2024-2025學年高中數(shù)學第2章推理與證明2.2直接證明與間接證明2.2.2反證法練習新人教A版選修2-2

PAGEPAGE1§2.2.2反證法[限時50分鐘，滿分80分]一、選擇題(每小題5分，共30分)1．用反證法證明命題“設a，b為實數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個實根”時，要做的假設是A．方程x3＋ax＋b＝0沒有實根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一個實根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個實根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個實根解析依據(jù)反證法的要求，即至少有一個的反面是一個也沒有，干脆寫出命題的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一個實根的反面是方程x3＋ax＋b＝0沒有實根，故應選A.答案A2．用反證法證明“三角形中最多只有一個內角為鈍角”，下列假設中正確的是A．有兩個內角是鈍角 B．有三個內角是鈍角C．至少有兩個內角是鈍角 D．沒有一個內角是鈍角解析“最多有一個”的反設是“至少有兩個”．答案C3．已知α∩β＝l，a?α，b?β，若a，b為異面直線，則A．a(chǎn)，b都與l相交B．a(chǎn)，b中至少有一條與l相交C．a(chǎn)，b中至多有一條與l相交D．a(chǎn)，b都不與l相交解析易知直線a，l共面且b，l共面，假設a，b都不與l相交，則a∥l，且b∥l，∴a∥b，這與a，b是異面直線沖突，故a，b至少有一條與直線l相交，故選B.答案B4．已知f(x)是R上的增函數(shù)，a，b∈R，下列四個命題：①若a＋b≥0，則f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；②若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，則a＋b≥0；③若a＋b<0，則f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)；④若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，則a＋b<0.其中真命題的個數(shù)為A．1 B．2C．3 D．4解析易知①③正確．②用反證法：假設a＋b<0，則a<－b，b<－a，∴f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)與條件沖突，故a＋b≥0，從而②為真命題，④類似于②用反證法．故選D.答案D5．假如△A1B1C1的三個內角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個內角的正弦值A．△A1B1C1和△A2B2CB．△A1B1C1和△A2B2CC．△A1B1C1是鈍角三角形，△A2B2CD．△A1B1C1是銳角三角形，△A2B2C解析因為正弦值在(0，π)內是正值，所以△A1B1C1的三個內角的余弦值均大于0.因此△A1B1C1是銳角三角形．假設△A2B2C2也是銳角三角形，并設cosA1＝sinA2，則cosA1＝cos(90°－∠A2)，所以∠A1＝90°－∠A2.同理設cosB1＝sinB2，cosC1＝sinC2，則有∠B1＝90°－∠B2，∠C1＝90°－∠C2.又∠A1＋∠B1＋∠C1＝180°，∴(90°－∠A2)＋(90°－∠B2)＋(90°－∠C2)＝180°，即∠A2＋∠B2＋∠C2＝90°.這與三角形內角和等于180°沖突，所以原假設不成立．故選D.答案D6．已知數(shù)列{an}，{bn}的通項公式分別為：an＝an＋2，bn＝bn＋1，(a，b是常數(shù))，且a＞b，那么兩個數(shù)列中序號與數(shù)值均相同的項的個數(shù)是A．0 B．1C．2 D．無窮多解析假設存在序號和數(shù)值均相等的兩項，即存在n，使得an＝bn，但若a＞b，n∈N＋，恒有a·n＞b·n，從而an＋2＞bn＋1恒成立．∴不存在n，使得an＝bn.答案A二、填空題(每小題5分，共15分)7．用反證法證明命題“若a2＋b2＝0，則a，b全為0(a，b為實數(shù))”，其反設為________．解析“a，b全為0”即是“a＝0且b＝0”，因此它的反設為“a≠0或b≠0”．答案a，b不全為08．用反證法證明：“一個三角形不能有兩個直角”有三個步驟：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，這與三角形內角和為180°沖突，故假設錯誤．②所以一個三角形不能有兩個直角．③假設△ABC中有兩個角是直角，不妨設∠A＝90°，∠B＝90°.上述步驟的正確依次為________．解析由反證法的證題步驟：“反設—歸謬—結論”可知上述步驟的正確依次為③①②.答案③①②9．設a，b，c均為正實數(shù)，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，則“PQR＞0”是“P，Q，R同時大于零”的________．解析必要性明顯成立；“PQR＞0”包括P，Q，R同時大于零或其中有兩個為負兩種狀況．假設P，Q分別小于零，則2b＜0，這與b為正實數(shù)沖突，同理，P，R同時小于零或Q，R小于零的狀況亦得到?jīng)_突，故P，Q，R同時大于零．答案充分必要條件三、解答題(本大題共3小題，共35分)10．(10分)若x，y都是正實數(shù)，且x＋y>2，求證：eq\f(1＋x,y)<2與eq\f(1＋y,x)<2中至少有一個成立．證明假設eq\f(1＋x,y)<2和eq\f(1＋y,x)<2都不成立，則有eq\f(1＋x,y)≥2和eq\f(1＋y,x)≥2同時成立．因為x>0且y>0，所以1＋x≥2y且1＋y≥2x，兩式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2.這與已知x＋y>2沖突．故eq\f(1＋x,y)<2與eq\f(1＋y,x)<2至少有一個成立．11．(12分)已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ca＞0，abc＞0，求證：a＞0，b＞0，c＞0.證明假設a＜0，由abc＞0得bc＜0，由a＋b＋c＞0，得b＋c＞－a＞0，于是ab＋bc＋ca＝a(b＋c)＋bc＜0，這與已知沖突．又若a＝0，則abc＝0，與abc＞0沖突，故a＞0，同理可證b＞0，c＞0.12．(13分)已知a，b，c是互不相等的實數(shù)，求證：由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a和y＝cx2＋2ax＋b確定的三條拋物線至少有一條與x軸有兩個不同的交點．證明假設題設中的函數(shù)確定的三條拋物線都不與x軸有兩個不同的交點．由y＝ax2＋2bx＋c，y＝bx2＋2cx＋a，y＝cx2＋2ax＋b，得Δ1＝(2b)2－4ac≤0，且Δ2＝(2c)2－4ab≤0，且