

T=~+-J。"=-叫］+—)uj

2223cos2。

初動(dòng)能為零，此過程只有重力作功,

由

1m(l義-甘二^)^2=mg~(1-sin。)

23cos23'2

當(dāng)6=0°時(shí)解出vc=—^3glco-

桿剛剛達(dá)到地面時(shí)受力及加速度如圖所示。

由剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程，得

mg-FA=mac(1)

F-=Ja-^~ml2a(2)

42012

桿作平面運(yùn)動(dòng)，以A為基點(diǎn)，則。點(diǎn)的加速度

ac=acA=^a(3)

2

聯(lián)立求解方程(1卜(3),得FA=^mg

［例］圖示三棱柱體ABC的質(zhì)量為機(jī)J放在光

滑的水平面上，可以無摩擦地滑動(dòng)。質(zhì)量為

的均質(zhì)圓柱體。由靜止沿斜面AB向下滾動(dòng)

而不滑動(dòng)。如斜面的傾角為，求三棱柱體的

加速度。P326,綜?16

解：整體系統(tǒng)在水平方向上受力為零，所以系A(chǔ)、J。。'

統(tǒng)的動(dòng)量在水平方向上守恒。設(shè)某瞬時(shí)三棱柱

的速度和加速度分別為y和d圓柱體的角速度「

是和角加速度分別為碗以(求圓柱體的動(dòng)量

需要用。點(diǎn)的絕對(duì)速度)

基點(diǎn)法：取圓柱體與三棱柱的接觸點(diǎn)卻為

基點(diǎn)，分析圓柱體中心。點(diǎn)的速度，如圖

所示^OD，口。=u，v0D=r(t)

vOx--v-\-rcocosO

系統(tǒng)動(dòng)量的水平分量：

m

Ro=0,Px}=-jn}v+利也=~\u+/％(-v+r69cos3)

由動(dòng)量守恒定理：

P八-Px()--miv+m2(-v+r69cos0)-0

-mxv+nu（-v+rcocos0）=0兩邊對(duì)時(shí)間/求導(dǎo)

得

一（仍+nu）。+叫racos3=0

此式實(shí)質(zhì)就是質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理在水平

線上的投影式

ma

Xic江Z

剛體系統(tǒng)口F?

IX

欲求〃需先求出a,取圓柱體分析如圖所示，由平面運(yùn)動(dòng)微分方程

得121r

Joa=EM。(尸)也r。二工廠

m2aox，=2"，{ra-acos0)=sin0-Fs

從中解a

a"os6+2gsineox=ar-accos9

由3r二ra一acos0

a=

代入（*）式得3加+*號(hào)Hgin?夕動(dòng)能定理建立