2023年中考數(shù)學(xué)必刷題分類專練：矩形菱形正方形（共49題）【解析版】

備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)必刷真題考點(diǎn)分類專練（全國(guó)通用）

專題18矩形菱形正方形（共49題）

一.選擇題（共15小題）

1.（2022?陜西）在下列條件中，能夠判定。N8CD為矩形的是（）

A.AB=ADB.ACLBDC.AB=ACD.AC=BD

【分析】由矩形的判定和菱形的判定分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【解析】A.ABCD中，AB=AD,

ABCD是菱形，故選項(xiàng)A不符合題意；

B.,:口ABCD中，ACLBD,

是菱形，故選項(xiàng)5不符合題意；

C.中，4B=AC,不能判定口/BCD是矩形，故選項(xiàng)C不符合題意;

D."48c。中，AC=BD,

:.口ABCD是矩形，故選項(xiàng)D符合題意;

故選：D.

2.（2022?株洲）如圖所示，在菱形中,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)C作CE〃BD交48的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,下列結(jié)論不一定正確的是（

B.是直角三角形

2

c.BC=1AED.BE=CE

2

【分析】由菱形的性質(zhì)可得/。=。。=工，AC±BD,通過證明△4O8s可得/A0B=N4CE=

2

90°,OB=LCE,AB=1AE,由直角三角形的性質(zhì)可得即可求解.

222

【解析】?.?四邊形是菱形,

：.AO=CO=-L,ACLBD,

2

'：CE//BD,

：.AAOBsAACE,

/.ZAOB=ZACE^90°,A0_=C?=AB=

ACCEAE2

.?.△NCE是直角三角形，OB=ZcE,AB=1AE,

22

:.BC=1AE,

2

故選：D.

3.（2022?寧波）將兩張全等的矩形紙片和另兩張全等的正方形紙片按如圖方式不重疊地放置在矩形/BCD

內(nèi)，其中矩形紙片和正方形紙片的周長(zhǎng)相等.若知道圖中陰影部分的面積，則一定能求出（）

DL

A.正方形紙片的面積B.四邊形EFG”的面積

C.環(huán)的面積D.△4及7的面積

【分析】根據(jù)題意設(shè)尸D=x,GH=y,貝根據(jù)矩形紙片和正方形紙片的周長(zhǎng)相等，可得力尸

=x+y,先用面積差表示圖中陰影部分的面積，并化簡(jiǎn)，再用字母分別表示出圖形四個(gè)選項(xiàng)的面積，可得

出正確的選項(xiàng).

【解析】設(shè)尸。=x,GH=y,則尸

J.AP=x+y,

圖中陰影部分的面積=S矩形45C。-2^ADH-2sAAEB

(2x+y)(2x-y)-2XA*(x-y)(2x力)-2XA*(2x-y)*x

22

=4x2-y2-(2x2+xy-2xy-y2)(2x2-xy)

=4x2-y2-2x2+xy+y2-2x2+xy

=2盯，

/、正方形紙片的面積=，，故N不符合題意；

B、四邊形EFG8的面積=/,故2不符合題意；

C、八此廠的面積二工即空^二^^，故。符合題意；

22'

D、△/￡〃的面積=技?￡4/河="|;曠5-卜）=lxy-Xy2,故。不符合題意;

故選：C.

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，可以用含a的式子表示出N2.

【解析】由圖可得，

Nl=90°+N3,

*.*Nl=a,

AZ3=a-90°,

VZ3+Z2=90°,

：.Z2=90°-Z3=90°-（a-90°）=90°-a+90°=180°-a,

故選：C.

5.（2022?濱州）下列命題，其中是真命題的是（）

A.對(duì)角線互相垂直的四邊形是平行四邊形

B.有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形

C.對(duì)角線互相平分的四邊形是菱形

D.對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形

【分析】根據(jù)，平行四邊形，矩形，菱形，正方形的判定方法一一判斷即可.

【解析】/、對(duì)角線互相垂直的四邊形是平行四邊形，是假命題，本選項(xiàng)不符合題意；

3、有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形，是假命題，本選項(xiàng)不符合題意；

。、對(duì)角線互相平分的四邊形是菱形，是假命題，本選項(xiàng)不符合題意；

D,對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形，是真命題，本選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

6.（2022?紹興）如圖，在平行四邊形4BCD中，4D=2AB=2,/4BC=60°,E,尸是對(duì)角線上的動(dòng)

點(diǎn)，MBE=DF,M,N分別是邊N。，邊8C上的動(dòng)點(diǎn).下列四種說法：

①存在無數(shù)個(gè)平行四邊形MENF-,

②存在無數(shù)個(gè)矩形MENF；

③存在無數(shù)個(gè)菱形MENF；

④存在無數(shù)個(gè)正方形MENF.

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

【分析】根據(jù)題意作出合適的輔助線，然后逐一分析即可.

【解析】連接/C,MN,且令ZC,MN,3。相交于點(diǎn)。，

1/四邊形是平行四邊形，

：.OA=OC,OB=OD,

,:BE=DF,

：.OE=OF,

只要OM=ON,那么四邊形MENF就是平行四邊形,

:點(diǎn)￡,尸是AD上的動(dòng)點(diǎn)，

..?存在無數(shù)個(gè)平行四邊形AffiNF,故①正確；

只要MN=EF,OM=ON,則四邊形AffiNF是矩形，

■:點(diǎn)E,斤是AD上的動(dòng)點(diǎn)，

???存在無數(shù)個(gè)矩形故②正確；

只要MN_LE1凡OM=ON,則四邊形AffiWF是菱形，

:煎E,尸是8。上的動(dòng)點(diǎn)，

...存在無數(shù)個(gè)菱形"EVF,故③正確；

只要MN=EF,MNLEF,OM=ON,則四邊形MENF是正方形,

而符合要求的正方形只有一個(gè)，故④錯(cuò)誤；

故選：C.

7.（2022?重慶）如圖，在正方形中，AE平分NBAC交BC于點(diǎn)E,點(diǎn)F是邊4B上一點(diǎn)、,連接DF,

若BE=AF,則NCD廠的度數(shù)為（）

A.45°B.60°C.67.5°D.77.5°

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，可以得到尸的度數(shù)，從而可以求得NCD產(chǎn)

的度數(shù).

【解析】???四邊形/BCD是正方形，

：.AD=B4,/DAF=N4BE=90°,

在△￡）//和△4BE中,

'AD=BA

，NDAF=/ABE，

tAF=BE

△DAF%LABECSAS),

/ADF=ZBAE,

平分/B/C,四邊形/BCD是正方形，

ABAE=LABAC=22.5°,ZADC=90°,

2

/.ZADF=22.5°,

；./CDF=/ADC-NADF=90°-22.5°=67.5°,

8.（2022?重慶）如圖，在正方形/BCD中，對(duì)角線NC、3。相交于點(diǎn)。.E、/分別為/C、BD上一點(diǎn)、,

>OE=OF,連接4F,BE,EF.若/AFE=25°,則NC3E的度數(shù)為（）

A.50°B.55°C.65°D.70°

【分析】利用正方形的對(duì)角線互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理和全

等三角形的判定與性質(zhì)解答即可.

【解析】：/BCD是正方形，

:./AOB=NAOD=90°,OA=OB=OD=OC.

'：OE=OF,

...△。斯為等腰直角三角形，

：.ZOEF=ZOFE=45°,

VZAFE=25°,

：./AFO=NAFE+NOFE=70°,

ZFAO=20°.

在4/。/和△BOE中，

'OA=OB

-NAOF=NBOE=90°，

,OF=OE

：./\AOFmABOE{SAS'）.

：.ZFAO=ZEOB=20°,

,：OB=OC,

/.AO5C是等腰直角三角形，

：.ZOBC=ZOCB=45°,

:.NCBE=/EBO+NOBC=65°.

故選：C.

9.（2022?瀘州）如圖，在邊長(zhǎng)為3的正方形48CD中，點(diǎn)￡是邊上的點(diǎn)，且過點(diǎn)E作DE

的垂線交正方形外角NC2G的平分線于點(diǎn)凡交邊3C于點(diǎn)連接。尸交邊于點(diǎn)N,則血W的長(zhǎng)為

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，可以求得CN和8N的長(zhǎng)，然后根據(jù)8C=3,即

可求得的長(zhǎng).

【解析】作FHLBG交于點(diǎn)H,作FKLBC于點(diǎn)K,

,:BF平分/CBG,ZKBH=90°,

，正方形BHFK是正方形,

?；DE2EF,ZEHF=9Q°,

AZDEA+ZFEH=90°,ZEFH+ZFEH=90

：.ZDEA=ZEFHf

VZA=ZEHF=90°,

???ADAEsAEHF,

???—AD=-A-E,

HEHF

:正方形/BC。的邊長(zhǎng)為3,BE=2AE,

：.AE^1,BE=2,

設(shè)FH=a,則比f=a,

,?---3--=--1,

2+aa

解得a=l；

；FMLCB,DCLCB,

：.ADCNsAFKN,

???DC----CN,

FMKN

,.?5C=3,BK=\,

???CK=2,

設(shè)CN=b,則NA：=2-Z?,

???—3=--b--,

12-b

解得6=3,

2

即CN=3,

2

VZA=ZEBM,ZAED=ZBME,

：.AADEs^BEM,

AD_AE.

'?施麗，

?31

,,萬-麗’

解得

3

：.MN=BC-CN-BM=3-旦-2=5，

236

故選：B.

A'EBHG

10.（2022?河南）如圖，在菱形/BCD中，對(duì)角線/C,3。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)￡為CD的中點(diǎn).若?！?3,

則菱形N3CO的周長(zhǎng)為（）

【分析】由菱形的性質(zhì)可得出/C，2。，4B=BC=CD=DA,再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊

的一半得出CD的長(zhǎng)，結(jié)合菱形的周長(zhǎng)公式即可得出結(jié)論.

【解析】：四邊形/2C。為菱形，

：.AC±BD,AB=BC=CD=DA,

...△COD為直角三角形.

,：OE=3,點(diǎn)￡為線段CD的中點(diǎn)，

：.CD=2OE=6.

C菱形ABCD=4CD—4X6—24.

故選：C.

11.（2022?麗水）如圖，已知菱形4BCQ的邊長(zhǎng)為4,E是的中點(diǎn)，AF平分NEAD交CD于點(diǎn)、F,FG

//AD交AE于點(diǎn)G.若cosS=A,則FG的長(zhǎng)是（）

4

--------------------------------7D

GF

BEC

A.3B.3.C.2V1LD.5

332

【分析】方法一：過點(diǎn)N作/于點(diǎn)H,過點(diǎn)尸作/于點(diǎn)0,根據(jù)COS8=AI1=L,可得

AB4

=1,所以/"=?記，然后證明/〃是3￡的垂直平分線，可得AE=A8=4,設(shè)GN=GF=x,根據(jù)S梯

形C￡W=S梯形CEGKS梯形GHO,進(jìn)而可以解決問題.方法二：作4H■垂直8C于〃，延長(zhǎng)/￡和。C交于點(diǎn)

Af由已知可得1,所以4E=4S=￡W=CA/=4設(shè)則/G=x,GE=4-x,由三角形

MGF相似于三角形MEC即可得結(jié)論.

【解析】方法一，如圖，過點(diǎn)4作于點(diǎn)“，過點(diǎn)尸作尸于點(diǎn)。，

:?AB=AD=BC=4,

VcosB=^-=—,

AB4

：,BH=1,

AH=VAB2-BH2=山2_]2=5/15'

是2C的中點(diǎn)，

：.BE=CE=2,

:.EH=BE-BH=\,

■是8E的垂直平分線，

.\AE=AB=4,

?/4F平分NE4。，

???ZDAF=/FAG,

,:FG〃AD,

：.ZDAF=NAFG,

：.NFAG=/AFG,

：.GA=GFf

設(shè)6/=6/=羽

?：AE=CD,FG//AD,

：.DF=AG=x,

cos。=CGSB=典_=A,

DF4

'.DQ=Xx,

4

'-FQ=7DF2-DQ2=Jx?-§x)2'

?；S梯形CE/4D=S梯形CEGKS梯形GRID，

；.JLX(2+4)xV15=-^(2+x)X(>/15-,r)+A(x+4)義皿

22424

解得x=&,

3

則FG的長(zhǎng)是旦.

3

方法二：如圖，作/“垂直3C于〃，延長(zhǎng)/￡和。C交于點(diǎn)

由已知可得BH=EH=1,

所以AE=AB=EM=CM=4,

設(shè)GF=x,

則ZG=x,GE=4-x,

由GF//BC,

：./XMGFsAMEC,

???2—--4-,

8-x

解得x=a.

3

故選：B.

12.（2022?自貢）如圖，菱形4BCD對(duì)角線交點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)。重合，點(diǎn)/（-2,5）,則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）

【分析】菱形的對(duì)角線相互平分可知點(diǎn)/與C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，從而得結(jié)論.

【解析】:?四邊形是菱形，

C.OA^OC,即點(diǎn)/與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

:點(diǎn)4（-2,5）,

...點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2,-5）.

故選：B.

13.（2022?泰安）如圖，四邊形為矩形，AB=3,8C=4,點(diǎn)P是線段8c上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)〃為線段

NP上一點(diǎn)，NADM=NBAP,則的最小值為（）

【分析】如圖，取的中點(diǎn)。，連接。2,OM.證明//地＞=90°,推出。川=[4。=2,點(diǎn)M的運(yùn)

2

動(dòng)軌跡是以。為圓心，2為半徑的OO.利用勾股定理求出。8,可得結(jié)論.

【解析】如圖，取的中點(diǎn)。，連接03,OM.

:四邊形Z5C。是矩形，

AZBAD=90°,AD=BC=4,

：.ZBAP+ZDAM^90°,

*/ZADM=ZBAP,

：.ZADM+ZDAM=90°,

AZAMD=90°,

"：AO=OD=2,

.?.0M=LZ）=2,

2

點(diǎn)河的運(yùn)動(dòng)軌跡是以。為圓心，2為半徑的。。

OB=7AB2+A02=VS2+22='

C.BM^OB-OM=-/13-2,

的最小值為近§-2.

故選：D.

14.（2022?懷化）下列說法正確的是（）

A.相等的角是對(duì)頂角

B.對(duì)角線相等的四邊形是矩形

C.三角形的外心是它的三條角平分線的交點(diǎn)

D.線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等

【分析】根據(jù)對(duì)頂角的定義，矩形的判定，三角形的外心，線段垂直平分線的性質(zhì)可得出答案.

【解析】4相等的角不一定是對(duì)頂角，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；

B,對(duì)角線相等的四邊形不一定是矩形，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；

C、三角形的外心是它的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，故本選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；

。、線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，故本選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

15.(2022?隨州)七巧板是一種古老的中國(guó)傳統(tǒng)智力玩具，如圖，在正方形紙板/BCD中，為對(duì)角線，

E,歹分別為BC,CD的中點(diǎn)，4PLEF分別交BD,EF于O,P兩點(diǎn)，M,N分別為8。，。。的中點(diǎn)，

連接MP,NF,沿圖中實(shí)線剪開即可得到一副七巧板.則在剪開之前，關(guān)于該圖形，下列說法正確的有

()

①圖中的二角形都是等腰直角三角形;

②四邊形〃尸即是菱形；

③四邊形PFDM的面積占正方形ABCD面積的?！.

4

C.①③D.②③

【分析】①利用正方形的性質(zhì)和中位線的性質(zhì)可以解決問題；

②利用①的結(jié)論可以證明解決問題；

③如圖，過M作MG_LBC于G,設(shè)43=2C=x,利用正方形的性質(zhì)與中位線的性質(zhì)分別求出AE■和MG

即可判定是否正確.

【解析】①如圖，,:E,尸分別為BC,CD的中點(diǎn),

：.EF為的中位線,

：.EF//BD,

'：AP±EF,

C.APLBD,

:四邊形/BCD為正方形，

.../、0、P、。在同一條直線上,

;△ABC、△4CD、/\ABD.LBCD、△CUB、△OAD、△OBC、△OCD、△EFC都是等腰直角三角形,

,：M,N分別為2。，。。的中點(diǎn)，

：.MP//BC,NF//OC,

：.^\DNF,△(?〃尸也是等腰直角三角形.

故①正確；

②根據(jù)①得OM=BM=^-PM,：.BM^PM

四邊形不可能是菱形.故②錯(cuò)誤；

③尸分別為BC,CD的中點(diǎn)，

：.EF//BD,EF=1￡D,

2

?/四邊形ABCD是正方形，且設(shè)AB=BC=x,

.,.BD=\[2x,

'：AP±EF,

C.APLBD,

：.BO=OD,

...點(diǎn)尸在NC上，

：.PE=1￡F,

2

：.PE=BM,

四邊形BMPE是平行四邊形，

：.BO=1￡D,

2

為3。的中點(diǎn)，

：.BM=l￡D=^^c,

44

為8C的中點(diǎn)，

：.BE=1^C=1JC,

22

過加■作于G,

MG=^2_BM=XC,

24

四邊形BMPE的面積=8E?MG=L2,

8

/.四邊形PFDM的面積占正方形ABCD面積的工.

8

,:E、F是BC,的中點(diǎn)，

工SKEF=kACBD=卜四邊形4BCD，

48

.,?四邊形PFDM的面積占正方形48co面積的（1-A-1.）=_1.

884

故③正確.

二.填空題（共14小題）

16.（2022?十堰）“美麗鄉(xiāng)村”建設(shè)使我市農(nóng)村住宅舊貌變新顏，如圖所示為一農(nóng)村民居側(cè)面截圖，屋坡NR

/G分別架在墻體的點(diǎn)3,C處，S.AB^AC,側(cè)面四邊形出法。為矩形.若測(cè)得NFAD=55°,則//

D---------------------------------------------'E

【分析】利用矩形的性質(zhì)可得NDBC=90°,從而利用平角定義求出/N3C的度數(shù)，然后利用等腰三角

形的性質(zhì)可得//8C=N/C8=35°,最后利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解析】???四邊形80EC為矩形，

AZDBC=90°,

■:NFBD=55°,

5c=180°-NDBC-NFBD=35°,

;AB=4C,

：.ZABC=ZACB=35°,

?.Z^=180°-ZABC-ZACB=U0°,

故答案為：110.

2

17.（2022?邵陽(yáng)）已知矩形的一邊長(zhǎng)為6c〃?，一條對(duì)角線的長(zhǎng)為10CM,則矩形的面積為48cm.

【分析】利用勾股定理列式求出另一邊長(zhǎng)，然后根據(jù)矩形的面積公式列式進(jìn)行計(jì)算即可得解.

【解析】???長(zhǎng)方形的一條對(duì)角線的長(zhǎng)為10c機(jī),一邊長(zhǎng)為6c〃z,

另一邊長(zhǎng)=,7102-62=8cm，

???它的面積為8X6=48c加2.

故答案為：48.

18.（2022?宜昌）如圖，在矩形48CD中，￡是邊4D上一點(diǎn)，F(xiàn),G分別是BE,CE的中點(diǎn)，連接/廠,

DG,FG,若/b=3,DG=4,FG=5,矩形N8CD的面積為48.

【分析】由矩形的性質(zhì)得出/B/E=/CDE=9（r,AD//BC,由直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)及三角形

中位線的性質(zhì)求出2E=6,CE=8,5C=10,由勾股定理的逆定理得出ABCE是直角三角形，NBEC=

90°,進(jìn)而求出S3CE='^'"BE"CE=24，即可求出矩形48CD的面積.

【解析】???四邊形/8C。是矩形，

ZBAE=ZCDE=90°,AD//BC,

,:F,G分別是5￡,CE的中點(diǎn)，AF=3,0G=4,FG=5,

：.BE=2AF=6,CE=2DG=8,BC=2FG=10,

：.BE2+CE2=BC2,

...△BCE是直角三角形，ZBEC=90a,

SABCE=y-BE-CE=yX6X8=2%

U：AD//BC,

'?S矩形ABCD=2S&BCE=2X24=48,

故答案為：48.

19.（2022?天津）如圖，已知菱形/BCD的邊長(zhǎng)為2,NDAB=60°,￡為48的中點(diǎn)，尸為C￡的中點(diǎn),

【分析】如圖，過點(diǎn)尸作切〃C￡),交DE于H,過點(diǎn)。作CML48,交48的延長(zhǎng)線于M,連接EB,

先證明尸8是△CDK的中位線，得FH=1,再證明△/EG絲△切G(44S),^AG^FG,在Rt2XCBM

中計(jì)算和的長(zhǎng)，再證明5尸是中位線，可得8尸的長(zhǎng)，由勾股定理可得N尸的長(zhǎng)，從而得結(jié)論.

【解析】如圖，過點(diǎn)尸作小〃CD,交DE于H,過點(diǎn)交A3的延長(zhǎng)線于M,連接EB,

?.?四邊形/BCD是菱形,

：.AB=CD=BC=2,AB//CD,

：.FH//AB,

：.ZFHG=ZAEG,

:尸是CE■的中點(diǎn)，F(xiàn)H//CD,

.?.//是DE的中點(diǎn)，

:.FH是叢CDE的中位線，

：.FH=1-CD^1,

2

是48的中點(diǎn)，

：.AE=BE=l,

：.AE=FH,

'：/AGE=ZFGH,

：./\AEG^/\FHG(AAS),

C.AG^FG,

'JAD//BC,

：.ZCBM=ZDAB=60°,

RtZXCBM中，NBCM=30°,

BM=2.SC=1,CM=-^22-12=M，

：.BE=BM,

:尸是CE的中點(diǎn)，

：.FB是△CW的中位線，

:.BF=XJCM="^-,FB//CM,

22

：.NEBF=NM=90°,

RtZUES中，由勾股定理得：AF=7AB2+BF2=J22+(2y-)2

24

故答案為：叵.

4

20.(2022?樂山)已知菱形48CD的兩條對(duì)角線/C、3。的長(zhǎng)分別是8c加和6c〃z.則」形的面積為24

cm2.

【分析】根據(jù)菱形的面積=對(duì)角線乘積的一半，可以計(jì)算出該菱形的面積.

【解析】：菱形ABCD的兩條對(duì)角線AC.BD的長(zhǎng)分別是8cm和6cm,

；?菱形的面積是8X6=24(cm2),

2

故答案為：24.

21.(2022?武威)如圖，菱形N2CD中，對(duì)角線/C與2。相交于點(diǎn)。，若AB=2爬cm,AC=4cm,則AD

的長(zhǎng)為8cm.

【分析】由菱形的性質(zhì)可得5。，BO=DO,由勾股定理可求5。，即可求解.

【解析】???四邊形是菱形，AC=4cm,

：.AC,LBD,BO=DO,AO=CO=2cm,

;AB=2述cm,

BO=7AB2-AO2=4cm，

.\DO=BO=4cm,

:?BD=8cm,

故答案為：8.

22.（2022?武威）如圖，在四邊形中，AB//DC,AD//BC,在不添加任何輔助線的前提下，要想四

邊形ABCD成為一個(gè)矩形，只需添加的一個(gè)條件是44=90°（答案不唯一）

【分析】先證四邊形/BCD是平行四邊形，再由矩形的判定即可得出結(jié)論.

【解析】需添加的一個(gè)條件是NN=90°,理由如下:

,JAB//DC,AD//BC,

...四邊形48CD是平行四邊形，

又?.?//=90°,

,平行四邊形N8CD是矩形，

故答案為：N/=90°（答案不唯一）.

23.（2022?溫州）如圖，在菱形48CD中，AB=1,ZBAD^60°.在其內(nèi)部作形狀、大小都相同的菱形

和菱形CG兒不，使點(diǎn)￡,F,G,〃分別在邊48,BC,CD,1上，點(diǎn)N在對(duì)角線/C上.若

AE=3BE,則血W的長(zhǎng)為_乂3

—2-

【分析】方法一：根據(jù)菱形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)，可以求得NC、和兒W的長(zhǎng)，然后即可計(jì)算出

ACV的長(zhǎng).

方法二:根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可以得到所和MN的關(guān)系，然后解直角三角形可以求得的長(zhǎng),

從而可以得到的長(zhǎng).

【解析】方法一：連接交/C于點(diǎn)。，作于點(diǎn)/,作交48的延長(zhǎng)線于點(diǎn)J,如圖1

所示,

:四邊形/BCD是菱形，NBAD=60°,AB=\,

：.AB=BC=CD=D4=1,N2/C=30°,ACLBD,

：△43。是等邊三角形,

：.OD=^,

2

???4。=｛皿2-D02=）心-電2=與,

:.AC=2A0=6,

:AE=3BE,

.'.AE=—,BE——,

44

,/菱形AENH和菱形CGMF大小相同，

:.BE=BF=L,NFBJ=60°,

4

：.FJ=BFsm600=上義亞_=退_,

428

:.MI=FJ=^~,

8

?=」^=4-=返，

sin300A4

2

同理可得，CN=圓,

4

：.MN=AC-AM-CN=M-叵-遮二近,

442

故答案為：近.

2

方法二：連接。8交4。于點(diǎn)。，連接ER

由題意可得，四邊形/必E是平行四邊形，四邊形斯CN是平行四邊形,

：.EF=AM=CN,

,JEF//AC,

:.△BEFsABAC,

?EF_BE；

"AC'BA"

;AE=3BE,AB=1,

：.AB=4BE,

??--E-F二B—E-—1,

ACBA4

:.AM=CN=XAC,

4

:.MN=LC=OA,

2

VZBAD=60°.AB=AD=1,/。垂直平分8D,

二。。=_1,

2

0/,=22=2

VAD-OD^I-（7）2=^~,

2

故答案為：近.

2

圖2

24.（2022?達(dá)州）如圖，菱形N5C。的對(duì)角線/C,AD相交于點(diǎn)。，/C=24,BD=10,則菱形48co的周

長(zhǎng)為52

D

A

B

【分析】菱形的四條邊相等，要求周長(zhǎng)，只需求出邊長(zhǎng)即可，菱形的對(duì)角線互相垂直且平分，根據(jù)勾股

定理求邊長(zhǎng)即可.

【解析】：四邊形/BCD是菱形,

：.AB=BC=CD=DA,ACLBD,AO=CO,BO=DO,

'：AC=24,BD=IO,

：.AO=XAC=U,BO=1.BD=5,

22

在RtZ\/O8中，

AB=7AO2+BO2=V122+52=13'

，菱形的周長(zhǎng)=13X4=52.

故答案為：52.

25.（2022?麗水）如圖，標(biāo)號(hào)為①，②，③，④的矩形不重疊地圍成矩形已知①和②能夠重

合，③和④能夠重合，這四個(gè)矩形的面積都是5.AE=a,DE=b,且。＞6.

（1）若a,b是整數(shù)，則PQ的長(zhǎng)是任意正整數(shù)；

（2）若代數(shù)式『-2ab-b1的值為零，則粵蝸四限的值是3+2血.

S矩形式1MN

①P

Q

③

④

N

M

②

BC

【分析】（1）直接根據(jù)線段的差可得結(jié)論；

（2）先把6當(dāng)常數(shù)解方程：a1-lab-b2=0,a=b+近b（負(fù)值舍），根據(jù)四個(gè)矩形的面積都是5表示小

矩形的寬，最后計(jì)算面積的比，化簡(jiǎn)后整體代入即可解答.

【解析】（1）由圖可知：PQ=a-b,

,:a,6是整數(shù)，a>b,

:.PQ的長(zhǎng)是任意正整數(shù)；

故答案為：任意正整數(shù)；

（2）-2ab~b2=0,

'.a2-b2=2ab,（a-b）2=2b2,

:.a=b十近b（負(fù)值舍），

:四個(gè)矩形的面積都是5.AE=a,DE=b,

:.EP=L,EN=L,

ab

a+b22222

則S四邊形ABCP=Q+b，（a*ab_a+2ab+b_a_（V2+l）b-3+2^

52222

S矩形KiMNQ-b）盧肯）（a-b）>—--a-2ab+bbb

baab

故答案為：3+2&.

26.（2022?宿遷）如圖，在矩形/BCD中，AB=6,3c=8,點(diǎn)M、N分別是邊3c的中點(diǎn)，某一時(shí)刻,

動(dòng)點(diǎn)￡從點(diǎn)M出發(fā)，沿M4方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)“勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)N出

發(fā)，沿NC方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到矩形頂點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停

止運(yùn)動(dòng)，連接EF,過點(diǎn)B作EF的垂線，垂足為H.在這一運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)〃所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)是_1匚.

【分析】如圖1中，連接"N交所于點(diǎn)P,連接8P首先證明PN=2,利用勾股定理求出AP.由/

BPH=90°,推出點(diǎn)〃在8尸為直徑的OO上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E與N重合時(shí)，如圖2中，連接。〃，ON.點(diǎn)、

〃的運(yùn)動(dòng)軌跡是福.求出/HON,再利用弧長(zhǎng)公式求解.

【解析】如圖1中，連接交￡尸于點(diǎn)尸，連接2P.

EMD

,四邊形4BCD是矩形，AM=MD,BN=

，四邊形/aw是矩形，

：.MN=AB=6,

"."EM//NF,

:.△EPMsAFPN,

■PM=EM=2t=?

PNNFt

:,PN=2,PM=4,

■:BN=4,

*,-5P=7PN2+BN2=722+42=2遙，

,:BH2EF,

:?NBPH=90°,

???點(diǎn)H在BP為直徑的。。上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)點(diǎn)E與4重合時(shí)，如圖2中，連接?！?點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡是諭.

：.BF=AB=6,

VZABF=90°,BHL4F,

；?BH平分/ABF,

/HBN=45

:?NHON=2/HBN=90°,

...點(diǎn)8的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)=9。71乂正=叵^.

1802

故答案為：

2

27.（2022?江西）沐沐用七巧板拼了一個(gè)對(duì)角線長(zhǎng)為2的正方形，再用這副七巧板拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（如圖

所示），則長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)為_灰.

【分析】根據(jù)圖形可得長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是正方形的對(duì)角線為2,長(zhǎng)方形的寬是正方形對(duì)角線的一半為1,然后

利用勾股定理即可解決問題.

【解析】根據(jù)圖形可知：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是正方形的對(duì)角線為2,

長(zhǎng)方形的寬是正方形對(duì)角線的一半為1,

則長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)=擰彳=遙.

故答案為：V&-

28.（2022?達(dá)州）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形中，點(diǎn)￡,/分別為CD邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)

重合），連接BF,分別交對(duì)角線/C于點(diǎn)P,0.點(diǎn)E,F在運(yùn)動(dòng)過程中，始終保持尸=45°,

連接ERPF,PD.下列結(jié)論：①PB=PD；②/EFD=2/FBC；（3）PQ=PA+CQ；④為等腰

直角三角形；⑤若過點(diǎn)3作凡垂足為H,連接則的最小值為2&-2,其中所有正

確結(jié)論的序號(hào)是①②⑷⑤.

AED

BC

【分析】①正確.證明△BC尸絲△DC尸（SAS）,可得結(jié)論;

②正確.證明NCFS=/E/8,推出NC8F+/C/5=90°,推出2/C8尸+2NCFB=180°,由/￡尸。+2

NCF2=180°,可得結(jié)論；

③錯(cuò)誤.可以證明P?！礊?CQ

④正確.利用相似三角形的性質(zhì)證明/2PP=90°,可得結(jié)論；

⑤正確.求出3D,BH,根據(jù)ZW38O-8”，可得結(jié)論.

【解析】如圖，???四邊形N2CO是正方形，

：.CB=CD,ZBCP=ZDCP=45°,

在△8CP和△DCP中，

'CB=CD

<ZBCP=ZDCP>

CP=CP

：./\BCP^/\DCP(&4S),

：.PB=PD,故①正確，

VZPBQ=ZQCF=45°,ZPQB=ZFQC,

.,.△PQBs△尸0C,

?.=PQ,ZBPQ=ZCFQ,

CQFQ

?BQ=CQ

"PQ而'

?.*ZPQF=NBQC,

:.叢PQFs叢BQC,

:.NQPF=NQBC,

,：ZQBC+ZCFQ=90°,

ZBPF=ZBPQ+ZQPF=90°,

:./PBF=/PFB=45°,

：.PB=PF,

AB尸尸是等腰直角三角形，故④正確，

VZEPF=ZEDF=90°,

：.E,D,F,尸四點(diǎn)共圓，

ZPEF=ZPDF,

,:PB=PD=PF,

ZPDF=ZPFD,

VZAEB+ZDEP=l^Q°,NDEP+NDFP=180°,

J/AEB=/DFP,

：.NAEB=NBEH,

■:BH2EF,

：.ZBAE=ZBHE=90°,

?；BE=BE,

:?△BEA"ABEH(44S),

：.AB=BH=CF=BC,

VZBHF=ZBCF=9Q°,BF=BF,

：.RtA5FT/^RtA5FC(HL),

：.ZBFC=ZBFHf

?：NCBF+NBFC=90°,

：?2/CBF+2/CFB=\80°,

ZEFD+ZCFH=ZEFD+2ZCFB=180°,

???N￡7*=2NC5FA/故②正確，

將AZB尸繞點(diǎn)5順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△5CT,連接。7,

工/ABP=/CBT,

：.ZPBT=ZABC=90°,

：.ZPBQ=ZTBQ=45°,

?；BQ=BQ,BP=BT,

：./\BQP^/\BQT(SAS),

：?PQ=QT,

QT<CQ+CT=CQ+AP,

：.PQ<AP+CQ,故③錯(cuò)誤，

連接8。，DH,

■:BD=?M，BH=AB=2,

:?DHiBD-BH=242-2,

???Z)H的最小值為2&-2,故⑤正確，

故答案為：①②④⑤.

29.（2022?安徽）如圖，四邊形/3C。是正方形，點(diǎn)￡在邊/。上，42即是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角

三角形，EF,8尸分別交CD于點(diǎn)M,N,過點(diǎn)/作4D的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.連接。凡請(qǐng)完

成下列問題:

(1)ZFDG=45

GF=AE,推出。G=G/即可得出NFDG的

度數(shù)；

（2）由（1）的結(jié)論得出CD的長(zhǎng)度，Gb的長(zhǎng)度，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分別求出。河，NC的值即可

得出的值.

【解析】由題知，昉是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，

:./AEB+NGEF=9Q°,

VZAEB+ZABE=90°,

ZGEF=ZABE,

在△4BE和AGE尸中,

，ZGEF=ZABE

<ZA=ZG=90°，

BE=EF

:AABE%△GEF(AAS),

:.EG=AB=AD,GF=AE,

即DG+DE=AE+DE,

:.DG=AE,

：.DG=GF,

即△AGP是等腰直角三角形，

AZFDG=45°,

故答案為：45°；

(2)'：DE=\,DF=242>

由(1)知，/VX?尸是等腰直角三角形，

：.DG=GF=2,AB=AD=CD=ED+DG=2+1=3,

延長(zhǎng)GF交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,

：.叢EDMS/XEGF,

???M-DZ：-E-D,

GFEG

即里工

23

:.MD=2L,

3

同理

?NCBC

,,麗麗

即NC_BC.

GH-GFBC<H

?NC3

,,3-2=3+2'

：.NC=^-,

5

：.MN=CD-MD-NC=3-2-3=空,

3515

故答案為：26.

15

三.解答題（共20小題）

30.（2022?十堰）如圖，0ABeD中，AC,AD相交于點(diǎn)。，E,少分別是CM,。。的中點(diǎn).

（1）求證：BE=DF；

（2）設(shè)￡￡=左，當(dāng)左為何值時(shí)，四邊形。班少是矩形？請(qǐng)說明理由.

【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)，即可得到80=。。，EO=FO,進(jìn)而得出四邊形BEDE是平行四

邊形，進(jìn)而得到。E=2下；

（2）先確定當(dāng)OE=OD時(shí)，四邊形。匹尸是矩形，從而得人的值.

【解答】（1）證明：如圖，連接。E,BF,

?.?四邊形/BCD是平行四邊形，

：.B0=0D,AO=OC,

,：E,二分別為NO,OC的中點(diǎn),

:.EO=1JOA,OF^LOC,

22

：.E0=F0,

"：BO=OD,EO=FO,

四邊形BFDE是平行四邊形，

：.DE=BF；

（2）解：當(dāng)人=2時(shí)，四邊形?！?尸是矩形；理由如下:

當(dāng)BD=EF時(shí),四邊形。協(xié)/是矩形，

當(dāng)OD=OE時(shí)，四邊形DEBF是矩形，

;AE=OE,

二當(dāng)左=2時(shí)，四邊形。￡8尸是矩形.

故答案為：2.

31.（2022?隨州）如圖，在平行四邊形/5C。中，點(diǎn)E,尸分別在邊AB,CD上，且四邊形AEZ廳為正方

形.

（1）求證：AE=CF；

（2）已知平行四邊形45。。的面積為20,AB=5,求CF的長(zhǎng).

【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可以得到。下=班，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可以得到/8=CD,然后即

可得到結(jié)論成立；

（2）根據(jù)平行四邊形的面積，可以得到。E的長(zhǎng)，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)，可以得到2E的長(zhǎng)，從而可

以求得NE的長(zhǎng)，再根據(jù)（1）中的結(jié)論，即可得到C尸的長(zhǎng).

【解答】（1）證明：?.?四邊形咒為正方形，

：.DF=EB,

?.?四邊形/BCD是平行四邊形，

：.DC=AB,

：.DC-DF=AB-EB,

：.CF=AE,

即AE=CF-,

（2）解：：平行四邊形43c的面積為20,AB=5,四邊形中為正方形，

A5DE=2Q,DE=EB,

:.DE=EB=4,

：.