高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講第27講橢圓（講義）

第27講橢圓

學(xué)校姓名班級

一、知識梳理

如果R,凡是平面內(nèi)的兩個定點，a是一個常數(shù)，且2a>歷&,則平面內(nèi)滿足」依|+

|/^|=2a的動點尸的軌跡稱為橢圓,其中兩個定點內(nèi)，片稱為橢圓的焦點,兩個焦點之

間的距離I￡&稱為橢圓的隹距.

其數(shù)學(xué)表達式：集合｛川陽|+|房|=2同，|^|=2c,其中蘇>0,c>0,且a,c

為常數(shù)：

(1)若a>c,則點尸的軌跡為橢圓；

(2)若a=c,則點尸的軌跡為線段；

(3)若aVc,則點尸的軌跡不存在.

予+,=1(a〉力>0)

標(biāo)準(zhǔn)方程了+度l(a>b>0)

圖形一村

B^jB2x

一aW啟a一b0gb

范圍

_bWy^b-

對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸；對稱中心：原點

4(—a,0),A(a,0),8(0,一Ai(0,—a),4(0,a),5(—6,

頂點

6),民(0,6)0),慶(b,0)

性

軸長軸44的長為山；短軸笈民的長為%

質(zhì)

焦距1￡&=全

離心率e=-e(0,1)

a

a,b,c的關(guān)系公才-一

二、考點和典型例題

1、橢圓的定義及應(yīng)用

【典例1-1】已知尸尸2是兩個定點，且田馬=射(。是正常數(shù))，動點尸滿足

歸耳|+歸段="+1,則動點尸的軌跡是()

A.橢圓B.線段C.橢圓或線段D.直線

【典例1-2】己知橢圓的兩個焦點為石，F(xiàn)?,過鳥的直線交橢圓于M,N兩

43

點，若的周長為（）

A.2B.4C.6D.8

【典例1-3】己知橢圓C:5+/=l（a>b>0）的兩個焦點分別為6,鳥,戶是橢圓上一點,

|P￡|+|P段=10,且離心率為手，則橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

22222022

A.工+:1B.上+上=1C.二二=1[).三+二=1

2510252030204530

【典例1-4】已知橢圓￡+

士=1的左、右焦點分別為6,工，點”在橢圓上，若IMfJ=4,

92

則/片“鳥=（)

A.30°B.60°C.120°D.150°

【典例1-5】已知點P在橢圓3+[=1上,片與尸2分別為左、右焦點，若/耳尸片=與

16

則△匕夕亮的面積為（)

A.40B.6y/3C.8?D.13/

2、橢圓的簡單幾何性質(zhì)

【典例2-1】橢圓5+￡=1的左右焦點分別為耳巴，右頂點為8,點A在橢圓上，滿足

a~b~

^AF2=ZABF2=6^則橢圓的離心率為（）

A.立B.V13-3

2

C.2癢3D.6-1

【典例2-2】橢圓G：寸+f=i與雙曲線Cv￡-4=1的離心率之積為1,則雙曲線

43a2b~

G的兩條漸近線的傾斜角分別為（）

nnc兀兀八九5兀c7127r

A.--B.--C.—D.—

66336633

22

【典例2-3】已知點人4為橢圓E:*■+表■=l（a>b>0）的長軸頂點，尸為橢圓上一點，

若直線用，陽的斜率之積的范圍為卜小-弓），則橢圓E的離心率的取值范圍是

【典例2-4】已知雙曲線f一￡=1的左、右頂點為A,B,焦點在y軸上的橢圓以A,B

4

為頂點，且離心率為無，過A作斜率為左的直線/交雙曲線于另一點M,交橢圓于另一

2

點N,若AN=2NM,則％的值為（）

A.土空B.土邁C.±立D.±1

353

【典例2-5】己知橢圓±匚+￡=1的左、右焦點分別為七、尸2,第一象限內(nèi)的點〃在橢

253

圓上，且滿足MK_LM瑪，點N在線段石、工上，設(shè)a=翩，將沿MN翻折，

使得平面MN￡與平面”明垂直，要使翻折后忻周的長度最小，則4=（）

39

A.B.2C.1D.

24

3、橢圓的綜合應(yīng)用

【典例3-1］（多選）已知橢圓C：（+￡=l的左，右焦點分別為品鳥，橢圓的上頂點和

右頂點分別為力，B.若P,0兩點都在橢圓C上，且P,。關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，則

（）

A.|圖I的最大值為而

B.IPZI+IQ用為定值

C.橢圓上不存在點也使得

D.若點尸在第一象限，則四邊形加切面積的最大值為2指

【典例3-2】（多選）過橢圓1+1=1的中心任作一直線交橢圓于尸，0兩點，耳，人是

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橢圓的左、右焦點，48是橢圓的左、右頂點，則下列說法正確的是（)

A.PQK周長的最小值為18

B.四邊形尸ZQE可能為矩形

~92"|QO-

C.若直線砌斜率的取值范圍是，則直線加斜率的取值范圍是—

I）.兩尸8的最小值為-1

【典例3-3】（多選）已知橢圓c：二+工=1的左，右焦點分別為耳,鳥，43兩點都在。

上，且48關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，則（

A.IA例的最大值為2c|A用+|%|為定值

C.。的焦距是短軸長的2倍存在點兒使得A4_L4E

【典例3-4】已知橢圓C:1+]=l（a>b>0）的兩焦點分別為kTO）和鳥（L。），短軸

的一個端點為（0，"）.

⑴求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；

（2）橢圓。上是否存在一點R