分類22 等腰三角形(含解析)

22等腰三角形（含解析）

一、選擇題

1.（2020?遼寧遼陽，T6,3分）一個等腰直角三角尺和一把直尺按如圖所示的位置擺放,

若N1=2O°,則N2的度數是（）

A.15°B.20°C.25°D.40°

【考點】KW：等腰直角三角形；JA：平行線的性質

【專題】67：推理能力；554：等腰三角形與直角三角形

【分析】根據平行線的性質和等腰三角形的性質即可得到結論.

【解答】解：AB//CD,

.\Z3=Z1=2O°,

三角形是等腰直角三角形，

/.Z2=45O-Z3=25°,

【點評】本題考查了等腰宜角三角形的性質，平行線的性質，熟練掌握平行線的性質是解題

的關鍵.

2.（2020四川南充，T6,4分）如圖，在等腰AABC中，B。為NA8C的平分線，NA=36。,

AB=AC=a,BC=b,則CD=()

a+ba-b

A.-----B.-----C.a-bD.b-a

22

【考點】KH：等腰三角形的性質.

【專題】554：等腰三角形與直角三角形；64：幾何直觀.

【分析】根據等腰三角形的性質和判定得出8O=BC=4O,進而解答即可.

【解答】解：；在等腰△ABC中，80為N48。的平分線，NA=36。，

AZABC=ZC=2ZABD=12\

：.480=36。=NA,

:.BD=AD,

???4BDC=ZA+ZABD=12°=NC,

:?BD=BC,

'：AB=AC=a,BC=b,

：,CD=AC-AD=a-b,

故選：C.

【點評】此題考查等腰三角形的性質，關鍵是根據等腰三角形的性質和判定得出BD=BC

=4。解答.

3.（2020?廣西玉林?T9?3分）如圖是A,B,C三島的平面圖，C島在A島的北偏東35。方

向，4島在A島的北偏東80。方向，C島在5島的北偏西55。方向，則A,B,。三島組成

C.直角三角形D.等邊三角形

【考點】IH：方向角；KK：等邊三角形的性質；KW：等腰直角三角形

【專題】554：等腰三角形與直角三角形；67：推理能力；64：幾何直觀

【分析】如圖，過點C作CD/ME交于點。，可得NDC4=NE4C=35。，根據他〃斯,

可得CD//BF,可得ZBCD=NCB尸=55。,進而得A4BC是直角三角形.

【解答】解：如圖，過點C作CQ//AE交于點。，

.?.ZZXX=ZE4C=35°,

北北

AE//BF,

:.CD//BF,

:.ABCD=NCBF=55。,

ZAC8=ZACD+ZBS=35。+55。=90°,

.??A44c是直角三角形.

故選：C.

【點評】本題考查了直角三角形、方向角，解決本題的關鍵是掌握方向角定義.

4.（2020?四川宜賓，Tll,4分）如圖，AABC和AECD都是等邊三角形，且點8、C、。在

一條直線上，連結BE、AD,點、M、N分別是線段BE、A￡＞上的兩點，且BM=；BE,

AN=-AD,則△CMV的形狀是（）

3

A.等腰三角形B.直角三角形C.等邊三角形D.不等邊三角形

【考點】KM：等邊三角形的判定與性質；KD-.全等三角形的判定與性質

【專題】553：圖形的全等；64：幾何直觀

【分析】根據等邊三角形的性質得出8C=AC,EC=CD,進而利用SAS證明MCE與

AACO全等，進而利用全等三角形的性質解答即可.

【解答】解：AABC和AECD都是等邊三角形，

:.BC=AC,EC=CD,ZBG4=ZE8=60°,

..ZBC4+ZACE=ZECD+ZACE,

即NBCE=N48,

在MC石與AACD中

BC=AC

/BCE=NACO,

CE=CD

:.ABCE^^ACD（SAS）,

:.ZMBC=ZNAC,BE=AD,

BM=-BE,AN=-AD,

33

:.BM=AN,

在AMBC與&VAC中

BM=AN

"NMBC=ZNAC,

BC=AC

:.2/1BC=邱AC〈SAS）,

:.MC=NC,ZBCM=ZACN,

々CM+ZA/C4=60°,

.?.N/VC4+NMC4=60°，

.?.ZA/GV=60°,

」.AA/C7V是等邊三角形，

故選：C.

【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質等知識，解題時注意：兩邊及其夾角分別

對應相等的兩個三角形全等.根據已知得出MCE=AAC￡＞是解題關鍵.

5.（2020黑龍江龍東地區(qū)，T6,3分）如圖，菱形498的兩個頂點A,C在反比例函數y=-

x

的圖象上，對角線AC,%）的交點恰好是坐標原點O,已知ZABC=120°,則k

的值是（）

【考點】L8：菱形的性質；G6：反比例函數圖象上點的坐標特征；KM：等邊三角形的

判定與性質

【專題】534：反比例函數及其應用；66：運算能力

【分析】根據題意可以求得點4的坐標，從而可以求得火的值.

【解答】解：四邊形ABC。是菱形，

:,BA=AD.AC1BD,

NABC=120°,

/.Za4￡>=60°，

.??A4B￡）是等邊三角形，

:.OB=>[2，

"。"品S

直線BD的解析式為y=-x,

直線AD的解析式為y=x,

OA=娓，

.??點A的坐標為（石，6）,

點A在反比例函數y=&的圖象上,

x

/.k=J5x>/3=3，

故選：C.

【點評】本題考查反比例函數圖象上點的坐標特征、菱形的性質，解答本題的關鍵是明確題

意，利用反比例函數的性質解答.

6.（2020黑龍江牡丹江，T18,3分）如圖，在平面直角坐標系中，。是菱形A8C。對角線

皮）的中點，AO//X軸且4）=4,NA=60。，將菱形A38繞點。旋轉，使點。落在x軸

上，則旋轉后點。的對應點的坐標是（）

A.（0,2揚B.（2,-4）

C.（2石，0）D.（0,2折或（0,-2肉

【考點】即：坐標與圖形變化-旋轉；L8：菱形的性質；KM：等邊三角形的判定與性質

【專題】556：矩形菱形正方形；64：幾何直觀

【分析】分點C旋轉到y(tǒng)軸正半軸和），軸負半軸兩種情況分別討論，結合菱形的性質求解.

【解答】解：根據菱形的對稱性可得：當點。在x軸上時，

A、5、C均在坐標軸上，如圖，

ZE4D=60°,AD=4，

.?.Z（MD=3O°,

..8=2,

22

:.AO=y/4-2=2y/3=OCt

.?.點C的坐標為（0,-2豆），

點C的坐標為（0,2百），

點C的坐標為（0,20）或（0,-25），

故選：D.

【點評】本題考查了菱形的對稱性，旋轉的性質，直角三角形的性質，解題的關鍵是要分情

況討論.

7.（2020湖北天門，T10,3分）如圖，已知AA5c和AADE都是等腰三角形，

Zfi4C=ZmE=90°，BD,C石交于點F,連接".下列結論：①8D=CE；②斯_LC/：

③AF平分NC4。；?ZAFE=45°.其中正確結論的個數有（）

B

E

CM/

D

A.1個B.2個C.3個D.4個

【考點】KW：等腰直角三角形：KD：全等三角形的判定與性質

【專題】69：應用意識；553：圖形的全等

【分析】如圖，作%）于M,ANJ.EC于N.證明主AGIE,利用全等三角形

的性質一一判斷即可.

【解答】解：如圖，作AA/_L8。于ANLEC^N.

:.ZBAD=ZCAE,

AB=AC,AD=AE,

:.M3AD^^CAE(SAS),

:.EC=BD,4D4=NAEC,故①正確

ZDOF=ZAOE,

ZDPO=ZE4O=90。，

:.BD±EC,故②正確，

MiAD^^CAE,AMVBD.AN±EC,

:.AM=AN,

「.E4平分ZEFB,

「.NA/石=45。，故④正確，

若③成立，則NA￡F=/4瓦＞=4D8,推出9=4),顯然與條件矛盾，故③錯誤,

故選：C.

【點評】本題考查全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是

靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型.

8.（2020湖北宜昌，T4,3分）如圖，點E,F,G,Q,”在一條直線上，且EF=GH,

我們知道按如圖所作的直線/為線段尸G的垂直平分線.下列說法正確的是（）

I

1FG0H

A./是線段必的垂直平分線B./是線段EQ的垂直平分線

C./是線段中的垂直平分線D.m是/的垂直平分線

【考點】KG：線段垂直平分線的性質

【專題】551：線段、角、相交線與平行線；67：推理能力

【分析】根據垂直平分線的性質定理判斷即可.

【解答】解：如圖:

/

1F0GQH

A.直線/為線段FG的垂直平分線，

：.FO=GO,11FG,

EF=GH,

:.EF+FO=OG+GH,

即

.?./為線段的垂直平分線，故比選項正確；

B.EO工OQ,

二./不是線段EQ的垂直平分線，故此選項錯誤：

C.FO^OH,

.?./不是線段"/的垂直平分線，故此選項錯誤;

D./為直線，EH不能平分直線/,

.?.E"不是/的垂直平分線，故此選項錯誤；

故選：A.

【點評】本題主要考查了垂直平分線的性質和判定定理，熟練運用定理是解答此題的關鍵.

9.（2020?棗莊，T6,3分）如圖，在AABC中，的垂直平分線交于點。，交3。于

點E,連接AE.若BC=6,AC=5,則A4CE的周長為（）

A.8B.11C.16D.17

【考點】KG：線段垂直平分線的性質

【專題】551：線段、角、相交線與平行線；67：推理能力

【分析】在AABC中，的垂直平分線交于點O,交BC于點E,連接他.若BC=6,

AC=5,則&4CE的周長為

【解答】解：上垂直平分AB,

:.AE=BE，

.?.AACE的周長=AC+CE+AE

=AC+CE+BE

=AC+BC

=5+6

=11.

故選：B.

【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質：垂直平分線垂直且平分其所在線段；垂直平分

線上任意一點，到線段兩端點的距離相等.

10.（2020?綿陽，T7,3分）如圖，在四邊形438中，NA=NC=90°,DF//BC,ZABC

的平分線屏;交小于點G,GH上DF,點E恰好為DH的中點,若AE=3,CD=2,則

GH=()

A

H

A.1B.2C.3D.4

【考點】KF：角平分線的性質；KQ：勾股定理

【專題】66：運算能力；55E：解直角三角形及其應用

【分析】過七作交㈤于點N,可得￡7V_LG￡>,得到砌與GH平行，再由E

為770中點，得到〃G=2EN,同時得到四邊形NMC￡>為矩形，再由角平分線定理得到

AE=ME.進而求出aV的長.得到HG的長.

【解答】解：過E作EW_L8C,交FD于點、N,

DFIIBC，

s.ENLDF,

..EN//HG,

ENED

HGHD

E為HD中點,

ED1

HD2

FN1

——二—,即HG=2EN,

HG2

:.ZDNM="MC=NC=好，

二.四邊形NMC。為矩形,

:.MN=DC=2,

BE平分ZABC,EAA.AB,EM±BC,

:.EM=AE=3,

:.EN=EM-MN=3-2=1，

則"G=2&V=2.

故選：B.

A

H

E

BMC

【點評】此題考查了勾股定理，矩形的判定與性質，角平分線定理，以及平行得比例，熟練

掌握定理及性質是解本題的關鍵.

11.（2020?廣東深圳，T8,3分）如圖，在AABC中，AB=AC.AB.AC上分別截取AP,

AQ,使小丑.再分別以點尸，。為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在N8AC

內交于點R,作射線AR,交BC于點D.若BC=6,則%）的長為（）

【考點】N2：作圖-基本作圖；KH：等腰三角形的性質

【專題】67：推理能力；13：作圖題；554：等腰三角形與直角三角形

【分析】依據等腰三角形的性質，即可得到=進而得出結淪.

2

【解答】解：由題可得，4?平分44C,

又AB=AC,

二?AD是三角形A5C的中線，

/.BD=-5C=-x6=3,

22

故選：B.

【點評】本題主要考查了基本作圖以及等腰三角形的性質，等腰三角形的頂角平分線、底邊

上的中線、底邊上的高相互重合.

12.（2020?四川自貢，T9,4分）如圖，在RQABC中，N4C8=90。，ZA=50°,以點8

為圓心，BC長為半徑畫弧，交于點D,連接。），則N4CD的度數是（）

【考點】KH：等腰三角形的性質.

【專題】554：等腰三角形與直角三角形；66：運算能力.

【分析】根據三角形的內角和和等腰三角形的性質即可得到結論.

【解答】解：:在RtAABC中，/ACB=90。，NA=50。，

???NB=40。，

,:BC=BD,

：.ZBCD=ZBDC=-（180°-40°）=70°,

2

???ZACD=90°-70°=20°,

故選：D.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質，三角形的內角和定理，正確的理解題意是解題

的關鍵.

13.（2020?山東聊城，T3,3分）如圖，在AABC中，AB=AC,ZC=65°,點。是8。邊

上任意一點，過點D作DF//AB文AC于點E,則NFEC的度數是（）

A.120°B.130°C.145。D.150°

【考點】JA：平行線的性質：KJ：等腰三角形的判定與性質

【專題】554：等腰三角形與直角三角形；551：線段、角、相交線與平行線；67：推理能力

【分析】由等腰三角形的性質得出4=NC=65。，由平行線的性質得出NCDE=4=65。，

再由三角形的外角性質即可得出答案.

【解答】解：AB=AC,ZC=65°,

一NC-65。，

DF//AB,

"CDE=4B=6￡，

.Z/^C=NCDE+NC=65。+65°=130°；

故選：B.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質、平行線的性質以及三角形的外角性質；熟練掌握等

腰三角形的性質和平行線的性質是解題的關鍵.

14.（2020?山東臨沂，T5,3分）如圖，在A43C中，AB=AC,NA=40。，CD//AB,則

ZBCD=（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【考點】KHz等腰三角形的性質；JA：平行線的性質

【專題】554：等腰三角形與直角三角形；64：幾何直觀

【分析】根據等腰三角形的性質可求NAC8,再根據平行線的性質可求4CD.

【解答】解：在AABC'中，AB=AC,乙4=4（尸，

/.ZACB=700,

CD//AB,

.\ZACD=l80o-ZA=140°?

/BCD=ZACD-ZACB=70°.

故選：D.

【點評】考查了等腰三角形的性質，平行線的性質，關鍵是求出NAC8和NA8.

15.（2020?山東臨沂，TI4,3分）如圖，在O中，為直徑，NAOC=80°.點。為弦AC

的中點，點、E為BC上任意一點.則NCED的大小可能是（）

c

B

A.10°B.20°C.30°D.40°

【考點】"5：圓周角定理；M4：圓心角、弧、弦的關系

【專題】558：平移、旋轉與對稱；554：等腰三角形與直角三角形

【分析】連接O。、OE,設=則/。0￡=100。一不，ZZX9E=100°-x+40°,根

據等腰三角形的性質和三角形內角和定理求出N￡>￡O和NCEO,即可求出答案.

OC=OA,

.?.△O4C是等腰三角形，

點。為弦的中點，

ZDOC=40°,Z^OC=100°,

設4QE=x,則NCOE=100J,ZDG>E=100°-x+40°,

OC=OE,NCOE=100P-x,

ZOEC=AOCE=40°+-x,

2

OD<OE,ZZX>￡：=100o-x+40o=140o-x,

/.ZOFD<20°+-x,

2

:"CED=/OEC-ZOED>(40°+-x)-(20°+-x)=20°,

22

NCED〈ZABC=4O。,

20°<ZC￡D<40°

故選：C.

【點評】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關系，圓周角定理，等腰三角形的性質等知識點,

能求出NOEC和NQED的度數是解此題的關鍵.

1..(2020?廣西玉林?T9?3分)如圖是4,B,C三島的平面圖，。島在A島的北偏東35。

方向，8島在A島的北偏東80。方向，C島在8島的北偏西55。方向，則A,B,C三島組

成一個（）

北乎

A.等腰直角三角形B.等腰三角形

C.直角三角形D.等邊三角形

【考點】/，：方向角；KK：等邊三角形的性質；KWz等腰直角三角形

【專題】554：等腰三角形與直角三角形；67：推理能力；64：幾何直觀

【分析】如圖，過點C作CD//AE交4?于點O,可得=4c=35。，根據AE〃班

可得CD//8產，可得/BCD=NCBF=55。,進而得AABC是直角三角形.

【解答】解：如圖，過點C作CQ〃他交45于點O,

:.ZDCA=ZEAC=35°,

AE//BF,

:.CD//BF,

:."CD=NCB卜=55。,

ZACB=ZACD+ZB8=35。+55。=90°,

??.AA8C是直角三角形.

故選：C.

【點評】本題考查了直角三角形、方向角，解決本題的關鍵是掌握方向角定義.

1.（2020?湘西州，T6,4分）已知NAQ8,作NAO8的平分線OM,在射線QM上截取線

段OC,分別以O、C為圓心，大于‘OC的長為半徑畫弧，兩弧相交亍E,F.畫直線即，

2

分別交04于O,交OB于G.那么△（加?一定是（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.等腰三角形D.直角三角形

【考點】N2：作圖-基木作圖；KI：等腰三角形的判定

【專題】67：推理能力；554：等腰三角形與直角三角形

【分析】依據已知條件即可得到即可得到QD=OG,進而得出△8G是

等腰三角形.

【解答】解：如圖所示，平分NAO8,

ZAOC=ABOC,

由題可得，ZX；垂直平分OC,

NOED=ZOEG=909，

ZODE=ZOGE,

:.OD=OG,

.?.△8G是等腰三角形，

【點評】本題主要考查了基本作圖以及等腰三角形的判定，如果一個三角形有兩個角相等,

那么這兩個角所對的邊也相等.

1.（3分）（2020?遼陽）一個等腰直角三角尺和一把直尺按如圖所示的位置擺放，若Zl=20°,

則N2的度數是（）

A.15°B.20°C.25°D.40°

【考點】KW：等腰直角三角形：JA：平行線的性質

【專題】67：推理能力；554：等腰三角形與直角三角形

【分析】根據平行線的性質和等腰三角形的性質即可得到結論.

【解答】解：AB//CD,

.?.Z3=N1=2O°,

三角形是等腰直角三角形,

.\Z2=45O-Z3=25°,

【點評】本題考查了等腰直角三角形的性質，平行線的性質，熟練掌握平行線的性質是解題

的關鍵.

2.(2020湖南張家界,T7,3分)已知等腰三角形的兩邊長分別是一元二次方程f-6x+8=0

的兩根，則該等腰三角形的底邊長為()

A.2B.4C.8D.2或4

【考點】A8：解?元二次方程-因式分解法；K6：三角形三邊關系；KH：等腰三角形

的性質

【專題】11：計算題；66：運算能力

【分析】解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的邊長，用三角形存在的條件分類討論

邊長，即可得出答案.

2

【解答】解：x-6A+8=0

(x-4)(x-2)=0

解得：x=4或JV=2,

當等腰三角形的三邊為2,2,4時，不符合三角形三邊關系定理，此時不能組成三角形；

當等腰三角形的三邊為2,4,4時，符合三角形三邊關系定理，此時能組成三角形，此時三

角形的底邊長為2,

故選：A.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質，三角形的三邊關系，解一元二次方程，能求出方程

的解并能夠判斷三角形三邊存在的條件是解此題的關鍵.

3.1.（2020溫州T5,4分）如圖，在A4BC中，ZA=40°,AB=AC,點。在AC邊上,

以CB,8為邊作BCDE,則ZE的度數為（）

C.60°D.70°

【考點】KH：等腰三角形的性質；L5：平行四邊形的性質

【專題】555：多邊形與平行四邊形；554：等腰三角形與直角三角形；64：幾何直觀

【分析】根據等腰三角形的性質可求NC,再根據平行四邊形的性質可求NE.

【解答】解：在A48C中，Z4=40°,AB=AC,

ZC=（180°-40°）-4-2=70°,

四邊形BCDE是平行四邊形，

/.Z￡=70°.

故選：D.

【點評】考查了平行四邊形的性質，等腰三角形的性質，關鍵是求出NC的度數.

4.1.（2020安徽，T8,4分）如圖，RtAABC中，NC=90°,點。在AC上，ZDBC=ZA.若

4

AC=4,cos4=-,則8。的長度為（）

【考點】S9：相似三角形的判定與性質；77：解直角三角形

【專題】66：運算能力；67：推理能力；554：等腰三角形與直角三角形；55E：解直角三

角形及其應用

【分析】在AABC中，由三角函數求得再由勾股定理求得8C,最后在MCO中由三

角函數求得比＞.

4

【解答】解：ZC=90°,AC=4,cosA=-,

cosA

BC=y/AB2-AC2=3,

ZDBC=ZA.

BC4

cosZ.DBC-cosZA==—，

BD5

BD=3x-=—,

44

故選：C.

【點評】本題主要考查了勾股定理，解直角三角形的應用，關鍵是解直角三角形.

2.（2020福建，T3,4分）如圖，面積為1的等邊三角形ABC中，D,E,尸分別是

BC,C4的中點，則ADE廠的面積是（）

A

【考點】KX：三角形中位線定理：KK：等邊三角形的性質

【專題】67：推理能力；554：等腰三角形與直角三角形；552：三角形

【分析】根據三角形的中位線定理和相似三角形的判定和性質定理即可得到結論.

【解答】解：D,E,尸分別是AB,BC,C4的中點，

:.DE=-ACDF=-BC,EF=-AB,

2f22

DFEFDE1

~BC~~AB~~AC~2f

:2EFS^BC,

等邊三角形ABC的面積為1,

」.AD所的面積是4，

4

故選：D.

【點評】本題考查了三角形中位線定理，等邊三角形的性質，相似三角形的判定和性質，熟

練掌握三角形的中位線定理是解題的關鍵.

3.（2020福建，T5,4分）如圖，AD是等腰三角形ABC的頂角平分線，BD=5,則等

于（）

【考點】KH：等腰三角形的性質

【專題】64：幾何直觀；554：等腰三角形與直角三角形

【分析】根據等腰三角形三線合一的性質即可求解.

【解答】解：AD是等腰三角形ABC的頂角平分線，BD=5,

CD=5.

故選：B.

【點評】考查了等腰三角形的性質，等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高

相互重合.

5.I.（2020湖南懷化，T7,4分）在RsABC中，N8=90。，AD平分N84C,交8C于

點O,OEJLAC,垂足為點E,若BO=3,則的長為（）

2

【考點】KF：角平分線的性質.

【專題】551：線段、角、相交線與平行線；552：三角形；67：推理能力.

【分析】根據角平分線的性質即可求得.

【解答】解：???NB=90。，

又??'AD平分NBAC,DELAC.

???由角平分線的性質得DE=BE=3,

故選：A.

【點評】本題考查了角平分線的性質，熟練掌握角平分線的性質定理是解題關鍵

1.（2020?荊門?T6?3分）AAHCN，A/i=ACN44C=120°,6c=20,。為AC的

中點，則AE8D的面積為（）

4

C.TD.T

【考點】KH：等腰三角形的性質；KO：含30度角的直角三角形

【專?題】554：等腰三角形與直角三角形；67：推理能力

【分析】連接4力,作火1y于尸.根據二線合一得到4。垂直干RC./VT為角平分線.

以及底角的度數，在直角三角形題中，利用三角函數求得然后利用30角所對的直

角邊等于斜邊的一半得到AD的長，再利用三角形相似求出互'的長，根據三角形面積公式

求得結果.

【解答】解：連接AD,作EF_LBC于尸，

AB=AC,ZfiAC=120°,。為3C的中點，

:.AD±BC,A￡>平分ZBAC,Zfi=ZC=30°

在RtAABD中，BD==BC=6,ZB=30°,

2

2

/.AD=-AB=i,

2

AE=-AB,

4

BE3

/.1=一，

AB4

EF上BC,ADIBC,

s.EFUAD,

:ZEFSMAD,

.EF_BE

"'AD=~AB'

【點評】此題考查了含30度直角三角形的性質，等腰三角形的性質，三角形相似的判定和

性質，熟練掌握性質是解木題的美鍵.

6.1.（2020江蘇常州，T7,2分）如圖，45是O的弦，點C是優(yōu)弧上的動點（C不

與A、B重合），CHLAB,垂足為“，點M是BC的中點.若。的半徑是3,則長

的最大值是（）

A.3B.4C.5D.6

【考點】KP：直角三角形斜邊上的中線

【專題】554：等腰三角形與直角三角形；67：推理能力

【分析】根據直角三角形斜邊中線的性質以及直徑是圓中最大的弦，即可求得的最大

值是3.

【解答】解：CH_LAB,垂足為"，

NC77B=90°,

點M是8c的中點.

2

BC的最大值是直徑的長，。的半徑是3,

??.M”的最大值為3,

故選：A.

【點評】本題考查了直角三角形斜邊直線的性質，明確AC的最大值為。的直徑的長是解

題的關鍵.

7.2.（2020?煙臺T7.3分）如圖，△04,4為等腰直角三角形，燃=1，以斜邊。人為直

角邊作等腰直角三角形。44,再以外為直角邊作等腰直角三角形…，按此規(guī)律

【考點】KQ：勾股定理；KW：等腰直角三角形；38：規(guī)律型：圖形的變化類

【專題】64：幾何直觀；554：等腰三角形與直角三角形

【分析】利用等腰直角三角形的性質以及勾股定理分別求出各邊長，依據規(guī)律即可得出答案.

【解答】解：△34為等腰直角三角形，。4=1，

O4=應：

△O44為等腰直角三角形，

.?.。4=2=（揚2；

△O&A4為等腰直角三角形，

:.0%=2近=@）L

△。4人為等腰直角三角形，

.?.04=4=（揚九

的長度為（女尸.

故選：B.

【點評】此題主要考查了等腰直隹三角形的性質以及勾股定理，熟練應用勾股定理得出是解

題關鍵.

8.1.（2020貴州畢節(jié)，T9,3分）己知等腰三角形兩邊的長分別為3和7,則此等腰三角

形的周長為（）

A.13B.17C.13或17D.13或10

【考點】KH：等腰三角形的性質；K6：三角形三邊關系

【專題】64：幾何直觀；554：等腰三角形與直角三角形；32：分類討論

【分析】等腰三角形兩邊的長為3和7,具體哪條是底邊，哪條是腰沒有明確說明，因此要

分兩種情況討論.

【解答】解：①當腰是3,底邊是7時，不滿足三角形的三邊關系，因此舍去.

②當底邊是3,腰長是7時，能構成三角形，貝IJ其周長=3+7+7=17.

故選：B.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系，解題時注意：若沒有明確腰和

底邊，則一定要分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形，這是解題的關鍵.

2.（2020貴州畢節(jié)，T15,3分）如圖，在一個寬度為A8長的小巷內，一個梯子的長為a,

梯子的底端位于回上的點P,將該梯子的頂端放于巷子一側墻上的點C處，點。到"的

距離為力，梯子的傾斜角NBPC為45。；將該梯子的頂端放于另一側墻上的點。處，點O

到A8的距離4）為c,且此時梯子的傾斜角NAPD為75。，則AB的長等于（）

【考點】KD：全等三角形的判定與性質

【專題】554：等腰三角形與直角三角形；553：圖形的全等；556：矩形菱形正方形；67：

推理能力

【分析】過點C作CE_LAO于E,則四邊形A8CE是矩形，得出A5=CE,易證ACPD是

等邊三角形，得CD=DP,NPDC=3,由A4S證得=AAPQ,得出CE=4O,即

可得出結果.

【解答】解：過點。作CE_L4力于E,如圖所示:

則四邊形48CE是矩形，

:.AB=CE,ZCED=ZDAP=9(y,

ZBPC=45°,ZAPD=150>

Z.CPD=1800-45o-75o=60°,

CP=DP=a，

「.△CP。是等邊三角形，

:.CD=DP,NPDC=60°,

ZAnP=90o-75°=15°,

.?.Z￡ZX?=15°+60o=75°,

:.ZEDC=ZAPD,

在AEDC和AATO中，

NCED=NDAP

<NEDC=ZAPD,

CD=DP

:.^EDC=^APD(AAS),

:.CE=AD?

:.AB=AD=Cf

【點評】本題考查了矩形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性

質等知識；熟練掌握矩形的判定與性質和全等三角形的判定與性質是解題的關鍵.

1.（2020益陽，T10,4分）如圖，在矩形ABCD中，七是DC上的一點，是等邊三

角形，4c交班于點尸，則下列結論不成立的是（）

DE

A.ZZME=30°B.ABAC=45°C.—=-D.—=—

FB2AB2

【考點】S9：相似三角形的判定與性質；KK：等邊三角形的性質；LB：矩形的性質

【專題】554：等腰三角形與直角三角形；556：矩形菱形正方形；553：圖形的全等；55D：

圖形的相似；67：推理能力

【分析】由矩形的性質和等邊三角形的性質可得==ZE4B=ZEE4=60°,

AD=BC,ZDAB=ZCBA=90°,AB!/CD,AB=CD,可得=NCBE=30°,由銳

角三角函數可求COSNDAC=3=42=42,由可證.?.MOEwMC,可得

2AEAB

DE=CE=-CD=-AB,通過證明/SACM,可得C￡=竺=」，通過排除法可求解.

22ABBF2

【解答】解：四邊形AACD是矩形，A4BE是等邊三角形，

:.AB=AE=BE,NEAB=NEBA=3,AD=BC,ZZMB=ZCRA=90°,AB//CD,

AB=CD,

:.ZDAE=ZCBE=3(r,故選項A不合題意，

.-.coszmc=^=—=—,故選項。不合題意,

2AEAB

在AAZ汨和MCE中，

AD=BC

<ZDAE=4CBE,

AE=BE

:.^ADE=^BCE(SAS),

:.DE=CE=-CD=-AB

22f

AB//CD,

:.^ABFsACEF,

.故選項C不合題意，

ABBF2

故選：B.

【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，矩形的性質，全等三角

形的判定和性質，熟練運用這些性質進行推理是木題的關鍵.

3.（2020甘肅金昌，T8,3分）如圖所示的木制活動衣帽架是由三個全等的菱形構成，根

據實際需要可以調節(jié)AE間的距離.若AE間的距離調節(jié)到60c利，菱形的邊長A8=20cm,

則NZMB的度數是（）

B

A.90。R.1000C.120。D.150°

【考點】L8：菱形的性質；K9：全等圖形

【專題】64：幾何直觀；556：矩形菱形正方形

【分析】連結他，根據全等的性質可得AC=20cm,根據菱形的性質和等邊三角形的判定

可得A4C8是等邊三角形，再根據等邊三角形和菱形的性質即可求解.

【解答】解：連結AE,

他間的距離調節(jié)到6（勸〃，木制活動衣帽架是由三個全等的菱形構成，

/.AC=20皿，

菱形的邊長=20cm,

/.AB=BC=2dcm，

AC=AB=BC，

.?.AAC8是等邊三角形，

.,.N8=60°,

..ZZMB=120°.

故選：C.

B

【點評】考杳了菱形的性質，全等圖形，等邊三角形的判定與性質，解題的關鍵是得到A4CB

是等邊三角形

二、填空題

1.（2020黑龍江牡丹江，T8,3分）如圖，在RtAABC中，CA=CB,M是45的中點，點

。在5M上，AELCD,BFLCD,垂足分別為E,F,連接EA/.則下列結論中：

①RF=CE：

②Z4￡iVf=ZDfiV/；

?AE-CE=y/2ME；

@DE2+DF2=2DM2；

⑤若他平分ZaAC,則律：8尸=0:1；

?CFDM=BMDE,

正確的有①②③@（⑤⑥.（只填序號）

【考點】S9：相似三角形的判定與性質；KQ：勾股定理；KJ：等腰三角形的判定與性質;

KW：等腰直角三角形；KD：全等三角形的判定與性質；KF：角平分線的性質

【專題】16：壓軸題；64：幾何直觀

【分析】證明ABC尸二△C4E,得至l」M=CE,可判斷①；再證明A23FM二△CKW,從而判

斷AEW/為等腰直角三角形，得至1］律=拉用以，可判斷③，同時得至ij4WEF=4/莊=45。，

可判斷②；再證明ADEW蘭NVEM,得到ADMN為等腰直角三角形，得到ON=VI,DM,

可判斷④；根據角平分線的定義可逐步推斷出再證明AAZ把二AACE,得到

DE=CE,則有空=空=絲=叵乜■=庭,從而判斷⑤；最后證明AaWsADE,得

BFCEDEDE

到位=也，結合=AE二CF,可判斷⑥.

AEDE

【解答】解：ZAC8=90°,

:.ZBCF+ZACE=90°,

ZBCF+ZCBF=90°,

ZACE=ZCBF,

又NWD=90°=NA￡C,AC=BC,

.\ABCF^ACAE(AAS),

:.BF=CE,故①正確；

由全等可得：AE=CF,BF=CE,

:.AE-CE=CF=CE=EF,

連接產M,CM,

點M是AB中點，

:.CM=-AB=BM=AM,CMLAB,

2

在MQP和ACnV/中，NBFD=/CMD,ZBDF=Z.CDM,

"DBF=/DCM,

又BM=CM,BF=CE,

^^CEM(SAS),

:.卜M=EM,"Mk=NCME,

NBMC=90。，

/.Z￡MF=90°,即為等腰直角三角形，

;.EF=?EM=AE-CE,故③正確，NMEF=NMFE=45。,

ZA￡C=90°,

ZMEF=ZAEM=45°,故②正確，

設AE與CM交于點N,連接ON,

ZDMF=/LNME,FM=EM,4DFM=/DEM=NAEM=45。，

:.△DFMwANEM(ASA),

;.DF=EN,DM=MN,

.?.ADMV為等腰直角三角形，

:.DN=y/2DM,而“￡4=90°,

/.DE2+DF2=DN2=2DM2,故④正確：

AC=BC,ZACB=90°,

:.ZCAB=45°,

AE平分4AC,

ZDAE=ZCAE=22.5°,ZADE=67.5°,

ZDEW=45°,

ZEMD=67.50,即DE=EM,

AF=AF,/AED=/AEC.7DAF：=/CAE,

:.^ADE=^ACE(ASA),

DE=CE?

NVffiF為等腰直角三角形，

EF=應EM,

EFEFEFyflEMr-缶3Tm.

—=——=—=--------=x/2,故⑤正確；

BFCEDEDE

NCDM=ZADE,NCMD=ZAED=90。,

:.ACDMSADE,

?_C_D=_C_M_=_D_M_

~i\D~~AE~~DE，

BM=CM,AE=CF,

BMDM

-----=------，

CFDE

:.CFDM=BMDE,故⑥正確；

故答案為：①②③??⑥.

B

F

【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，等腰直角三角形

的判定和性質，等量代換，難度較大，解題的關鍵是添加輔助線，找到全等三角形說明角相

等和線段相等.

2.（2020?眉山，T17.4分）如圖.等腰A40C中，AR=AC=\O.邊AC的垂直平分線交AC

于點。，交AC于點E.若AABZ）的周長為26,則DE的長為—.

一4-

A

BDC

【考點】KH：等腰三角形的性質；KG：線段垂直平分線的性質

【專題】554：等腰三角形與直角三角形；67：推理能力

【分析】根據即意求得BC=16,作AMJL8C于M,根據等腰三角形的性質得到8"=8,

根據勾股定理求得AM,根據線段垂直平分線的性質得出AWC是等腰三角形，易證得

△ABCS&MC,根據相似二角形對應高的比等于相似比，即可求得上

【解答】解：邊AC的垂直平分線交8c于點。，交AC于點E,

.?.ZAED=90°,AE=CE=-AC=-xl0=5,AD=CD,

22

.-.zmc=zc,

4曲的周長為26,

:.AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=26,

AB=AC=10,

.-.BC=16,4=NC,

:.ZB=ZDAC,

..^ABC^^DAC,

AM_BC

DE=7CJ

作AW_L8C于M,

AB=AC,

:.BM==BC=8,

2

AM=>JAB2-BM2=71O2-82=6,

616

---=--,

DE10

故答案為*

【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，三角形相似的判定和性質,

根據三角形周長求得8C的長是解題的關鍵.

3.（2020湖北黃岡，T12,3分）已知：如圖，在AABC中，點。在邊8C上，AB=AD=DC,

NC=35。，則ZE4P=40度.

【考點】KH：等腰三角形的性質

【專題】554：等腰三角形與直角三角形；66：