2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步1.4.2空間圖形的公理4及等角定理課時(shí)分層作業(yè)含解析北師大版必修2

PAGE1-課時(shí)分層作業(yè)(五)空間圖形的公理4及等角定理(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．若直線a∥b，b∩c＝A，則a與c的位置關(guān)系是()A．異面 B．相交C．平行 D．異面或相交D[a與c不行能平行，若a∥c，又因?yàn)閍∥b，所以b∥c，這與b∩c＝A沖突，而a與c異面、相交都有可能．]2．已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝30°，則∠PQR等于()A．30° B．30°或150°C．150° D．以上結(jié)論都不對(duì)B[∠ABC的兩邊與∠PQR的兩邊分別平行，但方向不能確定是否相同，∴∠PQR＝30°或150°.]3．如圖所示，在長方體木塊AC1中，E，F(xiàn)分別是B1O和C1O的中點(diǎn)，則長方體的各棱中與EF平行的有()A．3條 B．4條C．5條 D．6條B[由于E、F分別是B1O、C1O的中點(diǎn)，故EF∥B1C1，因?yàn)楹屠釨1C1平行的棱還有3條：AD、BC、A1D4．若空間三條直線a，b，c滿意a⊥b，b⊥c，則直線a與c()A．肯定平行B．肯定相交C．肯定是異面直線D．平行、相交或異面都有可能D[當(dāng)a，b，c共面時(shí)，a∥c；當(dāng)a，b，c不共面時(shí)，a與c可能異面也可能相交．]5．一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關(guān)系是()A．平行或異面 B．相交或異面C．異面 D．相交B[假設(shè)a與b是異面直線，而c∥a，則c明顯與b不平行(否則c∥b，則有a∥b，沖突)．c與b可能相交或異面．]二、填空題6．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，則下列結(jié)論：①∠BAC＝∠B′A′C′；②∠ABC＋∠A′B′C′＝180°；③∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°.肯定成立的是________．③[∵AB∥A′B′，AC∥A′C′，∴∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°.]7．在空間四邊形ABCD中，如圖所示，eq\f(AE,AB)＝eq\f(AH,AD)，eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)，則EH與FG的位置關(guān)系是________．平行[如圖，連接BD，在△ABD中，eq\f(AE,AB)＝eq\f(AH,AD)，則EH∥BD，同理可得FG∥BD.∴EH∥FG.]8．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥AB，底面ABCD是平行四邊形，則PA與CD所成的角是______．90°[∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠PAB是異面直線PA與CD所成的角．又∵PA⊥AB，∴∠PAB＝90°.]三、解答題9．如圖所示，正方體AC1中，E，F(xiàn)分別是A1B1，B1C1的中點(diǎn)，求異面直線DB1與EF[解]如圖所示，連接A1C1，B1D1，并設(shè)它們相交于點(diǎn)O，取DD1的中點(diǎn)G，連接OG，A1G，C1則OG∥B1D，EF∥A1C1∴∠GOA1為異面直線DB1與EF所成的角或其補(bǔ)角．∵GA1＝GC1，O為A1C1∴GO⊥A1C1∴異面直線DB1與EF所成的角為90°.10．長方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1(1)求證：D1E∥BF；(2)求證：∠B1BF＝∠A1ED1.[證明](1)取BB1的中點(diǎn)M，連接EM，C1M在矩形ABB1A1中，易得EM綊A1B1∵A1B1綊C1D1，∴EM綊C1D1，∴四邊形EMC1D1為平行四邊形，∴D1E∥C1M在矩形BCC1B1中，易得MB綊C1F∴BF∥C1M，∴D1E∥BF(2)∵ED1∥BF，BB1∥EA1，又∠B1BF與∠A1ED1的對(duì)應(yīng)邊方向相同，∴∠B1BF＝∠A1ED1.1．如圖是一個(gè)正方體的平面綻開圖，則在正方體中，AB與CD的位置關(guān)系為()A．相交 B．平行C．異面而且垂直 D．異面但不垂直D[將綻開圖還原為正方體，如圖所示，故AB與CD為不垂直的異面直線．]2．如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，BB1的中點(diǎn)，則直線EF和BC1所成的角是()A．45°B．60°C．90°D．120°B[連接AB1，易知AB1∥EF，連接B1C，B1C與BC1交于點(diǎn)G，取AC的中點(diǎn)H，連接GH，則GH∥AB1∥EF.設(shè)AB＝BC＝AA1＝a，連接HB，在△GHB中，易知GH＝HB＝GB＝eq\f(\r(2),2)a，故所求的兩直線所成的角即為∠HGB＝60°.]3．如圖，點(diǎn)P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點(diǎn)，則直線PQ與RS是平行直線的圖是________(填序號(hào))．①②[結(jié)合公理4可知，①②均是平行直線，④中RS和PQ相交，只有③是異面直線．]4．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1(1)AA1與C1D1所成的角的度數(shù)為________；(2)AA1與B1C(1)90°(2)45°[(1)∵AA1∥DD1，∴∠DD1C1∵∠DD1C1∴AA1與C1D1所成的角為90°.(2)∵AA1∥BB1，∴∠BB1C∵∠BB1C∴AA1與B1C5．如圖所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝eq\r(2)，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E為DA的中點(diǎn)，求異面直線BE與CD所成角的余弦值．[解]取AC的中點(diǎn)F，連接EF，BF，在△ACD中，E，F(xiàn)分別是AD，AC的中點(diǎn)，∴EF∥CD，∴∠BEF即為所求的異面直線BE與CD所成的角(或其補(bǔ)角)．在Rt△ABC中，BC＝eq\r(2)，AB＝AC，∴AB＝AC＝1，在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)，∴BE＝eq\f(\r(5),2).在Rt△AEF中，AF＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)，AE＝eq\f(1,2)，∴EF＝eq\f(\r(2),2).在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝eq\f(1,2)，∴BF＝eq\f(