2023年中考數(shù)學(xué)必刷題分類專練：三角形壓軸綜合問題【解析版】

備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)必刷真題考點分類專練（全國通用）

專題32三角形壓軸綜合問題

一、解答題

1.（2022?青海?中考真題）兩個頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點，并把它們的底角頂點

連接起來，則形成一組全等的三角形，把具有這個規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形.

（1）問題發(fā)現(xiàn)：

如圖1,若△48C和△力DE是頂角相等的等腰三角形，BC,分別是底邊.求證：BD=CE；

圖1

（2）解決問題：如圖2,若AACB和△DCE均為等腰直角三角形，乙4cB=ADCE=90。，點/,D,￡在同一

條直線上，CM為ADCE中DE邊上的高，連接BE,請判斷N/班的度數(shù)及線段CM,AE,8E之間的數(shù)量

關(guān)系并說明理由.

圖2

【答案】（1）見解析

（2）乙DCE=90°；AE=AD+DE=BE+2CM

【解析】

【分析】

（1）先判斷出/8/ZANC4E,進而利用SAS判斷出AB/。g即可得出結(jié)論；

（2）同（1）的方法判斷出△24D也△0￡,得出ZADC=ZBEC,最后用角的差，即可得出結(jié)論.

(1)

證明：,?,△ZBC和△ZDE是頂角相等的等腰三角形，

：.AB=ACfAD=AE,LBAC=/-DAE,

：.Z.BAC一/.CAD=/LDAE-Z.CAD,

：.^BAD=/.CAE.

在△82。和4C4E中，

AB=AC

Z-BAD=Z-CAE,

、AD=AE

：.ABAD=ACAE(SAS),

：.BD=CE.

(2)

解：^AEB=90°,AE=BE+2CM,

理由如下：由(1)的方法得，△4CD三△BCE,

：.AD=BE,Z.ADC=乙BEC,

是等腰直角三角形，

工乙CDE=￡CED=4S。,

：.^ADC=180°-Z,CDE=135°,

，乙BEC=^ADC=135°,

：.^AEB=乙BEC-MED=135°-45°=90°.

?：CD=CE,CM1DE,

：.DM=ME.

■:乙DCE=90°,

：.DM=ME=CM,

：.DE=2CM.

：.AE=AD+DE=BE+2CM.

【點睛】

此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形，等邊三角形，等腰直角三角形

的性質(zhì)，判斷出△ZC。之△5CE是解本題的關(guān)鍵.

2.(2022?遼寧大連?中考真題)綜合與實踐

問題情境：

數(shù)學(xué)活動課上，王老師出示了一個問題：如圖1,在AABC中，。是48上一點，^ADC=/.ACB.求證乙4CD

/.ABC.

獨立思考:

（1）請解答王老師提出的問題.

實踐探究:

（2）在原有問題條件不變的情況下，王老師增加下面的條件，并提出新問題，請你解答.“如圖2,延長CA

至點E,使CE=BD,BE與CD的延長線相交于點尸，點G,8分別在BF,BC上，BG=CD,乙BGH=4BCF.在

圖中找出與8H相等的線段，并證明.”

問題解決：

（3）數(shù)學(xué)活動小組河學(xué)時上述問題進行特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)NB4C=90。時，若給出△力BC中任意兩邊

長，則圖3中所有已經(jīng)用字母標(biāo)記的線段長均可求，該小組提出下面的問題，請你解答.“如圖3,在（2）

的條件下，若NB4C=90。，AB=4,AC=2,求的長.”

圖1圖2圖3

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）BH=X

3

【解析】

【分析】

（1）利用三角形的內(nèi)角和定理可得答案；

（2）如圖，在8c上截取BN=CF,證明ACEF三△BDN,再證明=DN,=NDN8,證明△GH8三4

CND,可得BH=DN,從而可得結(jié)論；

（3）如圖，在上截取8N=CF,同理可得：BH=DN=EF,利用勾股定理先求解BC=V22+42=2代,

證明△ADCSAACB,可得力。=1,。。=有，可得BG=CD=逐，證明△BGHs/kBCF,可得BF=2BH,而

EF=GH,可得BE=3BH,再利用勾股定理求解8E,即可得到答案.

【詳解】

證明：(1)?:Z.ADC=乙ACB,N力=/-A,

而A4CD=180°一乙4一AADC,^ABC=180°—NA—乙4CB,

/.ACD—Z.ABC,

(2)BH=EF,理由如下：

如圖，在5c上截取BN=CF,

BD=CE,Z-ACD=乙ABC,

CEF=△BDN,

??.EF=DN,乙EFC=乙DNB,

???Z.BGH=乙BCF,乙GBN=乙FBC,

???乙BHG=Z.BFC,

■:乙EFC=CBND,

：.^BFC=乙DNC,

=乙DNC,

?；BG=CD,

:?〉GHB=△CND,

BH=DNf

BH=EF.

(3)如圖，在8C上截取BN=CF,

同理可得：BH=DN=EF,

E

???AC=2,AB=4f^BAC=90。，

/.BC=V22+42=2亞,

???乙DAC=Z-BAC,Z-ACD=/-ABC,

???△ADCACB,

.AD_AC_CD

"AC~AB~BC"

AD_2_CD

，=廣荻

???AD=1,CD=V5,

BG=CD=V5,

???LGBH=乙FBC,乙BGH=乙BCF,

??.ABGHBCF,

.BG_GH_BH_V5_1

??BC~CF~BF~2V5-2'

BF=2BHfWF=GH,

??.BE=3BH,

???AB=4,AD=lfBD=CEf

.?.BD=CE=3,

：.AE=3-2=1,而NB4E=ABAC=90。，

BE=7AB2+AE2=V17,

...V17

BH=---

【點睛】

本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判

定與性質(zhì)，作出適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)建全等三角形是解本題的關(guān)鍵.

3.(2022?山東青島?中考真題)【圖形定義】

有一條高線相等的兩個三角形稱為等高三角形.

例如：如圖①.在AABC和△A'B'C'中，AD,力力'分別是BC和B'C'邊上的高線，且4。=AD,則△ABC和△A‘B'C'

是等高三角形.

【性質(zhì)探究】

如圖①，用SUBC，SAIB'C,分別表示△ABC和△力'B'C'的面積.

貝=*AD，S“B'C'=|B，C，'力'》，

'：AD=AD'

^AABC-S“B'C=BC:BC.

【性質(zhì)應(yīng)用】

(1)如圖②，。是△力BC的邊BC上的一點.若BD=3,DC=4,貝"“BD：S“DC=；

(2)如圖③，在△ABC中，D,￡分別是8C和AB邊上的點.若8E:4B=l:2,CD.BC=1:3,S^ABC=1,則

S^BEC=，S4CDE=；

(3)如圖③，在△ABC中，D,E分別是BC和邊上的點，若BE:4B=l:zn,CD-.BC=l:n,ShABC=a,則

S"CDE—■

【答案】⑴3:4

嗎I

。扁

【解析】

【分析】

(1)由圖可知△力BD和△力DC是等高三角形，然后根據(jù)等高三角形的性質(zhì)即可得到答案;

(2)根據(jù)BE:4B=1:2,SAHBC=1和等高三角形的性質(zhì)可求得4BEC，然后根據(jù)CD：BC=1:3和等高三角

形的性質(zhì)可求得〃CDE；

(3)根據(jù)BEMB=1:機，SMBC=a和等高三角形的性質(zhì)可求得SABEC,然后根據(jù)CD:BC=1:n,和等高

三角形的性質(zhì)可求得SACDE-

(1)

解：如圖，過點/作

則

SAABD=：BDSE,SAADC=^DC-AE

,:AE=AE,

，SA4BD：SA4DC=BD-.DC=3:4.

⑵

解：：△BEC和△ABC是等高三角形，

?*,S^BEC：S.Be~BE:AB—1:2,

.111

??SABEC=5s△AB。=5x1=5；

BEC是等高三角形，

:?SKDE：S>BEC=CD:BC=1:3,

??S>CDE="EC=3x2=6,

⑶

解：???△BEC和△ABC是等高三角形，

工SABEC：S^ABC=BE:AB=l:m,

:,S〉BEC=LABC=mXa=m；

BEC是等高三角形，

?*SACDE：S>BEC=CD:BC=1:n,

?Q_lq_—「

、人一人一

??CDF1n3—nX—m—mn

【點睛】

本題主要考查了等高三角形的定義、性質(zhì)以及應(yīng)用性質(zhì)解題，熟練掌握等高三角形的性質(zhì)并能靈活運用是

解題的關(guān)鍵.

4.(2022?山東煙臺?中考真題)

CE.

(2)【類比探究】如圖2,△48C和△/￡>￡都是等腰直角三角形，N4BC=NADE=90°.連接班),CE.請

直接寫出穿的值.

CE

(3)【拓展提升】如圖3,△NBC和△/￡>￡都是直角三角形，N4BC=NADE=9Q。,且/=喋="連接8D,

DCUC,4

CE.

①求差的值;

CE

②延長CE交BD于點F,交AB于點G.求sinZBFC的值.

【答案】(1)見解析

【解析】

【分析】

(1)證明AB/。之從而得出結(jié)論;

(2)證明進而得出結(jié)果;

(3)①先證明A/BCs△/￡)￡,再證得△C4￡sZ\jg4D,進而得出結(jié)果;

②在①的基礎(chǔ)上得出進而/C=/A4C,進一步得出結(jié)果.

(1)

證明：和都是等邊三角形,

：.AD=AE,AB=AC,/DAE=/BAC=60。,

：.NDAE-ZBAE=ABAC-/BAE,

：.ZBAD=ZCAE,

.'.△BAD沿MAE(SAS),

：.BD=CE-,

⑵

解：???△NBC和△/￡>￡都是等腰直角三角形,

,,噌=襄=強/DAE=/B4C=45。,

/DAE-ZBAE=ABAC-NBAE,

：.ZBAD=ZCAEf

：.ABADsACAE,

.BD_AB_1_V2^

"CE~AC~y/2~2'

⑶

解：=S=?N4BC=/ADE=90°,

：.AABCsAADE,

.-.ZBAC^ZDAE,禁=告3

9

：?NCAE=NBAD,

:.△CAEsLBAD,

.BD_AD_3

"'CE~'AE~5；

②由①得：△CAEsdBAD,

：./ACE=/ABD,

???ZAGC=ZBGF,

：.ZBFC=ABAC,

：.sinZBFC=B^C=^4

AC5

【點睛】

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解決問題的

關(guān)鍵是熟練掌握“手拉手”模型及其變形.

5.（2022?廣西?中考真題）已知NMON=a,點8分別在射線。M,ON上運動，AB=6.

圖①圖②圖③

⑴如圖①，若a=90。，取4B中點D,點運動時，點。也隨之運動，點Z,3,。的對應(yīng)點分別為A,B',D',

連接。D,判斷OD與。D'有什么數(shù)量關(guān)系?證明你的結(jié)論：

（2）如圖②，若a=60。，以N3為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形/8C,求點。與點C的最大距離：

（3）如圖③，若a=45。，當(dāng)點N,3運動到什么位置時，△力。B的面積最大?請說明理由，并求出AAOB面積

的最大值.

【答案】（1）。。=OD,證明見解析

（2）373+3

（3）當(dāng)。4=。8時，AAOB的面積最大；理由見解析，△力。B面積的最大值為9魚+9

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)“直角三角形斜邊中線等于斜邊一半”可得OD=|42,OD'^A'B',進而得出結(jié)論；

（2）作A/OB的外接圓/,連接Q并延長，分別交O/于。和。，當(dāng)。運動到。，時，。。最大，求出Q）

和等邊三角形/。夕上的高O。，進而求得結(jié)果；

（3）作等腰直角三角形以/為圓心，4為半徑作。/,取4g的中點C,連接C7并延長交。/于。，

此時△NOB的面積最大，進一步求得結(jié)果.

（3）以48為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形4BC,連接。。交48于點7,在。7上取點E,使。

連接BE,由（2）可知，當(dāng)。C14B時，。。最大，當(dāng)。力=OB時，此時。7最大，即AAOB的面積最大，

由勾股定理等進行求解即可.

⑴

解：OD=0D',證明如下：

?.?乙4OB=a=90°,AB中點為D,

OD=-AB,

2

???D'為A'B'的中點，乙4'。8'=a=90。,

OD=-AB,

2

???AB=AB,

OD=OD；

(2)

解：如圖1.

作△N05的外接圓/,連接C/并延長，分別交。/于。，和。，

當(dāng)。運動到。，時，。。最大，

此時A/OB是等邊三角形，

：.BO'=AB=6,

OC^CO'=CD+DO'^-AB^-BO'=3+^-,

N2

(3)

解：如圖2,作等腰直角三角形以/為圓心，//為半徑作。/,

A

則點。在O/上，取N3的中點C,連接CZ并延長交。/于。,

此時△402的面積最大，

*/OC=C7+O/=|/B+3近=3+3&,

-1

:.S&AOB^^=1x6x(3+372)=9+972.

【點睛】

本題考查了直角三角形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，確定圓的條件等知識，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握“定弦對

定角''的模型.

6.（2022?山東濰坊?中考真題）【情境再現(xiàn)】

甲、乙兩個含45。角的直角三角尺如圖①放置，甲的直角頂點放在乙斜邊上的高的垂足。處，將甲繞點。

順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角到圖②位置.小瑩用作圖軟件Geogebra按圖②作出示意圖，并連接如圖③所

示，AB交H0于E,4C交。G于尸，通過證明△OBE三△04F,可得。E=OF.

圖③

【遷移應(yīng)用】

延長G4分別交所在直線于點尸，D,如圖④,猜想并證明DG與的位置關(guān)系.

【拓展延伸】

小亮將圖②中的甲、乙換成含30。角的直角三角尺如圖⑤，按圖⑤作出示意圖，并連接如圖⑥所示,

其他條件不變，請你猜想并證明力G與的數(shù)量關(guān)系.

【答案】證明見解析；垂直；BH=6AG

【解析】

【分析】

證明ABOH三△4。G,即可得出結(jié)論；通過=N4G。，可以求出4DGH+NBH。+NOHG=90。，得出

結(jié)論AG1BH；證明ABOHsAAOG,得唬吟嚀得出結(jié)論;

【詳解】

證明：AB=AC,AO1BC,

OA=OB/AOB=90°,

???乙BOH+乙AOH=90。,LAOG+乙AOH=90°,

Z-BOH=Z.AOG,

???OH=OG,

△BOHAOG9

AG=BH；

遷移應(yīng)用：AG1BH,

證明：vABOH=AAOG,

Z.BHO=Z-AGO,

???乙DGH+乙AGO=45°,

???乙DGH+乙BHO=45。,

???乙OHG=45°,

???乙DGH+Z-BHO+/LOHG=90°,

???乙HDG=90°,

???AG1BHi

拓展延伸：BH=WAG,

證明：在Rt△力。B中，tan3(T="=五，

OB3

在出△HOG中，tan30°=—=^,

OH3

OAOG

OBOH

由上一問題可知，乙BOH=/-AOG,

???△BOH-LAOG,

AG_OA_V3

BH~OB~3

BH=WAG.

【點睛】

本題考查旋轉(zhuǎn)變換，涉及知識點：全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、

等角的余角相等，解題關(guān)鍵結(jié)合圖形靈活應(yīng)用相關(guān)的判定與性質(zhì).

7.（2022?遼寧錦州?中考真題）在AABC中，AC=BC,點。在線段SB上，連接CD并延長至點E,使DE=CD,

過點E作EF1A8,交直線4B于點尸.

C

(1)如圖1,若NHCB=120。，請用等式表示力C與EF的數(shù)量關(guān)系：.

(2)如圖2.若N4C8=90。，完成以下問題：

①當(dāng)點。，點廠位于點/的異側(cè)時，請用等式表示力C,AD,DF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②當(dāng)點。，點/位于點力的同側(cè)時，若。尸=1,力。=3,請直接寫出力C的長.

【答案】(1)EF=；4C

(2)①4。+DF=②4魚或2魚；

【解析】

【分析】

(1)過點。作CGLA8于G,先證明0△CDG,得到EF=CG,然后等腰三角形的性質(zhì)和含30度

直角三角形的性質(zhì)，即可求出答案；

(2)①過點C作于卬與(1)同理，證明△成甲g△CDH然后證明△4CH是等腰直角三角形,

即可得到結(jié)論；

②過點。作CGL/8于G,與(1)同理，得△￡￡＞廠出△CDG,然后得到△力CG是等腰直角三角形，利用勾

股定理解直角三角形，即可求出答案.

⑴

解：過點C作CGL/8于G,如圖，

"：EF1AB,

:.乙EFD=乙CGD=90°,

■:乙EDF=LCDG,DE=CD,

：.AEDF經(jīng)4CDG,

：.EF=CG；

???在△ABC中，AC=BC,^ACB=120°,

i

???乙4=ZF=X(180°-120°)=30°,

：.CG=-AC

2f

1

：.EF=^AC；

故答案為：EF^^AC；

⑵

解：①過點C作。于〃，如圖，

與(1)同理，可證△￡/?f出△CD",

：.DF=DH,

：.AD+DFAD+DHAH,

在△ABC中，AC=BC,^ACB=90°,

.?.△ABC是等腰直角三角形，

C.Z.CAH=45°,

.?.△AC"是等腰直角三角形，

：.AH=—AC，

2

.\AD+DF=—AC;

2

②如圖，過點C作CGL/B于G,

c

與（1）同理可證，△￡￡＞尸出△CDG,

：.DF=DG=1,

'：AD=3,

當(dāng)點尸在點/、。之間時，有

J.AG=1+3=4,

與①同理，可證AACG是等腰直角三角形,

-'-AC=42AG=4V2;

當(dāng)點。在點4、尸之間時，如圖：

：.AG=AD-DG=3-1=2,

與①同理，可證△力CG是等腰直角三角形，

.'.AC=&AG=2V2;

綜合上述，線段4C的長為4魚或2魚.

【點睛】

本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，三角形的

內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，正確的作出輔助線，正確得到三角形全等.

8.（2022?北京?中考真題）在△力BC中，^ACB=90°,。為△ABC內(nèi)一點，連接BD,DC,延長DC到點E,

使得CE=DC.

(1)如圖1,延長BC到點F,使得CF=BC,連接力F,EF,若AF1EF,求證：BD1AF-,

(2)連接4E,交BD的延長線于點H,連接CH,依題意補全圖2,若力爐=力5+3屏，用等式表示線段CD

與C”的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】(1)見解析

(2)C￡)=CH；證明見解析

【解析】

【分析】

(1)先利用己知條件證明AFCE三ABCZHSAS),得出NCFE=NCBD,推出EF||BD,再由力FJ.EF即可證

明BD1AF；

(2)延長2c到點使CAf=C2,連接W,AM,先證△MEC三△BDC(SAS),推出ME=BD,通過等

量代換得到力必=AE2+ME2,利用平行線的性質(zhì)得出NBHE=ZXEM=90°,利用直角三角形斜邊中線等

于斜邊一半即可得到CD=CH.

(1)

證明：在AFCE和△BCD中，

'CE=CD

乙FCE=4BCD,

.CF=CB

：.AFCE=ABCD(SAS),

4CFE=4CBD,

：.EF||BD,

"AF1EF,

：.BD1AF.

⑵

解：補全后的圖形如圖所示，CD=CH,證明如下:

延長BC到點使CM=CB,連接四，AM,

U：^ACB=90°,CM=CB,

：.AC垂直平分無飲，

：.AB=AM,

在△MEC和△BDC中，

'CM=CB

乙MCE=乙BCD，

、CE=CD

：.AMECVABDC(SAS),

：.ME=BD,乙CME=^CBD,

*：AB2=AE2+BD2,

：.AM2=AE2+ME2,

：.^AEM=90°,

VzCME=乙CBD,

：.BH||EM,

乙BHE=^AEM=90°,即乙。=90°,

i

U：CE=CD=-DE,

2

CH=-DE,

2

CD=CH.

【點睛】

本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，勾股定理的逆用，直角三

角形斜邊中線的性質(zhì)等，第二問有一定難度，正確作輔助線，證明ADHE=90。是解題的關(guān)鍵.

9.(2022?福建?中考真題)已知△ABC三△DEC,AB=AC,AB>BC.

(1)如圖1,CB平分/ACD,求證：四邊形/ADC是菱形；

(2)如圖2,將(1)中的△CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角小于NA4C),BC,的延長線相交于點尸，

用等式表示NNCE與/即。之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(3)如圖3,將(1)中的△CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角小于//3C),若乙BAD=LBCD,求的

度數(shù).

【答案】(1)見解析

(2)AACE+乙EFC=180°,見解析

(3)30°

【解析】

【分析】

(1)先證明四邊形/8AC是平行四邊形，再根據(jù)得出結(jié)論；(2)先證出乙4CF=NCEF,再根據(jù)三

角形內(nèi)角和NCEF+NECF+NEFC=180°,得到NACF+NECF+NEFC=180°,等量代換即可得到結(jié)論；

(3)在/。上取一點使得NA/=C8,連接狼，i!EWAXBM=ACDB,得至=NBDC,設(shè)立BCD=

Z-BAD=a,乙BDC=0,貝UNADB=a+0,得到a+胃的關(guān)系即可.

⑴

?：4ABC三4DEC,

J.AC^DC,

"：AB=AC,

:.NABC=NACB,AB=DC,

平分//CD,

J.^LACB=ADCB,

:?乙ABC=ADCB,

：.AB\\CD.

???四邊形ABDC是平行四邊形，

又?：AB=AC,

???四邊形ABDC是菱形；

⑵

結(jié)論：AACE+乙EFC=180°.

證明：?：AABCN4DEC,

:,(ABC=2DEC,

9：AB=AC,

：.^ABC=Z.ACB,

：.^ACB=乙DEC,

U：^ACB+AACF=乙DEC+乙CEF=180°,

：.^ACF=乙CEF,

,:乙CEF+Z.ECF+乙EFC=180°,

：.^ACF+乙ECF+乙EFC=180°,

：.^LACE+Z-EFC=180°；

⑶

在4D上取一點使得4l1=C5,連接

U：AB=CD,乙BAD=^BCD,

：.△ABM=△CDB,

:.BM=BD,乙MBA=Z^BDC,

：.^ADB=4BMD,

?2BMD=^BAD+4MB4,

Z-ADB=(BCD+Z.BDC,

設(shè)NBC。=^BAD=a,乙BDC=/?,貝iJzADB=a+0,

*：CA=CD,

.\Z.CAD=Z.CDA=a+2/?,

：.^BAC=/.CAD-^BAD=2/?,

：.^ACB=1(1800-NB4C)=90°-B，

：.^ACD=(90?！?)+a,

\"^ACD+ACAD+ACDA=180°,

(90°-0)+a+2(a+20)=180°,

：.a+p=30°,即/4DB=30。.

【點睛】

本題考查了菱形的判定定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等，靈活運用知識，利用數(shù)形

結(jié)合思想，做出輔助線是解題的關(guān)鍵.

10.(2022?山東威海?中考真題)回顧：用數(shù)學(xué)的思維思考

①BD,CE是的角平分線.求證：BD=CE.

②點。，E分別是邊/C,的中點，連接3D,CE.求證：BD=CE.

(從①②兩題中選擇一題加以證明)

(2)猜想：用數(shù)學(xué)的眼光觀察

經(jīng)過做題反思，小明同學(xué)認為：在△48C中，AB=AC,。為邊NC上一動點(不與點4,C重合).對于點

。在邊/C上的任意位置，在另一邊N3上總能找到一個與其對應(yīng)的點￡,4吏得BD=CE.進而提出問題：

若點D,E分別運動到邊/C,43的延長線上，2。與CE還相等嗎？請解決下面的問題：

如圖2,在小/臺。中，AB=AC,點、D,￡分別在邊NC,的延長線上，請?zhí)砑右粋€條件(不再添加新的

字母)，使得BD=CE,并證明.

(3)探究：用數(shù)學(xué)的語言表達

如圖3,在A4BC中，4B=AC=2,//=36。，E為邊上任意一；點(不與點48重合)，F(xiàn)為邊4c延

長線上一點.判斷與CE能否相等.若能，求C尸的取值范圍；若不能，說明理由.

【答案】(1)見解析

(2)添加條件CZ>BE,見解析

(3)能，0<CF<V5-1

【解析】

【分析】

(1)①利用ASA證明△4RD以ZUCE.

②利用S/S證明△NBA0

(2)添加條件CD=3E,證明/C+CD=48+2E,從而利用"S證明△48。g

(3)在/C上取一點。，使得BD=C￡,根據(jù)8R=C￡,得至1J即=3凡當(dāng)BD=BF=R4時,可證△。8尸/)/\8/尸,

運用相似性質(zhì)，求得CF的長即可.

(1)

①如圖1,

N4BC=/ACB,

圖1

,:BD,CE1是△NBC的角平分線，

Z.ZABD^ZABC,ZACE=^ZACB,

：.ZABD=ZACE,

"：AB=AC,ZA=AA,

：.^ABD^/\ACE,

：.BD=CE.

②如圖1,-：AB=AC,點D,E分別是邊NC,的中點,

：.AE=AD,

,:AB=AC,ZA=ZA,

：.△ABgAACE,

：.BD=CE.

⑵

添加條件CD=B￡,證明如下：

"：AB=AC,CD=BE,

：.AC+CD=AB+BE,

：.AD=AE,

"：AB=AC,ZA=ZA,

：.LABD%AACE,

：.BD=CE.

⑶

能

在ZC上取一點。，使得AD=CE,根據(jù)得到

A

當(dāng)/時，E與4重合，

VZA=36°fAB=AC,

：.NABC=/ACB=72。,ZA=ZBFA=36°,

???NABF=NBCF=U）8。,NBFC=/AFB,

：?>CBFsABAF,

.BF_CF

"AF~BF'

?:AB=AC=2=BF,設(shè)CF=x,

.2_x

??x+22'

整理，得了+2%-4=0,

解得工=通-1，x=—V5-1（舍去），

故CF=x=V5—1,

.\0<CF<V5-1.

【點睛】

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，一元二次方程的解

法，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定，三角形相似的判定性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

11.（2022?貴州銅仁?中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點。，記△C。。的面積為

△力。B的面積為S2.

（1）問題解決：如圖①，若ABHCD,求證：m=鬻

02UA-UD

（2）探索推廣：如圖②，若力B與CD不平行，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說

明理由.

（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在。力上取一點E,使。E=OC,過點￡作EFIICD交。。于點R點〃為AB的中點,

OH交EF于點、G,且。G=2GH,若詈=|，求六值.

【答案】（1）見解析；（2）（1）中的結(jié)論成立，理由見解析：（3）g

54

【解析】

【分析】

（1）如圖所示，過點。作于E,過點8作2尸，/C于尸，求出DE=OD-sinNDOE,BF=OB-

sinzBOF,然后根據(jù)三角形面積公式求解即可；

（2）同（1）求解即可;

（3）如圖所示，過點/作4MliEF交03于跖取中點N,連接HV,先證明△。瓦名△OCD,得到

OPripr

OD=OF,證明△OEFS/XCMM,得到懦二右二二設(shè)OE=OC=5m,OF=OD=5九，貝=6m,OM=6n,

OMOA6

證明推出。N=|。?=等，BN=MN=ON-OM=y,貝【「OB=ON+BN=9n,由（2）

結(jié)論求解即可.

【詳解】

解：（1）如圖所示，過點。作/EL/C于E,過點8作BFL/C于R

：.DE=0D-sinzDOF,BF=OB-sinzBOF,

11

??SLOCD=S1=-OC?DE=-OC-OD?sinZ.DOE,

5△408=52=,BF—~0A?OB-sin乙BOF,

/DOE=/BOF,

:?sinzJ90E=sin/BOF；

?Si_^OCODsinz.DOE_OCOD

'?S?^OA-OB-sin^BOFOAOB

(2)(1)中的結(jié)論成立，理由如下：

如圖所示，過點。作于區(qū)過點B作于R

；.DE=0D-sinzPOE,BF=OB,sin/BOF,

?6△℃0=51=1。。?DE=^OC-OD?sin乙DOE,

ii

$△408=52=5。4-BF=-OA?OB-sin乙B0F,

/DOE=NBOF,

/.sinZ-DOE=sinzBOF；

(3)如圖所示，過點4作/M||E尸交。5于M,取切飲中點N,連接HN,

VEFIICD,

：?/ODC=NOFE,NOCD=NOEF,

又,.,OE=OC,

:?△OEF9MOCD(AAS),

OD=OF,

VEFIMM,

:?△OEFs^OAM,

.OFOE5

??----f

OMOA6

設(shè)OE=OC=5m,OF=OD=5n，貝11。/=6m,OM=6荏,

??,//是ZB的中點，N是5M的中點，

???HN是AABM的中位線,

：.HN\\AM\\EFf

：?4OGFsAOHN,

.OG_OF

,?麗一'ON"

;OG=2GH,

2

：.OG=-OH,

3

,OG__OF_2

?-ON-3’

??ON=_OF=—9BN=MN=ON-OM=—,

222

：.0B=ON+BN=9n,

【點睛】

本題主要考查了解直角三角形，相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理,

正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

12.（2022?湖北武漢?中考真題）已知CD是AABC的角平分線，點E,尸分別在邊力C,BC上，AD=m,BD=n,

AADE^LBDF的面積之和為S.

(1)填空：當(dāng)N4C8=90。，DE1AC,DF1BC時，

①如圖］,若NB=45。，m-5V2,貝!Jn=,S=；

②如圖2,若NB=60。，m=4V3，則n=,S—；

(2)如圖3,當(dāng)乙4。8=/項)9=90。時，探究S與加、〃的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：

(3)如圖4,當(dāng)/力。8=60。，NEDF=120。，爪=6,n=4時，請直接寫出S的大小.

【答案】⑴①5位,25；②4；8V3

(2)S=|mn

(3)S=6V3

【解析】

【分析】

(1)①先證四邊形DECF為正方形，再證△NBC為等腰直角三角形，根據(jù)CD平分//C2,得出

且AD=3D=機然后利用三角函數(shù)求出瓦工8￡>cos45o=5,DF=BDsm45°=5,AE=ADcos450=5BPRJ；②先證四

邊形。EC尸為正方形，利用直角三角形兩銳角互余求出//=90。-48=30。，利用30。直角三角形先證求出

DE^AD=|X473=2A/3,利用三角函數(shù)求出NE=4Dcos30°=6,DF=DE=2?5F=r>Ftan30°=2,

尸+sin600=4即可；

(2)過點。作于X,DGLBC^G,在8C上截取"BG,連接先證四邊形DGCff為正方

形，再證△￡>砥;咨△￡>￡〃(ASA)與△OBGgAD田(SAS),然后證明/20/=180°-//-/。田=90°即可；

(3)過點。作。P_L/C于尸，DQVBC^-Q,在PC上截取PR=QB,連接。尺，過點/作4SU_DR于S,

先證明△。09義4。尸￡,4DBQ沿ADRP,再證ADBF組ADRE,求出

ZADR=ZADE+ZBDF=180°-ZFDE=60°即可.

(1)

解：@'：AACB=90°,DE1AC,DF1BC,CD是△ABC的角平分線，

.??四邊形。ECF為矩形，DE=DF,

四邊形DECF為正方形，

■:乙B=45°,

ZA=90°-ZB=45°=ZB,

...△NBC為等腰直角三角形，

'."CD^ZACB,

：.CD±AB,MAD=BD=m,

Vm=5vL

:.BD=n=sa，

：.BF=BDcos450=5,DF=BDsin450=5,AE=ADcos450=5,ED=DF=5,

:.S=S^ADE+SLBDF=|x5x5+|x5x5=25；

故答案為5近，25；

@VZXCB=90°,DE1AC,DF1BC,CD是△ABC的角平分線，

；?四邊形DECF為矩形，DE=DF,

.,?四邊形DECF為正方形，

VZB=60°,

ZA=90°-ZB=30°,

：.DE=^AD=gX4V3=2V3,AE=ADcos30°=6,DF=DE=2同

*.?NBDF=9Q°-/B=3Q°,

BF=DFtan30°=2,

???5。=。b+sin600=4,

BD=n=4,

:?S=S>ADE+S^BDF=gx2V3x6+；x2x2V3=8V3,

故答案為：4；8V3;

⑵

解：過點。作?！↗L4c于H,OG_L5C于G,在上截取”5G,連接。/,

JZDHC=ZDGC=ZGCH=90°,

???四邊形QGC8為矩形，

是的角平分線，DHLAC,DG工BC,

:?DG=DH,

???四邊形。GCH為正方形，

：.ZGDH=90°,

VzEDF=90°,

ZFDG+ZGDE=ZGDE+ZEDH=9Q°,

???/FDG=/EDH,

在叢DFG和叢DEH中，

2FDG=乙EDH

DG=DH,

ZDGF=乙DHE

:.△DFG"ADEH(ASA)

：.FG=EH,

在ADBG和△。田中，

DG=DH

乙DGB=乙DHI,

、BG=IH

:?△DBG%ADIH(SAS),

:?/B=/DIH,DB=DI=n,

ZDIH+ZA=ZB+ZA=90°,

：.ZIDA=180°-Z^-ZDIH=90°,

ii

：.SAADI=^AD-DI=-mn,

:?S=S>ADE+S、BDF—S?ADE+S、HDI=^^ADI=

A

⑶

過點。作。尸_L/C于尸，DQLBC^Q,在尸C上截取尸連接。R,過點/作4SLLDR于S,

；CD是△ABC的角平分線，DPLAC,DQLBC,

：.DP=DQ,

"：ZACB=60°

：.ZQDP=120°,

■:乙EDF=120°,

ZFDQ+ZFDP=ZFDP+ZEDP=120°,

ZFDQ=ZEDP,

在△。尸Q和△Z)EP中,

ZFDQ=Z.EDP

DQ=DP,

、(DQF=Z.DPE

：.ADFQ^ADEP(ASA)

:?DF=DE,/QDF=NPDE,

在ADBQ和△ORP中，

DQ=DP

乙DQB=乙DPR,

、BQ=RP

：.ADBQ^ADRP(SAS),

:./BDQ=/RDP,DB=DR,

：./BDF=/BDQ+/FDQ=/RDP+NEDP=/RDE,

?:DB=DE,DB=DR,

：.ADBF^ADRE,

：.ZADR=ZADE+ZBDF=180°-ZFDE=60°,

：.S=SAADR=^AS-DR=-ADsm600xDR=-x6x—x4=6V3.

2222

【點睛】

本題考查等腰直角三角形判定與性質(zhì)，正方形判定與性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，直角三角形判定，三

角形面積，角平分線性質(zhì)，解直角三角形，掌握等腰直角三角形判定與性質(zhì)，正方形判定與性質(zhì)，三角形

全等判定與性質(zhì)，直角三角形判定，三角形面積，角平分線性質(zhì)，解直角三角形是解題關(guān)鍵.

13.(2022?黑龍江?中考真題)△ABC和△ADE都是等邊三角形.

⑴將AADE繞點/旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時，連接并延長相交于點P(點尸與點4重合)，有PA+P8=PC

(或P4+PC=PB)成立；請證明.

(2)將△ADE繞點/旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時，連接AD,CE相交于點P,連接B4,猜想線段以、PB、PC之間

有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明；

(3)將AADE繞點”旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時，連接8。，CE相交于點尸，連接以，猜想線段為、PB、PC之間

有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不需要證明.

【答案】(1)證明見解析

(2)圖②結(jié)論：PB=PA+PC,證明見解析

(3)圖③結(jié)論：PA+PBPC

【解析】

【分析】

(1)由A/BC是等邊三角形，MAB=AC,再因為點尸與點/重合，所以PB=4B,PC=AC,PA=O,即可得

出結(jié)論；

(2)在3尸上截取BF=CP,連接/尸，證明△BAD=ACAECSAS),得NABD=^ACE,再證明△CAPSABAF

(SAS),得NC4P=4B4F,AF=AP,然后證明A4FP是等邊三角形，得PF=AP,即可得出結(jié)論；

(3)在。尸上截取CF=BP,連接/尸，證明ABAD=ACAE(SAS),得乙1BD=/.ACE,再證明ABHP=ACAF

CSAS),得出NC4F=NB4P,AP=AF,然后證明△4FP是等邊三角形，得PF=AP,即可得出結(jié)論：PA+

PB=PF+CF=PC.

(1)

證明：是等邊三角形，

：.AB=AC,

:點P與點4重合，

：.PB=AB,PC=AC,R4=0,

：.PA+PB=PC或PH+PC=PB；

(2)

解：圖②結(jié)論：PB=PA+PC

證明：在3尸上截取BF=CP,連接/凡

???△/8。和44DE都是等邊三角形，

：.AB=AC,AD=AE,ABAC=^DAE=60°

/.Z.BAC+Z.CAD=Z-DAE+Z.CAD,

：.^BAD=/.CAE,

：.ABAD=△CAE(SAS'),

：.^ABD=/.ACE,

?：AC=AB,CP=BF,

：.ACAP=ABAF(SAS)f

：.Z.CAP=/.BAF,AF=AP,

：.^CAP+ACAF=4BAF+ACAF.

：.Z.FAP=Z.BAC=60°,

???△/FP是等邊三角形，

：.PF=AP,

：.PAPC=PF+BF=PB；

⑶

解：圖③結(jié)論：PA+PB=PC,

理由：在C尸上截取CF=BP,連接4R

△28。和4ZDE都是等邊三角形，

：.AB=AC,AD=AE,ABAC=^DAE=60°

Z-BAC+Z-BAE=Z-DAE+乙BAE,

：.^BAD=/.CAE,

：.LBAD=^CAE(SAS)f

：.^ABD=/-ACE,

?；AB=AC,BP=CF,

：.△BAP=△CAF(SAS),

：.A.CAF=￡.BAP,AP=AFf

：.Z.BAF+2BAP=乙BAF+zCXF,

：.^FAP=A.BAC=60°,

**?△ZFP是等邊三角形，

：.PF=AP,

???PA+PB=PF+CF=PC,

即PZ+PB=PC.

【點睛】

本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等

三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

14.(2022?陜西?中考真題)問題提出

(1)如圖1,AD是等邊△ABC的中線，點P在4。的延長線上，且AP=AC,則乙4PC的度數(shù)為.

問題探究

(2)如圖2,在△ABC中，CA=CB=6,zC=120°.過點/作AP||BC,且4P=BC,過點尸作直線/_LBC,

分別交48、BC于點。、E,求四邊形。ECA的面積.

問題解決

(3)如圖3,現(xiàn)有一塊△力BC型板材，乙4cB為鈍角，NB4C=45。.工人師傅想用這塊板材裁出一個△A8P

型部件，并要求NB力P=15。,42=AC.工人師傅在這塊板材上的作法如下：

①以點C為圓心，以CA長為半徑畫弧，交AB于點D,連接CD；

②作CD的垂直平分線/,與CD于點E；

③以點/為圓心，以力C長為半徑畫弧，交直線/于點P,連接4P、BP,得AABP.

請問，若按上述作法，裁得的AABP型部件是否符合要求？請證明你的結(jié)論.

【答案】(1)75°

(3)符合要求，理由見解析

【解析】

【分析】

(1)利用等腰三角形的判定及性質(zhì)，結(jié)合三角形內(nèi)角和，先求出NPCD=15。即可；

(2)連接BP.先證明出四邊形力C8P是菱形.利用菱形的性質(zhì)得出BP=AC=6,由N/1C8=120。，得出

乙PBE=60°.|艮據(jù)］1BC,得BE=PB-cos60°=3,PE=PB-sin60°=3V3,即可求出S.BC=^BC-PE=

9V3,再求出OE=V3,利用S四邊形0Eca