湖南省邵陽市北塔區(qū)2024年中考數(shù)學(xué)模擬預(yù)測題含解析

湖南省邵陽市北塔區(qū)2024年中考數(shù)學(xué)模擬預(yù)測題

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題（每小題只有一個(gè)正確答案，每小題3分，滿分30分）

1.定義：如果一元二次方程orz十）x+c=0（40）滿足a+"c=0,那么我們稱這個(gè)方程為“和諧”方程；如果一元二次方

程（a邦）滿足a?"c=0那么我們稱這個(gè)方程為“美好”方程，如果一個(gè)一元二次方程既是“和諧”方程又是

“美好”方程，則下列結(jié)論正確的是（）

A.方有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B.方程有一根等于0

C.方程兩根之和等于0D.方程兩根之積等于0

2.如圖，菱形中，對角線AC、BD交于點(diǎn)O,E為AD邊中點(diǎn)，菱形ABCD的周長為28,則OE的長等于（）

3.如圖，BD是NABC的角平分線，DC/7AB,下列說法正確的是（）

C.AD=BCD.點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于BD對稱

4.一只不透明的袋子中裝有2個(gè)白球和1個(gè)紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出1個(gè)球（不放回）,

再從余下的2個(gè)球中任意摸出1個(gè)球則兩次摸到的球的顏色不同的概率為（）

5.如圖，在△ABC中,NACB=90。,ZABC=60°,BD平分NABC,P點(diǎn)是BD的中點(diǎn)，若AD=6,則CP的長為（）

D

A.3.5B.3C.4D.4.5

6.今年我市計(jì)劃擴(kuò)大城區(qū)綠地面積，現(xiàn)有一塊長方形綠地，它的短邊長為60m,若將短邊增長到長邊相等（長邊不變）,

使擴(kuò)大后的棣地的形狀是正方形，則擴(kuò)大后的綠地面積比原來增加1600機(jī)2,設(shè)擴(kuò)大后的正方形綠地邊長為xm,下面

所列方程正確的是（）

A.x（x-60）=1600

B.x(x+60)=1600

C.60(x+60)=160()

D.60(K-60)=1600

7.如圖，AB是CO的直徑，點(diǎn)C,D在上，若NDCB=110,則NAED的度數(shù)為（）

A.15B.20C.25D.30

8.已知一元二次方程x2—6x+c=0有一個(gè)根為2,則另一根為

C.4I).8

9.如圖的幾何體是由一個(gè)正方體切去一個(gè)小正方體形成的，它的主視圖是（）

10.下列命題正確的是（）

A.對角線相等的四邊形是平行四邊形

B.對角線相等的四邊形是矩形

C.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

D.對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）

357911

11.已知。1=—>ai——1。3=?“4=,。5=,…，貝“〃=____?（〃為正整數(shù)）.

25101726

12.已知實(shí)數(shù)m,n滿足3加？+6加一5=0,3/+6〃-5=0,且〃1工〃，則”+'=.

tnn

13.一元二次方程x2+mx+3=0的一個(gè)根為?1,則另一個(gè)根為.

14.如圖，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E,ZA=30°,ZACB=80°,貝！1NBCE=

15.圓錐的底面半徑為4c/〃，高為5”〃，則它的表面積為c加.

16.若一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于40。，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是.

17.如圖是由大小完全相同的正六邊形組成的圖形，小軍準(zhǔn)備用紅色、黃色、藍(lán)色隨機(jī)給每個(gè)正六邊形分別涂上其中

的一種顏色，則上方的正六邊形涂紅色的概率是_______.

三、解答題（共7小題，滿分69分）

18.（10分）如圖，AAHC是等腰三角形，AB=ACf點(diǎn)。是AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)。作OE_LBC交5c于點(diǎn)E,交C4

延長線于點(diǎn)凡證明：AAO尸是等腰三角形；若N〃=60。，〃0=4,AD=2f求EC的長，

19.（5分）在△ABC中，AB=AC,ZBAC=a,點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，5.ZPAC+ZPCA=—,連接PB,試探究PA、

2

PB、PC滿足的等量關(guān)系.

（1）當(dāng)「60。時(shí)，將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)6。。得到△ACP，，連接PP，，如圖1所示.由△ABPg^ACP，可以證

得△APP，是等邊三角形，再由NPAC+/PCA=30?？傻肗APC的大小為度，進(jìn)而得到△CPP，是直角三角形，

這樣可以得到PA、PB、PC滿足的等量關(guān)系為;

（2）如圖2,當(dāng)a=120。時(shí)，參考（1）中的方法，探究PA、PB、PC滿足的等量關(guān)系，并給出證明；

（3）PA、PB、PC滿足的等量關(guān)系為.

20.（8分）如圖，已知AC和BD相交于點(diǎn)O,且AB〃DC,OA=OB.

求證：OC=OD.

21.（10分）如圖，在。。中，A〃為直徑，OC_LA3,弦CO與交于點(diǎn)R在的延長線上有點(diǎn)E,且

（1）求證：是。。的切線；

（2）若tanA=!，探究線段A5和BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（3）在（2）的條件下，若OF=L求圓。的半徑.

22.（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線yi=2x-2與雙曲線y尸勺交于A、C兩點(diǎn)，AB_LOA交x軸于點(diǎn)B,

x

且OA=AB.

（1）求雙曲線的解析式；

（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并直接寫出yiVyz時(shí)x的取值范圍.

23.（12分）如圖，六個(gè)完全相同的小長方形拼成了一個(gè)大長方形，AB是其中一個(gè)小長方形的對角線，請?jiān)诖箝L方形

中完成卜列畫圖，要求：①僅用無刻度直尺，②保留必要的畫圖痕跡.

在圖1中畫出一個(gè)45。角，使點(diǎn)A或點(diǎn)B是這個(gè)角的頂點(diǎn)，且AB為這

圖1

個(gè)角的一邊；在圖2中畫出線段AB的垂直平分線.

24.（14分）已知：關(guān)于x的方程X?-（2m+l）x+2m=0

（1）求證：方程一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）若方程的兩根為Xi,X2,且|xi|=|xz|,求m的值.

參考答案

一、選擇題（每小題只有一個(gè)正確答案，每小題3分，滿分30分）

1、C

【解析】

試題分析：根據(jù)己知得出方程。必+加+c=O（存0）有兩個(gè)根x=l和X=-1,再判斷即可.

解；.??把x=l代入方程^^+以+。=0得出：a+"c=O,

把x=-1代入方程a^+bx+c^得出a?Z>+c=0,

二方程ax2+bx+c=d（存0）有兩個(gè)根x=l和x=T,

，1+（-1）=0,

即只有選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)A、B、D都錯(cuò)誤；

故選C.

2、A

【解析】

根據(jù)菱形的四條邊都相等求出AB,再根據(jù)菱形的對角線互相平分可得OB=OD,然后判斷出OE是△ABD的中位線,

再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求解即可.

【詳解】

解：菱形ABCD的周長為28,

AAB=2?-r4=7,OB=OI),

???E為AD邊中點(diǎn)，

AOE是AABD的中位線，

11

AOE=-AB=-x7=3.1.

22

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵.

3、A

【解析】

由BD是NABC的角平分線，根據(jù)角平分線定義得到一對角NABD與NCBD相等，然后由DC〃AB,根據(jù)兩直線平

行，得到一對內(nèi)錯(cuò)角NABD與NCDB相等，利用等量代換得到NDBC=NCDB,再根據(jù)等角對等邊得到BC=CD,從

而得到正確的選項(xiàng).

【詳解】

???BD是NABC的角平分線，

AZABD=ZCBD,

XVDC/7AB,

AZABD=ZCDB,

AZCBD=ZCDB,

ABC=CD.

故選A.

【點(diǎn)睛】

此題考查了等腰三角形的判定，以及平行線的性質(zhì).學(xué)生在做題時(shí)，若遇到兩直線平行，往往要想到用兩直線平行得

同位角或內(nèi)錯(cuò)角相等，借助轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想解決問題.這是一道較易的證明題，鍛煉了學(xué)生的邏輯思維能力.

4、B

【解析】

本題主要需要分類討論第一次摸到的球是白球還是紅球，然后再進(jìn)行計(jì)算.

【詳解】

21211

①若第一次摸到的是白球，則有第一次摸到白球的概率為；，第二次，摸到白球的概率為不，則有7乂二=二；②若

32323

第一次摸到的球是紅色的，則有第一次摸到紅球的概率為!，第二次摸到白球的概率為1,則有:乂1=!，則兩次摸

333

112

到的球的顏色不同的概率為37+37=7.

333

【點(diǎn)睛】

掌握分類討論的方法是本題解題的關(guān)鍵.

5、B

【解析】

解：TNAC3=90。,NA3C=60。，

AZA=10°,

■:BD平分NABC,

:.ZABD=-AABC=10°,

2

AZA=ZABD,

1?BD=AD=6,

???在RS8CO中，P點(diǎn)是的中點(diǎn)，

：.CP=^BD=\.

故選B.

6、A

【解析】

試題分析：根據(jù)題意可得擴(kuò)建的部分相當(dāng)于一個(gè)長方形，這個(gè)長方形的長和寬分別為x米和(x-60)米，根據(jù)長方形

的面積計(jì)算法則列出方程.

考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用.

7、B

【解析】

試題解析：連接AG如圖，

???A3為直徑，

:.NAC”=90。，

:.ZACD=ZDCB-ZACB=110。-90。=20°,

：.ZAED=ZACD=20°.

故選B.

點(diǎn)睛；在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等.

8、C

【解析】

試題分析：利用根與系數(shù)的關(guān)系來求方程的另一根.設(shè)方程的另一根為%則a+2=6,解得a=l.

考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系.

9、D

【解析】

試題分析：根據(jù)三視圖的法則可知B為俯視圖，D為主視圖，主視圖為一個(gè)正方形.

10、C

【解析】分析：根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定定理判斷即可.

詳解：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，A錯(cuò)誤；

對角線相等的平行四邊形是矩形，B錯(cuò)誤；

對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，C正確；

對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形；

故選：C.

點(diǎn)睛：本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題.判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉

課本中的性質(zhì)定理.

二、填空題（共7小題，每小題3分，滿分21分）

2〃+1

11、

H2+1

【解析】

觀察分母的變化為〃的1次基加1、2次幕加1、3次募加1…,〃次累加1；分子的變化為：3、5、7、9...2/Z+1.

【詳解】

7911

解：Vai=-,ai=—,。3=-----，--，--，

25101726

2n+l

2"+1

故答案為:

n2+1

【點(diǎn)睛】

本題考查學(xué)生通過觀察、歸納、抽象出數(shù)列的規(guī)律的能力，要求學(xué)生首先分析題意，找到規(guī)律，并進(jìn)行推導(dǎo)得出答案.

_22

12、-----.

5

【解析】

試題分析：由加工〃時(shí)，得到m,n是方程3d+6x-5=0的兩個(gè)不等的根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解.

試題解析：:加工〃時(shí)，則m,n是方程3x2?6x-5=0的兩個(gè)不相等的根，?,?〃?+〃=2,

3

，，/。2"-2x（—二）””

，原式=31=〃"〃）-一2嘰一—=-§,故答案為

mnmn_355

-3

考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系.

13、-1.

【解析】

因?yàn)橐辉畏匠痰某?shù)項(xiàng)是已知的，可直接利用兩根之積的等式求解.

【詳解】

???一元二次方程x2+mx+l=0的一個(gè)根為?1,設(shè)另一根為xi,

由根與系數(shù)關(guān)系：?l?xi=L

解得X1=-1.

故答案為1

14、1

【解析】

根據(jù)△ABC中DE垂直平分AC,可求出AE=CE,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出NACE=NA=30。，再根據(jù)NACB=80。

即可解答.

【詳解】

；DE垂直平分AC,ZA=30°,

AAE=CE,ZACE=ZA=30°,

VZA€B=80°,

.?.ZBCE=80c-30o=l0.

故答案為：L

15、（4"T+16）乃

【解析】

利用勾股定理求得圓錐的母線長，則圓錐表面積二底面積+側(cè)面積FX底面半徑的平方+底面周長X母線長

【詳解】

底面半徑為4cm,則底面周長=8;rcm,底面面積=16?rcmi;

由勾股定理得，母線長二V4^57=V41cm

圓錐的便面面積-x8^x屈=4屈曲,

2

，它的表面積=(16TT+4"J乃)cni'=(4V4T+16j^cm1,

故答案為：卜河+16)乃.

【點(diǎn)睛】

本題考查了有關(guān)扇形和圓錐的相關(guān)計(jì)算.解題思路:解決此類問題時(shí)要緊緊抓住兩者之間的兩個(gè)對應(yīng)關(guān)系：(1)圓錐的母線

長等于便面展開圖的施形半徑;(1)圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長.正確對這兩個(gè)關(guān)系的記憶是解題的關(guān)鍵.

16>9

【解析】

解：360+40=9,即這個(gè)多邊形的邊數(shù)是9

1

17>-

3

【解析】

試題分析：上方的正六邊形涂紅色的概率是乙，故答案為L.

33

考點(diǎn)：概率公式.

三、解答題(共7小題，滿分69分)

18、(1)見解析；(2)EC=1.

【解析】

(1)由A6=AC,可知N3=NC,再由OE_L6C,可知/尸+NC=90,>,ZBDE+ZB=90[>,然后余角的性質(zhì)可推出

NF=/BDE,再根據(jù)對頂角相等進(jìn)行等量代換即可推出N，'=N""4,于是得到結(jié)論；

(2)根據(jù)解直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】

(1)*：AB=ACf

；?NB=4C,

9

：FE±BCt

AZF+ZC=90°,N〃OE+N5=900,

:?NF=4BDE,

而

:?NF=/FDA,

：.AF=ADf

???△AOF是等腰三角形；

(2)VDE±HCt

AZDEB=90°,

VZB=60°,30=1,

：.BE=-BI)=2t

Jo

*：AB=ACt

???△45C是等邊三角形，

：?BC=AB=AD+BD=(^9

：.EC=BC-BE=\.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等腰三角形的判定與性質(zhì)、余角的性質(zhì)、對頂角的性質(zhì)等知識點(diǎn)，關(guān)鍵根據(jù)相關(guān)的性質(zhì)定理，通過等量

代換推出/尸=/尸7”，即可推出結(jié)論.

，a

19、(1)150,PA2+PC2=PB2(1)證明見解析(3)4PA2sin7+PC-=PB2

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到A尸為等邊三角形，得到NPPC=90。，根據(jù)勾股定理解答即可；

（1）如圖1,作將△AS尸繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)110。得到AACP,連接PP,作AO_LPP于。，根據(jù)余弦的定義得到PP

=9人,根據(jù)勾股定理解答即可;

（3）與（1）類似，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、勾股定理和余弦、正弦的關(guān)系計(jì)算即可.

試題解析：

【詳解】

解：（1）;△ABP?△ACP',

：.AP=AP\

由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，NB4p=60。，P'C=PB,

，△乃1產(chǎn)為等邊三角形，

，NAPP=60。，

VZE4C+ZPCA=-x600=30°,

2

AZAPC=150°,

:.NP'PC=90°,

:?PP"+PCi=P9,

：.PAX+PCX=PB\

故答案為150,PA}-\-PC=PBxx

（1）如圖，作NR4P=120。，使人〃=4〃，連接F尸，過點(diǎn)4作尸于。點(diǎn).

fo

■:ZBAC=ZPAP=\20f

即Z.BAP+APAC=APAC+ZCAP,

:./BAP=/CAP.

f

?：AB=ACfAP=AP,

,

：.i.BAP^..CAP.

1QA_/pAP'

:?PC=PB,ZAPD=AAP,D=——=^-=30°.

2

VAD±PP,

???ZADP=90\

???在Rtz\APQ中，PD=AP-cosZAPD=—AP.

2

:.PP-2PD=y/3AP?

VZE4C+ZPC4=60°,

AZAPC=18O-ZPAC-ZPC4=12O°.

???AP,PC=ZAPC-ZAPD=9O°.

，在Rt.PPC中，PrP2-\-PC2=PC）.

:.3PA1-\-PC2=PB2;

（3）如圖1,與（1）的方法類似，

作將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)?得到△ACP\連接P產(chǎn),

作40_LPP于D,

ff

由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，ZPAP=atPC=PBt

.,.ZAPr=90°-—,

2

???N%C+NPCA=a,

2

/.ZArC=180°--,

2

aa

:?ZP'PC=(180°--)-(900--)=90°,

22

???PP"+PCi=PC"，

a

VZ4PF=90°-—,

2

.,a、a

.?PD=PA*cos(90°——)=M*sin一,

22

,a

，"'=lP4?sin—,

2

：.4PAlsinl--^PC'=PBl

2t

(7

故答案為^Psin*—+尸?！?尸乩

2

【點(diǎn)睛】

本題考杳的是旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，掌握等邊三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、靈

活運(yùn)用類比思想是解題的關(guān)鍵.

20、證明見解析.

【解析】

試題分析：首先根據(jù)等邊對等角可得NA=NB,再由DC〃AB,可得ND=NA,ZC=ZB,進(jìn)而得到NC=ND,根據(jù)

等角對等邊可得CO=DO.

試題解析：證明：VAB/7CD

AZA=ZDZB=ZC

VOA=OB

AZA=ZB

AZC=ZD

.*.OC=OD

考點(diǎn)：等腰三角形的性質(zhì)與判定，平行線的性質(zhì)

21、(1)答案見解析；(2)AB=1BE；(1)1.

【解析】

試題分析：(1)先判斷出NOCP+NC尸0=90。，再判斷出NOCP=Na)尸，即可得出結(jié)論；

(2)先判斷出N3O￡=NA,進(jìn)而得出得出4￡=20瓦DE=2BE,即可得出結(jié)論；

3

(1)設(shè)BE=x,則。辰EF=2x,AB=lxf半徑。。=丁達(dá)進(jìn)而得出OE=l+2x,最后用勾股定理即可得出結(jié)論.

試題解析：(1)證明：連結(jié)()Df如圖.二EF=ED,：.4EFD=4EDF.二乙EFD=4CFO,；.4CFO=4EDF.TOCIOF,

AZOCF+ZCFO=9Q°.VOC=ODt:?NOCF=NODF,/.ZODC+ZEDF=9^,艮RNO〃E=90。,IODIDE.'?,點(diǎn)。

在。。上，???OE是。。的切線;

(2)線段AB、5E之間的數(shù)量關(guān)系為：AB=IBE,證明如下:

a

/.ZADB=90°,：.ZADO=ZBDE,：OA=ODt：.ZADO=ZAf：,ZBDE=ZAf^ZBED=ZDEAf

.DEBEBD,dBD1,DEBE\

:AEBDsAEDA,.RtAABD41,tan4=-----=—>?==-

*~AE~~DE~~ADAD2AEDE2

工AE=2DE,DE=2BEf：.AE=4BEf：.AB=1BE；

3

(1)設(shè)BE=x,貝！JOE=￡T=2x,AB=\x半徑OO=-x.*：OF=\：.OE=l+2x,

f2t

3?

在RtAOOE中，由勾股定理可得：(-x)2+(2x)2=(l+2x)2,.\r=-一(舍)或x=2,?,?圓。的半徑為1.

29

點(diǎn)睛：本題是圓的綜合題，主要考查了切線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定和

性質(zhì)，勾股定理，判斷出AEBOs/^￡D4是解答本題的關(guān)鍵.

4

22>(1)刈=-；(1)C(-1,-4),x的取值范圍是xV-1或OVxVL

x

【解析】

【分析】(D作高線AC,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和點(diǎn)A的坐標(biāo)的特點(diǎn)得：x=lx-l,可得A的坐標(biāo)，從而得雙

曲線的解析式；

(1)聯(lián)立一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式得方程組，解方程組可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)圖象可得結(jié)論.

【詳解】(1)???點(diǎn)A在直線yklx?l上,

???設(shè)A(x,lx-1),

過A作AC_LOB于C,

VAB1OA,且OA=AB,

.*.OC=BC,

AAC=-OB=OC,