2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)同步試題（人教A版2019）5．1 任意角和弧度制（八大題型）

5．1任意角和弧度制目錄TOC\o"1-2"\h\z\u【題型歸納】 2題型一：角的概念 2題型二：終邊相同的角的表示 3題型三：角所在象限的研究 5題型四：象限角的判定 7題型五：區(qū)域角的表示 8題型六：弧度制與角度制的互化 10題型七：扇形的弧長(zhǎng)及面積公式的應(yīng)用 11題型八：扇形中的最值問題 13【重難點(diǎn)集訓(xùn)】 15【高考真題】 23【題型歸納】題型一：角的概念1．（2024·高一·上?！るA段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，給出下列命題：①小于的角一定是銳角；②鈍角一定是第二象限的角；③終邊不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命題的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【解析】因?yàn)殇J角，所以小于的角不一定是銳角，故①不成立；因?yàn)殁g角，第二象限角，，所以鈍角一定是第二象限角，故②成立；若兩個(gè)角的終邊不重合，則這兩個(gè)角一定不相等，故③成立；例如，，但，故④不成立.故選：B.2．（2024·高一·甘肅蘭州·期末）下列命題正確的是（

）A．終邊與始邊重合的角是零角B．終邊和始邊都相同的兩個(gè)角一定相等C．小于的角是銳角D．集合內(nèi)的角不一定是鈍角【答案】D【解析】A選項(xiàng)：終邊與始邊重合的角為，故A錯(cuò)；B選項(xiàng)：終邊和始邊都相同的兩個(gè)角可能相差的整數(shù)倍，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：小于的角可能是，還可能是負(fù)角，所以C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：集合內(nèi)的角包含直角，所以不一定是鈍角，D正確；故選：D3．（2024·高一·江西萍鄉(xiāng)·期末）下列說法正確的是（

）A．B．一堂數(shù)學(xué)考試（120分鐘）時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°C．1弧度的角大于1°的角D．三角形內(nèi)角必為第一或二象限的角【答案】C【解析】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，一堂數(shù)學(xué)考試（120分鐘）時(shí)針旋轉(zhuǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，1弧度，故C正確；對(duì)于D，三角形的內(nèi)角為時(shí)，不在象限內(nèi)，故D錯(cuò)誤.故選：C.4．（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知集合A={|為銳角}，B={|為小于的角}，C={|為第一象限角}，D={|為小于的正角}，則下列等式中成立的是（

）A．A=B B．B=C C．A=C D．A=D【答案】D【解析】因?yàn)锳={|為銳角}，D={|為小于的正角}，對(duì)于集合，小于的角包括零角與負(fù)角，對(duì)于集合，C={|為第一象限角}，所以A=D，故選：D題型二：終邊相同的角的表示5．（2024·高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）在范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并指出它們是哪個(gè)象限的角：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1），所以，在范圍內(nèi)，與終邊相同的角為，且為第四象限角.（2）因?yàn)椋?，在范圍?nèi)，與終邊相同的角為，且為第一象限角.（3）因?yàn)?，所以，在范圍?nèi)，與終邊相同的角為，且為第三象限角.（4）因?yàn)?，所以，在范圍?nèi)，與終邊相同的角為，且為第二象限角.6．（2024·高一·江蘇·課后作業(yè)）下列角中哪些角與角的終邊相同：(1)；(2)；(3)；(4).【解析】（1）∵與30°角的終邊相同的角為，當(dāng)時(shí)，，解得，∴角與30°角的終邊不相同.（2）∵與30°角的終邊相同的角為，當(dāng)時(shí)，，解得，∴角與30°角的終邊相同.（3）∵與30°角的終邊相同的角為，當(dāng)時(shí)，，解得，∴角與30°角的終邊相同.（4）∵與30°角的終邊相同的角為，當(dāng)時(shí)，，解得，∴角與30°角的終邊相同.7．（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并找出集合中適合不等式的元素：(1)；(2)．【解析】（1）根據(jù)題意可知，所以與終邊相同的角的集合為，易知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以適合不等式的元素有：，，；（2）與終邊相同的角的集合為，易知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以適合不等式的元素有：，，；8．（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，.(1)指出各自終邊所在的象限；(2)在內(nèi)找出與終邊相同的所有角.【解析】（1），在第二象限；在第一象限；（2），與終邊相同的角為，取范圍內(nèi)與它們終邊相同的所有角有與終邊相同的角為，取，則范圍內(nèi)與它們終邊相同的所有角有.題型三：角所在象限的研究9．（2024·高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）已知角α的終邊在第四象限，確定下列各角終邊所在的象限：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）由于為第四象限角，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，終邊在第二象限，當(dāng)時(shí)，，終邊在第四象限，所以的終邊在第二或第四象限；（2）由（1）得，所以的終邊在第三或第四象限，也可在軸的負(fù)半軸上.（3）由（1）得，當(dāng)時(shí)，，終邊在第二象限，當(dāng)時(shí)，，終邊在第三象限，當(dāng)時(shí)，，終邊在第四象限，所以的終邊在第二?第三或第四象限；（4）由（1）得，即，所以的終邊在第二或三或第四象限，也可在軸的負(fù)半軸上.10．（2024·高一·全國(guó)·專題練習(xí)）已知角的終邊在第四象限，確定下列各角終邊所在的象限：(1)；(2)；【解析】（1）由于為第四象限角可知，.所以當(dāng)時(shí)，，終邊在第二象限，當(dāng)時(shí)，，終邊在第四象限，所以的終邊在第二或第四象限；（2）由（1）得，當(dāng)時(shí)，，終邊在第二象限，當(dāng)時(shí)，，終邊在第三象限，當(dāng)時(shí)，，終邊在第四象限，所以的終邊在第二、第三或第四象限.11．（2024·高一·全國(guó)·專題練習(xí)）已知角為第三象限角，求角是第幾象限角．【解析】如圖所示，先將各象限分成等分，再從軸正半軸的上方起，按逆時(shí)針方向，依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，則標(biāo)有三的區(qū)域即為角的終邊所在的區(qū)域，角為第二或第四象限角．12．（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知角是第三象限角，求所在的象限.【解析】角是第三象限角,即,對(duì)于：，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，在第一象限；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，在第四象限；故在第二或第四象限；對(duì)于：，當(dāng)時(shí)，在第一象限；當(dāng)時(shí)，在第三象限；當(dāng)時(shí)，在第四象限；故在第一，第三或第四象限.題型四：象限角的判定13．（2024·高一·江西南昌·階段練習(xí)）角的終邊所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】，所以的終邊所在的象限是第三象限.故選：C.14．（2024·高一·河南·階段練習(xí)）已知角以x軸正半軸為始邊，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】B【解析】，，即，故點(diǎn)P在第四象限，即角的終邊在第四象限，的終邊為角終邊的反向延長(zhǎng)線，那么的終邊在第二象限．故選：B．15．（2024·高一·重慶銅梁·階段練習(xí)）的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】且角是第二象限角，角的終邊在第二象限.故選：B16．（2024·高一·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】A【解析】，與終邊相同，所以是第一象限角．故選：A.題型五：區(qū)域角的表示17．（2024·高一·全國(guó)·專題練習(xí)）已知集合，則圖中表示角的終邊所在區(qū)域正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】當(dāng)，時(shí)，角的終邊落在第一象限的角平分線上，當(dāng)，時(shí)，角的終邊落在y軸的非負(fù)半軸上，按照逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的方向確定范圍可得角的終邊所在區(qū)域如選項(xiàng)B所示．故選：B．18．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）集合中的角所表示的范圍(陰影部分)是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)表示的范圍與表示的范圍一樣；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)表示的范圍與表示的范圍一樣，故選：C．19．（2024·高一·山西朔州·期末）集合中的角所表示的范圍（陰影部分）是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，,所以選項(xiàng)C滿足題意.故選：C.20．（2024·高一·廣西欽州·階段練習(xí)）集合中角表示的范圍用陰影表示是圖中的（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】集合中，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，此集合與表示終邊相同的角，位于第一象限；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，此集合與表示終邊相同的角，位于第三象限.所以集合中角表示的范圍為選項(xiàng)B中陰影所示.故選：B.題型六：弧度制與角度制的互化21．（2024·高一·陜西渭南·階段練習(xí)）經(jīng)過2小時(shí)，鐘表上時(shí)針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為.【答案】【解析】根據(jù)題意，表盤平分為12等份，每等份對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)大小為，經(jīng)過2小時(shí)，鐘表上時(shí)針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)大小為，因?yàn)闀r(shí)針按順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，鐘表上時(shí)針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為，故答案為：.22．（2024·高一·上海閔行·階段練習(xí)）將角度化為弧度：.【答案】【解析】.故答案為：23．（2024·高一·陜西渭南·階段練習(xí)）化成弧度是.【答案】【解析】.故答案為：24．（2024·高一·新疆喀什·期末）的角化成弧度制為．【答案】【解析】因?yàn)?，所?故答案為：題型七：扇形的弧長(zhǎng)及面積公式的應(yīng)用25．（2024·高一·天津·期末）磚雕是我國(guó)古建筑雕刻中的重要藝術(shù)形式，傳統(tǒng)磚雕精致細(xì)膩、氣韻生動(dòng)、極富書卷氣.如圖所示，一扇環(huán)形磚雕，可視為將扇形截去同心扇形所得圖形，已知，，，則該扇環(huán)形磚雕的面積為.

【答案】【解析】因?yàn)樯刃蔚脑盒?，又因?yàn)?，，所以，該扇環(huán)形磚雕的面積為.故答案為：.26．（2024·高一·江蘇揚(yáng)州·期中）已知扇形的圓心角為2rad，弧長(zhǎng)為2cm，則該扇形的面積為．【答案】1【解析】設(shè)扇形半徑為，弧長(zhǎng)為，圓心角為，則，扇形面積為．故答案為：1．27．（2024·高一·云南昆明·期末）已知某扇形的圓心角是，半徑為，則該扇形的面積為．【答案】【解析】由扇形的圓心角是，半徑為，則該扇形的面積為.故答案為：.28．（2024·高一·內(nèi)蒙古呼和浩特·期中）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，其中《方田》章計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為：弧田面積（弦×矢+矢2），弧田如圖，由圓弧和所對(duì)的弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)的弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差，現(xiàn)有圓心角為，弦長(zhǎng)為米的弧田，按照上述方法計(jì)算弧田的矢為米；面積為平方米.

【答案】【解析】如圖所示，過作于，的延長(zhǎng)線交于.則，，所以，，所以，，所以矢為，則弧田面積是.故答案為：；.題型八：扇形中的最值問題29．（2024·高一·江蘇宿遷·階段練習(xí)）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)巨著，其中《方田》章給出了“弧田”，“弦”和“矢”的定義，“弧田”(如圖陰影部分所示)是由圓弧和弦圍成，“弦”指圓弧所對(duì)的弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差.（1）當(dāng)圓心角為，矢為2的弧田，求：弧田(如圖陰影部分所示)的面積；（2）已知如圖該扇形圓心角是，半徑為，若該扇形周長(zhǎng)是一定值當(dāng)為多少弧度時(shí)，該扇形面積最大？【解析】（1）由題意，如下圖示，令圓弧的半徑為，，∴，即，得，∴弧田面積，而，∴.（2）由題意知：弧長(zhǎng)為，即該扇形周長(zhǎng)，而扇形面積，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.∴當(dāng)時(shí)，該扇形面積最大.30．（2024·高一·陜西商洛·期中）已知扇形的圓心角是，半徑為.（1）若，求扇形的弧長(zhǎng).（2）若扇形的周長(zhǎng)為，當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？最大面積是多少？【解析】（1），.（2）由已知得，，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值25，此時(shí)，.31．（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知一扇形的圓心角為，所在圓的半徑為R.（1）若，，求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在的弓形的面積；（2）若扇形的周長(zhǎng)為20cm，當(dāng)扇形的圓心角等于多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大?【解析】（1）設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l，弓形面積為S，則，，，.（2）設(shè)扇形弧長(zhǎng)為l，則，即，∴扇形面積，∴當(dāng)時(shí)，S有最大值，此時(shí)，.因此當(dāng)時(shí)，這個(gè)扇形面積最大.32．（2024·江蘇南京·一模）園林管理處擬在公園某區(qū)域規(guī)劃建設(shè)一半徑為米，圓心角為(弧度）的扇形觀景水池，其中為扇形的圓心，同時(shí)緊貼水池周邊建設(shè)一圈理想的無寬度步道.要求總預(yù)算費(fèi)用不超過24萬元，水池造價(jià)為每平米400元，步道造價(jià)為每米1000元.（1）當(dāng)和分別為多少時(shí)，可使得廣場(chǎng)面積最大，并求出最大面積；（2）若要求步道長(zhǎng)為105米，則可設(shè)計(jì)出的水池最大面積是多少.【解析】（1）步道長(zhǎng)為扇形周長(zhǎng)，利用弧長(zhǎng)公式及扇形面積公式可得不等式，利用基本不等式將不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元不等式，解得的范圍，確定最大值為400.（2）由條件得，消得，由及，解出，根據(jù)二次函數(shù)最值取法得到當(dāng)時(shí)，最大試題解析：（1）由題意，弧長(zhǎng)AB為，扇形面積為，由題意，即，即，所以，所以，，則，所以當(dāng)時(shí)，面積的最大值為400.（2）即，代入可得或，又，當(dāng)與不符，在上單調(diào)，當(dāng)時(shí)，最大平方米，此時(shí).【重難點(diǎn)集訓(xùn)】1．將化為的形式是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】.故選：A.2．若角的終邊落在如圖所示的陰影部分內(nèi)，則角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】依題意，在內(nèi)陰影部分的邊界射線對(duì)應(yīng)的角分別為，在內(nèi)陰影部分對(duì)應(yīng)角的范圍是，所以角的取值范圍是.故選：D3．若扇形的面積為、半徑為1，則扇形的圓心角為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)樯刃蔚拿娣e為，半徑為1，且設(shè)圓心角為，所以，解得，故B正確.故選：B4．是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】B【解析】由可得，是第二象限角.故選：B.5．如圖，已知的半徑是2，點(diǎn)、、在上，若四邊形為菱形，則圖中陰影部分面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示，連接，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所?所以和均為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為，其中，可得，所以四邊形的面積為又由扇形的面積為，所以陰影部分的面積為.故選：C.6．如圖，將含角的直角三角板繞頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，點(diǎn)經(jīng)過的路徑為弧，若，則圖中陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，扇形的圓心角為，且所以,所以，且,所以陰影部分的面積為.故選：C.7．與60°角終邊相同的角可以表示為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】A,B弧度角度混用，錯(cuò)誤.與60°角終邊相同的角可以表示，則C錯(cuò)誤．弧度制下表示為，則D正確.故選：D.8．集合中角所表示的范圍（陰影部分）是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)表示的范圍與表示的范圍一樣；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)表示的范圍與表示的范圍一樣.故選：C．9．（多選題）將下列角度與弧度進(jìn)行互化正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】對(duì)于A，因，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D正確.故選：BCD.10．（多選題）下列與的終邊相同的角的表達(dá)式中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【解析】對(duì)A,B在同一個(gè)表達(dá)式中，角度制與弧度制不能混用，所以A，B錯(cuò)誤．對(duì)C，，則與終邊相同，而與終邊相同，且化為角度制即為，則與的終邊相同，則是與的終邊相同的角的表達(dá)式，故C正確；對(duì)D，由C得與終邊相同，則與終邊相同的角可以寫成的形式，則D正確．故選：CD．11．（多選題）已知一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的鐵絲，現(xiàn)在要把這根鐵絲正好折成一個(gè)扇形，且使得扇形的面積最大．則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A．當(dāng)扇形的面積最大時(shí)，扇形的半徑為B．扇形面積的最大值為C．當(dāng)扇形的面積最大時(shí)，扇形的半徑為D．扇形面積的最大值為【答案】BC【解析】設(shè)扇形的半徑和弧長(zhǎng)分別為，由題意知：則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，故BC正確，AD錯(cuò)誤，故選：BC．12．已知扇形的半徑是3，弧長(zhǎng)為6，則扇形圓心角的弧度數(shù)是.【答案】2【解析】依題意，設(shè)扇形的圓心角為，因?yàn)樯刃蔚陌霃绞?，弧長(zhǎng)為，所以由，得，則.故答案為：.13．要在半徑cm的圓形金屬板上截取一塊扇形板，使其弧的長(zhǎng)為cm，則圓心角的弧度數(shù)是．【答案】【解析】圓心角的弧度數(shù)為.故答案為：14．終邊落在圖中陰影部分（包括邊界）角的集合為（用弧度制表示）.

【答案】【解析】結(jié)合圖象設(shè)終邊落在陰影部分的角是，滿足條件的角的集合是.故答案為:.15．用弧度制表示終邊落在如圖所示陰影部分內(nèi)（含邊界）的角θ的集合．【解析】終邊落在射線OA上的角為，，即，，終邊落在射線OB上的角為，，即，，故終邊落在陰影部分內(nèi)（含邊界）的角θ的集合為．16．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CD切⊙O于D點(diǎn)，弦，Q是AB上一動(dòng)點(diǎn)，CA＝1，CD是⊙O半徑的倍．(1)求⊙O的半徑R；(2)當(dāng)Q從A向B運(yùn)動(dòng)的過程中，圖中陰影部分的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)你說明理由；若不發(fā)生變化，請(qǐng)你求出陰影部分的面積．【解析】（1）根據(jù)題意，得，由切割線定理，得CD2＝CA?CB，3R2＝1＋2R，解得：R＝1或（負(fù)數(shù)舍去）．即⊙O的半徑R為1；（2）當(dāng)Q從A向B運(yùn)動(dòng)的過程中，圖中陰影部分的面積不發(fā)生變化．連接OD、OE；∵DE∥CB，∴S△ODE＝S△QDE；∴S陰影＝S扇形ODE；∵CD切⊙O于D點(diǎn)，∴DO⊥CD，∴∠CDO＝90°，∵，∴∠DCO＝30°，∴∠COD＝60°，∴∠ODE＝60°，∴△ODE是等邊三角形；∴．17．已知扇形的圓心角是，半徑為，弧長(zhǎng)為；(1)若，求扇形的弧長(zhǎng)；(2)若扇形的周長(zhǎng)為，當(dāng)扇形的圓心角為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大，最大值是多少？并求出此時(shí)的半徑.【解析】（1），.（2）由已知得，，所以，，所以當(dāng)時(shí)，面積取得最大值，此時(shí)，所以.18．如圖1所示的是杭州2022年第19屆亞運(yùn)會(huì)會(huì)徽