廣東省清遠(yuǎn)市清新區(qū)四校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

清新區(qū)2024～2025學(xué)年高二12月期末四校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題滿分150分，考試用時120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.）1.已知在四面體中，點(diǎn)是棱上的點(diǎn)，且，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，若其中為實(shí)數(shù)，則的值是（）A. B. C.－2 D.2【答案】B【解析】【分析】利用向量運(yùn)算得到得到答案.【詳解】故故選：【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的運(yùn)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.2.阿基米德在他的著作《關(guān)于圓錐體和球體》中計(jì)算了一個橢圓的面積，當(dāng)我們垂直地縮小一個圓時，得到一個橢圓，橢圓的面積等于圓周率與橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積．已知橢圓的面積為，兩個焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，若四邊形的周長為12，則四邊形面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)橢圓面積得出，結(jié)合四邊形的周長求得，進(jìn)而得出橢圓方程，得出，設(shè)Ax1,y1，根據(jù)四邊形的面積為即可求解最大面積．【詳解】由題可知，，即，由四邊形的周長為12得，，即，所以，所以橢圓，則，設(shè)Ax1,y1所以四邊形的面積為，故選：A．3.已知直線：與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，則的長為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】D【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)拋物線的定義可得，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系，即可求解．【詳解】由拋物線，可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，又由直線，可得直線過拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)拋物線的定義可得所以，又由，整理得，則，所以．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的定義，以及拋物線的焦點(diǎn)弦的求解，其中解答中熟練應(yīng)用拋物線的焦點(diǎn)弦的性質(zhì)，合理利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，再由標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點(diǎn)位置，并求焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】因?yàn)椋?，所以拋物線的焦點(diǎn)在軸上，且，所以，所以拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：D.5.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用換元法將題目條件轉(zhuǎn)化為在上恒成立；再構(gòu)造函數(shù)，判斷其函數(shù)的單調(diào)性，求出最大值即可解答.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立.令，則，所以在上恒成立.又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以當(dāng)時，故.故選：D.6.已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為，則（）A.的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為B.的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為C.的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為D.的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為【答案】B【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，求出實(shí)數(shù)的值，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可求得函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間.【詳解】因?yàn)?，則，由已知可得，解得，所以，.由，得；由，得．故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．故選：B.7.已知點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線相等，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為12，則的值為（）A.6 B.9 C.12 D.15【答案】D【解析】【分析】直接根據(jù)拋物線定義得的軌跡為拋物線，再設(shè)其拋物線方程，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)求出其方程，再根據(jù)拋物線性質(zhì)即可求出的長.【詳解】由題意得點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為的拋物線，設(shè)拋物線的方程為，，則，解得，故拋物線方程為，當(dāng)時，，則，故選：D.8.點(diǎn)在直線上，且點(diǎn)到直線的距離為，則點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再代入點(diǎn)到直線的距離公式，即可得答案.【詳解】∵點(diǎn)在直線上，∴設(shè)，利用點(diǎn)到直線的距離公式得：，解得：或，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.每題至少兩項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.）9.（多選）已知某圓圓心C在x軸上，半徑為5，且在y軸上截得線段AB的長為8，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】利用勾股定理求出的長，從而確定圓心的坐標(biāo)，寫出圓的方程即可.【詳解】由題意設(shè)，，所以，在中，如圖所示，有兩種情況：故圓心C的坐標(biāo)為或，故所求圓標(biāo)準(zhǔn)方程為故選：AB.10.已知點(diǎn)P在圓C：上，點(diǎn)A（4，0），B（0，2），當(dāng)∠PBA最小時，記直線PB斜率為k1，當(dāng)∠PBA最大時，記直線PB的斜率為k2，則（）A. B.C.三角形PAB的面積小于 D.三角形PAB的面積大于【答案】ABC【解析】【分析】設(shè)切線方程為，由圓心到切線距離等于半徑得關(guān)于的方程，由韋達(dá)定理判斷AB，求出圓心到直線的距離，可得到直線距離的最大值和最小值，從而可判斷CD．【詳解】過點(diǎn)B作圓M的兩條切線，切點(diǎn)分別為N，Q，如圖所示，連接MB，MN，MQ，則當(dāng)∠PBA最小時，點(diǎn)P與N重合，當(dāng)∠PBA最大時，點(diǎn)P與Q重合，A．設(shè)l：，即當(dāng)l與圓M相切時，由韋達(dá)定理，故A正確；B．由選項(xiàng)A得，，故B正確；C．，，由題易知直線AB的方程為，即，則圓心M到直線AB的距離，所以直線AB與圓M相離，到直線的距離記為h，所以點(diǎn)P到直線AB的距離的最大值為，，，C正確；D．點(diǎn)P到直線AB的距離的最小值為，，面積最小值，故D錯誤．故選：ABC．11.下列說法正確的是（）A.過點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為B.過點(diǎn)且在x、y軸截距相等的直線方程為C.曲線過點(diǎn)的最短弦長為；D.直線與曲線有兩個不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】AC【解析】【分析】A根據(jù)垂直關(guān)系確定斜率，應(yīng)用點(diǎn)斜式寫出直線方程判斷；B注意截距不為0的情況；C判斷已知點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，結(jié)合通項(xiàng)性質(zhì)求最短弦長；D根據(jù)給定直線和曲線的形狀，數(shù)形結(jié)合求參數(shù)范圍.【詳解】A：與直線垂直的直線斜率為，故所求直線為，即，對；B：若截距不為0時，令直線為，則，此時直線方程為，錯；C：由，是焦點(diǎn)為的拋物線，故過點(diǎn)的最短弦為通徑，長度為，對；D：由過定點(diǎn)，是圓上半部分，如下圖，當(dāng)動直線與半圓的左上方相切時，有，即，得，當(dāng)動直線過半圓左側(cè)端點(diǎn)時，即，結(jié)合圖知，，D錯.故選：AC三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知，試用表示經(jīng)過兩點(diǎn)直線的傾斜角_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)斜率公式結(jié)合誘導(dǎo)公式運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，∵，則，∴，又∵，則，∴.故答案為：.13.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則數(shù)列的公比__________．【答案】【解析】【分析】由可得，從而可求公比【詳解】由可得，故或，若故，若，則，故答案為：.14.若雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，它的一條漸近線方程是，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是__________.【答案】【解析】【分析】依題意，可求得的焦點(diǎn)，也是雙曲線的焦點(diǎn)，再由雙曲線的一條漸近線方程即可求得雙曲線的方程．【詳解】∵，∴該橢圓的焦點(diǎn)在軸，且焦點(diǎn)坐標(biāo)為：；∵雙曲線的一條漸近線方程為，∴設(shè)雙曲線的方程為，即，∵雙曲線與有相同的焦點(diǎn)，∴，∴，∴雙曲線的方程為．故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的性質(zhì)與雙曲線的性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程，求得雙曲線的焦點(diǎn)是關(guān)鍵，屬于中檔題．四、解答題（本題共5小題，共77分）15.如圖，在直三棱柱中，，，D，E，F(xiàn)分別為，，AB的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線CE與平面所成角正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)G，連接，，利用線線平行證明線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求線面夾角正弦值.【小問1詳解】證明：取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)镕，G分別為，的中點(diǎn)，所以，，又E為的中點(diǎn)，，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.【小問2詳解】解：在直三棱柱中，平面，又平面，平面，所以，，又，故以B為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則令得，，所以平面的一個法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成的角的正弦值為.16.已知拋物線的焦點(diǎn)為，經(jīng)過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn).（1）求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；（2）經(jīng)過點(diǎn)的另一條直線交拋物線于，兩點(diǎn)，連接，設(shè)經(jīng)過且平行于的直線交軸于點(diǎn)，求證：，，在同一條直線上.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）令，聯(lián)立拋物線并應(yīng)用韋達(dá)定理求得、，寫出線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，即可得軌跡方程；（2）令，，同（1）求得，，根據(jù)點(diǎn)在拋物線上、點(diǎn)差法求得，寫出直線并求坐標(biāo)，應(yīng)用兩點(diǎn)式并假設(shè)推出矛盾，即可證結(jié)論.【小問1詳解】由題意，令，聯(lián)立拋物線得，若，則，，所以，而線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以中點(diǎn)的軌跡方程.【小問2詳解】令，，同（1）可得，，由且，則，即，可設(shè)，令，則，即，所以，，若，即，所以所以，，，顯然與矛盾，綜上，不成立，故，即，，在同一條直線上.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，應(yīng)用點(diǎn)差法求得，進(jìn)而求得，再應(yīng)用兩點(diǎn)式并假設(shè)推出矛盾為關(guān)鍵.17.點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)F作垂直于x軸的直線l，與拋物線相交于A,B兩點(diǎn)，，拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)K．（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)C,D是拋物線上異于A,B兩點(diǎn)的兩個不同的點(diǎn)，直線相交于點(diǎn)E，直線相交于點(diǎn)G，證明：E,G,K三點(diǎn)共線．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意易得，代入拋物線求得，即可得方程；（2）由（1）得，準(zhǔn)線為，，設(shè)應(yīng)用點(diǎn)斜式分別寫出直線AC,BD,AD,BC，求交點(diǎn)E,G坐標(biāo)，利用斜率公式判斷共線即可.【小問1詳解】由題意，得，因?yàn)?，軸，不妨設(shè)，代入拋物線，得，所以拋物線的方程為；【小問2詳解】由（1）知：，準(zhǔn)線為，，設(shè)直線AC為①，直線BD為②，聯(lián)立①②，解得，即，直線AD為③，直線BC為④，聯(lián)立③④，解得，即，直線EK的斜率，直線GK的斜率，則直線EK的斜率與直線GK的斜率相同，所以E、G、K三點(diǎn)共線.18.如圖，三棱錐中，平面平面，，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是的重心.（1）證明：平面；（2）若為正三角形，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由面面平行的性質(zhì)定理證明（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量求解小問1詳解】連接，連接并延長交于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，從而點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，又平面平面，平面平面.又平面，平面平面，又平面平面.【小問2詳解】連接是的中點(diǎn)，，平面平面，平面平面，平面平面.連接并延長交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連接，則平面.為正三角形同理可得面，則如圖建立空間直角坐標(biāo)系設(shè).，則.，設(shè)平面的一個法向量為，則，可取，又平面的一個法向量為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.19.已知橢圓的離心率為，且橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最長距離為．（1）求橢圓的方程：（2）過點(diǎn)的直線（不過原點(diǎn)）與橢圓交于兩點(diǎn)、，為線段的中點(diǎn)．求面積的最大值及此時的斜率．【答案】（1）