2023年高中數(shù)學蘇教版必修 三角函數(shù) 知識點總結(jié)

高中數(shù)學蘇教版必修4三角函數(shù)知識點總結(jié)

一、角的I概念和弧度制：

(1)在直角坐標系內(nèi)討論角：

角的頂點在原點，始邊在X軸的正半軸上，角的終邊在第幾象限，就說過角是第幾象限的

角。若角時終邊在坐標軸上，就說這個角不屬于任何象限，它叫象限界角。

(2)①與a角終邊相似的角的集合：｛分|，=360°左+a,左eZ｝或｛分|分=2版?+%左eZ｝

與a角終邊在同一條直線上的角的集合：；

與a角終邊有關(guān)x軸對稱時角時集合：；

與a角終邊有關(guān)y軸對稱時角時集合：；

與a角終邊有關(guān)y=x軸對稱的角的集合：；

②某些特殊角集合的表達：

終邊在坐標軸上角的集合：；

終邊在一、三象限的平分線上角的集合：；

終邊在二、四象限的平分線上角的集合：；

終邊在四個象限的平分線上角的集合：；

(3)區(qū)間角改I表達：

①象限角：第一象限角：;第三象限角：;

第一、三象限角：;

②寫出圖中所示的區(qū)間角：

(4)對的理解角:

要對時理解“0°~90°間時角”=；

“第一象限時角“二；”銳角"二

“不不小于90°時角”=；

(5)由e的終邊所在的象限，通過來判斷一所在的象限。

2

來判斷上OL所在的象限

3

(6)弧度制：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負角的弧度數(shù)為負數(shù)，零角的弧度數(shù)為零；任一

已知角a的弧度數(shù)的絕對值|?|=’，其中/為以角a作為圓心角時所對圓弧時長,

r

廠為圓的半徑。注意鐘表指針所轉(zhuǎn)過的角是負角。

(7)弧長公式：;半徑公式：;

扇形面積公式：;

二、任意角的三角函數(shù)：

(1)任意角的三角函數(shù)定義：

以角a的頂點為坐標原點，始邊為x軸正半軸建立直角坐標系，在角a的終邊上任取一種

異于原點的I點P(x,y),點尸到原點時距離記為r,貝!|sina=；cosa=；

tana=；cottz=；seca=；csca=；

如：角。日勺終邊上一點(a,-,則cosa+2sina=。注意r>0

(2)在圖中畫出角a的正弦線、余弦線、正切線；

比較%￡(0,1),sinx,tanx,x的大小關(guān)系：

(3)特殊角的三角函數(shù)值：

717171713乃

a07t

~677~2~2

sin。

COS

tana

cot。

三、同角三角曲數(shù)的關(guān)東與誘導公式:

(1)同角三角函數(shù)的關(guān)系

倒數(shù)關(guān)系商數(shù)關(guān)系

平方關(guān)系

sin。

=tan6Z

11

2222COS6U

sin6Z+cosCf=1,l+tanClf=?,l+cot6Z=.?

cosasiria

作用：巴知禁角的一種三角曲數(shù)值，求它的其他各三角函數(shù)值。

(2)誘導公式：

2kn+?=>?：，

兀+a=a：,

—a=a：,

7i—a=a：,

2兀一a今a、,

n

—2Foca：

網(wǎng)

2

網(wǎng)

2

誘導公式可用概括為：

TC3兀

2K7r±a,-a,—±a,7r±a,——土。的三角函數(shù)奇變偶不變，符號看象限。的三角函數(shù)

22-----------------------------------------?

作用：”去負——脫周——化錢”，是對三角的數(shù)式進行角變換的基本

思緒.即運用三角的數(shù)的J奇偶性將負角的三角函敷變?yōu)檎堑腏三角舀散

——去負；運用三角函數(shù)的周期性將任意角的）三角翦教化為角度在區(qū)間

[0°,360°）或[0。,180。）內(nèi)的）三角翦數(shù)——脫周；運用誘導公式將上述三角

函數(shù)化為銃角三角函數(shù)----化錢.

（3）同角三角函數(shù)的關(guān)系與誘導公式的運用:

①已知某角的一種三角函數(shù)值，求它的其他各三角函數(shù)值。

注意：用平方關(guān)系，有兩個成果，一般可通過已知角所在的象限加以取舍,或分象限加以

討論。

②求任意角的三角函數(shù)值。

環(huán)節(jié):

公式二、

四、五、

③已知三角函數(shù)值求角：注意：所得的解不是唯一的，而是有無數(shù)多種.

環(huán)節(jié)：①確定角e所在的I象限;

②如函數(shù)值為正，先求出對應(yīng)的銳角必；如函數(shù)值為負，先求出與其絕對值對

應(yīng)改I銳角由；

③根據(jù)角a所在的象限，得出。?2"間的角一一假如適合已知條件的角在第二限；

則它是1；假如在第三或第四象限，則它是〃+/或2

④假如規(guī)定適合條件的所有角，再運用終邊相似的角的體現(xiàn)式寫出適合條件的所有

角的集合。

37c

如tana=m,貝Usini=,cosa=；sin(--a)-；

cot(———CC)—o

注意：巧用勾股數(shù)求三角曲數(shù)值可提高解題速度：C3,4,5J；(6,8,10J；(5,12,13)；

(8,15,17J；

8、三角的數(shù)圖像和性質(zhì)

1.周期函數(shù)定義

定義對于函數(shù)/(x),假如存在一種不為零時常數(shù)T,使得當x取定義域內(nèi)的每一種

值時，/(x+T)=/(x)都成立，那么就把函數(shù)/(x)叫做周期函數(shù)，不為零時常數(shù)T

叫做這個函數(shù)的周期.

請你判斷下列函數(shù)的周期

y=sinxy=cosxy=\cosx\y=cos|x|

y=|sinx|y=tanxy=tan|x|y=|tanx|y=sin|X|

k兀

例求四數(shù)f(x)=3sin(《兀+§)(左70)的周期。并求最小時正整數(shù)k,使他的周期不不

小于1

解?.?尸火sin（3x+（p）（其中RWO,3WO）的周期為—

.仁2兀=10兀

電F

依題意，ovtwi,即。＜坐W1,...陽三ICk使這個不等式成立的最小正整數(shù)為

32.

注意理解函數(shù)周期這個概念，要注意不是所有的周期函數(shù)均有最小正周期，如常函數(shù)

f（x）=c（C為常數(shù)）是周期函數(shù)，其周期是異于零的實數(shù)，但沒有最小正周期.

結(jié)論：如函數(shù)/（尤+幻=/（尤-4對于任意的江區(qū)，那么函數(shù)f（x）日勺周

期T=2k；如函數(shù)/（x+Q=/（左—x）對于任意的reR,那么函數(shù)f（x）

日勺對稱軸是.包「二左

時，Jm疊=L

(0

當r=2kn——

2『min——]

時9JlTlJ1.

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)

周期性T=^T=2TLL乳r=n

有界性有界有界無界無界

在［2而i--,

在［(211)71,

在(而-y,

單調(diào)性2加+1］上都2如上都是增函在(帆加+

①鹵都是減函

數(shù)，

是噌函數(shù)，加+/)內(nèi)都

gz)在［2冊,數(shù)

在［2脈+,(2fc+l)n］±是增函數(shù)

都是減函斂

2加+:］上都

是減函數(shù)

3o圖像改J平移

對函數(shù)y=/sin(3x+(p)+k(力>0,3>0,(pWO,3WO),其圖象取]基本變換有:

(1)振幅變換(縱向伸縮變換)：是由/時變化引起的.4>1,伸長；/<1,縮短.

(2)周期變換(橫向伸縮變換)：是由3的變化引起的.3>1,縮短；3<1,伸長.

(3)相位變換(橫向平移變換)：是由。日勺變化引起的.(p>0,左移；(p<0,右移.

(4)上下平移(縱向平移變換)：是由A的變化引起的.k>0,上移；A<0,下移

四、三角曲致公式：

兩角和與差的三角函數(shù)關(guān)系

倍角公式

sin((1±0)=sinOCcos/3±cosCL-sin/3

sin2a=2sinCLcosCL

cos(a±[3)=cosacos/3干sinO-sin0cos2a=cos2(X-sin2CL

積化和差公式

sinCC-cos/?=—[sin(OC+/3)+sin(a-夕)]

cosa-sin(3=—[sin((X+J3)-sin(OC-J3)]

cosCC-cos/3=—[cos(a+§)+cos((X-

—6-----書---------------6?-f-------a0

升幕公式

和差化積公式

C2a

l+cos6Z=2COS一

.a+)3oc—/32

sina+sinD=ZSin----------COS----------

22

l-cosa=2sin2一

sin"in夕=2cos"々ina-P2

2,.oca、2

1土sina=(sin—土LcOS一)

?-a+Ba—B22

cosa+cosp=2cos----------cos----------

22l=sin2a+cos2a

〃c.a+B.a—B

coscccosp-2sinsin.aa

22sindr=2sin—cos—

..............1222

sina?cosasin2a降幕公式

tana-cota=-2cot2CLl-cos2a

sin2CC=------------

2

C2a

l+cos6Z=2COS一1+cos2a

2cos2a-------------

c?2a2

l-cosdf=2sin一

2「a____2,_____

aa

sin—±cos—

三倍角公遂sin3^=3sin^-4sin30；cos36=4cos36-3cose；

五.三角恒等變換:

三角變換是運算化簡的過程中運用較多的變換，提高三角變換能力，要學會創(chuàng)設(shè)條件，靈

活運用三角公式，掌握運算，化簡的措施和技能.常用的數(shù)學思想措施技巧如下:

(1)角的變換:在三角化簡，求值，證明中，體現(xiàn)式中往往出現(xiàn)較多的相異角，可根據(jù)角與角

之間的和差，倍半，互補，互余的關(guān)系，運用角的變換，溝通條件與結(jié)論中角的差異，使

問題獲解，對角的變形如：

(yaa3戊

①2a是e的二倍；4。是2a的二倍；a是3的二倍；3是竺的二倍；3a是衛(wèi)的二

2242

倍；3n是上CL的二倍；7七1±2a是7工1土a的二倍。

3624

30。7T7T

②15°=45°—30°=60"—45°=工；問：sin—=；cos—=；

21212

③a=(a+尸)一尸；@^-+a=^--(^--a)；

⑤2a=(a+夕)+(a-尸)=(?+a)--a)；等等

(2)—函數(shù)名稱變換:三角變形中，常常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)。如在三角函數(shù)中正余弦是

基礎(chǔ)，一般化切、割為弦，變異名為同名。

(3)賞數(shù)代換:在三角函數(shù)運算，求值，證明中，有時需要將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值，例如常

數(shù)“1”時代換變形有：

1=sin2?+cos2a=sec2?-tan2a=tanacota=sin900=tan45°

(4)屬的變換:降塞是三角變換時常用措施，對次數(shù)較高的三角函數(shù)式，一般采用降塞處理的