2024北京一六六中高一（上）期末數(shù)學試題及答案

試題PAGE1試題2024北京一六六中高一（上）期末數(shù)學（考試時長：120分鐘）一、選擇題（每題3分，共10題）1.已知集合，則（）A. B.C. D.2.若，，則（）A. B. C. D.3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.4.把長為的細鐵絲截成兩段，各自圍成一個正方形，那么這兩個正方形面積之和的最小值是（）A. B. C. D.5.已知，則的大小關系是（）A. B.C. D.6.若，且，則（）A. B. C. D.7.“”是“”成立的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.設函數(shù)已知，且，則（）A.1 B.0 C.2 D.9.奇函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且其圖象經(jīng)過點，則不等式的解集為（）A. B. C. D.10.函數(shù)中，，為實數(shù)集的兩個非空子集，又規(guī)定，，給出下列四個判斷：①函數(shù)有奇偶性；②函數(shù)為周期函數(shù)；③存在無數(shù)條直線，與函數(shù)的圖象無公共點；④若，則；⑤若，則.其中正確判斷的個數(shù)為（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個二、填空題（每題3分，前3后2，共8題）11.函數(shù)的定義域是______.12.命題：“，”的否定形式為______；若為真命題，則實數(shù)的最大值為______.13.在中，寫出不滿足命題“若，則”的一組、的值為______，______.14.如圖，在平面直角坐標系中，點，，角的頂點與坐標原點重合，始邊為軸的非負半軸，終邊與單位圓交于點，則陰影區(qū)域的面積的最大值為______.15.函數(shù)，關于函數(shù)的零點情況有下列說法：①當取某些值時，無零點；②當取某些值時，恰有1個零點；③當取某些值時，恰有2個不同的零點；④當取某些值時，恰有3個不同的零點.則正確說法的全部序號為______.三、解答題（共五小題，共55分）16.已知集合，.（1）若，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，求實數(shù)的取值范圍；（3）若將題干中的集合改為，是否有可能使命題：“，都有”為真命題，請說明理由.17.在平面直角坐標系中，角的頂點與坐標原點重合，始邊為軸的非負半軸.第一象限角的終邊與單位圓交于，第二象限角的終邊與單位圓交于.（1）求的值；（2）求的面積.（梯形的面積公式）18.已知函數(shù)，，.（1）當時，判斷函數(shù)的奇偶性并證明；（2）當且時，利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)在上單調(diào)遞增；（3）求證：當且時，方程在內(nèi)有實數(shù)解.19.已知函數(shù)，其中，.條件①：函數(shù)圖象相鄰的兩條對稱軸之間的距離為；條件②：函數(shù)圖象關于點對稱；條件③：函數(shù)圖象關于對稱.從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇兩個作為已知條件，求：（1）函數(shù)的最小正周期；（2）函數(shù)在單調(diào)遞增區(qū)間；（3）函數(shù)的圖象可否由函數(shù)的圖象經(jīng)過圖象變換得到？如果可以，請設計一系列的圖象變換過程，如果不可以，請說明理由.注：如果選擇不同條件組合分別解答，按第一個解答計分.20.當藥品注射到人體內(nèi)，它在血液中的殘余量會以每小時25%的速度減少.（1）按照醫(yī)囑，護士給患者甲注射了藥品兩小時后，患者甲血液中藥品的殘存量為，求的值；（2）另一種藥物注射到人體內(nèi)，它在血液中的殘余量會以每小時10%的速度減少.如果同時給兩位患者分別注射藥品和藥品，請你計算注射后幾個小時兩位患者體內(nèi)兩種藥品的殘余量恰好相等.（第（2）問計算結(jié)果保留2位小數(shù)）參考值：，.

參考答案一、選擇題（每題3分，共10題）1.【答案】D【分析】先求得集合，結(jié)合集合的交集的概念與運算，即可求解.【詳解】由集合，根據(jù)集合交集的定義與運算，可得.故選：D.2.【答案】B【分析】利用誘導公式直接求出即可.【詳解】因為，故選：B.3.【答案】B【分析】利用奇偶性的定義和初等函數(shù)的單調(diào)性逐一判斷.【詳解】對于A：，則，偶函數(shù)，另外當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，A錯誤；對于B：，則，偶函數(shù)，另外當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，B正確；對于C：，則，奇函數(shù)，C錯誤；對于D：，則，偶函數(shù)，另外當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，D錯誤.故選：B.4.【答案】D【分析】設鐵絲的一段長度為，則另一段鐵絲長為，得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】設鐵絲的一段長度為，（其中），則另一段鐵絲長為，兩個正方形的面積之和為，根據(jù)題意，可得，當且僅當時，取得最小值，最小值為.故選：D.5.【答案】D【分析】構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性分析即可.【詳解】在R上單調(diào)遞減，，∴；在R上單調(diào)遞增，，∴；∴故選：D6.【答案】D【分析】先通過求出的范圍，進而可得的范圍.【詳解】，所以，因為，所以，所以根據(jù)，可得，所以，則故選：D.7.【答案】B【分析】由題意分別考查充分性和必要性即可求得最終結(jié)果.【詳解】當時，一定有，即必要性滿足；當時，其正切值不存在，所以不滿足充分性；所以“”是“”成立的必要不充分條件，故選：B.【點睛】關鍵點點睛：該題主要考查的是有關充分必要條件的判斷，正確解題的關鍵是要注意正切值不存在的情況.8.【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)解析式畫出大致的函數(shù)圖像，利用，求出；利用，求出，即可求出，代入函數(shù)解析式求解即可.【詳解】根據(jù)函數(shù)解析式，得出函數(shù)的大致圖像如上圖，因為，且，如圖可知，由，，所以，又，所以，所以，所以.故選：B9.【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性得：，解不等式即可.【詳解】因為為奇函數(shù)，且，所以；又在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，有，即，解得.故選：D10.【答案】A【分析】根據(jù)題意，得到的解析式，作出函數(shù)的部分圖象，結(jié)合圖象，可判定①不正確；設是一個大于的周期，結(jié)合至多有一個解，可判定②不正確；結(jié)合圖象和特例，可判定③正確、④不正確；取，得到也是函數(shù)的值域，進而可判定⑤不正確.【詳解】由，可得，又由，可得，可得函數(shù)，對于①中，畫出函數(shù)在的圖象，如圖所示，結(jié)合圖象，可得函數(shù)的圖象既不關于原點對稱，也不關于軸對稱，所以函數(shù)沒有奇偶性，所以①不正確；對于②中，假設函數(shù)是周期函數(shù)，設是一個大于的周期，則，其中，這表明有無數(shù)多個解，但當時，，所以，從而至多有一個解，所以函數(shù)不周期函數(shù)，所以②不正確；對于③中，結(jié)合的圖象，可得的圖象不是連續(xù)的，例如：當時直線與函數(shù)沒有公共點，所以存在無數(shù)條直線，與函數(shù)的圖象無公共點，所以③正確；對于④中，若，則滿足，此時，可得，所以④不正確；對于⑤中，設，則，此時都是函數(shù)的值域，則也是函數(shù)的值域，而，可得無解，所以函數(shù)的值域不是，所以⑤不正確.故選：A.二、填空題（每題3分，前3后2，共8題）11.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)特征得到不等式組，求出定義域.【詳解】由題意得，解得，故定義域為.故答案為：12.【答案】①.：“，”②.0【分析】全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，把任意改為存在，把結(jié)論否定；轉(zhuǎn)化為恒成立，由于，從而求出的取值范圍，得到最大值.【詳解】：“，”，恒成立，其中，故，即的最大值為0.故答案為：：“，”，013.【答案】①.（答案不唯一）②.（答案不唯一）【分析】根據(jù)得到或，進而可得答案.【詳解】在中，若，則或，所以或，不滿足命題“若，則”，只需要且即可.故答案為：；（答案不唯一）14.【答案】【分析】連接，當點距離直線最遠時，陰影區(qū)域的面積的最大值，利用三角形的面積公式和扇形面積公式計算即可.【詳解】連接，當點距離直線最遠時，陰影區(qū)域的面積的最大值，根據(jù)圓的幾何特征可得此時且，如圖：設是的終邊，則，所以，則，又，所以陰影區(qū)域的面積的最大值為.故答案為：.15.【答案】①②③【分析】畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合與的交點的橫坐標，結(jié)合圖象和三角函數(shù)的性質(zhì)，逐項判定，即可求解.【詳解】畫出函數(shù)的圖象，如圖所示，因為，令，即，則函數(shù)的零點，即為與的交點的橫坐標，對于①中，當時，在上與無公共點，所以①正確；對于②中，當時，在上與只有1個公共點，所以②正確；對于③中，當時，在上與有2個公共點，所以③正確；對于④中，由圖象可得，函數(shù)與不相鄰的兩個交點的橫坐標間的距離為最小正周期的整數(shù)倍，即，因為，可得，所以不存在的值，使得有3個零點，所以④不正確.故答案為：①②③三、解答題（共五小題，共55分）16.【答案】（1）（2）或（3）不可能，理由見解析【分析】（1）先得到，再根據(jù)包含關系列不等式求解；（2）直接根據(jù)列不等式求解；（3）先得到，再根據(jù)包含關系列不等式求解.【小問1詳解】若，則，又，所以，解得；【小問2詳解】因為，所以或，解得或；【小問3詳解】若，，對，都有，則，所以，該不等式無解，故命題：“，都有”為真命題不可能.17.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用任意角的三角函數(shù)的定義即可求解；（2）先利用任意角的三角函數(shù)定義求出的值，進而求出的值，，再利用兩角差的正弦公式求出，再由與的長，利用三角形的面積公式即可求出三角形的面積．【小問1詳解】由題意知，第一象限角的終邊與單位圓交于,第二象限角的終邊與單位圓交于，所以，，則解得或，且或，因為在第一象限，在第二象限，所以，，所以，，所以；【小問2詳解】在單位圓中，因為，，所以，，又，由兩角差的正弦公式得，，又，，.18.【答案】（1）為奇函數(shù)；證明見解析（2）證明見解析（3）證明見解析【分析】（1）先判斷定義域是否關于原點對稱，在利用判斷函數(shù)為奇函數(shù)；（2）利用定義判斷函數(shù)的單調(diào)性；（3）先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用零點存在性定理判斷方程在內(nèi)有實數(shù)解.【小問1詳解】當時，，，定義域關于原點對稱；，即，所以為定義在上的奇函數(shù).【小問2詳解】當且時，，當時，設，，因為，所以，，，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增.【小問3詳解】當且時，，設，，因為，所以，，，則，，，所以，即，所以在上單調(diào)遞增；因為，，所以根據(jù)零點存在性定理：使；所以當且時，方程在內(nèi)有實數(shù)解.19.【答案】（1）選擇①②或①③，最小正周期為；選擇②③，無法確定最小正周期；（2）選擇①②或①③，單調(diào)遞增區(qū)間為；選擇②③，無法求解；（3）選擇①②或①③，可先伸縮變換再平移變換，或者先平移變換，再伸縮變換得到解析式；選擇②③，不能求解.【分析】（1）選擇①②或②③，根據(jù)圖象相鄰的兩條對稱軸之間的距離為，得到最小正周期；選擇②③，設的最小正周期為，則，解得，顯然，推導出隨著的增大，最小正周期減小且大于0，故無法確定函數(shù)的最小正周期；（2）在（1）的基礎上，得到函數(shù)解析式，從而求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）可先伸縮變換，再平移變換或者先平移變換，后伸縮變換得到.【小問1詳解】選擇①②，因為函數(shù)圖象相鄰的兩條對稱軸之間的距離為，所以的最小正周期為；選擇①③，因為函數(shù)圖象相鄰的兩條對稱軸之間的距離為，所以的最小正周期為；選擇②③，函數(shù)圖象關于點對稱，函數(shù)圖象關于對稱，設的最小正周期為，則，解得，顯然，當時，，因為，所以因為函數(shù)圖象關于點對稱，故，解得，函數(shù)圖象關于對稱，故，解得，故當時，滿足要求，可驗證得到，當時，，因為，所以，函數(shù)圖象關于點對稱，故，解得，函數(shù)圖象關于對稱，故，解得，顯然當時，滿足要求，隨著的增大，最小正周期減小且大于0，故無法確定函數(shù)的最小正周期；【小問2詳解】選擇①②，因為，所以，故，函數(shù)圖象關于點對稱，故，解得，因為，故只有當時，滿足要求，故，令，解得，故單調(diào)遞增區(qū)間為；選擇①③，因為，所以，故，函數(shù)圖象關于對稱，故，解得，因為，故只有當時，滿足要求，故，令，解得，故單調(diào)遞增區(qū)間為；選擇②③，無法確定函數(shù)的解析式，故不能求解；【小問3詳解】選擇①②或①③，函數(shù)的圖象可先縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的，再將函數(shù)圖象向左平移個單位長度得到的圖象；或者函數(shù)的圖象先向左平移個單位長度，再縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的，得