2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)同步試題（人教A版2019）重難點02 數(shù)列求和（七大題型）

重難點02數(shù)列求和【題型歸納目錄】題型1：公式法題型2：錯位相減法題型3：分組求和法題型4：裂項相消法題型5：倒序相加法題型6：并項求和題型7：數(shù)列奇偶項求和【方法技巧總結(jié)】一．公式法（1）等差數(shù)列的前n項和，推導(dǎo)方法：倒序相加法．（2）等比數(shù)列的前n項和，推導(dǎo)方法：乘公比，錯位相減法．（3）一些常見的數(shù)列的前n項和：①；②；③；=4\*GB3④二．幾種數(shù)列求和的常用方法（1）分組轉(zhuǎn)化求和法：一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數(shù)列組成的，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．（2）裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得前n項和．（3）錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么求這個數(shù)列的前項和即可用錯位相減法求解．（4）倒序相加法：如果一個數(shù)列與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前項和即可用倒序相加法求解．三．常見的裂項技巧積累裂項模型1：等差型（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）積累裂項模型2：根式型（1）（2）（3）（4）（5）（6）積累裂項模型3：指數(shù)型（1）（2）（3）（4）（5）（6），設(shè)，易得，于是（7）積累裂項模型4：對數(shù)型積累裂項模型5：三角型（1）（2）（3）（4），則【典例例題】題型1：公式法【典例1-1】已知等差數(shù)列中，，．（1）求的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和．【解析】解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由題意得解得，，的通項公式為．（2）由得，是首項為，公比的等比數(shù)列．．【典例1-2】（2024·陜西·石泉縣江南高級中學(xué)高二期中）在數(shù)列中，a1＝1，an＝2an﹣1+n﹣2（n≥2）．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn．【解析】（1）明：因為＝，數(shù)列{an+n}是首項為a1+1＝2，公比為2的等比數(shù)列，那么，即．（2）由（1）知，＝＝【變式1-1】（2024·西藏·林芝市第二高級中學(xué)高二期中）在等比數(shù)列中，，．(1)求；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和．【解析】（1）設(shè)的公比為，依題意得，解得，因此．（2）∵，∴數(shù)列是首項為0，公差為1的等差數(shù)列，故其前項和．題型2：錯位相減法【典例2-1】（2024·高三·河南許昌·期中）已知數(shù)列的前n項和為，且，.(1)求實數(shù)的值和數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和.【解析】（1）當(dāng)時，，又，則，所以；當(dāng)時，，整理得，因此數(shù)列是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）知，，則，于是，兩式相減得，所以.【典例2-2】（2024·高三·湖南·期中）記首項為1的數(shù)列的前項和為，且.(1)探究數(shù)列是否為單調(diào)數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和.【解析】（1）由題意得，當(dāng)時，，兩式作差得，所以，則數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，無單調(diào)性，故數(shù)列不是單調(diào)數(shù)列.（2）由（1）可得，所以，故．所以，①，②①-②得所以【變式2-1】（2024·高三·河南南陽·期中）設(shè)數(shù)列是首項為1的等比數(shù)列，已知成等差數(shù)列，數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)記和分別為數(shù)列和的前項和，證明：.【解析】（1）因為是首項為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，設(shè)的公比為，由，可得，解得：或（舍去）.故，.（2）由（1）可得.數(shù)列的前項和，①則.②由①②得，即.由，可得，得證.【變式2-2】（2024·高三·山西太原·期中）已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列滿足，.(1)求的通項公式；(2)設(shè)（），是數(shù)列的前n項和，若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）設(shè)的公比為q，則，解得或（舍去），∴（）；（2）由（1）可得（），∴，①∴，②①－②，整理得，所以對于任意的，不等式恒成立，即不等式對于任意的恒成立，∴，解得，∴實數(shù)的取值范圍是.題型3：分組求和法【典例3-1】（2024·高二·上?！るA段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和為，，且，數(shù)列為等比數(shù)列，公比為2，且．(1)求數(shù)列與的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．【解析】（1）設(shè)的公差為，因為，所以，又，則，故，所以；因為，，所以，解得，所以.（2）結(jié)合（1）可得：.【典例3-2】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，.(1)令，證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和.【解析】（1）因為.又，故數(shù)列是首項為1，公比為3的等比數(shù)列.（2）由（1）有，可得，所以有.【變式3-1】（2024·高二·湖南長沙·期中）已知公差不為零的等差數(shù)列的前n項和為，若，且，，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和.【解析】（1）根據(jù)為等差數(shù)列，設(shè)公差為.，即①，，，成等比數(shù)列∴，②，由①②解得：，數(shù)列的通項公式為.（2）由，數(shù)列的前n項和.題型4：裂項相消法【典例4-1】（河北省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高三12月階段性測數(shù)學(xué)試卷）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，故.（2）因為，因此，.【典例4-2】（東三省2023-2024學(xué)年高三12月調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列的首項為1，其前項和為，等比數(shù)列是首項為1的遞增數(shù)列，若．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)證明：；(3)求使得成立的最大整數(shù)．【解析】（1）因為，所以當(dāng)時，，作差得，兩邊同時除以得，又，所以，得，所以，故對，所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，則．設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，所以由，或又因以數(shù)列是遞增數(shù)列，所以．（2）因為，所以．（3）由（1）知，即，令，則，，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即有，，又，故當(dāng)時，，所以，，又，所以，當(dāng)時，，故使得成立的最大整數(shù)為6．【變式4-1】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列，，且，，為等差數(shù)列.(1)求的通項公式；(2)若對任意正整數(shù)，都有，求的取值范圍.【解析】（1）因為，，則，，可知等差數(shù)列的首項為1，公差，則，即當(dāng)時，，且符合上式，所以，.（2）由（1）可知：，則.由題可知，所以的取值范圍是.【變式4-2】（江蘇省“決勝新高考”2024屆高三12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷）記為數(shù)列的前項和，且．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和；(3)數(shù)列的前n項和為，且，求證：．【解析】（1）證明：當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，即，而，所以數(shù)列成首項為3，公比為的等比數(shù)列，（2）由（1）知，，則，由，所以，則，設(shè)前n項和記為，所以①，則②，①②得，則，即數(shù)列的前n項和為.（3）證明：由（2）知，，則，所以所以，因為，所以．【變式4-3】（2024·高三·天津河?xùn)|·階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，、、成等差數(shù)列，且滿足，等差數(shù)列數(shù)列的前項和，，．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)設(shè)，，的前項和，求．【解析】（1）由題，設(shè)數(shù)列的公比為，的公差為，由，即，解得，所以，，又，即，解得，所以，．所以數(shù)列的通項公式為，數(shù)列的通項公式為．（2）由（1）得，所以.題型5：倒序相加法【典例5-1】（2024·高三·山東濟寧·階段練習(xí)）定義在上的函數(shù)滿足是奇函數(shù)，若數(shù)列的項滿足：，則數(shù)列的通項公式為．【答案】【解析】由條件可知，，即，所以，，兩式相加得，即，則.故答案為：【典例5-2】（2024·高三·山東濟寧·期中）已知函數(shù)，，則的對稱中心為；若（），則數(shù)列的通項公式為．【答案】【解析】函數(shù)的定義域為R，，由，得，則，因此函數(shù)圖象的對稱中心是；由，得，當(dāng)時，，，，于是，即，所以數(shù)列的通項公式為.故答案為：；【變式5-1】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）德國大數(shù)學(xué)家高斯年少成名，被譽為數(shù)學(xué)王子．他年幼時，在的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對應(yīng)項的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律而生成．此方法也稱為高斯算法．現(xiàn)有函數(shù)，設(shè)數(shù)列滿足，若存在使不等式成立，則的取值范圍是．【答案】【解析】因為，所以的圖象關(guān)于點中心對稱．因為，所以，兩式相加得，所以．由，得，所以．令，則當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增．又，所以，所以，即的取值范圍是．故答案為：【變式5-2】（2024·上海寶山·一模）已知函數(shù)，正項等比數(shù)列滿足，則【答案】【解析】函數(shù)，可看成向左平移1個單位，向上平移1個單位得到,因為的對稱中心為，所以的對稱中心為，所以，因為正項等比數(shù)列滿足，所以，所以，所以，①，②，則①②相加得：即，所以.故答案為：.【變式5-3】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知正數(shù)數(shù)列是公比不等于1的等比數(shù)列，且，試用推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和的方法探求：若，則.【答案】4038【解析】正數(shù)數(shù)列是公比不等于1的等比數(shù)列，，則，由，當(dāng)時，，于是，令，則因此，所以.故答案為：4038題型6：并項求和【典例6-1】（2024·高二·廣東東莞·期中）已知公差的等差數(shù)列滿足，成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求【解析】（1）由題設(shè)，因為成等比數(shù)列，即，所以，由，可解得所以（2）因為，所以.【典例6-2】（2024·高二·重慶·期中）已知數(shù)列的前項和滿足：,．(1)求；(2)若，求的前項和．【解析】（1）因為數(shù)列的前項和滿足：，則，則，可得，當(dāng)時，由可得，上述兩個等式作差可得，可得，令，可得，則，解得，所以，，且，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，首項為，公比為，所以，，故.（2）因為，對任意的，，問題轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的前項和，記數(shù)列的前項和為，，則，上式下式得，化簡得，因此，.【變式6-1】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）在①數(shù)列為等差數(shù)列，且；②，；③正項數(shù)列滿足這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并給出解答.問題：已知數(shù)列的前項和為，且__________.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列的前項和為，求.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【解析】（1）若選①，因為為等差數(shù)列，令，則，所以公差，所以等差數(shù)列的通項公式為；若選②，當(dāng)時，，因此，即，所以為常數(shù)列，因此，所以；若選③，當(dāng)時，，即.又因為，所以.當(dāng)時，有，，所以，即.又因為，所以，所以是以2為公差的等差數(shù)列，所以.（2）若選①，由（1）可知，；若選②，由（1）可知，；若選③，由（1）可知，.【變式6-2】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若滿足，．設(shè)為數(shù)列的前n項和，求．【解析】（1）因為，，所以當(dāng)時，，則，即，當(dāng)時，也成立，所以．（2）由（1），，則，則．【變式6-3】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項和，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.【解析】（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，.也滿足，故數(shù)列的通項公式為.（2）當(dāng)為偶數(shù)時，.當(dāng)為奇數(shù)時，.綜上，題型7：數(shù)列奇偶項求和【典例7-1】（2024·高三·天津南開·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列前項和為，數(shù)列是等比數(shù)列，，.(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)對任意的正整數(shù)，設(shè)記數(shù)列的前項和為，求.(3)設(shè)，若對任意的，都有.成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）設(shè)的公差為d，的公比為q．則，∴∴；（2）由（1）知，所以，所以，令，，兩式相減可得：，所以，令，所以，（3），所以，由恒成立可得：恒成立，即求當(dāng)時的最小值，對于，顯然當(dāng)遞增，當(dāng)時取最小15，令，則，顯然當(dāng)時，，即當(dāng)時取最大為，所以的最小值為11，所以，所以實數(shù)的取值范圍是【典例7-2】（2024·高三·河北邢臺·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，，，等差數(shù)列的前項和為，，.(1)求和的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.【解析】（1）因為，①所以當(dāng)時，，又，所以.當(dāng)時，，②①式減去②式得，所以.又，，所以，，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以.設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，，可得，解得，所以，即的通項公式為.（2）因為，設(shè)數(shù)列的前項和為，則，，因此，.【變式7-1】（2024·高三·廣東深圳·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，(1)記，寫出，，并證明數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求的前項和．【解析】（1）顯然為偶數(shù)，則，．所以，即．且．所以是以5為首項，2為公比的等比數(shù)列，于是，，．（2）記，則從而數(shù)列的前項和為：【變式7-2】（2024·高三·黑龍江大慶·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，且滿足.(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;(2)已知，求數(shù)列的前2n項和.【解析】（1）當(dāng)n=1時，，解得，當(dāng)時，由，可得，兩式相減得，所以，又因為，所以是首項為，公比為2的等比數(shù)列.（2）由（1）可知，所以，設(shè)數(shù)列的前項和為，所以，即，令，知，，，作差得，化簡，所以【變式7-3】（2024·高二·遼寧大連·期末）已知正項數(shù)列的前項和為，且滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若的前項和為，求.【解析】（1）因為①，時，②，①-②整理得，數(shù)列是正項數(shù)列，，當(dāng)時，，，數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，；（2）由題意知，設(shè)的前項中奇數(shù)項的和為，偶數(shù)項的和為，，，.【變式7-4】（2024·高三·內(nèi)蒙古包頭·開學(xué)考試）已知正項數(shù)列的前n項和為，且．(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前2n項和．【解析】（1）依題意，，，當(dāng)時，，解得，（舍去）.當(dāng)時，由得，兩式相減得，即，由于，所以，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以（也符合）.（2）