2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時素養(yǎng)評價十基本不等式含解析北師大版必修1

PAGE8-課時素養(yǎng)評價十基本不等式(15分鐘35分)1.已知a+2b=2(a>0,b>0),則ab的最大值為 ()A.12 B.2 C.3 D.【解析】選A.因為a>0,b>0,所以a+2b≥22ab所以22ab≤2,所以ab≤12,當(dāng)且僅當(dāng)a=1,b=2.若y=x+1x-2(x>2)在x=a處取得最小值,則A.3 B.1+3 C.1+2 D.4【解析】選A.當(dāng)x>2時,x-2>0,y=x+1x-2=x-2+1x-2+2【補(bǔ)償訓(xùn)練】不等式9x-2+(x-2)≥6(其中A.x=3B.x=6C.x=5 D.x=10【解析】選C.由基本不等式知等號成立的條件為9x3.設(shè)非零實數(shù)a,b,則“a2+b2≥2ab”是“ab+ba≥2A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】選B.因為a,b∈R時,都有a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,即a2+b2≥2ab,而ab+ba≥2所以“a2+b2≥2ab”是“ab+ba≥4.函數(shù)y=1-2x-3x(x<0)的最小值為【解析】因為x<0,所以y=1-2x-3=1+(-2x)+-3x≥1+2(-2x)·3-答案:1+265.若0<a<1,0<b<1,a≠b,則a+b,2ab,2ab,a2+b2中最大的一個是.

【解析】因為0<a<1,0<b<1,a≠b,所以a+b>2ab,a2+b2>2ab.所以四個數(shù)中最大的應(yīng)從a+b,a2+b2中選擇.而a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1).又因為0<a<1,0<b<1,所以a(a-1)<0,b(b-1)<0,所以a2+b2-(a+b)<0,即a2+b2<a+b,所以a+b最大.答案:a+b6.已知方程ax2-3x+2=0的解為1,b.(1)求a,b的值.(2)求(2a+b)x-9(a-【解題指南】(1)利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求a,b.(2)利用基本不等式求最小值.【解析】(1)由題意知:1+解得a=1,b=2.(2)由(1)知a=1,b=2,所以(2a+b)x-9(a-而x>0時,4x+9x≥24x·當(dāng)且僅當(dāng)4x=9x,即x=3所以(2a+b)x-9((30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.小王從甲地到乙地來回的時速分別為a和b(a<b),其全程的平均時速為v,則 ()A.a<v<ab B.v=abC.ab<v<a+b2【解題指南】先寫出全程的平均時速為v的表達(dá)式,再利用基本不等式與作差法比較即可.【解析】選A.設(shè)甲、乙兩地相距s,則小王用時為sa+s因為a<b,所以v=2ssa+sb=又v-a=2aba+b-a=2.已知當(dāng)x=a時,代數(shù)式x-4+9x+1(x>-1)取得最小值b,A.-3 B.2 C.3 D.8【解析】選C.令y=x-4+9x+1=x+1+9x所以由基本不等式得y=x+1+9x+12(x+1)×93.已知不等式(x+y)1x+ay≥9對隨意正實數(shù)x,y恒成立,A.2 B.4 C.9 D.16【解析】選B.(x+y)1x+ay=1+a+axy+yx≥1+a+2當(dāng)且僅當(dāng)axy=y所以(1+a)2≥9,所以a≥4.4.如圖所示,4個長為a,寬為b的長方形,拼成一個正方形ABCD,中間圍成一個小正方形A1B1C1D1,則以下說法中錯誤的是A.(a+b)2≥4abB.當(dāng)a=b時,A1,B1,C1,D1四點(diǎn)重合C.(a-b)2≤4abD.(a+b)2>(a-b)2【解析】選C.由題圖可知正方形ABCD的面積不小于4個長方形的面積之和,即有(a+b)2≥4ab;正方形A1B1C1D1的面積為(a-b)2,結(jié)合圖形可知(a+b)2>(a-b)2,且當(dāng)a=b時A1,B1,C1,D1四點(diǎn)重合,但是正方形A1B1C1D二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對的得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.設(shè)a,b∈R,且a≠b,a+b=2,則必有 ()A.ab>1 B.ab<1C.a2+b22【解析】選BD.因為ab≤a+b2又1=(a+b)2所以a2+b6.下列推導(dǎo)過程,正確的為 ()A.因為a,b為正實數(shù),所以ba+ab≥2QUOTEba·abB.因為x∈R,所以1xC.a<0,所以4a+a≥2QUOTE4a·a=4D.因為x,y∈R,xy<0,所以xy+yx=--xy+-yx【解析】選AD.因為a,b為正實數(shù),所以ba,a當(dāng)x=0時,有1x2+1=1,故B不正確;當(dāng)a<0時,4a+a≥2QUOTE4a·a=4是錯誤的,C不正確;由xy<0,得xy,yx均為負(fù)數(shù),但在推導(dǎo)過程中將整體xy+三、填空題(每小題5分,共10分)7.已知t>0,則函數(shù)y=t2-4【解析】因為t>0,所以y=t2-4t+1答案:-28.規(guī)定記號“☉”表示一種運(yùn)算,即a☉b=ab+a+b(a,b為正實數(shù)).若1☉k=3,則k的值為,此時k☉xx【解析】1☉k=k+1+k=3,即k+k-2=0,所以k=1或k=-2(舍),所以k=1.k☉xx=x+x+1x=1+x+答案:13四、解答題(每小題10分,共20分)9.求t=x+1x的取值范圍【解析】當(dāng)x>0時,x+1x≥2x當(dāng)且僅當(dāng)x=1x,即x=1時,“=”所以x+1x≥當(dāng)x<0時,x+1x=--x+1-x即x=-1時,“=