2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入單元質(zhì)量評估課時作業(yè)含解析新人教A版選修2-2

第三章單元質(zhì)量評估eq\o(\s\up7(時間：120分鐘滿分：150分),\s\do5())一、選擇題(每小題5分，共60分)1．復(fù)數(shù)eq\f(1－i,1＋i)等于(B)A．－1B．－iC．1D．i解析：由題意得，復(fù)數(shù)eq\f(1－i,1＋i)＝eq\f(1－i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(－2i,2)＝－i，故選B.2.eq\f(1＋i3,1－i2)＝(D)A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i解析：eq\f(1＋i3,1－i2)＝eq\f(1＋i1＋i2,－2i)＝eq\f(1＋i·2i,－2i)＝－1－i.3．若復(fù)數(shù)z＝i(3－2i)(i是虛數(shù)單位)，則eq\x\to(z)＝(A)A．2－3iB．2＋3iC．3＋2iD．3－2i解析：因?yàn)閦＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，所以eq\x\to(z)＝2－3i.4．設(shè)a是實(shí)數(shù)，且eq\f(a,1＋i)＋eq\f(1＋i,2)是實(shí)數(shù)，則a等于(B)A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2)D．2解析：eq\f(a,1＋i)＋eq\f(1＋i,2)＝eq\f(a1－i,2)＋eq\f(1＋i,2)＝eq\f(a＋1,2)＋eq\f(1－a,2)i，由題意可知eq\f(1－a,2)＝0，即a＝1.5．若a為實(shí)數(shù)，且(2＋ai)·(a－2i)＝－4i，則a＝(B)A．－1B．0C．1D．2解析：∵(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a＝0，,a2－4＝－4，))解之得a＝0.6．設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱，z1＝2＋i，則z1z2＝(A)A．－5B．5C．－4＋iD．－4－i解析：由題意知z2＝－2＋i.所以z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.故選A.7．若復(fù)數(shù)z滿意i(z－1)＝1＋i(i為虛數(shù)單位)，則z＝(A)A．2－iB．2＋iC．1－2iD．1＋2i解析：由i(z－1)＝1＋i，得z－1＝eq\f(1＋i,i)＝eq\f(1＋i－i,－i2)＝1－i，∴z＝2－i.故選A.8．若將復(fù)數(shù)eq\f(2＋i,i)表示為a＋bi(a，b∈R，i是虛數(shù)單位)的形式，則eq\f(b,a)的值為(A)A．－2B．－eq\f(1,2)C．2D.eq\f(1,2)解析：因?yàn)閑q\f(2＋i,i)＝1－2i，所以a＝1，b＝－2.所以eq\f(b,a)＝－2.9．已知復(fù)數(shù)z滿意eq\f(z＋1,1－i)＝i，則復(fù)數(shù)z的虛部為(C)A．－iB．iC．1D．－1解析：由題得z＝i(1－i)－1＝i，其虛部為1.故選C.10．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)3－4i，i(2＋i)對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，則線段AB的中點(diǎn)C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(D)A．－2＋2iB．2－2iC．－1＋iD．1－i解析：∵i(2＋i)＝－1＋2i，∴復(fù)數(shù)3－4i，i(2＋i)對應(yīng)的點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(3，－4)，B(－1,2)．∴線段AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1，－1)．則線段AB的中點(diǎn)C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1－i.故選D.11．已知z1與z2是共軛虛數(shù)，有4個命題：①zeq\o\al(2,1)<|z2|2；②z1z2＝|z1z2|；③z1＋z2∈R；④eq\f(z1,z2)∈R.其中肯定正確的是(B)A．①②B．②③C．③④D．①②③解析：z1與z2是共軛虛數(shù)，設(shè)z1＝a＋bi，z2＝a－bi(a，b∈R，b≠0)．①zeq\o\al(2,1)＝a2－b2＋2abi，|z2|2＝a2＋b2，虛數(shù)不能比較大小，因此不正確；②z1z2＝|z1z2|＝a2＋b2，正確；③z1＋z2＝2a∈R，正確；④eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,a－bi)＝eq\f(a＋bi2,a－bia＋bi)＝eq\f(a2－b2,a2＋b2)＋eq\f(2ab,a2＋b2)i不肯定是實(shí)數(shù)，因此不肯定正確．故選B.12．已知復(fù)數(shù)z＝(3a＋2i)(b－i)的實(shí)部為4，其中a，b為正實(shí)數(shù)，則2a＋b的最小值為(D)A．2B．4C.eq\f(2\r(3),3)D.eq\f(4\r(3),3)解析：∵z＝(3a＋2i)(b－i)＝3ab＋2＋(2b－3a)i，∴3ab＋2＝4，∴ab＝eq\f(2,3)，∴2a＋b≥2eq\r(2ab)＝2eq\r(2×\f(2,3))＝eq\f(4\r(3),3)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝eq\f(\r(3),3)，b＝eq\f(2\r(3),3)時取等號，故2a＋b的最小值為eq\f(4\r(3),3)，故選D.二、填空題(每小題5分，共20分)13．實(shí)部為5，模與復(fù)數(shù)4－3i的模相等的復(fù)數(shù)的個數(shù)為1.解析：依題意設(shè)z＝5＋bi(b∈R)，則|z|＝eq\r(25＋b2)，而|4－3i|＝eq\r(42＋－32)＝5，所以eq\r(25＋b2)＝5，即b＝0.所以z＝5.故滿意題意的復(fù)數(shù)只有一個．14．設(shè)復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)的模為eq\r(3)，則(a＋bi)(a－bi)＝3.解析：因?yàn)閺?fù)數(shù)a＋bi的模為eq\r(3)，所以eq\r(a2＋b2)＝eq\r(3)，即a2＋b2＝3.于是(a＋bi)(a－bi)＝a2－(bi)2＝a2＋b2＝3.15．i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)(1－2i)·(a＋i)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為－2.解析：(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i.∵(1－2i)(a＋i)是純虛數(shù)，∴a＋2＝0，且1－2a≠0，∴a＝－2.16．下面四個命題：①0比－i大；②兩個復(fù)數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)其和為實(shí)數(shù)時，互為共軛復(fù)數(shù)；③x＋yi＝1＋i的充要條件為x＝y(tǒng)＝1；④任何純虛數(shù)的平方都是負(fù)實(shí)數(shù)．其中錯誤命題的序號是①②③.解析：①實(shí)數(shù)與虛數(shù)不能比較大??；②兩個復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)時其和為實(shí)數(shù)，但是兩個復(fù)數(shù)的和為實(shí)數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)不肯定是共軛復(fù)數(shù)；③x＋yi＝1＋i的充要條件為x＝y(tǒng)＝1是錯誤的，因?yàn)闆]有表明x，y是否是實(shí)數(shù)；④若z＝bi(b≠0)為純虛數(shù)，則z2＝－b2<0，故①②③均是錯誤命題，④是正確的．三、解答題(寫出必要的計算步驟，只寫最終結(jié)果不得分，共70分)17．(10分)實(shí)數(shù)m取什么數(shù)值時，復(fù)數(shù)z＝m2－1＋(m2－m－2)i分別是：(1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)．解：(1)∵復(fù)數(shù)z＝m2－1＋(m2－m－2)i是實(shí)數(shù)，∴m2－m－2＝0，∴m＝－1或m＝2.(2)∵復(fù)數(shù)z＝m2－1＋(m2－m－2)i是虛數(shù)，∴m2－m－2≠0，∴m≠－1且m≠2.(3)∵復(fù)數(shù)z＝m2－1＋(m2－m－2)i是純虛數(shù)，∴m2－m－2≠0且m2－1＝0，∴m＝1.18．(12分)已知復(fù)數(shù)z1＝m－2i，復(fù)數(shù)z2＝1－ni，其中i是虛數(shù)單位，m，n為實(shí)數(shù)．(1)若m＝1，n＝－1，求|z1＋z2|的值；(2)若z1＝zeq\o\al(2,2)，求m，n的值．解：(1)當(dāng)m＝1，n＝－1時，z1＝1－2i，z2＝1＋i，所以z1＋z2＝(1－2i)＋(1＋i)＝2－i，所以|z1＋z2|＝eq\r(22＋－12)＝eq\r(5).(2)若z1＝zeq\o\al(2,2)，則m－2i＝(1－ni)2，所以m－2i＝(1－n2)－2ni，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1－n2，,－2＝－2n，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝0，,n＝1.))19．(12分)已知復(fù)數(shù)z1滿意(z1－2)(1＋i)＝1－i(i為虛數(shù)單位)，復(fù)數(shù)z2的虛部為2，且z1·z2是實(shí)數(shù)，求z2.解：∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，∴z1－2＝eq\f(1－i,1＋i)＝eq\f(1－i2,1＋i1－i)＝eq\f(－2i,2)＝－i，∴z1＝2－i.設(shè)z2＝a＋2i(a∈R)，則z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.又∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.20．(12分)復(fù)平面內(nèi)有A，B，C三點(diǎn)，點(diǎn)A對應(yīng)的復(fù)數(shù)是3＋i，向量eq\o(AC,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)是－2－4i，向量eq\o(BC,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)是－4－i，求B點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)．解：因?yàn)橄蛄縠q\o(AC,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)是－2－4i，向量eq\o(BC,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)是－4－i，所以eq\o(AB,\s\up6(→))表示的復(fù)數(shù)是(4＋i)－(2＋4i)＝2－3i，故eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(3＋i)＋(2－3i)＝5－2i，所以B點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為5－2i.21．(12分)已知復(fù)數(shù)z滿意|z|＝1＋3i－z，求eq\f(1＋i23＋4i2,2z)的值．解：設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，∵|z|＝1＋3i－z，∴eq\r(a2＋b2)－1－3i＋a＋bi＝0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(a2＋b2)＋a－1＝0，,b－3＝0.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝3.))∴z＝－4＋3i，∴eq\f(1＋i23＋4i2,2z)＝eq\f(2i－7＋24i,2－4＋3i)＝eq\f(24＋7i,4－3i)＝3＋4i.22．(12分)已知z＝m＋3＋3eq\r(3)i，其中m∈C，且eq\f(m＋3,m－3)為純虛數(shù)；(1)求m對應(yīng)點(diǎn)的軌跡；(2)求|z|的最大值、最小值．解：(1)設(shè)m＝x＋yi(x，y∈R)，則eq\f(m＋3,m－3)＝eq\f(x＋3＋yi,x－3＋yi)＝eq\f(x2＋y2－9－6yi,x－32＋y2)，∵eq\f(m＋3,m－3)為純虛數(shù)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－9＝0，,y≠0，))即eq\b\lc\{\