2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步試題（人教A版2019）1．4 充分條件與必要條件（五大題型）

1．4充分條件與必要條件目錄TOC\o"1-2"\h\z\u【題型歸納】 2題型一：充分條件與必要條件的判斷 2題型二：根據(jù)充分條件求參數(shù)取值范圍 3題型三：根據(jù)必要條件求參數(shù)取值范圍 4題型四：根據(jù)充要條件求參數(shù)取值范圍 5題型五：充要條件的證明 6【重難點集訓(xùn)】 8【高考真題】 14【題型歸納】題型一：充分條件與必要條件的判斷1．（2024·山西朔州·模擬預(yù)測）設(shè)，則“且”是“”的（

）.A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若且，則，即充分性成立；若，例如，滿足，但不滿足且，即必要性不成立；綜上所述：“且”是“”的充分不必要條件.故選：A.2．（2024·高二·福建龍巖·階段練習(xí)）下列不等式中，可以作為的一個必要不充分條件的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】對于A，是的不充分不必要條件，A不是；對于B，是的一個必要不充分條件，B是；對于C，是的一個充分不必要條件，C不是；對于D，是的一個充分不必要條件，D不是.故選：B3．（2024·高二·黑龍江·期末）褐馬雞，屬于馬雞的一種，是中國特產(chǎn)珍稀的鳥類.若甲是一只鳥，則“甲是馬雞”是“甲是褐馬雞”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由“甲是馬雞”不能推出“甲是褐馬雞”，由“甲是褐馬雞”可推出“甲是馬雞”，所以“甲是馬雞”是“甲是褐馬雞”的必要不充分條件.故選：B4．（多選題）（2024·高一·浙江溫州·階段練習(xí)）已知是的充分不必要條件，是的充分條件，是的必要條件，是的必要條件，下列命題正確的是（

）A．是的充要條件 B．是的充分不必要條件C．是的必要不充分條件 D．是的充分不必要條件【答案】AB【解析】根據(jù)條件弄清楚之間的關(guān)系，然后逐一判斷即可.由已知有所以且，故A正確，C不正確，B正確，且，D不正確故選：AB題型二：根據(jù)充分條件求參數(shù)取值范圍5．（2024·高一·江蘇徐州·期末）已知集合，.(1)求的真子集；(2)若______，求實數(shù)的取值集合.從以下兩個條件中任選一個補(bǔ)充在橫線上，并進(jìn)行解答.①“”是“”的充分條件；②.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【解析】（1），所以集合的真子集有；（2）選①，因為“”是“”的充分條件，所以，當(dāng)時，，符合題意，當(dāng)時，，因為，所以或，所以或，綜上所述，實數(shù)的取值集合為.選②，因為，所以，當(dāng)時，，符合題意，當(dāng)時，，因為，所以或，所以或，綜上所述，實數(shù)的取值集合為.6．（2024·高一·上海·課堂例題）設(shè)α:，，是的充分條件，求實數(shù)的取值范圍.【解析】因為α:，，是的充分條件，所以，則.所以實數(shù)的取值范圍mm≥4.7．（2024·高一·山東濟(jì)南·期末）已知集合.(1)若，求；(2)若是的充分不必要條件，求的取值范圍.【解析】（1）解可得，故可知，當(dāng)時，，所以，；（2）因為是的充分不必要條件，所以?，則，解得.題型三：根據(jù)必要條件求參數(shù)取值范圍8．（2024·高一·河北衡水·開學(xué)考試）已知集合.(1)若，求；(2)若“”是“”成立的必要條件，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因為當(dāng)時，，所以.（2）因為“”是“”成立的必要條件，所以，當(dāng)時，，，滿足；當(dāng)時，，因為，所以解得；綜上，實數(shù)的取值范圍為或.9．（2024·高一·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知集合，.(1)當(dāng)時，求；(2)若“”是“”必要不充分條件，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）時，，，故或x>5，故或x>5；（2）“”是“”必要不充分條件，故是的真子集，，，故，解得，故實數(shù)的取值范圍是10．（2024·高一·內(nèi)蒙古赤峰·期中）已知集合或，.(1)若，求，；(2)若“”是“”的必要不充分條件，求的取值范圍.【解析】（1）時，，故或x≥4，，或，故；（2）由題意得是的真子集，若，則，解得，若，則或，解得，故的取值范圍是或題型四：根據(jù)充要條件求參數(shù)取值范圍11．（2024·高一·貴州黔西·期末）關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根的充要條件是（

）A．或 B．或C． D．【答案】A【解析】由方程關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則滿足，解得或，即方程有兩個不相等的實數(shù)根的充要條件是或.故選：A.12．（2024·高一·陜西西安·開學(xué)考試）命題p：一次函數(shù)的圖像經(jīng)過一、二、四象限的充要條件是．【答案】【解析】因為一次函數(shù)的圖像經(jīng)過一、二、四象限，則滿足，解得，即一次函數(shù)的圖像經(jīng)過一、二、四象限的充要條件是.故答案為：.13．（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知命題，若是的充要條件，則．【答案】-1【解析】由題意得，，得，設(shè)，，由是的充要條件，得，即，得．故答案為：-114．（2024·高一·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知集合，集合，若命題“”是命題“”的充要條件，則實數(shù)a的值是．【答案】【解析】由，可得，解得，所以，又命題“”是命題“”的充要條件且，則，所以.故答案為：題型五：充要條件的證明15．（2024·高一·全國·專題練習(xí)）設(shè)a，b，c分別是△ABC的三條邊，且．則△ABC為直角三角形的充要條件是．試用邊長a，b，c探究△ABC為銳角三角形的一個充要條件，并證明．【解析】設(shè)a，b，c分別是△ABC的三條邊，且，△ABC為銳角三角形的充要條件是．充分性：在△ABC中，若，則不是直角，假設(shè)為鈍角，如圖①，作，交BC延長線于點D，則由勾股定理得，，即，與“”矛盾，故為銳角，即△ABC為銳角三角形，故充分性成立；必要性：在△ABC，是銳角，作，D為垂足，如圖②，則由勾股定理得，，即，故必要性成立．故△ABC為銳角三角形的充要條件為．16．（2024·高一·江蘇南京·階段練習(xí)）求證：“關(guān)于x的方程有一個根為2”的充要條件是“”．【解析】必要性：若有一個根為2，則滿足方程，即，充分性：若，則，即滿足方程，則關(guān)于x的方程有一個根為2；綜上命題得證．17．（2024·高一·全國·課堂例題）已知，求證：成立的充要條件是.【解析】先證充分性：因為，所以，所以.再證必要性：因為，所以，又，所以且，所以，所以，即.綜上可知，當(dāng)時，成立的充要條件是.【重難點集訓(xùn)】1．（2024·高一·四川瀘州·期末）已知實數(shù)x，y，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當(dāng),取,可得,充分條件不成立;,必要條件成立;故選：B.2．（2024·高一·廣東江門·期中）設(shè)，當(dāng)時；當(dāng)時.例如，則“，或，”是“”的（

）條件.A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【解析】當(dāng)，或，時，，由時知，，當(dāng)時，根據(jù)定義可知，所以，故只要滿足且即可，顯然不止，或，這種情況，比如，等也滿足，所以“，或，”是“”的充分不必要條件.故選：A3．（2024·高二·江西宜春·期末）已知，且是的充分條件，則實數(shù)可以是（

）A．3 B．1 C． D．【答案】A【解析】由題意，若是q:x<a的充分條件，則當(dāng)且僅當(dāng)，對比選項可知實數(shù)可以是3.故選：A.4．（2024·高一·上?！て谥校┮阎}：“非空集合的元素都是集合的元素”是假命題，給出下列命題，其中真命題的個數(shù)是（

）①中的元素都不是的元素；②中有不屬于的元素；③中有的元素；④中的元素不都是的元素.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】根據(jù)命題"非空集合的元素都是集合的元素"是假命題，可得不是的子集對于①，集合雖然不是所有元素都在中，但有可能有屬于的元素，因此①是假命題；對于②，因為不是的子集，所以必定有不屬于的元素，故②是真命題；同理不能確定有沒有的元素，故③是假命題；對于④，由子集的定義可得，既然不是的子集，那么必定有一些不屬于的元素，因此的元素不都是的元素，可得④是真命題.故選：B.5．（2024·高一·江蘇·專題練習(xí)）的一個必要條件但不是充分條件是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】選項A：是的充要條件.判斷錯誤；選項B：是的必要條件但不是充分條件.判斷正確；選項C：是的充分不必要條件條件.判斷錯誤；選項D：是的既不充分也不必要條件.判斷錯誤.故選：B6．（2024·高一·廣西南寧·階段練習(xí)）已知：，：，若是的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)，B=x1-m≤x≤1+m因為是的必要不充分條件，所以，所以，解得，當(dāng)時，B=x-2≤x≤4所以.故選：A.7．（2024·高三·河南焦作·開學(xué)考試）對于任意實數(shù)，用表示不大于的最大整數(shù)，例如：，，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】對任意的，記，則，若，則，即，則，因為，，則，由不等式的基本性質(zhì)可得，所以，，所以，，即，所以，“”“”；若，如取，，則，故“”“”.因此，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.8．（2024·高一·遼寧·期中）使得不等式“”成立的一個必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，可得，所以，解得，即成立的充要條件為：，對于A，由，得，是“”成立的充分不必要條件；對于B，由，得，是“”成立的充要條件；對于C，是“”成立的必要不充分條件；對于D，，得或，是“”成立的既不充分也不必要條件.故選：C.9．（多選題）（2024·高一·廣西玉林·期中）已知表示不超過的最大整數(shù)，例如：，，下列說法正確的是（

）A．集合B．集合的非空真子集的個數(shù)是30個C．若“”是“”的充分不必要條件，則D．若，則【答案】CD【解析】時，時，，時，，時，，時，，時，，，集合的非空真子集有個，所以A，B錯誤．又若“”是“”的充分不必要條件，則是的真子集，所以，C正確．若，則時，；時，，綜上，D正確．故選：CD.10．（多選題）（2024·高一·河北·階段練習(xí)）設(shè)計如圖所示的四個電路圖，條件：“開關(guān)閉合”；條件：“燈泡亮”，則是的必要條件的圖為（

）A．

B．

C．

D．

【答案】BC【解析】對于，開關(guān)閉合燈亮，反過來燈泡亮，也可能是開關(guān)閉合，是的充分不必要條件；對于，只有一個開關(guān)，燈如果要亮，開關(guān)必須閉合，是的充要條件；對于燈亮必須和同時閉合，是的必要不充分條件；對于，燈一直亮，跟開關(guān)沒有關(guān)系，是的既不充分也不必要條件.故選：BC.11．（多選題）（2024·高一·安徽亳州·階段練習(xí)）已知，，則“”是真命題的一個充分不必要條件是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】因為，，若“”是真命題，當(dāng)時，則，即，解得或，當(dāng)時，則由題意可得方程有兩個非負(fù)實數(shù)根，所以，解得，綜上，的取值范圍是，即是真命題的充要條件為，故其充分不必要條件為它的真子集，故B、C、D均符合題意.故選：BCD12．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）下列不等式：①；②；③；④；⑤．其中可以作為的充分不必要條件的所有序號為．【答案】②③【解析】由解得．對于①，是的必要不充分條件；對于②，是的充分不必要條件；對于③，是的充分不必要條件；對于④，是的充要條件；對于⑤，是的必要不充分條件．故選:②③．13．（2024·高一·北京·階段練習(xí)）小華同學(xué)學(xué)完集合的基本運算后，自己定義了如下集合運算：且，小華列舉了如下命題：①任意集合②任意集合③任意集合④若，則其中，所有正確命題的序號是.【答案】①③④【解析】對于命題①，由新定義，若，則當(dāng)且僅當(dāng)且，而這顯然不可能，這表明了此時不存在，即，故命題①正確；對于命題②，不妨設(shè)，由新定義，，這表明了此時，故命題②不正確；對于命題③，由新定義，若，則一定有且，這表明了此時集合是集合的子集，即，故命題③正確；對于命題④，若，則當(dāng)且僅當(dāng)，即若，則一定有，由新定義，若，則當(dāng)且僅當(dāng)且，而這顯然不可能，這表明了此時不存在，即若，則，故命題④正確.綜上所述：所有正確命題的序號是①③④.故答案為：①③④.14．（2024·高一·上海寶山·階段練習(xí)）已知，.若是的充分非必要條件，則實數(shù)m的取值范圍是.【答案】15．（2024·高一·全國·課堂例題）已知，，其中，若“”是“”的充分而不必要條件”，其他條件不變，求實數(shù)m的取值范圍.【解析】由題意得?.所以或，解得，即實數(shù)m的取值范圍是.16．（2024·高一·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）已知集合，，全集.(1)當(dāng)時，求；(2)若“”是“”的必要條件，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時，集合，則或，所以.（2）若“”是“”的必要條件，則，因為，則，可知，可得，解得，所以實數(shù)的取值范圍.17．（2024·高一·江蘇無錫·階段練習(xí)）已知非空集合，.(1)若，求；(2)若是的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時，，所以或，又，所以或.（2）因為是的充分不必要條件，所以A是B的真子集，又A是非空集合，所以，解得，所以實數(shù)a的取值范圍為.18．（2024·高一·廣東廣州·階段練習(xí)）設(shè)集合．(1)，求；(2)若“”是“”的必要條件，求m的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時，，故或，又，故（2）“”是“”的必要條件，故，當(dāng)時，，∴，符合題意；當(dāng)時，需滿足，解得綜上所述，m的取值范圍為或.【高考真題】1．（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）若，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】解法一：因為，且，所以，即，即，所以.所以“”是“”的充要條件.解法二：充分性：因為，且，所以，所以，所以充分性成立；必要性：因為，且，所以，即，即，所以.所以必要性成立.所以“”是“”的充要條件.解法三：充分性：因為，且，所以，所以充分性成立；必要性：因為，且，所以，所以，所以，所以，所以必要性成立.所以“”是“”的充要條件.故選：C2．（2023年天津高考數(shù)學(xué)真題）已知，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】B【解析】由，則，當(dāng)時不成立，充分性不成立；由，則，即，顯然成立，必要性成立；所以是的必要不充分條件.故選：B3．（2022年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）“為整數(shù)”是“為整數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由為整數(shù)能推出為整數(shù)，故“為整數(shù)”是“為整數(shù)”的充分條件，由,為整數(shù)不能推出為整數(shù)，故“為整數(shù)”是“為整數(shù)”的不必要條件，綜上所述，“為整數(shù)”是“為整數(shù)”的充分不必要條件，故選：A.4．（2008年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（安徽卷））是方程有一個負(fù)數(shù)根的（

）A．必要不充分條件 B．充分必要條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】方程有一個負(fù)數(shù)根，若，此時，不成立，舍去；若，則，此時方程在R上無解，舍去；若，則，故，滿足題意，綜上：是方程有一個負(fù)數(shù)根的充分必要條件.故選：B5．（2005年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)（文）試題（湖北卷））對任意實數(shù)，，，給出下列命題：①“”是“”充要條件；②“是無理數(shù)”是“是無理數(shù)”的充要條件；③“”是“”的充分條件；④“”是“”的必要條件．其中真命題的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】①中“”“”為真命題，但當(dāng)時，“”“”為假命題，故“”是“”的充分不必要條件，故①為假命題；②中“是無理數(shù)”“是無理數(shù)”為真命題，“是無理數(shù)”“是無理數(shù)”也為真命題，故“是無理數(shù)”是“是無理數(shù)”的充要條件，故②為真命題；③中“”“”為假命題，如、滿足，但是，“”“”也為假命題，如、滿足，但是，故“”是“”的即充分也不必要條件，故③為假命題；④中，故“”是“”的必要條件，故④為真命題．故真命題的個數(shù)為2故選：B．6．（2004年普通高等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)試題（上海卷））若非空集合，則“或”是“”的（

）A．必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】A【解析】依題意，非空集合，所以，“或”即，所以“或”是“”的必要條件.故選：A7．（2019年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷）若，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C