2023年中考數(shù)學(xué)必刷題分類專練：圓的有關(guān)位置關(guān)系（共52題）【解析版】

備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)必刷真題考點(diǎn)分類專練（全國(guó)通用）

專題24圓的有關(guān)位置關(guān)系（共52題）

一.選擇題（共15小題）

1.（2022?長(zhǎng)沙）如圖，PA,必是。。的切線，4B為切點(diǎn)，若N/OB=128°,則/尸的度數(shù)為（）

【分析】利用切線的性質(zhì)可得NCM尸尸=90°,然后利用四邊形內(nèi)角和是360°,進(jìn)行計(jì)算即可解

答.

【解析】,：PA,總是。。的切線，4、8為切點(diǎn)，

；.NOAP=NOBP=90°,

VZAOB=l2Sa,

：.ZP=360°-ZOAP-ZOBP-ZP=52°,

故選：B.

2.（2022?哈爾濱）如圖，AD,8c是。。的直徑，點(diǎn)P在5c的延長(zhǎng)線上，與。。相切于點(diǎn)4連接5D,

若/尸=40°,則N4D3的度數(shù)為（）

D

A.65°B.60°C.50°D.25°

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得出N。/尸=90°,進(jìn)而得出N5。。的度數(shù)，再利用等腰三角形的性質(zhì)得出N

ADB的度數(shù)即可.

【解析】,??巴與。。相切于點(diǎn)4,N尸=40°,

：.ZOAP=90°,

AZBOD=ZAOP=90°-ZP=50°,

?：OB=OD,

：.ZADB=ZOBD=(180°-/BOD)4-2=(180°-50°)4-2=65°,

故選：A.

3.(2022?無(wú)錫)如圖，是圓。的直徑，弦/。平分NA4C,過(guò)點(diǎn)。的切線交/C于點(diǎn)E,ZEAD=25°,

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到證明OD〃/C,由此判斷4、3選項(xiàng)；過(guò)點(diǎn)。作。尸，4。于尸,

利用矩形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)判斷。選項(xiàng)；利用三角形外角性質(zhì)求得N3OQ的度數(shù)，從而判斷。

選項(xiàng).

【解析】???弦4。平分NA4C,ZEAD=25°,

：.ZOAD=ZODA=25°.

AZBOD=2ZOAD=50°.

故選項(xiàng)。不符合題意；

9

：ZOAD=ZCADf

：.ZCAD=ZODA,

：.OD//AC,即/石〃OD,故選5不符合題意;

是O。的切線,

：.OD±DE.

:.DELAE.故選項(xiàng)/不符合題意；

如圖，過(guò)點(diǎn)。作J_/C于凡則四邊形OEBD是矩形,

?.OF=DE.

在直角△/人?中，OA>OF.

'：OD=OA,

：.DE<OD.

故選項(xiàng)C符合題意.

故選：C.

4.（2022?眉山）如圖是不倒翁的主視圖，不倒翁的圓形臉恰好與帽子邊沿B4,依分別相切于點(diǎn)/,B,不

倒翁的鼻尖正好是圓心。若/O4B=28°,則N/網(wǎng)的度數(shù)為（）

A.28°B.50°C.56°D.62°

【分析】連接。2,由/。=。2得，NOAB=NOB4=28°,N4O8=180°-2/0/8=124°；因?yàn)锽4、

尸2分別切O。于點(diǎn)/、B,則N04P=/03尸=90°,利用四邊形內(nèi)角和即可求出//P3.

【解析】連接OB,

'：OA=OB,

：.ZOAB=ZOBA=28°,

408=124°,

；以、尸8分別切。。于點(diǎn)N、B,

：.OA±PA,OPLAB,

；./CMP+NO5P=180°,

：.ZAPB+ZAOB=1^°；

；./4PB=56°.

故選：C.

5.（2022?重慶）如圖，48是。。的切線，B為切點(diǎn),連接/。交O。于點(diǎn)C,延長(zhǎng)/。交。。于點(diǎn)。，連

接BD.若/4=/D,且NC=3,則48的長(zhǎng)度是（）

【分析】連接。2,貝I]O8_L48,由勾股定理可知，/爐=。/2-05①，由03和3）是半徑，所以//

=ZD=ZOBD,所以AOBDSAR4D,AB=BD,可得=所以。貂一。加二。。?。，設(shè)

0D=x,則4D=2x+3,OB=x,CM=x+3,所以（x+3）2-?=苫（2/3）,求出x的值，即可求出。/和

。8的長(zhǎng)，進(jìn)而求得的長(zhǎng).

【解析】如圖，連接。2,

..78是。。的切線，3為切點(diǎn),

：.OBA.AB,

：.AB2=OA2-OB2,

?.,。5和。。是半徑，

JZD=ZOBD,

???/A=/D,

：.ZA=ZD=ZOBD,

:.AOBDsABAD,AB=BD,

：.OD：BD=BD：AD,

：.BD2=OD*AD,

22

即OA-OB=OD*AD9

設(shè)OD=x,

??7C=3,

.?.ZZ)=2x+3,OB=x,OA=x+3,

?*.(x+3)2-x2—%(2x+3),解得x=3(負(fù)值舍去),

：.OA=6fOB=3,

：.AB2=OA2-OB2=21,

:.AB=3?,

故選：C.

6.(2022?武漢)如圖，在四邊形材料48CD中，AD//BC,//=90°,AD=9cm,4B=20cm,3c=24cm.現(xiàn)

用此材料截出一個(gè)面積最大的圓形模板，則此圓的半徑是（)

A.11°c〃?B.8cmC.(jyFzcmD.10cm

13

【分析】如圖，當(dāng)48,BC,CD相切于OO于點(diǎn)E,F,G時(shí)，。。的面積最大.連接。4OB,OC,

OD,OE,OF,OG,過(guò)點(diǎn)。作D/7L8C于點(diǎn)利用面積法構(gòu)建方程求解.

【解析】如圖，當(dāng)AS,BC,CD相切于。。于點(diǎn)E,F,G時(shí)時(shí)，O。的面積最大.連接ON,OB,OC,

:NDHB=90°,

，四邊形/以邊是矩形，

.,.AB=DH=20cm,AD=BH=9cm,

\'BC^24cm,

：.CH=BC-BH=24-9=15(cm),

???CD=、DH24cH2r202+152=25(cm),

設(shè)OE=OF=OG=ycm,

則有工X(9+24)X20=JLX20Xr+Ax24Xr+Ax25Xr+JLX9X(20-r),

22222

.*.r=8,

故選：B.

7.（2022?重慶）如圖，是。。的直徑，C為。。上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)尸，若NC

=PC=3北,則PB的長(zhǎng)為（）

A.V3B.3C.25/3D.3

2

【分析】連結(jié)。C,根據(jù)切線的性質(zhì)得到NPCO=90°,根據(jù)0c=04,得到N/=N0C4,根據(jù)/C=

PC,得到在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得/尸=30°,根據(jù)含30度角的直角三角

形的性質(zhì)得到。尸=2OC=2r,在Rt△尸OC中，根據(jù)tanP=?2_求出。。的半徑r即可得出答案.

PC

【解析】如圖，連結(jié)。C,

:PC是。。的切線，

ZPCO=90°,

：OC=CM,

AA=AOCA,

'：AC^PC,

：.NP=NA,

設(shè)N力=/。。4=/尸=%°,

在△4PC中，NZ+N尸+NPC4=180°,

：.x+x+90°+x=180°,

：.x=30°,

AZP=30°,

9：ZPCO=90°,

：.OP=2OC=2r,

在Rt△尸OC中，tanP=里，

PC

?V3—r

"V初’

?」=3,

：.PB=OP-OB=2r-y=r=3.

故選：D.

8.（2022?自貢）P為。。外一點(diǎn)，PT與。。相切于點(diǎn)T,。尸=10,/OPT=30：則PT長(zhǎng)為（）

A.573B.5C.8D.9

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到/。">=90°,根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到。r的值，根據(jù)勾

股定理即可求解.

【解析】方法一：如圖，：尸7與O。相切于點(diǎn)T,

：.ZOTP=90°,

又；0尸=10,/。尸7=30°,

?.OT=1.OP=^X10=5,

22

PT=Vop2-OT2=V102-52=5心

故選：A.

方法二：在RtZ\。尸7中，VcosP=ZL,

0P

：.PT=OP-cos30°=10X近二5?.

2

9.（2022?梧州）如圖，。。是△43C的外接圓，S.AB=AC,/A4c=36°,在AB上取點(diǎn)。（不與點(diǎn)/，

3重合），連接8。，AD,則/歷1O+/48。的度數(shù)是（）

A

【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)可得//8C=NC=72°,從而利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可求出ND=

108。，然后利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解析】'：AB=AC,NBAC=36°,

:./ABC=/C=72°,

:四邊形4D8。是圓內(nèi)接四邊形，

AZZ）+ZC=180°,

AZZ>=180°-ZC=108°,

AZBAD+ZABD=l80°-ZZ）=72°,

故選：C.

10.（2022?十堰）如圖，o。是等邊△/8C的外接圓，點(diǎn)。是弧/C上一動(dòng)點(diǎn)（不與4,C重合），下列結(jié)

論：①/ADB=/BDC；②DA=DC；③當(dāng)。3最長(zhǎng)時(shí)，DB=2DC；@DA+DC=DB,其中一定正確

的結(jié)論有（）

A

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】由△NBC是等邊三角形，及同弧所對(duì)圓周角相等可得即可判斷①正確；由點(diǎn)

。是弧NC上一動(dòng)點(diǎn)，可判斷②錯(cuò)誤；根據(jù)。5最長(zhǎng)時(shí)，為。。直徑，可判定③正確；在。8上取一

點(diǎn)E,使。E=4D,可得△/￡?￡1是等邊三角形，從而△NBEZZUCD(SAS),有BE=CD,可判斷④正

確.

【解析】???△/3C是等邊三角形，

；./8/C=N/C8=60°,

??唬=窟BC=BC.

:.NADB=NACB=60°,ZBDC=ZBAC=60°,

：.NADB=NBDC,故①正確；

:點(diǎn)。是弧NC上一動(dòng)點(diǎn)，

俞與而不一定相等，

...￡>/與。C不一定相等，故②錯(cuò)誤；

當(dāng)。2最長(zhǎng)時(shí)，D2為。。直徑，

AZ5DC=90°,

VZBDC=60°,

ZZ)SC=30°,

：.DB=2DC,故③正確；

在。2上取一點(diǎn)E,使DE=4D,如圖:

VZADB=60°,

.?.△/DE是等邊三角形,

：.AD=AE,NDAE=60°,

VZBAC=60°,

：.NBAE=NCAD,

"：AB=AC,

：./\ABE^/\ACD（SAS'）,

：.BE=CD,

：.BD=BE+DE=CD+AD,故④正確；

二正確的有①③④，共3個(gè)，

故選：C.

11.（2022?邵陽(yáng)）如圖，是等邊△/8C的外接圓，若45=3,則。。的半徑是（）

222

【分析】連接03,過(guò)點(diǎn)。作結(jié)合三角形外心和垂徑定理分析求解.

【解析】連接OB,過(guò)點(diǎn)0作OE±BC,

,/OO是等邊AABC的外接圓,

；.OB平分/4BC,

：./OBE=30°,

yC'：OE±BC,

:.BE=LC=LB=S,

222

在RtaOBE中，cos30°=型,

0B

3

,----=----,

0B2

解得：OB=M，

故選：c.

12.（2022?德陽(yáng)）如圖，點(diǎn)E是△/BC的內(nèi)心，/E的延長(zhǎng)線和△/BC的外接圓相交于點(diǎn)。，與3c相交于

點(diǎn)G,則下列結(jié)論：①/BAD=NCAD；②若NA4C=60°,則4B￡C=120°；③若點(diǎn)G為8C的中

其中一定正確的個(gè)數(shù)是（）

C.3D.4

【分析】利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)得到則可對(duì)①進(jìn)行判斷；直接利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)

對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)垂徑定理則可對(duì)③進(jìn)行判斷；通過(guò)證明得到。則可對(duì)④

進(jìn)行判斷.

【解析】是△/8C的內(nèi)心，

平分

：.NBAD=NCAD,故①正確;

如圖，連接BE,CE,

n

是△/BC的內(nèi)心,

：./EBC=L/ABC,ZECB=1-7ACB,

22

：/R4C=60°，

AZABC+ZACB=120°,

/.ZBEC=1SO°-ZEBC-Z￡C5=180°-A(ZABC+ZACB)=120°,故②正確;

2

?；ZBAD=ZCAD,

???BD=DC?

:點(diǎn)G為8c的中點(diǎn),

：.OD±BC,

：.ZBGD=90°,故③正確;

如圖，連接

:.BE平分/ABC,

：.N4BE=NCBE,

,：/DBC=NDAC=ZBAD,

：.ZDBC+ZEBC=ZEBA+ZEAB,

：.ZDBE=NDEB,

:.DB=DE,故④正確.

...一定正確的①②③④，共4個(gè).

故選：D.

13.（2022?婁底）如圖，等邊△/8C內(nèi)切的圖形來(lái)自我國(guó)古代的太極圖，等邊三角形內(nèi)切圓中的黑色部分

和白色部分關(guān)于等邊△48C的內(nèi)心成中心對(duì)稱，則圓中的黑色部分的面積與△4BC的面積之比是（）

【分析】根據(jù)題意和圖形，可知圓中的黑色部分的面積是圓的面積的一半，然后即可計(jì)算出圓中的黑色

部分的面積與△N5C的面積之比.

【解析】作3c于點(diǎn)。，作3ELNC于點(diǎn)￡,和3E交于點(diǎn)O,如圖所示，

設(shè)/8=2。，則3。=0,

VZADB=90°,

AD=7AB2-BD2=V3a，

OD=^AD=，

33

冗X（咚a）2入卷廠

二圓中的黑色部分的面積與△/BC的面積之比是：-----------------=^12

2a73a18

故選：A.

14.（2022?吉林）如圖，在中，ZACB=90°,AB=5,BC=4.以點(diǎn)/為圓心，/為半徑作圓，當(dāng)

點(diǎn)。在內(nèi)且點(diǎn)5在外時(shí)，尸的值可能是（）

A.2B.3C.4D.5

【分析】由勾股定理求出/C的長(zhǎng)度，再由點(diǎn)C在。/內(nèi)且點(diǎn)8在。/外求解.

【解析】在RtZX/BC中，由勾股定理得NC=JAB2-BC2=4,

;點(diǎn)C在。N內(nèi)且點(diǎn)B在。N外，

.\3<r<5,

故選：C.

15.（2022?杭州）如圖，已知△NBC內(nèi)接于半徑為1的。。，ZBAC=G是銳角），則△48C的面積的最

大值為（）

C.sin0（l+sin0）D.sin0（l+cos0）

【分析】要使△48C的面積S=118c?/?的最大，則〃要最大，當(dāng)高經(jīng)過(guò)圓心時(shí)最大.

2

【解析】當(dāng)△N5C的高經(jīng)過(guò)圓的圓心時(shí)，此時(shí)△/8C的面積最大，

如圖所示，

：.BC=2BD,NBOD=NBA'C=0,

在RtA50D中,

sine=^5-=^5_,0080=^5-=^?.

OB1OB1

.?.2。=sin。，OD=cos。,

：.BC=2BD=2sinQf

A'D=Ar（?+OZ）=l+cos0,

?'SAABC^'。皿=/sm。（Hoose）=sm。（1+cos。）.

故選：D.

二.填空題（共17小題）

16.（2022?泰州）如圖，刃與O。相切于點(diǎn)/,尸O與。。相交于點(diǎn)3,點(diǎn)C在益上，且與點(diǎn)/、2不重

合.若/尸=26°,則/。的度數(shù)為320.

【分析】連接并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)。，連接D2,由切線的性質(zhì)得出NO4P=90°,由/尸=26°,求

出NNOP=64°,由圓周角定理即可求出NC=/D=32°.

【解析】如圖，連接/。并延長(zhǎng)交O。于點(diǎn)。，連接。3,

;我與。。相切于點(diǎn)4

：.ZOAP^90°,

VZP=26°,

：.ZAOP=90°-ZP=90°-26°=64°,

?.ZZ>=AZ^OP=AX64°=32°,

22

?點(diǎn)C在工油上，且與點(diǎn)/、8不重合，

.?.ZC=ZZ）=32°,

故答案為：32.

17.（2022?海南）如圖，射線48與。。相切于點(diǎn)8,經(jīng)過(guò)圓心。的射線/C與。。相交于點(diǎn)。、C,連接

【分析】連接05,利用切線的性質(zhì)定理可求NN3O=90°,利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得

利用圓周角定理即可求得結(jié)論.

..?射線AB與。。相切于點(diǎn)B,

：.OBLAB,

；./48。=90°.

VZA=40°,

ZAOB=50°,

AZACB=1.ZAOB=25O.

2

故答案為：25.

18.（2022?懷化）如圖，與。。相切于點(diǎn)C,AO=3,。。的半徑為2,則NC的長(zhǎng)為后

【分析】連接OC,根據(jù)切線的性質(zhì)得到OCLNC,再根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案.

【解析】連接0C,

'：AB與OO相切于點(diǎn)C,

：.OCLAC,

在RtZ\/OC中，0C=2,。4=3,

則AC=V0A2-0C2=V32-22=遙'

故答案為：V5-

19.（2022?株洲）中國(guó)元代數(shù)學(xué)家朱世杰所著《四元玉鑒》記載有“鎖套吞容”之“方田圓池結(jié)角池圖”.“方

田一段，一角圓池占之意思是說(shuō)：“一塊正方形田地，在其一角有一個(gè)圓形的水池（其中圓與正方形

一角的兩邊均相切）”，如圖所示.

問(wèn)題：此圖中，正方形一條對(duì)角線與相交于點(diǎn)M、N（點(diǎn)N在點(diǎn)M的右上方），若A8的長(zhǎng)度為

為哪二同“鑒”

【分析】連接OC,根據(jù)切線的性質(zhì)得到OCLNC,根據(jù)正方形的性質(zhì)得到/CUC=45°,求出結(jié)

合圖形計(jì)算，得到答案.

【解析】如圖，設(shè)正方形的一邊與。。的切點(diǎn)為C,連接OC,

則OC±AC,

???四邊形是正方形，是對(duì)角線，

；./O/C=45°,

：.OA=?OC=2?（丈），

：.BN=4B-AN=\Q-2近-2=（8-2加）丈，

20.（2022?泰安）如圖，在△/BC中，/B=90：。。過(guò)點(diǎn)/、C,與4B交于點(diǎn)D,與8。相切于點(diǎn)C,

【分析】連接。C,根據(jù)圓周角定理求出NOOC,根據(jù)切線的性質(zhì)得到OCL8C,證明N3〃OC,根據(jù)平

行線的性質(zhì)解答即可.

【解析】連接OC,

VZA=32°,

：.ZDOC^2ZA=64a,

與。。相切于點(diǎn)C,

：.OC±BC,

,：ZB=90°,

?.Z5+ZOC5=180°,

：.AB//OC,

：.ZADO^ZDC>C=64°,

故答案為：64°.

21.(2022?寧波)如圖，在△/BC中，AC=2,8C=4,點(diǎn)。在8C上，以為半徑的圓與NC相切于點(diǎn)

A.。是8C邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△/(?￡)為直角三角形時(shí)，/D的長(zhǎng)為_(kāi)3或2

25

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)定理，勾股定理，直角三角形的等面積法解答即可.

【解析】連接CM,過(guò)點(diǎn)/作NDL3C于點(diǎn)。，

:圓與NC相切于點(diǎn)力.

：.OA±AC,

由題意可知：。點(diǎn)位置分為兩種情況，

①當(dāng)為90°時(shí)，此時(shí)。點(diǎn)與。點(diǎn)重合，設(shè)圓的半徑=r,

：.OA=r,OC=4-r,

?：AC=2,

在RtZX/OC中，根據(jù)勾股定理可得：7+4=(4-r)2

解得：r=3，

2

即AD=AO=^--,

2

②當(dāng)//DC=90°時(shí)，AD=A°?AC,

0C

AC=2,OC=4r=互,

22

.,.AD=—,

5

綜上所述，4D的長(zhǎng)為3或旦,

25

故答案為：3或2.

25

oD

22.（2022?連云港）如圖，45是。。的直徑，/C是O。的切線，/為切點(diǎn)，連接8C,與。。交于點(diǎn)。,

連接OD.若N/OD=82°,則/C=49°.

B

【分析】根據(jù)/C是O。的切線，可以得到NA4C=90°,再根據(jù)//。。=82°,可以得到N/8D的度

數(shù)，然后即可得到NC的度數(shù).

【解析】..zc是。。的切線，

/.ZBAC=90°,

VZAOD=S2°,

AZABD=41°,

.\ZC=90°-ZABD=90°-41°=49°,

故答案為：49.

23.（2022?金華）如圖，木工用角尺的短邊緊靠。。于點(diǎn)A,長(zhǎng)邊與相切于點(diǎn)B,角尺的直角頂點(diǎn)為C.已

知NC=6c%,CB=8cm,則的半徑為

【分析】連接CM,OB,過(guò)點(diǎn)/作08于點(diǎn)。，利用矩形的判定與性質(zhì)得到2D=/C=6cm,4D=

BC=8cm,設(shè)。。的半徑為rem,在中，利用勾股定理列出方程即可求解.

【解析】連接CM,OB,過(guò)點(diǎn)4作于點(diǎn)。，如圖，

:長(zhǎng)邊與OO相切于點(diǎn)比

：.OBLBC,

'JACLBC,ADLOB,

四邊形/CB。為矩形，

,,.BD—AC—6cm,AD=BC—Scm.

設(shè)OO的半徑為rem,

則OA=OB=rcm,

：.OD=OB-BD=(r-6)cm,

在RtZ\。/。中，

'：AD1+OD1=OAi,

82+(r-6)2=戶，

解得：r=空.

3

故答案為：25

3

24.(2022?黑龍江)如圖，在。。中，48是。。的弦，O。的半徑為3CM.C為。。上一點(diǎn)，NACB=60°,

則AB的長(zhǎng)為_(kāi)3-\/3—cm.

B

AO

C

【分析】連接/。并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)。，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得NN2D=90°,再利用同弧

所對(duì)的圓周角相等可求出//。3=60°,然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解

答.

【解析】連接/。并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)D,

,：AD是。。的直徑,

?.ZABD=9Q°,

VZACB=60°，

：.ZADB=ZACB=60°，

在RtAABD中，AD=6cm,

.".AB—AD,sin60°=6X(cm),

故答案為：3^/3-

25.（2022?泰州）如圖，△48C中，ZC=90°，4C=8,BC=6,。為內(nèi)心，過(guò)點(diǎn)。的直線分別與4C、

邊相交于點(diǎn)。、E.若DE=CD+BE,則線段CD的長(zhǎng)為2或■!

2-

B

O

A

【分析】連接80,CO,結(jié)合內(nèi)心的概念及平行線的判定分析可得當(dāng)?！?CD+8E時(shí)，CE//BC,從而利

用相似三角形的判定和性質(zhì)分析計(jì)算.

連接30,CO,

平分//CB,BO平分NABC,

：.ZBCO^ZACO,ZCBO^ZABO,

當(dāng)CD=O￡)時(shí)，則NOCD=NCO￡),

NBCO=/COD,

：.BC//DE,

：.ZCBO=ZBOE,

:.BE=0E,

則DE=CD+BE,

設(shè)CD=0D=x,BE=0E=y,

在RtzX/BC中，/8={AC2+BC2=10,

'AD__DE8-xx+y

.AC=BC86

即，

""AE=DE]CHy=8-x，

AB=1BC

108

'x=2

解得,5，

1尸？

：.CD=2,

過(guò)點(diǎn)。作》E'A.AB,作DE//BC,

R

:點(diǎn)。為△4BC的內(nèi)心,

：.OD=OE',

在Rta。。。'和RtZkOE'E中，

‘NOE'E=Z0DDy

,OE'=0D>

,ZE0Ey=/D'OD

'△ODD'四△OE'E(ASA),

：.OE=OD',

：.D'E'=DE=CD+BE=CD'+BE'=2+5=2,

22

在△/￡>'E'和△4BC中，

(ZA=ZA

IZD7EyA=ZBCA

：./\AD'E'^AABC,

■AD，D'E，

"AB'BC

旦

.AD，~2

??-----,

106

解得：AD'=21,

2

：.CD'=AC-AD'=工，

2

故答案為：2或工.

2

26.(2022?玉林)如圖，在5X7網(wǎng)格中，各小正方形邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)O,A,B,C,D,￡均在格點(diǎn)上，點(diǎn)

O是AABC的外心，在不添加其他字母的情況下，則除△/2C外把你認(rèn)為外心也是。的三角形都寫出來(lái)

AABD,AACD,叢BCD

【分析】由網(wǎng)格利用勾股定理分別求解。4OB,OC,OD,OE,根據(jù)三角形的外心到三角形頂點(diǎn)的距

離相等可求解.

【解析】由圖可知：

OA^yl12+22=V5,

12+22=75）

OC=y]12+22=75）

OD=y]12+22=V5）

O￡=Vl2+32=V10-

，OA=OB=OC=OD^OE,

二△ABD,AACD,△BCD的外心都是點(diǎn)。，

故答案為：AABD,/XACD,/\BCD.

27.（2022?宜賓）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)

大正方形（如圖所示）.若直角三角形的內(nèi)切圓半徑為3,小正方形的面積為49,則大正方形的面積為

289

【分析】如圖，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為。，連接?！?、OD,則四邊形EODC為正方形，然后利用內(nèi)切圓和直

角三角形的性質(zhì)得到4C+BC=N8+6,(8C-/C)2=49,接著利用完全平方公式進(jìn)行代數(shù)變形，最后解

關(guān)于AB的一元二次方程解決問(wèn)題.

【解析】如圖，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為。，連接。E、OD,

則四邊形EODC為正方形，

/.OE=OD=3=AC+BC-BA,

2

：.AC+BC-AB=6,

：.AC+BC=AB+6,

：.(AC+BC)2=(NB+6)2,

/.BC2+AC2+2BCXAC=AB2+l2/8+36,

而BC2+AC2=AB2,

28CX/c=12/8+36①，

???小正方形的面積為49,

(BC-AC)2=49,

：.BC2+AC2-28CX/C=49②，

把①代入②中得

AB2-1248-85=0,

(AB-17)(/B+5)=0,

:.AB=17(負(fù)值舍去)，

大正方形的面積為289.

故答案為：289.

AB

28.（2022?瀘州）如圖，在中，ZC=90°,AC=6,BC=2、Q,半徑為1的。。在RtZ\43C內(nèi)

平移（。?？梢耘c該三角形的邊相切），則點(diǎn)N到。。上的點(diǎn)的距離的最大值為2/7+1.

【分析】連接?！辍R根據(jù)正切的定義求出N/8C,根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到/。8尸=30°,根據(jù)含30。

角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算，得到答案.

【解析】當(dāng)。。與8C、8/都相切時(shí)，連接力。并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)。，則/。為點(diǎn)/到。。上的點(diǎn)的距

離的最大值,

設(shè)。。與2C、A4的切點(diǎn)分別為E、F,連接OE、OF,

貝ijOELBC,OFLAB,

'：AC=6,SC=2A/3.

.,.tan//8C=空AB=^AC2+BC2=V3>

BC一一一

AZABC=60°,

：.ZOBF=30°,

：.BF=——曳——=V3，

tanNOBF

：.AF=AB-BF=343,

'-OA=7OF2+AF2=2W,

：.AD=2近+3

故答案為：2JV+L

B

29.（2022?湖北）如圖，點(diǎn)P是O。上一點(diǎn)，48是一條弦，點(diǎn)C是流上一點(diǎn)，與點(diǎn)。關(guān)于A3對(duì)稱，AD

交O。于點(diǎn)E，CE與4B交于點(diǎn)、F,S.BD〃CE.給出下面四個(gè)結(jié)論：

①CD平分/BCE；②BE=BD；（3）AE2^AF'AB；④為O。的切線.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是①⑵⑷.

【分析】根據(jù)題意可得是CA的垂直平分線，從而可得/￡>=DC,BD=BC,再利用等腰三角形和平

行線的性質(zhì)可得CD平分/8CE,即可判斷①；根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)和平角定義可得

ACB,再利用SSS證明△408烏△4C8,然后利用全等三角形的性質(zhì)可得//C8,從而可得/

DEB=/ADB,即可判斷②；根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等可得/4EFW//BE,從而可得△/所與△/BE

不相似，即可判斷③；連接05,交EC于點(diǎn)、H,利用①②的結(jié)論可得8E=8C,從而可得前=束，然

后利用垂徑定理可得/O〃E=90°,最后利用平行線的性質(zhì)可求出/。2。=90°,即可解答.

【解析】：點(diǎn)C與點(diǎn)。關(guān)于對(duì)稱，

是C￡>的垂直平分線，

：.AD=DC,BD=BC,

：.NBCD=NBDC,

'：BD//CE,

，ZBDC=ZDCE,

/DCE=/BCD,

:?CD平分/BCE；

故①正確；

???四邊形4C5E是。。的內(nèi)接四邊形,

AZACB+ZAEB=180°,

VZAEB+ZDEB=1SO°,

???NDEB=NACB,

?:AD=DC,BD=BC,AB=AB,

???△ADBmAACB(SSS),

???NADB=NACB,

：.ZDEB=ZADB,

：.BD=BE,

故②正確；

-'.AC^AE^

???/AEFN/ABE,

：.AAEF與AABE不相似，

故③不正確；

連接05,交EC于點(diǎn)、H,

■:BD=BE,BD=BC,

:,BE=BC,

?*.BE=BC，

：.OB±CE,

：.ZOHE=90°,

。：BD〃CE,

：.ZOHE=ZOBD=90°,

〈OB是。。的半徑，

???8。為。。的切線，

故④正確；

所以給出上面四個(gè)結(jié)論，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是：①②④,

故答案為：①②④.

30.（2022?恩施州）如圖，在中，ZC=90°,NC=4,BC=3,為RtZ\48C的內(nèi)切圓，則圖

中陰影部分的面積為（結(jié)果保留TT）5-MT.

【分析】根據(jù)題意，先作出相應(yīng)的輔助線，然后求出內(nèi)切圓的半徑，再根據(jù)圖形可知：陰影部分的面積

=的面積-正方形CEOD的面積-。。面積的反，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可.

4

【解析】作。DL/C于點(diǎn)。，作。ELC3于點(diǎn)E,作。尸，43于點(diǎn)R連接CM、OC.OB,如圖，

VZC=90o,OD=OE=OF,

：.四邊形CEOD是正方形，

：/C=4,BC=3,ZC=90°,

'4B=I/AC2+BC2=V42+32=5，

,*'S*BC=s叢AOC^~S叢COB+S叢BOA，

??

----4-X--3--—-4-O--D-+-3---O-E-+-5--0-F-，

2222

解得OD=OE=OF=\,

，圖中陰影部分的面積為：4>^-3-1X1-KX12X1=5-J-TT,

244

故答案為：5-In.

4

31.（2022?黔東南州）如圖，在△48C中，//=80°,半徑為3c〃？的OO是△48C的內(nèi)切圓，連接。2、

OC,則圖中陰影部分的面積是（結(jié)果用含p的式子表示）

【分析】根據(jù)角N的度數(shù)和內(nèi)切圓的性質(zhì)，得出圓心角。OE的度數(shù)即可得出陰影部分的面積.

【解析】：//=80°,。。是△ABC的內(nèi)切圓，

AZZ>0￡,=180°-（yZABC+yZACB）=180°-y（180°一/4）=130°,

2

扇形。兀X,

sDOE=13§2=.13.K（cm）,

3604

故答案為：冗.

4

32.（2022?涼山州）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，是△48C的外接圓，點(diǎn)/,B,。在格點(diǎn)上,

則cosZACB的值是運(yùn)

—13―

【分析】先連接N。，BD,然后根據(jù)題意，可以求得C0S//D3的值，再根據(jù)圓周角定理可以得到/ZC3

=/4DB,從而可以得到cosZACB的值.

【解析】連接AD,BD,AD和BD相交于點(diǎn)D,

,：AD是。O的直徑，

AZABD^90°,

"：AB=6,BD=4,

AD=VAB2+BD2=VS2+42='

cosZADB=_^_=,

AD271313

,?ZACB=ZADB,

：.cosZACB的值是

13

故答案為：2/亙.

33.(2022?臨沂)如圖，48是。。的切線，B為切點(diǎn),直線/O交。。于C,。兩點(diǎn)，連接8C,BD.過(guò)圓

心。作3C的平行線，分別交的延長(zhǎng)線、OO及BD于點(diǎn)E,F,G.

(1)求證：ND=NE；

(2)若尸是。打的中點(diǎn)，的半徑為3,求陰影部分的面積.

【分析】(1)連接05,由切線的性質(zhì)得出N￡+NBOE=90°,由圓周角定理得出NZ)+NOC5=90°,

證出N5OE=NOC5,則可得出結(jié)論；

(2)求出N5OG=60°,由三角形面積公式及扇形的面積公式可得出答案.

TAB是。。的切線，

：.ZOBE=90°,

/.ZE+ZBOE=90°,

???CQ為。。的直徑，

；?NCBD=90°,

：.ZD+ZDCB=90°,

?：0E〃BC,

：.NB0E=/0BC,

?：0B=0C,

：?/OBC=/OCB,

：.ZBOE=ZOCB,

：.ND=NE；

(2)解：???方為。石的中點(diǎn)，OB=OF,

：?OF=EF=3,

：.OE=6f

:.BO=LOE,

2

；/OBE=9Q°,

.,./E=30°,

：.ZBOG=60°,

,JOE//BC,/DBC=90°,

：.ZOGB=90°,

；.0G=>|>,BG=.1^/3，

--S^BOG=^OG-BG=1-x—x-^V3=-^V3,S扇形B0F=$」.n>,《=3n,

222283602

.\S陰影部分=S扇形BOF-S^BOG=^-TI-

34.(2022?恩施州)如圖，尸為。。外一點(diǎn)，PA、所為。。的切線，切點(diǎn)分別為/、B,直線P。交。。于

點(diǎn)、D、E,交4B于點(diǎn)、C.

(1)求證：ZADE=ZPAE.

(2)若/ADE=30°,求證：AE=PE.

(3)若尸E=4,CD=6,求CE的長(zhǎng).

【分析】（1）連接04利用切線的性質(zhì)定理，圓周角定理，同圓的半徑相等，等腰三角形的性質(zhì)和等角

的余角相等解答即可；

（2）利用（1）的結(jié)論，直徑所對(duì)的圓周角為直角，三角形的外角的性質(zhì)和等腰三角形的判定定理解答

即可；

（3）CE=x,貝U￡>E=CD+CE=6+x,OA=OE=6+x,OC=OE-CE=^~X,OP=OE+PE=^2L,利

222

用相似三角形的判定與性質(zhì)得出比例式即可求得結(jié)論.

【解析】（1）證明：連接CM,如圖，

:我為。。的切線，

：.AO±PA,

：.ZOAE+ZPAE^90a.

是。。的直徑，

?.ZDAE=90°,

?.ZADE+ZAED^90Q.

'：OA=OE,

；./OAE=/AED,

：.NADE=ZPAE；

(2)證明：由(1)知：ZADE=ZPAE=30°,

VZDAE=90°,

ZAED=90°-ZADE=60°.

"：ZAED=ZPAE+ZAPE,

：.ZAPE=ZPAE=3Q°,

:.AE=PE；

(3)解：設(shè)CE=x,則。E=CO+CE=6+x,

：.OA=OE=.6+x,

2

；.OC=OE-CE=6-x,

2

OP=OE+PE=^+x.

2

,：PA.P3為。。的切線，

；.R4=PB,PO平分/APB,

：.PO±AB.

:我為。。的切線,

：.AO±PA,

:.△OACs^OPA,

?.?-O-A=-O-P-,

OCOA

6+x14+x

."T-_-T~

6-x6+x，

~2~~2~

即：x2+10x-24=0.

解得：x=2或-12（不合題意，舍去），

:*CE=2.

35.（2022?十堰）如圖，ZX/BC中，AB=AC,。為NC上一點(diǎn)，以CD為直徑的。。與4g相切于點(diǎn)￡,交

BC于點(diǎn)F,FGLAB,垂足為G.

（I）求證：尸G是。。的切線；

（2）若BG=1,BF=3,求CF的長(zhǎng).

A

【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)可證48=NC=/O尸C,可證。尸〃可得結(jié)論；

（2）由切線的性質(zhì)可證四邊形GPOE是矩形，可得OE=G/=2加，由銳角三角函數(shù)可求解.

【解析】（1）證明：如圖，連接OR

A

：./B=/C,

'：OF=OC,

:?NC=/OFC,

：?NOFC=NB,

：,OF//AB,

,JFGLAB,

:?FG工OF,

又YOE是半徑，

???G廠是。。的切線；

(2)解：如圖，連接。打，過(guò)點(diǎn)。作尸于

FG-JBP2一BG?=79T=2，

???。。與45相切于點(diǎn)區(qū)

；?OE_LAB,

又?：ABIGF,OF工