2024-2025學(xué)年北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊期中必刷壓軸60題（9個考點專練）含答案

期中真題必刷壓軸60題（9個考點專練）

一、一元二次方程的應(yīng)用（共10小題）

（2023秋?烏魯木齊期中）

1.小王叔叔家是養(yǎng)豬專業(yè)戶，他們養(yǎng)的藏香豬和土黑豬一直很受市民歡迎.小王今年10月

份開店賣豬肉，已知藏香豬肉售價每斤30元，土黑豬肉售價每斤20元，每天固定從叔叔家

進貨兩種豬肉共300斤并且能全部售完.

（1）若每天銷售總額不低于8000元，則每天至少銷售藏香豬肉多少斤？

（2）小王發(fā)現(xiàn)10月份每天上午就能將豬肉全部售完，而且消費者對豬肉的評價很高.于是

小王決定調(diào)整豬肉價格，并增加進貨量，且能將豬肉全部銷售完.他將藏香豬肉的價格上漲

20%,土黑豬肉的價格下調(diào)。%,銷量與（1）中每天獲得最低銷售總額時的銷量相比，藏

香豬肉銷量下降了“％,土黑豬肉銷量是原來的2倍，結(jié)果每天的銷售總額比（1）中每天獲

得的最低銷售總額還多了1750元，求。的值.

（2023秋?禪城區(qū)校級期中）

2.某商店銷售一款工藝品，每件的成本是30元，為了合理定價，投放市場進行試銷：據(jù)市

場調(diào)查，銷售單價是40元時，每天的銷售量是80件，而銷售單價每提高1元，每天就少售

出2件，但要求銷售單價不得超過55元.

（1）若銷售單價為每件45元，求每天的銷售利潤；

（2）要使每天銷售這種工藝品盈利1200元，那么每件工藝品售價應(yīng)為多少元？

（2023秋?市南區(qū)校級期中）

3.如圖，一塊長5米，寬4米的地毯，為了美觀設(shè)計了兩橫、兩縱的配色條紋，已知配色

條紋的寬度相同，所占面積是整個地毯面積的

（1）求配色條紋的寬度；

（2）如果地毯配色條紋部分每平方米造價200元，其余部分每平方米造價100元，求地毯的

總造價.

試卷第1頁，共23頁

（2023秋?紅谷灘區(qū)校級期中）

4.如圖①，某新建火車站站前廣場需要綠化的面積為35000加2,施工隊在綠化了iiooo/

后，將每天的工作量增加為原來的1.5倍，結(jié)果提前4天完成了該項綠化工程.

（1）該項綠化工程原計劃每天完成多少平方米？

（2）該項綠化工程中有一塊長為20機、寬為8機的矩形空地，計劃在其中修建兩塊相同的

矩形綠地，它們的面積之和為56加2,兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道（如圖

②所示），則人行通道的寬度是多少米？

（2023秋?埔橋區(qū)期中）

5.如圖所示，已知在aABC中，ZB=9O°,AB=6cm,BC=12cm,點Q從點A開始沿AB

邊向點B以lcm/s的速度移動，點P從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動.

（1）如果Q、P分別從A、B兩點出發(fā)，那么幾秒后，aPBQ的面積等于8cm2?

（2）在（1）中，APEQ的面積能否等于10cm2?試說明理由.

（2023秋?城關(guān)區(qū)校級期中）

6.廣安市某樓盤準(zhǔn)備以每平方米6000元的均價對外銷售，由于國務(wù)院有關(guān)房地產(chǎn)的新政策

出臺后，購房者持幣觀望，房地產(chǎn)開發(fā)商為了加快資金周轉(zhuǎn)，對價格經(jīng)過兩次下調(diào)后，決定

以每平方米4860元的均價開盤銷售.

（1）求平均每次下調(diào)的百分率.

（2）某人準(zhǔn)備以開盤價均價購買一套100平方米的住房，開發(fā)商給予以下兩種優(yōu)惠方案以

供選擇：①打9.8折銷售；②不打折，一次性送裝修費每平方米80元，試問哪種方案更優(yōu)

惠？

（2023秋?南昌期中）

試卷第2頁，共23頁

7.某商店經(jīng)銷甲、乙兩種商品，現(xiàn)有如下信息：

信息1：甲、乙兩種商品的進貨單價之和是3元；

信息2：甲商品零售單價比進貨單價多1元，乙商品零售單價比進貨單價的2倍少1元；

信息3：按零售單價購買甲商品3件和乙商品2件，共付了12元.

請根據(jù)以上信息，解答下列問題：

(1)求甲、乙兩種商品的零售單價：

(2)該商店平均每天賣出甲乙兩種商品各500件，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，甲種商品零售單價每降0.1元,

甲種商品每天可多銷售100件，商店決定把甲種商品的零售單價下降加(心＞0)元.在不

考慮其他因素的條件下，當(dāng)加為多少時，商店每天銷售甲、乙兩種商品獲取的總利潤為1000

元？

(2023秋?渾南區(qū)期中)

8.某商店銷售一種銷售成本為每千克30元的水產(chǎn)品，據(jù)市場分析，若按每千克40元銷售,

一個月能售出500千克；銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10千克，針對這種情況，請

解答以下問題：

(1)當(dāng)銷售單價定為每千克45元時，計算月銷售量和月銷售利潤；

(2)設(shè)銷售單價定為每千克x元(x240),月銷售量為V千克，求》與x的關(guān)系式；

(3)該商店想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，銷售單

價應(yīng)定為多少？

(3)該商店想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，銷售

單價應(yīng)定為多少？

(2023秋?昆都侖區(qū)期中)

9.江蘇是全國首個自然村“村村通寬帶”省份.我市某村為了將當(dāng)?shù)剞r(nóng)產(chǎn)品外銷，建立了淘

寶網(wǎng)店.該網(wǎng)店于今年7月底以每袋25元的成本價收購一批農(nóng)產(chǎn)品.當(dāng)商品售價為每袋40

元時，8月份銷售256袋.9、1。月該商品十分暢銷.銷售量持續(xù)走高.在售價不變的基礎(chǔ)

上，10月份的銷售量達到400袋.設(shè)9、10這兩個月月平均增長率不變.

(1)求9、10這兩個月的月平均增長率；

(2)為迎接雙“十一”，11月份起，該網(wǎng)店采用降價促銷的方式回饋顧客，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該

農(nóng)產(chǎn)品每降價1元/每袋，銷售量就增加5袋，當(dāng)農(nóng)產(chǎn)品每袋降價多少元時，該淘寶網(wǎng)店11

月份獲利4250元？

(2023秋?新華區(qū)校級期中)

試卷第3頁，共23頁

10.泰興鑫都小商品市場以每副60元的價格購進800副羽毛球拍.九月份以單價100元銷

售，售出了200副.十月份如果銷售單價不變，預(yù)計仍可售出200副.鑫都小商品市場為增

加銷售量，決定降價銷售.根據(jù)市場調(diào)查，銷售單價每降低5元，可多售出10副，但最低

銷售單價應(yīng)高于購進的價格.十月份結(jié)束后，批發(fā)商將對剩余的羽毛球拍一次性清倉，清倉

時銷售單價為50元.設(shè)十月份銷售單價降低x元.

（1）填表:

月份九月十月清倉

銷售單價（元）10050

銷售量（件）200

（2）如果鑫都小商品市場希望通過銷售這批羽毛球拍獲利9200元，那么十月份的銷售單價

應(yīng)是多少元？

二、菱形的性質(zhì)（共5小題）

（2023秋?埔橋區(qū)校級期中）

11.如圖，在菱形48c。中，DE,B尸分別垂直4B,4D于點￡,F,DE,8尸相交于點

G,連接AD,CG.解決下列問題：

（1）若44=66。，貝!]N8GO=；

（2）若BD=BC,貝!|CG:尸G=.

（2023秋?金水區(qū)校級期中）

12.如圖，在菱形/BCD中，NB=45。，E、尸分別是邊CD,2C上的動點，連接/￡、EF,

G、X分別為/￡、E尸的中點，連接G8.若G8的最小值為3,則8c的長為.

試卷第4頁，共23頁

（2023秋?觀山湖區(qū)校級期中）

13.如圖，在菱形48。中，對角線/C,點E為N8的中點，點尸在。。上且尸為OD中

點，連接成交。4于點G,若OG=1,S&BEC=U,則線段CE的長為

（2023秋?阿爾山市期中）

14.如圖，在邊長為2的菱形/BCD中，N/=60。,M是/。邊的中點，N是N8邊上的一

動點，將沿所在直線翻折得到△4MN,連接4C,則/'C長度的最小值

是________

（2023秋?陳倉區(qū)校級期中）

15.如圖，在菱形48c。中，N4DB=60。，點、E,廠分別在4D,CD±_,且NE3F=60。.

⑴求證：4ABE2/BF；

（2）判斷ABE尸的形狀，并說明理由.

三、矩形的性質(zhì)（共4小題）

（2023秋?梁溪區(qū)校級期中）

16.如圖，在矩形N8C。中，N8=2,8C=26，點尸是/。邊上的一個動點，連接點

。關(guān)于直線AP的對稱點為。，當(dāng)點尸運動時，點G也隨之運動.若點尸從點A運動到點

試卷第5頁，共23頁

D,則線段CG掃過的區(qū)域的面積是（）

Ac3G

A.2兀H---------B.373C.4萬+3公D.In

2

（2023秋?鎮(zhèn)平縣期中）

17.矩形4BCL?中，M為對角線8。上一點，點N是邊/。的中點，且4N=48=1.當(dāng)以

點、D,M,N為頂點的三角形是直角三角形時，的長為

（2023秋?濱湖區(qū)期中）

18.已知，矩形048C的頂點N、C分別在平面直角坐標(biāo)系的x軸、y軸上，點8的坐標(biāo)為

（2,4）,￡為/。上一動點.

圖1備用圖

（1）如圖1,連接?！?當(dāng)OE=逐時，求￡點坐標(biāo)；

⑵連接過點七作￡尸，8￡交、軸于點R笠RF是否為定值？若是，請求出這個值；若

EF

不是，請說明理由.

（2023秋?城關(guān)區(qū)校級期中）

19.對于正數(shù)x,用符號因表示》的整數(shù)部分，例如[0』=0,[2.5]=2,[3]=3,點/（a,6）

在第一象限內(nèi)，以A為對角線的交點畫一個矩形，使它的邊分別與兩坐標(biāo)軸垂直，其中垂直

于》軸的邊長為“，垂直于無軸的邊長為[司+1,那么，把這個矩形覆蓋的區(qū)域叫做點A的

矩形域，例如：點的矩形域是一個以（3,1）為對角線交點，長為3,寬為2的矩形所

覆蓋的區(qū)域，如圖1所示，它的面積是6.

試卷第6頁，共23頁

圖l圖2

根據(jù)上面的定義，回答下列問題：

⑴在圖2所示的坐標(biāo)系中畫出點［2,的矩形域，該矩形域的面積是；

⑵點尸0,彳］（°>0）的矩形域重疊部分面積為1,則0的值為.

四、正方形的性質(zhì)（共9小題）

（2023秋?福田區(qū)期中）

20.如圖正方形48co外取一點連接/￡、BE、DE.過點/作/￡的垂線交?！暧邳cP,

若NE=NP=1,PB=5下列結(jié)論：?EB±ED；②點5到直線DE的距離為手；③

S.誓^④S正方988=2+收?其中正確結(jié)論的序號是（）

A.①③④B,①②③C.②③④D.①②③④

（2023秋?深圳期中）

21.如圖，正方形/8C。和正方形DEFO的頂點A,O,E在同一直線/上，且￡尸=拒,

AB=3,給出下列結(jié)論：①/CQ￡>=45。；@AE=6；③CF=BD=后;④AC。尸的面積

是:3?其中正確的結(jié)論為（）

試卷第7頁，共23頁

A.①③B.①④C.②③D.①③④

（2023秋?碑林區(qū)校級期中）

22.如圖，正方形N8CD的邊長為2.￡為與點。不重合的動點，以為一邊作正方形

DEFG.設(shè)?！?4，點尸、G與點C的距離分別為右、&，則的最小值

為.

（2023秋?德化縣期中）

23.如圖，在正方形/5CD中，4B=4,AC與BD交于■點、O,N是/O的中點，點朋■在邊

BC上,且8M=3,尸為對角線AD上一點，當(dāng)對角線AD平分NNPM時，PA/+PN的值

為

（2023秋?鹿城區(qū)校級期中）

24.如圖，在正方形的右下角有一個正方形G/C/,以點G為頂點向左構(gòu)造正方形

GF

EFGH,使點瓦尸分別落在邊力9BI上,當(dāng)4H,J三點共線時，則）的值

CJI

是.

試卷第8頁，共23頁

（2023秋?天橋區(qū)期中）

25.如圖,正方形ABCD的邊長為4,O為對角線8。的中點，點M在邊上，且=2AM,

點N在邊8c上，且=連接/N,交于點尸，連接。尸，則。尸的長為.

（2023秋?余江區(qū)期中）

26.如圖，四邊形/BCD為正方形，點E為線段NC上一點，連接。E,過點￡作

EFIDE,交射線3C于點片以DE、E尸為鄰邊作矩形DERG,連接CG.

⑴求證：ED=EF-

（2）若4B=2,CE=&,求CG的長度；

（3）當(dāng)線段DE與正方形ABCD的某條邊的夾角是30°時,求NEFC的度數(shù).

（2023秋?拱墅區(qū)校級期中）

27.閱讀下面材料：

小明遇到這樣一個問題：如圖1,在正方形N2CD中，點E、尸分別為。C、2c邊上的點,

ZEAF=45°,連接￡尸，求證：?！?5尸=所.小明是這樣思考的：要想解決這個問題，首

先應(yīng)想辦法將這些分散的線段集中到同一條線段上.他先后嘗試了平移、翻折、旋轉(zhuǎn)的方法，

發(fā)現(xiàn)通過旋轉(zhuǎn)可以解決此問題.他的方法是將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到A/8G（如

圖2）,此時GN即是。E+B廠.

試卷第9頁，共23頁

參考小明得到的結(jié)論和思考問題的方法，解決下列問題:

（1）在圖2中，/GN尸的度數(shù)是.

（2）如圖3,在直角梯形4BCD中，AD〃BC（AD>BC）,zZ>=90°,AD=CD=10,E是CD

上一點，^ZBAE=45°,DE=4,求BE的長度.

⑶如圖4,△4BC中，AC=4,BC=6,以42為邊作正方形/OE2,連接CD.當(dāng)//C3

的度數(shù)為多少時，線段⑺有最大值，并求出8的最大值.

（2023秋?樂平市期中）

28.如圖①，四邊形4BCD是正方形，點￡是邊2C的中點，乙4跖=90。，且斯交正方形

外角的平分線3于點尸，過點尸作尸G18C于點G,連接/C.易證：AC=42（EC+

FG）.（提示：取N5的中點連接EN）

（1）當(dāng)點E是3C邊上任意一點時，如圖②；當(dāng)點￡在8c延長線上時，如圖③，請直接

寫出NC,EC,尸G的數(shù)量關(guān)系，并對圖②進行證明；

（2）已知正方形/BCD的面積是27,連接當(dāng)A48E中有一個內(nèi)角為30。時，則N尸的

五、四邊形綜合題（共1小題）

（2023秋?臨川區(qū)期中）

29.已知，如圖1,2D是邊長為1的正方形N8CD的對角線，BE平分/DBC交DC于點

E,延長8c到點尸，使。尸=",連接。尸，交3E的延長線于點G.

試卷第10頁，共23頁

⑴求證：ABCE沿4DCF；

⑵求CF的長；

(3)如圖2,在上取一點"，且8"=CF,若以8c為x軸，4B為V軸建立直角坐標(biāo)系,

問在直線上是否存在點P,使得以8、H、P為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，

直接寫出所有符合條件的P點坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

六、相似三角形的判定(共4小題)

(2023秋?東港市期中)

30.如圖，在A42c中，NC=90。，AC=6cm,BC=8m,點P從點/出發(fā)沿邊NC向點C

以\cmls的速度移動，點。從點C出發(fā)沿CB邊向點8以2cm/s的速度移動，當(dāng)其中一點到

達終點時，另一點也隨之停止運動.

(1)如果點尸，0同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘時△PC。的面積為8c/?

(2)如果點尸，0同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘時以P、C、。為頂點的三角形與八45。相似？

(2023秋?碧江區(qū)校級期中)

31.如圖所示，在等邊ZUSC中，D、E分別是/8、/C上的點，DE//BC,如圖(1),

然后將繞A點順時針旋轉(zhuǎn)120。，使B、A、E三點在同一直線上，得到圖(2),M.

N分別是8。、CE的中點，連接NM、AN、"N得到圖(3),請解答下列問題：

試卷第11頁，共23頁

ccc

（1）在圖（2）中，線段8。與線段CE的大小關(guān)系是；

⑵在圖（3）中，A/MN與△N2C是相似三角形嗎？請證明你的結(jié)論.

（2023秋?內(nèi)鄉(xiāng)縣校級期中）

32.如圖，先把一矩形ABCD紙片對折，設(shè)折痕為MN,再把B點疊在折痕線上，得到

AABE.過B點折紙片使D點疊在直線AD上，得折痕PQ.

⑴求證：APBE-AQAB;

（2）你認(rèn)為APBE和ABAE相似嗎？如果相似，給出證明；若不相似，請說明理由.

（2023秋?漳州期中）

33.如圖，矩形N3CD中，AD>AB,點P是對角線NC上的一個動點（不包含N、C兩

點），過點尸作E尸，/C分別交射線48、射線/。于點E、F.

圖3

⑴求證：△AEFsLBCA；

4P

（2）連接AP,若BP=4B,且尸為中點，求左的值;

（3）若移動點P,使尸與△CPD相似，直接寫出方的值.

七、相似三角形的判定與性質(zhì)（共22小題）

（2023秋?南山區(qū)校級期中）

34.如圖，在正方形中，E為BC上一點、,過點￡作EF||CD,交于尸，交對角

試卷第12頁，共23頁

線2D于G,取。G的中點連結(jié)/〃，EH,FH.下列結(jié)論：①NEFH=45。；②

RFS

AAHD出4EHF；③/4E產(chǎn)+//￡4。=45。；④若一=2,貝ij短吸=8.其中結(jié)論正確的

EC、AGFH

A.①②③④B.①②③C.①④D.②③④

（2023秋?秦都區(qū)校級期中）

35.如圖，在正方形48c。中，對角線NC、AD交于點。，點P是8c邊上一個動點，PELBD

于點G,交于點￡,PPL4c于點交CD于點下列結(jié)論：?^BPG^APCH；

@PH-+PG2=OP2-,③祟=粵；④PE+PF=AC.其中正確的是（）

A.①②③④B.①②③C.①②④D.③④

（2023秋?東坡區(qū)校級期中）

36.如圖，在正方形/BCD中，ABPC是等邊三角形，BP、CP的延長線分別交/。于點

E、F,連接50、DP,8。與CF相交于點〃給出下列結(jié)論：①ABDES^DPE；

pp3

@DP=DH；@DP2=PHPB;⑤尸C的面積：的面積

=（石+1）:2.其中正確的是（）

試卷第13頁，共23頁

A.①②③④B.①②④⑤C.①③④⑤D.②③④⑤

（2023秋?章丘區(qū)期中）

37.在正方形/BCD中，AB=2,E是8C的中點，在8C延長線上取點廠使斯，過

點尸作尸GLEO交ED于點交N3于點G,交C。于點N,以下結(jié)論中：①曰=g；

②NM=NC；③等■=；；④$四邊形如=當(dāng)'?正確的是（）

l-j\JN/

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

（2023秋?夾江縣校級期中）

38.如圖，在正方形中，點E在邊上，點//在邊上，CE=DHCH交BE

于點尸，交BD于點、G,連接GE.下列結(jié)論：①CH=BE；②CH上BE；③S&GCE=SGDH；

GF4

④當(dāng)E是O）的中點時，-=-；⑤當(dāng)EC=2DE時，S正方s=6Sw其中正確結(jié)

論的序號是（）

A.①②③④B.①②③⑤C.①③④⑤D.②④⑤

（2023春?薩爾圖區(qū)校級期中）

39.如圖，正方形4BCL?中，E為2c的中點，CGLOE于G,延長8G交CL（于點尸，延

試卷第14頁，共23頁

長CG交BD于點、H,交AB于N,下列結(jié)論：①DE=CN；②黑=!；

DH2

③S.DEC=3S.BNH；④ZBGN=45°；⑤GN+EG=V^8G;其中正確結(jié)論的個數(shù)有（）

3個C.4個D.5個

（2023秋?市中區(qū)校級期中）

40.如圖，△/8C中，AB=AC=5,8c=8,點。是邊8c上（不與8、C重合）一動點,

ZADE=NB=a,DE交4C于點、E.下列結(jié)論：①1.84/￡<5；②當(dāng)N。=加時，

△4BD當(dāng)乙DCE；③AD?=AE.AB;④為直角三角形，8。為4或6.25.其中正

確的結(jié)論是.（填序號）

（2023春?棗陽市期中）

41.如圖，長方形O4BC在平面直角坐標(biāo)系中，點/、C分別在y軸、x軸的正半軸上，

OA=4,OC=2.若48、BC上分別有點E、D,滿足CO=1,ZDOE=45°,則點￡的坐標(biāo)

（2023秋?于洪區(qū)期中）

42.如圖，在△48C中，AB=AC=5cm,BC=8cm,點D為BC邊上一動點、（不與點3,C

重合），過點。作射線。E交/C于點E,使ZADE=/B.當(dāng)ACAE為直角三角形時，則8。

試卷第15頁，共23頁

的長為cm

（2023秋?成華區(qū)校級期中）

43.在中學(xué)數(shù)學(xué)中求一些圖形面積時，經(jīng)常用到“同底等高”“等底等高”等數(shù)學(xué)思想方法，我

們稱它為等積變換.如圖，3。為口/BCD的對角線，M、N分別在AD、上，且

AMAN2

~，右、DMC二3，則S/\BNC+AMN

ADAB

（2023秋?江干區(qū)校級期中）

44.如圖，在矩形4BC。中，點E在邊上，"EC與AEEC關(guān)于直線EC對稱，點2的

對稱點尸在邊AD上，點G在邊C。上，連接BG分別與CE,CF交于M,N兩點.設(shè)

DG:CG=k,若BM=BE,則CG:BN=AE-.MG=.（結(jié)果用含左的

代數(shù)式表示）

（2023秋?慈溪市校級期中）

45.如圖，菱形的對角線NC、BD交于點O,且/C=6,BD=8.過。的直線EF

交BC于E,交/D于足把四邊形CDFE沿著所折疊得到四邊形C'EFD',C'。'交/C于

點G.當(dāng)C9〃AD時，』的值為,的長為.

試卷第16頁，共23頁

D'

46.如圖，在矩形4BCD中，AB=3,2C=6,點E是射線2c上一動點，將ANBE沿/￡

翻折得到△/斯，延長/尸交CD的延長線于點G,當(dāng)8E=3EC時，線段。G的長

為.

47.如圖，在矩形4BCD中，E在邊上，H在CD邊上,ZEAH=45°,CG是矩形的

外角/。。廠的平分線，//EG=90。，連接AG,AB=5,HG=3,ZGHC=ZBAE,則EG

48.如圖，己知ABIICD,AD、BC相交于點E,點F在ED上，且NCBF=ND.

(1)求證：FB2=FE?FA；

(2)若BF=3,EF=2,求4ABE與aBEF的面積之比.

試卷第17頁，共23頁

AB

（2023秋?金東區(qū)期中）

49.如圖，在△N2C中，點。在邊N8上，點E在邊/C上，NAEB=NEDB.

⑴求證：ABDEsABEA；

Q）若NC=NBEC,BD=1,AD=2,求5C的長度.

（2023秋?渾南區(qū)期中）

50.如圖，四邊形/BCD是邊長為4的正方形，點E在邊CD所在直線上，連接以4E

為邊，作正方形月E尸G（點A,E,F,G按順時針排列）.

⑴如圖1,當(dāng)點￡在線段8上時，若CE=3,連接8G.

①求點G到42的距離；

②請直接寫出2G的長；

（2）當(dāng)正方形/MG中的某一頂點落在直線8。上時（不與點。重合），求正方形/E尸G的面

積.

（2023秋?天寧區(qū)校級期中）

51.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，8（。，3）,點。在x軸上，且

△AOBs^BOC.

試卷第18頁，共23頁

（2）在線段/C上是否存在點M,使得以線段為直徑的圓與邊8C交于P點（與點3不

同），且以點P、C、。為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存

在，請說明理由.

（2023秋?梁溪區(qū)校級期中）

52.在矩形中，/8=8,8。=5,尸為邊上一點，且。尸=2,點￡是線段上一

動點，直線EE與直線8c相交于點G,射線與直線CZ）相交于點P,且EPLE尸.已知

⑴用含有x的代數(shù)式表示線段斯的長，EF=

（2）①當(dāng)點P與點C重合時，求線段EP的長；

②若點尸在線段。C上，求x的范圍；

（3）求AFPG的面積（用含x的代數(shù)式表示）.

（2023秋?福田區(qū)期中）

53.已知：RQ4BC與RMDEF中,ZACB=ZEDF=90°,ZDEF=45°,EF=8cm,

AC=16cm,BC=ncm,現(xiàn)將必和放△￡>￡/按圖1的方式擺放，使點。與點E重合,

點5、C網(wǎng)、尸在同一條直線上，并按如下方式運動.

試卷第19頁，共23頁

運動一：如圖2,△/8C從圖1的位置出發(fā)，以Icm/s的速度沿E尸方向向右勻速運動，DE

與/C相交于點。，當(dāng)點。與點。重合時暫停運動；

運動二：在運動一的基礎(chǔ)上，如圖3,用A45c繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)，C4與。尸交于點。,

CB與DE交于點、P,止匕時點0在。尸上勻速運動，速度為缶加/s，當(dāng)尸時暫停旋

轉(zhuǎn)；

運動三：在運動二的基礎(chǔ)上，如圖4,應(yīng)A/8C以lew/s的速度沿斯向終點廠勻速運動，

直到點C與點尸重合時為止.

設(shè)運動時間為4s),中間的暫停不計時，

解答下列問題

(1)在RMA8C從運動一到最后運動三結(jié)束時，整個過程共耗時_5；

(2)在整個運動過程中，設(shè)及A48C與放△￡>￡尸的重疊部分的面積為S(cn?),求S與1之間的

函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量/的取值范圍；

(3)在整個運動過程中，是否存在某一時刻，點。正好在線段的中垂線上，若存在，求出

此時/的值；若不存在，請說明理由.

(2023春?石景山區(qū)期中)

54.(1)某學(xué)?！爸腔鄯綀@”數(shù)學(xué)社團遇到這樣一個題目：

如圖1,在aABC中，點O在線段BC上，ZBAO=30°,zOAC=75°,AO=3行，BO：

CO=1：3,求AB的長.

試卷第20頁，共23頁

經(jīng)過社團成員討論發(fā)現(xiàn)，過點B作BDIIAC,交A0的延長線于點D,通過構(gòu)造aABD就可

以解決問題（如圖2）.

請回答：ZADB=0,AB=.

（2）請參考以上解決思路，解決問題：

如圖3,在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O,AC1AD,A0=3百，

ZABC=ZACB=75°,BO：OD=1：3,求DC的長.

（2023秋?長安區(qū)校級期中）

55.在△4BC中，ZACB=45°.點。（與點3、。不重合）為射線8c上一動點，連接

AD,以為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF.

（1）如果=如圖①，且點。在線段2C上運動.試判斷線段CF與之間的位置關(guān)

系，并證明你的結(jié)論.

（2）如果48>/C,如圖②，且點。在線段8C上運動.（1）中結(jié)論是否成立，為什么？

（3）若正方形ADEF的邊DE所在直線與線段CF所在直線相交于點P，設(shè)AC=4亞，BC=3，

CD=x,求線段CP的長.（用含x的式子表示）

八、相似三角形的應(yīng)用（共3小題）

（2023秋?武侯區(qū)校級期中）

56.如圖，在中，AB=AC=4,AFJ.BC干點、F,BH工AC于點、H.交/尸于點

G,點。在直線4月上運動，BD=DE,NBDE=135。,ZABH=45°,當(dāng)/E取最小值時，BE

的長為.

試卷第21頁，共23頁

(2023秋?寧遠縣期中)

57.有一塊三角形余料N8C,它的邊BC=120mm,高/D=80mm.要把它加工成正方形零

件，使正方形的一邊在上，其余兩個頂點分別在NC上.

(1)問加工成的正方形零件的邊長是多少mm?

小穎善于反思，她又提出了如下的問題.

(2)如果原題中要加工的零件是一個矩形，且此矩形是由兩個并排放置的正方形所組成，如

圖1,此時，這個矩形零件的兩條邊長又分別為多少mm?請計算.

(2023秋?浚縣期中)

58.閱讀下面材料，完成學(xué)習(xí)任務(wù).

數(shù)學(xué)活動：測量樹的高度.

在物理學(xué)中我們學(xué)過光的反射定律，數(shù)學(xué)綜合實踐小組想利用光的反射定律測量池塘對岸一

棵樹的高度測量和計算的部分步驟如下：

①如圖，在地面上的點C處放置了一塊平面鏡，小華站在的延長線上，當(dāng)小華從平面鏡

中剛好看到樹的頂點A時，測得小華到平面鏡的距離CD=2m,小華的眼睛E到地面的距離

￡D=1.5m；

②將平面鏡從點C沿3c的延長線移動10m到點尸處，小華向后移動到點a處時，小華的

眼睛G又剛好在平面鏡中看到樹的頂點A,這時測得小華到平面鏡的距離F/7=3m；

③計算樹的高度48：設(shè)48=xm,BC=ym.

■：/ABC=ZEDC=90°,NACB=NECD，

..△ABCSAEDC.

試卷第22頁，共23頁

.ABBC

"ED~DC

任務(wù)：請你根據(jù)材料中得到的測量數(shù)據(jù)和計算步驟，將剩余的計算部分補充完整.

九、列表法與樹狀圖法（共2小題）

（2023秋?紅山區(qū)校級期中）

59.某學(xué)校為了提高學(xué)生學(xué)科能力，決定開設(shè)以下校本課程：A.文學(xué)院，B.小小數(shù)學(xué)家,

C.小小外交家，D.未來科學(xué)家，為了解學(xué)生最喜歡哪一項校本課程，隨機抽取了部分

圖⑴圖⑵

（1）這次被調(diào)查的學(xué)生共有人；

（2）請你將條形統(tǒng)計圖（2）補充完整；

（3）在平時的小小外交家的課堂學(xué)習(xí)中，甲、乙、丙、丁四人表現(xiàn)優(yōu)秀，現(xiàn)決定從這四名同

學(xué)中任選兩名參加全國英語口語大賽，求恰好同時選中甲、乙兩位同學(xué)的概率（用樹狀圖或

列表法解答）.

（2023秋?鼓樓區(qū)校級期中）

60.在一個不透明的布袋中裝有三個小球，小球上分別標(biāo)有數(shù)字-2、1、2,它們除了數(shù)字

不同外，其它都完全相同.

（1）隨機地從布袋中摸出一個小球，求摸出的球為標(biāo)有數(shù)字1的小球的概率.

（2）小紅先從布袋中隨機摸出一個小球，記下數(shù)字作為左的值，再把此球放回袋中攪勻，

由小亮從布袋中隨機摸出一個小球，記下數(shù)字作為6的值，請用樹狀圖或表格列出左、6的

所有可能的值，并求出直線〉=丘+6不經(jīng)過第四象限的概率.

試卷第23頁，共23頁

1.(1)200斤;(2)25.

【分析】(1)設(shè)每天至少銷售藏香豬肉x斤，則土黑豬為(300-x)斤，根據(jù)銷售總額不低

于8000元，列不等式即可得答案；(2)根據(jù)題意構(gòu)建方程即可得答案.

【詳解】(1)設(shè)每天至少銷售藏香豬肉x斤，則土黑豬為(300-x)斤，

由題意30x+20(300-x)N8000,

解得x2200,

答：每天至少銷售藏香豬肉200斤.

(2)由題意：30(1+2a%)x200(1-a%)+20(1-a%)x200=8000+1750,

整理得：3/-504-625=0,

解得。=25或-2]5(舍棄)，

答：”的值為25.

【點睛】本題考查一元一次不等式及一元一次方程的實際應(yīng)用，根據(jù)題意找出等量關(guān)系是解

題關(guān)鍵.

2.(1)1050元

(2)50元

【分析】(1)根據(jù)每天的銷售利潤=每件的利潤X每天的銷售量，即可求出結(jié)論；

(2)設(shè)每件工藝品售價為x元，則每天的銷售量是[80-2(x-40)]件，根據(jù)每天的銷售利潤

=每件的利潤x每天的銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出

結(jié)論.

【小題1】解：(45-30)x[80-(45-40)x2]=1050(元).

答：每天的銷售利潤為1050元.

【小題2】設(shè)每件工藝品售價為x元，則每天的銷售量是[80-2(x-40)]件，

依題意，得：(x-30)[80-2(x-40)]=1200,

整理，得：x2-110x+3000=0,

解得：肛=50,無2=60(不合題意，舍去).

答：每件工藝品售價應(yīng)為50元.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的

關(guān)鍵.

答案第1頁，共85頁

3.（1）配色條紋的寬度為；米

（2）2425元

【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系列方程是解題的關(guān)鍵.

（1）設(shè)條紋的寬度為x米，根據(jù)圖中所示可列出條紋面積的代數(shù)式為2x5x+2x4x-4F,

17

又根據(jù)題意得出等量關(guān)系：配色條紋面積=整個地毯面積又嬴，列出方程求解即可；

（2）根據(jù)：總價=單價x數(shù)量，地毯總造價=條紋面積造價+其余面積造價，地毯總面積

中，條紋面積占曇,則其余面積占［1-曇］,代入數(shù)據(jù)計算即可.

o（J卜KUJ

【詳解】（1）設(shè)配色條紋的寬度為1米，根據(jù)題意，可列方程為：

17

2x5%+2x4%—4x?=——x5x4

80

17

整理得，18x-4/=一

4

171

解得石=了（不符合題意，舍去），x2=~,

答：配色條紋的寬度為1米;

17

（2）條紋造價:——x5x4x200=850（元）,

80

_￡7

x5x4xl00=1575（元）,

其余部分造價：1~80

總造價為:850+1575=2425（元），

所以地毯的總造價是2425元.

4.（1）2000；（2）2

【分析】（1）設(shè)未知數(shù)，根據(jù)題目中的的量關(guān)系列出方程；

（2）可以通過平移，也可以通過面積法，列出方程.

【詳解】解：（1）設(shè)該項綠化工程原計劃每天完成'平方米，則

1100035000-11000350004

--------+-------------------=-----------4

x1.5xx

解得：x=2000

經(jīng)檢驗x=2000是原分式方程的解，

答：該綠化項目原計劃每天完成2000平方米；

（2）設(shè)人行通道的寬為Vm,根據(jù)題意得（20-3＞）（8-2＞）=56,

解得必=2,y2=y＞8（不合題意，舍去），

答案第2頁，共85頁

答：人行道的寬為2米.

【點睛】本題考查了一元二次方程的實際應(yīng)用——幾何問題和分式方程的實際應(yīng)用，根據(jù)題

意找出等量關(guān)系是解題關(guān)鍵.

5.(1)2秒或4秒后，aPBQ的面積等于8cm2(2)△PBQ的面積不能等于lOcm?

【分析】(1)分別表示出線段必和線段3。的長，然后根據(jù)面積為8列出方程求得時間即

可；

(2)根據(jù)面積為10列出方程，判定方程是否有解即可.

【詳解】(1)設(shè)/秒后，△尸20的面積等于8c/,根據(jù)題意得：

-x2z(6-力=8

2

解得：t=2或4.

答：2秒或4秒后，的面積等于8cM.

(2)由題意得：gx2/(6-r)=10

整理得：/-6/+10=0

''b2-4ac=36-40=-4<0,此方程無解，所以△尸2。的面積不能等于10cm2.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，三角形的面積，能夠表示出線段P8和。8的長

是解答本題的關(guān)鍵.

6.(1)平均每次下調(diào)的百分率為10%；

(2)選擇方案①更優(yōu)惠.

【分析】(1)根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的方程，從而可以求得平均每次下調(diào)的百分率；

(2)根據(jù)題意可以分別計算出兩種方案下的優(yōu)惠額度，從而可以解答本題.

【詳解】解：(1)解：設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為x,則

6000(1-x)2=4860

解得：x；=0.1,X2=1.9(不合題意，舍去)

.,.平均每次下調(diào)的百分率10%；

(2)方案①可優(yōu)惠：4860x1OOx(1-0.98)=9720(元),

方案②可優(yōu)惠：100x80=8000(元)，

.??方案①更優(yōu)惠.

7.(1)甲、乙零售單價分別為2元和3元

(2)當(dāng)m定為0.5元才能使商店每天銷售甲、乙兩種商品獲取的利潤共1000元

答案第3頁，共85頁

【分析】（1）設(shè)甲種商品的進貨單價為X元、乙種商品的進貨單價為p元，根據(jù)“甲、乙兩

種商品的進貨單價之和是3元，按零售單價購買甲商品3件和乙商品2件，共付了12元”列

出方程組，解方程組即可得到答案；

（2）根據(jù)“商店每天銷售甲、乙兩種商品獲取的總利潤為1000元”列出方程，解方程即可得

到答案.

【詳解】（1）解：設(shè)甲種商品的進貨單價為x元、乙種商品的進貨單價為y元，

根據(jù)題意可得:

3（x+l）+2（2v-l）=12,

解得:

）=2.

答：甲、乙零售單價分別為2元和3元

（2）根據(jù)題意得出：（l-m）^500+^xl00^+500=1000,

即2機2—機=o.

解得7〃=0.5或7〃=0（舍去），

答：當(dāng)機定為0.5元才能使商店每天銷售甲、乙兩種商品獲取的利潤共1000元.

【點睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用，讀懂題意，正確列出方

程和方程組是解題的關(guān)鍵.

8.（1）450；6750

⑵尸TOx+900

⑶銷售單價定為70元.

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的

解.找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確地列出方程是解決問題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)月銷售量為=500-（銷售單價-40）x10,即可得出結(jié)論，再根據(jù)月銷售利潤=銷售

每千克的利潤x銷售數(shù)量，代入數(shù)據(jù)即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)月銷售量=500-10x（銷售單價TO）,即可得出/與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）先由月銷售成本不超過10000元，得出月銷售量不超過10000+30=一千克.再根據(jù)

月銷售利潤達到8000元列出方程，進而求解即可.

【詳解】（1）解：當(dāng)銷售單價定為每千克45元時，月銷售量為500-（45-40）x10=450（千

克），

答案第4頁，共85頁

月銷售利潤為(45-30)x450=6750(元).

故答案為：450；6750；

(2)根據(jù)題意得：y=500-(x-40)x10=-10x+900.

(3)由于月銷售成本不超過10000元，

所以月銷售量不超過10000+30=與千克.

根據(jù)題意得：(x-30)(-10x+900)=80。。，

解得：網(wǎng)=50,X2=70.

當(dāng)國=50時，T0x50+900=400>^^,舍去；

當(dāng)％=70時，-10x70+900=200〈等，符合題意.

故銷售單價定為70元.

9.(1)、25%；(2)、5元.

【分析】(1)設(shè)9、10這兩個月的月平均增長率為x,根據(jù)題意列出方程，從而求出x的值得

出答案；(2)設(shè)當(dāng)每袋降價m元時，根據(jù)題意列出方程，求出m的值得出答案.

【詳解】(1)設(shè)9、10這兩個月的月平均增長率為x,根據(jù)題意可得：

10

256(1+x)2=400,解得：xi=-,x=--(不合題意舍去).

424

答：9、10這兩個月的月平均增長率為25%；

⑵設(shè)當(dāng)每袋降價m元時，根據(jù)題意可得：(40-25-m)(400+5m)=4250,

解得：mi=5,m2=-70(不合題意舍去).

答：當(dāng)每袋降價5元時，獲利4250元

考點：一元二次方程的應(yīng)用

10.(1)100-x；200+2x；400—2x；(2)十月份的銷售單價應(yīng)是80元

【分析】(1)十月份的單價等于九月份的單價減去降價的數(shù)量；十月份的銷售量等于九月份

的銷售量加上下降價格的2倍；清倉的數(shù)量等于總的數(shù)量減去九月份和十月份的數(shù)量；

(2)根據(jù)總獲利等于總的銷售價格減去進貨的總價得出一元二次方程，最后根據(jù)售價進行

驗根得出答案