初中數(shù)學(xué)自主招生難度講義-7年級(jí)專題27 以形借數(shù)-借助圖形思考

專題27以形借數(shù)——借助圖形思考閱讀與思考數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)，數(shù)與形以及數(shù)和形的關(guān)聯(lián)與轉(zhuǎn)化，這是數(shù)學(xué)研究的永恒主題，就解題而言，數(shù)與形的恰當(dāng)結(jié)合，常常有助于問題的解決，美國數(shù)學(xué)家斯蒂恩說：“如果一個(gè)特定的問題可以被轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形，那么思維就整體地把握了問題，并且能創(chuàng)造性地思考問題的解法”．將問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)圖形，把問題中的條件與結(jié)論直觀地、整體地表示出來，是一個(gè)十分重要的解題方法，現(xiàn)階段借助圖形思考是指以下兩個(gè)方面：1．從給定的圖形獲取解題信息數(shù)學(xué)問題的表述方法很多，既有用文字?jǐn)⑹龅?，也有通過圖形（如數(shù)軸、圖表、平面圖形等）來呈現(xiàn)的，善于從給定的圖形獲取解題信息是一個(gè)重要技能．2．有意地畫圖輔助解題圖形能直觀、形象地表示數(shù)量及關(guān)系，解題中有意地畫圖（如畫直線圖、列表、構(gòu)造圖形等）能幫助分析理順復(fù)雜數(shù)量關(guān)系，使問題獲得簡(jiǎn)解．閱讀與思考【例1】如圖，圓周上均勻地釘了9枚釘子，釘尖朝上，用橡皮筋套住其中的3枚，可套得一個(gè)三角形，所有可以套出來的三角形中，不同形狀的共有____________種。（“五羊杯”競(jìng)賽試題）解題思路：圓周長(zhǎng)保持不變，設(shè)圓周長(zhǎng)為9，套成的三角形三邊所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)分別為則。不妨設(shè)，借助圖形分析，找出滿足條件的整數(shù)解即可?！纠?】一列快車從甲地駛往乙地，一列慢車從乙地駛往甲地，兩車同時(shí)出發(fā)，設(shè)慢車行駛的時(shí)間為（h），兩車之間的距離為（km），圖中的折線表示與之間的函數(shù)關(guān)系。根據(jù)圖像進(jìn)行一下探究：信息讀?。?）甲、乙兩地之間的距離為___________km。（2）請(qǐng)解釋圖中點(diǎn)B的實(shí)際意義。圖像理解（3）求慢車和快車的速度。（4）求線段BC所表示的與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍。問題解決（5）若第二列快車也從甲地出發(fā)駛往乙地，速度與第一列快車相同。在第一列快車與慢車相遇30分鐘后，第二列快車與慢車相遇。求第二列快車比第一列快車晚車發(fā)多少小時(shí)？（江蘇省南京市中考試題）解題思路：函數(shù)圖像包含了兩種不同層次的信息：有慢車行駛900km用了12h等可直接感知的淺層結(jié)構(gòu)信息，也有在0～4小時(shí)之間以及稍后的一段時(shí)間內(nèi)，快車和慢車的速度之和為定值和C點(diǎn)表示快車在某一時(shí)刻已到達(dá)終點(diǎn)等需要經(jīng)過分析或運(yùn)算才能獲得的深層結(jié)構(gòu)的信息?！纠?】某電視臺(tái)為了解三個(gè)特色欄目的收視情況，向28位觀眾進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查后得知：每位觀眾至少收看了其中的一個(gè)欄目；沒有收看欄目的觀眾中，收看欄目人數(shù)為收看欄目的兩倍；在收看欄目的觀眾中，只收看欄目的觀眾人數(shù)比除了收看欄目之外同時(shí)還收看其他欄目的人數(shù)多1；只收看一個(gè)欄目的觀眾中，有一半沒有收看或欄目，求欄目的收視率。（“《數(shù)學(xué)周報(bào)》”杯全國數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）解題思路：設(shè)未知數(shù)，借助于圖表表示題中各數(shù)量之間的關(guān)系?！纠?】甲、乙、丙、丁、戌五名同學(xué)參加推鉛球比賽，通知抽簽決定出賽順序，在未公布順序前每人都對(duì)出賽順序進(jìn)行了猜測(cè)。甲猜：乙第三，丙第五；乙猜：戌第四，丁第五；丙猜：甲第一，戌第四；丁猜：丙第一，乙第二；戌猜：甲第三，丁第四。老師說每人的出賽順序都至少被一人所猜中，問：出賽順序中，第一、第三、第五分別是哪位同學(xué)？（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）解題思路：文字羅列出來的條件，其相互關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，不便分析和推斷，不妨借助于圖表直觀地表示研究對(duì)象及其關(guān)系?！纠?】某班有50名同學(xué)，期末考試優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)及科目如表：一科二科三科科目數(shù)外語數(shù)、語數(shù)、外語外數(shù)、語、外人數(shù)32312916171810這里，一科優(yōu)秀者包括兩、三科優(yōu)秀者，兩科優(yōu)秀者包括三科優(yōu)秀者，試說明上述統(tǒng)計(jì)表有錯(cuò)誤。（“創(chuàng)新杯”競(jìng)賽試題）解題思路：借助于圖形直觀地表示出數(shù)學(xué)、外語、語文優(yōu)秀學(xué)生的集合，有利于分析與推斷。能力訓(xùn)練1．甲、乙、丙、丁與小強(qiáng)五位同學(xué)一起比賽象棋，每?jī)扇硕家荣愐槐P，到現(xiàn)在為止，甲已經(jīng)賽了4盤，乙賽了3盤，丙賽了2盤，丁賽了1盤。則小強(qiáng)已經(jīng)賽了________盤。（“華羅庚金杯”競(jìng)賽試題）2．某市儲(chǔ)運(yùn)部緊急調(diào)撥一批物資，調(diào)進(jìn)物資共用4小時(shí)，調(diào)進(jìn)物資2小時(shí)后開始調(diào)出物資（調(diào)進(jìn)物資與調(diào)出物資的速度保持不變）。儲(chǔ)運(yùn)部庫存物資與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系如圖，這批物資從開始調(diào)進(jìn)到全部調(diào)出所需要的時(shí)間是___________________。（山東省濟(jì)南市中考試題）3．甲、乙兩人同時(shí)從地出發(fā)，以各自的速度勻速汽車到地后原地休息，甲、乙兩人的距離與乙騎車的時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系的圖像如圖，則兩地的距離為______________________千米。4．一臺(tái)計(jì)算機(jī)的硬盤分為3個(gè)區(qū)，每個(gè)區(qū)的使用情況如圖所示，則這個(gè)硬盤的使用率為______________________。（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）5．三支足球隊(duì)舉行單循環(huán)比賽（每支隊(duì)與另一支隊(duì)只比賽一場(chǎng)，共三場(chǎng)），下表給出的是比賽的部分結(jié)果：球隊(duì)比賽場(chǎng)數(shù)勝負(fù)平總進(jìn)球數(shù)總失球數(shù)2212124237請(qǐng)根據(jù)上表，填上隊(duì)與隊(duì)比賽時(shí)的比分為_______________。（重慶市競(jìng)賽試題）6．如圖是某班全體學(xué)生外出時(shí)乘車、步行、騎車的人數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖（兩圖都不完整），則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．該班總?cè)藬?shù)為50人B．騎車人數(shù)占總?cè)藬?shù)的20％C．步行人數(shù)30人D．乘車人數(shù)是騎車人數(shù)的2.5倍7．某人騎車沿直線旅行，先前進(jìn)了千米，休息了一段時(shí)間，又原路返回千米（），再前進(jìn)千米，則此人離起點(diǎn)的距離與時(shí)間的關(guān)系示意圖為（）。A．B．C．D．8．一圓形地塊，打算分四個(gè)區(qū)域栽種觀賞植物，要在同一區(qū)域種同一種植物，相鄰（有公共邊）的兩塊里中不同的植物?，F(xiàn)有4種不同的植物可供選擇，那么所有的栽種方案的個(gè)數(shù)為()。A．66B．68C．60D．84（重慶市競(jìng)賽試題）9．某校參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽有120名男生，80名女生；參加英語競(jìng)賽有120名女生，80名男生。已知該校總共有260名學(xué)生參加了競(jìng)賽，其中有75名男生兩科競(jìng)賽都參加了，問參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽而沒有參加英語競(jìng)賽的女生人數(shù)有多少人？（“祖沖之杯”邀賽試題）10．某人租用一輛汽車由城前往城，沿途可能經(jīng)過的城市以及通過兩城市之間所需的時(shí)間（單位：h）如圖所示。若汽車行駛的平均速度為km/h。而汽車每行駛km需要的平均費(fèi)用為元。試指出此人從城出發(fā)到城的最短線路，并求出所需費(fèi)用最少多少元？（全國初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題）11.剛回到營(yíng)地的兩個(gè)搶險(xiǎn)隊(duì)又接到救災(zāi)命令：一分隊(duì)立即出發(fā)趕往30千米外的A鎮(zhèn);二分隊(duì)因疲勞可在營(yíng)地休息小時(shí)再趕往A鎮(zhèn)參加救災(zāi)。一分隊(duì)出發(fā)后得知，唯一通往A鎮(zhèn)的道路在里營(yíng)地10千米處發(fā)生塌方，塌方處地形復(fù)雜，必須有一分隊(duì)用1小時(shí)打通．已知一分隊(duì)的行進(jìn)速度為5千米/時(shí)，二分隊(duì)的行進(jìn)速度是千米/時(shí)．（1）若二分隊(duì)在營(yíng)地不休息，問二分隊(duì)幾個(gè)小時(shí)能趕到A鎮(zhèn)？（2）若需要二分隊(duì)和一分隊(duì)同時(shí)趕到A鎮(zhèn)，二分隊(duì)?wèi)?yīng)在營(yíng)地休息幾個(gè)小時(shí)？（3）下列圖中，①②分別描述一分隊(duì)和二分隊(duì)離A鎮(zhèn)的距離（千米）和時(shí)間（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系，請(qǐng)寫出你認(rèn)為所有可能合理圖像的代