2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)試題（人教A版2019）332拋物線的簡單幾何性質(zhì)（七大題型）

3．3．2拋物線的簡單幾何性質(zhì)目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納】 2題型一：拋物線的幾何性質(zhì) 2題型二：直線與拋物線的位置關(guān)系 4題型三：中點(diǎn)弦問題 8題型四：焦半徑問題 10題型五：弦長、面積問題 12題型六：定點(diǎn)定值問題 17題型七：最值問題 21【重難點(diǎn)集訓(xùn)】 28【高考真題】 43【題型歸納】題型一：拋物線的幾何性質(zhì)1．（多選題）（2024·高三·黑龍江哈爾濱·期末）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，則下列說法中正確的是（

）A． B．C．直線是拋物線的切線 D．有且只有兩個(gè)點(diǎn)，滿足【答案】AC【解析】對(duì)于A中，由在拋物線上，可得，解得，所以A正確；對(duì)于B中，因?yàn)闄E圓與拋物線的焦點(diǎn)重合且兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)，可得，且，解得，所以B不正確；對(duì)于C中，直線的方程為，代入拋物線，整理得，其中，所以直線是拋物線的切線，所以C正確；對(duì)于D中，如圖所示，取，則，所以，所以，所以橢圓不存在點(diǎn)使得，所以D不正確.故選：AC.2．（多選題）（2024·高二·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）關(guān)于拋物線，下列說法正確的是（

）A．拋物線沒有離心率B．拋物線的離心率為1C．若直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，則該直線與拋物線相切D．拋物線一定有一條對(duì)稱軸，一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)【答案】BD【解析】拋物線上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離和點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離d的比，叫作拋物線的離心率，所以由拋物線的定義可知拋物線的離心率為1，故A不正確，B正確；若直線與拋物線的對(duì)稱軸平行，則直線與拋物線也只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線與拋物線相交，所以C不正確；拋物線有且僅有一條對(duì)稱軸，一個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)，所以D正確．故選：BD.3．（多選題）（2024·高二·陜西·期中）過點(diǎn)且與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線方程可能是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】由已知拋物線方程為，其對(duì)稱軸為，當(dāng)直線與拋物線對(duì)稱軸平行時(shí)，直線方程為，此時(shí)與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)成立，當(dāng)直線與拋物線對(duì)稱軸不平行時(shí)，可知直線斜率存在，設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線，得，由直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，可知，解得或，所以直線方程為或，即，或，綜上所述：直線方程為或，或，故選：ABC.4．（多選題）（2024·高三·湖北咸寧·階段練習(xí)）過拋物線的焦點(diǎn)F的一條直線交拋物線于，兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．為定值B．若經(jīng)過點(diǎn)A和拋物線的頂點(diǎn)的直線交準(zhǔn)線于點(diǎn)C，則軸C．存在這樣的拋物線和直線AB，使得OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）D．若直線AB與x軸垂直，則【答案】ABD【解析】由已知可得AB的斜率不等于0，所以設(shè)AB的方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去x得，所以為定值，即A正確，經(jīng)過點(diǎn)A和拋物線的頂點(diǎn)的直線的方程為，與準(zhǔn)線的交點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)椋?，即軸，所以B正確，因?yàn)?，所以不可能，即C錯(cuò)誤，當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，，則由拋物線定義得，所以D正確，故選:ABD．題型二：直線與拋物線的位置關(guān)系5．（1）求過定點(diǎn)，且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線l的方程.（2）若直線l：與曲線C：（）恰好有一個(gè)公共點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)a的取值集合.【解析】（1）由題意知，直線的斜率存在.設(shè)直線斜率為，則切線方程為，由消去x，得.當(dāng)時(shí)，此時(shí)直線，與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，所以，解得，即過M點(diǎn)的切線有兩條.所求直線l的方程為或.綜上所述，所求直線l的方程為，或，或.（2）因?yàn)橹本€l與曲線C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)，所以方程組只有一組實(shí)數(shù)解，消去y，得，即①.當(dāng)，即時(shí)，直線為，直線與曲線恰一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，由，解得（舍去）或.當(dāng)時(shí)，由方程①化為，解得，代入直線方程為，解得，即此時(shí)直線與曲線恰一個(gè)公共點(diǎn).綜上，實(shí)數(shù)a的取值集合是.6．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知直線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q，過Q作直線l垂直于x軸，動(dòng)點(diǎn)P在直線l上，且，記點(diǎn)P的軌跡為C．

(1)求曲線C的方程．(2)設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)A，且．試判斷直線PB與曲線C的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【解析】（1）設(shè)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．因?yàn)?，所?所以．∴點(diǎn)P的軌跡方程為．（2）直線PB與曲線C相切，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為．因?yàn)椋裕渣c(diǎn)B的坐標(biāo)為．所以直線PB的斜率為．因?yàn)樗裕灾本€PB的方程為代入，得.因?yàn)樗灾本€PB與曲線C相切．7．（2024·高二·河南焦作·期末）已知拋物線，直線與交于點(diǎn)(與坐標(biāo)原點(diǎn)不重合)，過的中點(diǎn)作與軸平行的直線，直線與交于點(diǎn)與軸交于點(diǎn)（1）求；（2）證明:直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn).【解析】（1）聯(lián)立方程，可得：，解得所以，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以直線，點(diǎn)將代入，得所以.因?yàn)椋灾本€的方程為，與聯(lián)立消去得，因?yàn)?，所以直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn).8．（2024·高二·廣東佛山·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)圓過點(diǎn)，且與直線相切，設(shè)圓心的軌跡是曲線.（1）求曲線的方程；（2）已知，，過點(diǎn)的直線交曲線于點(diǎn)，（位于軸下方），中點(diǎn)為，若直線與軸平行，求證：直線與曲線相切.【解析】（1）依題意，點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于它到直線的距離，.故點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為的拋物線.因此，曲線的方程為.（2）依題意可設(shè)，，，設(shè)直線的方程為，由消去得：①，所以，因?yàn)橹本€與軸平行，所以此時(shí)方程①為，解得，，即，所以的方程為，即，由消去得：，，所以與曲線相切題型三：中點(diǎn)弦問題9．（2024·高二·山西朔州·期末）直線與拋物線交于兩點(diǎn)，中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則.【答案】2【解析】若，此時(shí)與拋物線只有1個(gè)交點(diǎn)，不合題意，故，聯(lián)立，整理得，由0，解得，設(shè)，則因?yàn)橹悬c(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則，故，解得（舍去）或，所以.故答案為：210．（2024·高二·廣東江門·期中）已知線段是拋物線的一條弦，且中點(diǎn)M在上，則點(diǎn)A橫坐標(biāo)最大值為【答案】2【解析】由題意，設(shè)Ax由拋物線范圍可知，，所以如圖，當(dāng)點(diǎn)A在原點(diǎn)時(shí)橫坐標(biāo)有最小值，為0，由AB中點(diǎn)M在上，可知，即，所以，即如圖，當(dāng)點(diǎn)B在原點(diǎn)時(shí),點(diǎn)A橫坐標(biāo)有最大值，為2.故答案為：2.11．（2024·高二·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知拋物線，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，則直線的方程為.【答案】【解析】設(shè)，，由題意，因?yàn)?，在拋物線上，所以，，兩式相減得，，整理得，，即直線的斜率，直線的中點(diǎn)為，，，所以直線的方程為，化簡得.故答案為：.題型四：焦半徑問題12．（2024·高二·黑龍江哈爾濱·期中）已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合．斜率為的直線經(jīng)過點(diǎn)，且與的交點(diǎn)為．若，則直線的斜率為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】由橢圓方程可知，則，由題意可設(shè)直線的方程為：，，與拋物線方程聯(lián)立可知，即，又，所以.故選：D13．（2024·高二·江蘇常州·期中）已知拋物線，弦過拋物線的焦點(diǎn)且滿足，則弦的中點(diǎn)到軸的距離為（

）A． B．3 C． D．4【答案】C【解析】拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)，假設(shè)，顯然弦所在的直線的斜率存在且不等于零，設(shè)弦所在的直線方程為，聯(lián)立，消去可得，，所以，因?yàn)?，所以，則，所以，解得，所以，所以，所以弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以弦的中點(diǎn)軸的距離為，故選:C.14．（2024·高二·廣東珠海·期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，若，則的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由拋物線的性質(zhì)，結(jié)合拋物線的定義求解即可．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，的中點(diǎn)為，過作準(zhǔn)線的垂線使得，，，軸于，設(shè)，又，則，，則，又，則，又，則，即，則，故選：C．15．（2024·高二·江西宜春·開學(xué)考試）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且傾斜角為的直線與拋物線C交于，兩點(diǎn)，若，則（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，所以直線方程為，代入拋物線方程并整理得，設(shè)，，則，又，∴，所以.故選：B題型五：弦長、面積問題16．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）若，是拋物線上不同的兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，則的最大值為．【答案】6【解析】設(shè)Ax1,y1，B則，設(shè)斜率為，則，相減得：，因?yàn)?，即，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)滿足在拋物線內(nèi)部，所以AB的最大值為6.故答案為：6.17．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過的直線交于兩點(diǎn)，軸被以為直徑的圓所截得的弦長為6，則．【答案】10【解析】拋物線C：的焦點(diǎn)F1,0，易知當(dāng)斜率不存在時(shí)不符合題意，故設(shè)直線的方程為y=kx-1，，設(shè)Ax1,則即，恒成立，故，AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，即以為直徑的圓的圓心到軸的距離又，即以為直徑的圓的半徑，由圖知，，即，解得，故．故答案為：10.18．（2024·高二·江蘇南京·期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，分別過作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為.若，四邊形的面積為，則．【答案】【解析】由題意可知直線有斜率且不為0,設(shè)所在直線方程為，聯(lián)立，得．不妨設(shè)在第一象限，,，,，則，又，，即，聯(lián)立，解得或（舍，則，即，進(jìn)而可得所以解得，故答案為：19．（2024·高二·內(nèi)蒙古赤峰·期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線與軸的交點(diǎn)為A，與C的交點(diǎn)為P，且．(1)求C的方程；(2)延長交拋物線于Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積．【解析】（1）設(shè)，代入由中得，所以，，由題設(shè)得，解得（舍去）或．所以的方程為；（2）由（1）知,F1,0,所以直線方程為，即，聯(lián)立，則,故，故，原點(diǎn)到直線的距離為，故.20．（2024·高二·陜西榆林·期末）已知拋物線：（）的焦點(diǎn)關(guān)于其準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)為.(1)求拋物線的方程；(2)若為坐標(biāo)原點(diǎn)，過焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，求的面積.【解析】（1）拋物線：y2=2pxp>0的焦點(diǎn)關(guān)于其準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)為，于是，解得：，所以拋物線的方程為.（2）由（1）知，直線的方程為，設(shè)Ax1,y1，由消去x得：，則，所以的面積.題型六：定點(diǎn)定值問題21．（2024·高二·福建廈門·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在拋物線上，且A到的焦點(diǎn)的距離為1．(1)求的方程；(2)若直線與拋物線C交于兩點(diǎn)，，且，試探究直線是否過定點(diǎn)，若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)，否則，請(qǐng)說明理由．【解析】（1）依題意可得，解得，所以拋物線方程為：；（2）設(shè)直線顯然存在，聯(lián)立方程，化簡可得所以在拋物線C上，故，，解得或，因?yàn)椋?，得所以直線過定點(diǎn).22．（2024·高二·江蘇泰州·期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線E：和點(diǎn)．點(diǎn)Q在E上，且．(1)求E的方程；(2)若過點(diǎn)H作兩條直線，，與E相交于A，B兩點(diǎn)，與E相交于C，D兩點(diǎn)，直線AB，CD，AD，BC的斜率分別為，，，．證明：．【解析】（1）因?yàn)?所以，因?yàn)辄c(diǎn)Q在E上，所以，所以，所以E的方程為：.（2）設(shè)所以直線的斜率為直線的斜率為直線的斜率為直線的斜率為所以所以.23．（2024·高二·青海玉樹·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線，過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，，直線的斜率為，直線的斜率為.證明：為定值.【解析】（1）因動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離，故可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是拋物線，設(shè)其方程為，由題意得，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為：（2）如圖，因直線的斜率不能為零（否則直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)），又過點(diǎn)，可設(shè)由消去并整理得：，顯然設(shè)，則由韋達(dá)定理，（*）則，將（*）代入得：,故為定值.24．（2024·高二·陜西漢中·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上一點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4，且點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為5．(1)求拋物線的方程；(2)若直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)（位于對(duì)稱軸異側(cè)），且，求證：直線l必過定點(diǎn)．【解析】（1）由題可知，點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離為5，因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4，所以，解得，所以拋物線的方程為；（2）證明：設(shè)，且，聯(lián)立消去x可得，則，且，即，所以，由，得，即，解得（舍）或，故直線l的方程為，所以直線l必過定點(diǎn)．25．（2024·高二·江蘇蘇州·期末）已知拋物線，記其焦點(diǎn)為.設(shè)直線：，在該直線左側(cè)的拋物線上的一點(diǎn)P到直線的距離為，且.(1)求的方程；(2)如圖，過焦點(diǎn)作兩條相互垂直的直線、，且的斜率恒大于0.若交于點(diǎn)，交拋物線于、兩點(diǎn)，證明：為定值.【解析】（1）拋物線的準(zhǔn)線的方程為，則可知，解得，所以的方程為.（2）作于，于.由拋物線定義，，，又因?yàn)椋?，所以，，由此，，，所以，，所以，為定?題型七：最值問題26．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）已知直線l：分別與x軸，直線交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)P是線段AB的垂直平分線上的一點(diǎn)（P不在x軸負(fù)半軸上）且.(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)設(shè)l與C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，點(diǎn)M在C上且滿足，延長MA交C于點(diǎn)N，求的最小值.【解析】（1）由題意，如圖，∵，∴，又∵不在軸負(fù)半軸上，∴與直線垂直，又∵，∴點(diǎn)的軌跡是以1,0為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，∴點(diǎn)的軌跡方程為.（2）由得，∵與交于兩點(diǎn)，∴，設(shè)，，則，又∵，∴，∵的斜率為，∴直線的方程為，設(shè)，，同理得，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取到“=”，∴的最小值為16.27．（2024·高二·上海·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線交于兩點(diǎn)(1)設(shè)直線的方程為，求線段的長(2)設(shè)直線經(jīng)過點(diǎn)，若以線段為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，求直線的方程(3)設(shè)，若存在經(jīng)過點(diǎn)的直線，使得在拋物線上存在一點(diǎn)，滿足，求的取值范圍【解析】（1）由拋物線方程知：F1,0，則直線過焦點(diǎn)，設(shè)Ax由得：，，.（2）由題意知：直線斜率不為零，可設(shè)，Ax1,由得：，則，解得：；，，，，，，解得：（滿足），直線得方程為：或.（3）由題意知：直線斜率不為零，可設(shè)，，，，，；由得：，則，即，，，，由得：，即，，，，，即的取值范圍為.28．（2024·高二·重慶·階段練習(xí)）已知點(diǎn)及拋物線上一點(diǎn)滿足的最小值為.(1)求；(2)過點(diǎn)作兩條直線分別交拋物線于點(diǎn)，，并且都與動(dòng)圓相切，若直線經(jīng)過點(diǎn)，求的最小值.【解析】（1）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，由題意得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)M、P、F三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào).因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以，解?（2）由（1）知，，故N在拋物線上，直線NQ、NP斜率都存在，設(shè)直線NQ、NP斜率分別為、，，則直線NQ的方程為，由，可得，所以，則，又Q在拋物線上，所以，同理，又直線PQ過點(diǎn)M，所以，即，解得，即，因?yàn)镹Q與NP都與圓C相切，所以直線NC是的角平分線，由題意知NC的斜率存在，設(shè)直線NC的斜率為k，則，解得，當(dāng)時(shí)，NC過原點(diǎn)，此時(shí)直線不經(jīng)過點(diǎn)，故舍去，所以，所以直線NC的方程,所以的最小值即是點(diǎn)到直線NC的距離d，即，所以的最小值為.29．（2024·海南·模擬預(yù)測）已知拋物線（）的焦點(diǎn)F到雙曲線的漸近線的距離是．(1)求p的值；(2)已知過點(diǎn)F的直線與E交于A，B兩點(diǎn)，線段的中垂線與E的準(zhǔn)線l交于點(diǎn)P，且線段的中點(diǎn)為M，設(shè)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）E的焦點(diǎn)為，雙曲線的漸近線方程為，不妨取，即．由點(diǎn)到直線的距離公式得，得．（2）由（1）知，，：．設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消去x并整理，得，設(shè)，，則，，，∴．易得M點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴的中垂線方程為，令得，∴，從而，∴，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．30．（2024·高三·重慶沙坪壩·期中）已知拋物線的頂點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn).(1)判斷是否為定值，并說明理由；(2)設(shè)直線分別與直線交于點(diǎn)，求的最小值.【解析】（1）當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率為0時(shí)，與拋物線只有1個(gè)交點(diǎn)，不合要求，舍去，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，設(shè)，則，所以，所以為定值4.（2）直線的方程為，直線的方程為，由，得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，同理：點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，于是，令，則，所以，綜上所述：當(dāng)，即時(shí)，的最小值為.31．（2024·高二·上海寶山·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離，設(shè)點(diǎn)的軌跡為.(1)過點(diǎn)且斜率為2的直線與曲線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)、，求線段的長；(2)求曲線上的點(diǎn)到直線的最短距離.【解析】（1）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到直線的距離，所以曲線的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，其標(biāo)準(zhǔn)方程為①，因?yàn)檫^點(diǎn)且斜率為2的直線與曲線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)、，則直線的方程為②，聯(lián)立①②，消去并整理得，設(shè)點(diǎn)，，由韋達(dá)定理得，此時(shí)；（2）不妨設(shè)點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離，易知當(dāng)時(shí)，，故曲線上的點(diǎn)到直線的最短距離為．【重難點(diǎn)集訓(xùn)】1．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知點(diǎn)為拋物線上異于原點(diǎn)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若，則線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】設(shè)的中點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線為，如圖，作，垂足分別為.由直角梯形的性質(zhì)可得，取拋物線焦點(diǎn)為，由拋物線定義可得，當(dāng)且僅當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，所以線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最小值為．故選：B.2．（2024·湖南益陽·一模）已知拋物線，的焦點(diǎn)分別為、，若、分別為、上的點(diǎn)，且線段平行于軸，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．當(dāng)時(shí)，是直角三角形 B．當(dāng)時(shí)，是等腰三角形C．存在四邊形是菱形 D．存在四邊形是矩形【答案】C【解析】依題意，線段平行于軸，不妨設(shè)在第一象限，設(shè)，則，焦點(diǎn)，A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，解得，所以，則，是直角三角形，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，解得，所以，由于，所以關(guān)于直線對(duì)稱，而，所以此時(shí)是等腰三角形.對(duì)于CD選項(xiàng)，先考慮四邊形是平行四邊形，則，則，此時(shí)，，所以四邊形是矩形，不是菱形，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確.故選：C3．（2024·高二·浙江杭州·期中）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上一點(diǎn)且在第一象限，，若將直線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到直線，且直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】F1,0設(shè)，則，所以，則，故，所以，則直線的傾斜角，所以直線的斜率，所以直線的方程為，聯(lián)立，消得，，設(shè)，則，所以.故選：A.4．（2024·高二·云南曲靖·期末）已知直線交拋物線于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】易知直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，則兩式相減得，整理得，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，則，所以，即直線的斜率為.故選：D.5．（2024·西藏林芝·模擬預(yù)測）已知拋物線上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，到直線的距離為，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】由拋物線知，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，根據(jù)題意作圖如下；點(diǎn)到直線的距離為，到準(zhǔn)線的距離為，由拋物線的定義知：，所以點(diǎn)到直線和準(zhǔn)線的距離之和為，且點(diǎn)到直線的距離為，所以的最小值為.故選：D6．（2024·高二·浙江·期中）已知拋物線，過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，交圓于兩點(diǎn)，其中位于第一象限，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】由題意得，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F0,1，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，不滿足交拋物線于兩點(diǎn)，舍去，設(shè)直線方程為，聯(lián)立得，，方程的判別式，設(shè)Ax則，，則，，其中的圓心為F0,1，半徑為1，故，同理可得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故選：C7．（2024·高二·重慶·階段練習(xí)）已知軸上一定點(diǎn)，和拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則，所以，因?yàn)楹愠闪?，所以恒成立，所以恒成立，?dāng)時(shí)顯然恒成立，當(dāng)時(shí)恒成立，所以，則，又，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B8．（2024·高二·內(nèi)蒙古興安盟·期中）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，N是拋物線C上一點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，的面積為（

）A．7 B．5 C． D．【答案】D【解析】過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，由拋物線定義可知，，由圖知，當(dāng)MN與拋物線C的準(zhǔn)線垂直時(shí)，取得最小值，此時(shí)點(diǎn)縱坐標(biāo)為4，代入拋物線方程可得，則的面積為．故選：D9．（多選題）（2024·高二·河南·階段練習(xí)）已知F是拋物線的焦點(diǎn)，l是C的準(zhǔn)線，N是C上一點(diǎn)且位于第一象限，直線FN與圓相切于點(diǎn)E，過點(diǎn)N作l的垂線，垂足為P，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則或B．若，則的面積為或C．的周長的最小值為4D．若為等邊三角形，則【答案】ABD【解析】依題意，，，直線，則，記l交x軸于點(diǎn)M，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，，則，，，，，，對(duì)于A，由，得或，或，A正確；對(duì)于B，或，B正確；對(duì)于C，的周長為，令，由，得，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若為等邊三角形，則，，D正確.故選：ABD10．（多選題）（2024·高二·江蘇南京·期中）設(shè)拋物線y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在軸上，若線段的中點(diǎn)在拋物線上，且點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，則（

）A． B．點(diǎn)的坐標(biāo)為0,2C． D．直線的方程為【答案】AC【解析】由題意得，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，設(shè)的坐標(biāo)為，由為的中點(diǎn)得，，即由點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離為，得，解得，故A正確；則拋物線為，，則，故，所以的坐標(biāo)為0,2或，故B錯(cuò)誤；的面積為，故C正確；由、M0,2或知，直線的方程為，即，故D錯(cuò)誤.故選：AC11．（多選題）（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）某曲線C的方程為，下列說法正確的是（

）A．曲線C關(guān)于對(duì)稱B．曲線C上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值是2C．曲線C與直線交于A、B兩點(diǎn)，則D．點(diǎn)在曲線C上，則的取值范圍為【答案】AD【解析】對(duì)于A：將，互換代入曲線，得，方程不變，所以曲線關(guān)于對(duì)稱，所以A選項(xiàng)正確：對(duì)于B：，即，將其看成關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)判別式法得，解得，若，則，此時(shí)，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C：將代入方程，可得，即，解得或，所以，則，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?，由題意可知，即，又因?yàn)椋?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；因?yàn)?，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；則，此時(shí)，即，所以D選項(xiàng)正確.故選:ABD.12．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過且斜率為的直線交于兩點(diǎn)，若，則的準(zhǔn)線方程為．【答案】【解析】易知，直線的方程為，由得，設(shè)Ax則，，所以，解得，所以的準(zhǔn)線方程為．故答案為：13．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的拋物線上的任一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離比其到軸的距離大1，過作直線交拋物線于，以線段為直徑的圓交軸于，則的最小值為．【答案】【解析】由拋物線定義可知，即，則焦點(diǎn)為F1,0或，取F1,0，則拋物線方程為．設(shè)直線，代入，得．設(shè)Ax1,y1則．則以線段為直徑的圓的圓心，半徑，過作于點(diǎn)，連接，，當(dāng)時(shí)，有最小值．同理可設(shè)當(dāng)取拋物線方程為時(shí)，也有最小值．故答案為：14．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，若以軸正方向的射線繞焦點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與拋物線交于點(diǎn)，過作軸，交準(zhǔn)線于點(diǎn)，則的面積為．【答案】【解析】由題知焦點(diǎn)F1,0，準(zhǔn)線為，直線的方程為：，聯(lián)立，可得，所以或（舍），，，所以．故答案為：.15．（2024·高二·云南保山·階段練習(xí)）已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作的準(zhǔn)線的垂線，垂足為為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)證明：三點(diǎn)共線；(2)若，求直線的方程.【解析】（1）證明：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1,0設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，聯(lián)立，消去得，則，所以，因?yàn)?，所以，又，所以，即，所以三點(diǎn)共線.（2）因?yàn)?，所以，于是，即，由?）知，所以直線的方程為.16．（2024·高二·安徽六安·期末）過拋物線焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，特別地，當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，.(1)求拋物線的方程；(2)已知點(diǎn)，若，求的面積（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.【解析】（1）拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，直線，聯(lián)立拋物線方程，化簡并整理得，，顯然，設(shè)Ax1,則，解得，所以拋物線的方程為；（2）設(shè)Ax顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線，聯(lián)立拋物線方程，化簡并整理得，顯然，所以，又，所以，因?yàn)?，所以，所以，則，設(shè)的面積為，則，所以的面積為.17．（2024·高二·四川宜賓·期末）已知為拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上一點(diǎn)，且的最小值為1．(1)求的方程；(2)過的直線與交于兩點(diǎn)，過原點(diǎn)作直線的垂線交于點(diǎn)（異于點(diǎn)）．當(dāng)四邊形的面積為時(shí)，求直線的方程．【解析】（1）由題知，當(dāng)點(diǎn)在原點(diǎn)上時(shí)，PF的最小，所以，所以，所以拋物線的方程為．（2）設(shè)方程為由聯(lián)立得：．于是，，于是，直線方程為．由聯(lián)立得：．解得或．于是，點(diǎn)，所以所以四邊形的面積即，令，則，所以于是，．即即解得或于是，或所以直線的方程為或18．（2024·高二·福建福州·期末）已知拋物線，其焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線C上，且．(1)求拋物線的方程；(2)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線上不同的兩點(diǎn)，且，求證：直線AB過定點(diǎn)；【解析】（1）拋物線，,其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，可得，且，解得，或（舍去），，則拋物線的方程為；（2）如圖，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，可得，則，又，所以，由，可得即，解得，或（舍去），所以直線恒過定點(diǎn).【高考真題】1．（2024年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）（多選題）拋物線C：的準(zhǔn)線為l，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，過P作的一條切線，Q為切點(diǎn)，過P作l的垂線，垂足為B，則（

）A．l與相切B．當(dāng)P，A，B三點(diǎn)共線時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，D．滿足的點(diǎn)有且僅有2個(gè)【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)，拋物線的準(zhǔn)線為，的圓心到直線的距離顯然是，等于圓的半徑，故準(zhǔn)線和相切，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，三點(diǎn)共線時(shí)，即，則的縱坐標(biāo)，由，得到，故，此時(shí)切線長，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故或，當(dāng)時(shí)，，，，不滿足；當(dāng)時(shí)，，，，不滿足；于是不成立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，方法一：利用拋物線定義轉(zhuǎn)化根據(jù)拋物線的定義，，這里，于是時(shí)點(diǎn)的存在性問題轉(zhuǎn)化成時(shí)點(diǎn)的存在性問題，，中點(diǎn)，中垂線的斜率為，于是的中垂線方程為：，與拋物線聯(lián)立可得，，即的中垂線和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，即存在兩個(gè)點(diǎn)，使得，D選項(xiàng)正確.方法二：（設(shè)點(diǎn)直接求解）設(shè)，由可得，又，又，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，，整理得，，則關(guān)于的方程有兩個(gè)解，即存在兩個(gè)這樣的點(diǎn)，D選項(xiàng)正確.故選：ABD2．（2024年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）（多選題）設(shè)計(jì)一條美麗的絲帶,其造型可以看作圖中的曲線C的一部分.已知C過坐標(biāo)原點(diǎn)O.且C上的點(diǎn)滿足:橫坐標(biāo)大于，到點(diǎn)的距離與到定直線的距離之積為4，則（

）A． B．點(diǎn)在C上C．C在第一象限的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為1 D．當(dāng)點(diǎn)在C上時(shí)，【答案】ABD【解析】對(duì)于A：設(shè)曲線上的動(dòng)點(diǎn)Px,y，則且，因?yàn)榍€過坐標(biāo)原點(diǎn)，故，解得，故A正確.對(duì)于B：又曲線方程為，而，故.當(dāng)時(shí)，，故在曲線上，故B正確.對(duì)于C：由曲線的方程可得，取，則，而，故此時(shí)，故在第一象限內(nèi)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值大于1，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D：當(dāng)點(diǎn)在曲線上時(shí)，由C的分析可得，故，故D正確.故選：ABD.3．（2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）（多選題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與C交于M，N兩點(diǎn)，l為C的準(zhǔn)線，則（

）．A． B．C．以MN為直徑的圓與l相切 D．為等腰三角形【答案】AC【解析】A選項(xiàng)：直線過點(diǎn)，所以拋物線的焦點(diǎn)，所以，則A選項(xiàng)正確，且拋物線的方程為.B選項(xiàng)：設(shè)，由消去并化簡得，解得，所以，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)：設(shè)的中點(diǎn)為，到直線的距離分別為，因?yàn)椋吹街本€的距離等于的一半，所以以為直徑的圓與直線相切，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)：直線，即，到直線的距離為，所以三角形的面積為，由上述分析可知，所以，所以三角形不是等腰三角形，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.4．（2022年新高考全國II卷數(shù)學(xué)真題）（多選題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)M(p,0)，