2024-2025學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)高三年級上冊11月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年廣東省廣州市越秀區(qū)高三上學(xué)期11月聯(lián)考數(shù)學(xué)

檢測試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

L集合”={(x/)|y=x,xeR},8={(x/巾=日、e可，貝1M的元素個(gè)數(shù)為()

A.2B.3C.4D.8

【答案】A

【解析】

【分析】聯(lián)立方程求得x和求出求出的元素個(gè)數(shù).

【詳解】因?yàn)镹={(x/)|y=x,xeR},5==x2,xeR1,

y=xx=0x=1

聯(lián)立方程可得廣，解得{八或《/

y=x[y=0[y=l

所以幺(18={(0,0),(1」)},

則集合/c5中的元素個(gè)數(shù)為2.

故選：A.

2.已知復(fù)數(shù)z=/在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2/),則實(shí)數(shù)a,6的值分別為()

1+1

A.4,2B.4,-2C.-4,2D.-4,-2

【答案】B

【解析】

nCL

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，求得Z=——i,結(jié)合題意列出方程組，即可求解.

22

aa(l-i)aa.

【詳解】由復(fù)數(shù)z=「=^77^=7—71,

l+i7(lr+i)(l-i)22

因?yàn)閺?fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,6),可得@=2且-q=A,

22

解得。=41=-2.

故選：B.

3.設(shè)xeR,向量a=(l,2),b=(x,l),且￡j_B，則,+可=()

A.#B.2石c.VioD.10

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)平面向量垂直的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合平面向量加法和模的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)樗?B=0，即x+2=o,所以X=—2,

則￡+B=(—I,3),所以忖+可=&76=

故選：c

4.已知sin[+[]=g(-^<6?<j),則sin,+g]=()

A3—V6r3+V6?>J~6D,昱

6633

【答案】B

【解析】

TTTTTT

【分析】通過。+—=，+—+—及兩角和的正弦公式即可求解.

366

【詳解】由—竺〈，三二可得—巴＜9+四W二，

33262

口.兀)V3(兀、V6

又sin|8+一|=——，則cos|9+一|=——，

I6；3I6；3

故可'+號sm，+『號sm吟吟+c°s叫卜哈

V3V3V613+V6

=------X----------1---------X—

32326

故選：B.

5.在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉席.如圖,在鱉席尸-Z3C中,PAL

71

底面48C,N4BC=—,作尸8于乙幺尸于尸，下面結(jié)論正確的是()

2

p

\\E

①8cl.平面尸4g②平面P8C

③三棱錐/-3CE是鱉腌④三棱錐Z-。￡尸是鱉席

A.①③B.①②④C.②③D.①③④

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理，可判定①正確；證得平面尸BC,可判定②不正確；根據(jù)線面

垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合鱉臊的定義，可判定③、④正確.

【詳解】對于①中，由尸平面N8C,且8Cu平面N8C,所以尸4JL8C,

7T

又由N48C=—,可得48上BC,

2

因?yàn)?8口尸2=4且48,R4u平面尸48,所以5CL平面尸48,所以①正確；

對于②中，由8CL平面「4g,ZEu平面尸4S,所以/EL2C,

又因?yàn)?￡_1_尸8,且PBcBC=B,P8,8Cu平面尸BC,所以ZE_L平面尸5C,

所以/尸與平面P5C不垂直，所以②不正確；

對于③中，由ZEJ_平面尸3C,且CE,8Eu平面/8C,所以NE，CE,ZE_L8E,

所以AAECQABE都為直角三角形，

7T

又由N48C=—,所以V45C為直角三角形，

2

因?yàn)?CL平面「4S,BEu平面尸48,所以5CL5E,所以ABCE為直角三角形，

根據(jù)鱉席的定義，可得三棱錐N-3CE是一個(gè)鱉篇，所以③正確；

對于④中，由平面尸5C,且CE,Ebu平面/8C,所以NE，CE,ZE，￡尸，

所以△4EO4ER都為直角三角形，

因?yàn)槭珻,所以△4CE為直角三角形，

由/￡_!_平面P8C,CEu平面P8C,所以ZELCR,

因?yàn)榍?幺及幺/<=平面,所以CF，平面ZEE,

又因?yàn)镋Eu平面ZEE,所以CFLEE,所以△€：斯為直角三角形，

根據(jù)鱉般的定義，可得三棱錐力-。斯是一個(gè)鱉席，所以④正確.

故選：D.

6.已知橢圓C：《+《=1（?！?〉0）的上頂點(diǎn)為A,左、右焦點(diǎn)分別為《，月，連接力￡并延長

交橢圓。于另一點(diǎn)B，若閨回：|8用=7:3,則橢圓C的離心率為（）

A.-B.-C.~

432

【答案】C

【解析】

【分析】運(yùn)用橢圓定義，結(jié)合余弦定理和離心率公式計(jì)算即可.

【詳解】由題意可得寓理+內(nèi)同=2a,因?yàn)殚|外醫(yī)同=7:3,

73

所以比回=]4,后同=不，

Q

因?yàn)锳為橢圓的上頂點(diǎn)，所以以片|=|/閶=。，則|48|=1，

在"BFi中,

2|第|明

2xax-a

5

在△/耳鳥中，閨鳥『=以片『+以用『—2|/與“Zg|cosN片2月,

c1

即4c2=q2+Q2_Q2=Q2,所以一二

a2

故選：C.

>

X

7.已知數(shù)列｛4｝是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為9,在％,出之間插入1個(gè)數(shù)，使這3個(gè)數(shù)成等差數(shù)

列，記公差為4,在外，%之間插入2個(gè)數(shù)，使這4個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，公差為右，…，在%，%,+1之間

插入〃個(gè)數(shù)，使這力+2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，公差為幺，則()

A.當(dāng)0<q<l時(shí)，數(shù)列｛可｝單調(diào)遞減B.當(dāng)4>1時(shí)，數(shù)列｛4｝單調(diào)遞增

C.當(dāng)4〉4時(shí)，數(shù)列｛"“｝單調(diào)遞減D.當(dāng)4<刈時(shí)，數(shù)列｛4｝單調(diào)遞增

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)可得a=%,+(〃+1”“，可得d=""ST，進(jìn)而得到“=

n+i"可

n+1ann+2

即可對Q討論,結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.

【詳解】對于A,數(shù)列｛%｝是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，則公比為q>0,

由題意%+i=%+(〃+1)媒,得媒==>(<),%=,

〃+1〃+1n+2

0<q<l時(shí)，(/?<0,有學(xué)='J<1,dlt+l>dn,數(shù)列｛",｝單調(diào)遞增，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

dnn+2

對于B,q>1時(shí)，dn>0,冬="“ID,若數(shù)列｛d｝單調(diào)遞增，

dnn+2

則q(/+l)〉］,即q〉S,由〃eN*，需要q〉3,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

n+2M+12

對于C,4〉4時(shí)，_。，解得q>1時(shí)，d“>0,

由*='：；),若數(shù)列｛4｝單調(diào)遞減，則，

即q<"2=l+,，而l<q<3不能滿足q<l+，(〃eN*)恒成立，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

M+1n+12n+1

對于D,4<12時(shí)，%(；D,解得o<q<i或g〉|.,

由AB選項(xiàng)的解析可知，數(shù)列｛4,｝單調(diào)遞增，D選項(xiàng)正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是由題設(shè)結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出4,=冬“二D,進(jìn)而得到

笠"，從而一分析各選項(xiàng)即可求解.

xlnx,x>0,

8.已知函數(shù)/(%)=-l,x=0,若關(guān)于％的方程/(x)=QX—1有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則。的取值

xln(-x)-2,x<0.

范圍是()

A.(1,+℃)B,(2,+oo)C.(l,e)D,(2,2e)

【答案】A

【解析】

x\wc+l,x>0,

【分析】直線支"與函數(shù)"x)=〃x)+l=<

0,x=09的圖象有5個(gè)交點(diǎn).

xln(-x)-l,x<0

先求出交點(diǎn)(0,0),得到Mx)是奇函數(shù)，轉(zhuǎn)化為只需直線”◎與曲線y=xlnx+l(x>0)有2個(gè)交點(diǎn)即

可，利用導(dǎo)數(shù)解題即可.

【詳解】由題意得狽=/(力+1,則直線>=ax與函數(shù)

xlnx+l,x>0,

/i(x)=f(x)+l=<0,x=0,的圖象有5個(gè)交點(diǎn).

xln(-x)-l,x<0

顯然，直線丁=◎與灰x)的圖象交于點(diǎn)(o,o).

又當(dāng)x>0時(shí)，一x<0,/t(-x)=-xlnx-l=-/i(x)；

當(dāng)x<0時(shí)，一x>0,A(-x)=-xln(-x)+l=-/z(x)；

當(dāng)x=0時(shí)，/i(x)=0,所以灰x)是奇函數(shù)，

則必須且只需直線>=◎與曲線y=xlnx+l(%>0)有2個(gè)交點(diǎn)即可,

11Y-1

所以方程a=lnx+—有2個(gè)實(shí)數(shù)根.令/(x)=lnx+—,則/(%)=——,

當(dāng)0<x<l時(shí)，(x)<0,4X)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>l時(shí)，t'(x)>0,單調(diào)遞增，所以[x”[1)=1.

又當(dāng)尤趨近于0時(shí)，/(x)=lnxH—=In—=u—Inu?u=>+co,所以f(x)―>+℃；

xxxx

當(dāng)x趨近于+oo時(shí)，Inx—+8>,-----0/(x)=InxH--^+oo,

xx

所以必須且只需a〉1.

故選：A.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知函數(shù)/("=(：05。%(。>0,0<》<兀)，則下列結(jié)論正確的是()

A.若/(x)單調(diào)遞減，則

B.若/(x)的最小值為-1,則①>1

C.若/(X)僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則

D.若/(x)僅有兩個(gè)極值點(diǎn)，則2<0V3

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)余弦函數(shù)圖像性質(zhì)即可求解.

【詳解】因?yàn)?<、<兀，所以0<3X<37l,

咻

13K5兀

?>

力2兀70/7、6x

222

因?yàn)?(x)單調(diào)遞減，所以由余弦函數(shù)圖像性質(zhì)0<8兀<兀，0<?<l,故A錯(cuò)誤；

因?yàn)?(x)的最小值為-1,故由余弦函數(shù)圖像性質(zhì)①兀〉兀，即。>1,故B正確；

37T57T

因?yàn)?(X)僅有兩個(gè)零點(diǎn)，故由余弦函數(shù)圖像性質(zhì)晝V①兀<—,

35

即一<■—,故C錯(cuò)誤；

22

因?yàn)?(x)僅有兩個(gè)極值點(diǎn)，故由余弦函數(shù)圖像性質(zhì)2兀<543兀，得2<oV3,故D正確.

故選：BD.

10.楊輝三角是中國古代數(shù)學(xué)的杰出研究成果之一，它把二項(xiàng)式系數(shù)圖形化，把組合數(shù)內(nèi)在的一些代數(shù)性

質(zhì)直觀地從圖形中體現(xiàn)出來，是一種離散型的數(shù)與形的結(jié)合.根據(jù)楊輝三角判斷下列說法正確的是()

65432

A.(x-l)6=x-6x+15x-20x+15x-6x+l

B.已知(x+2)=ao+a](x+l)+a2(x+l)-+，—+a5(x+l)-,則旬—q+a2—%+%—“5=1

C.已知(l-3x)”的展開式中第3項(xiàng)與第9項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則所有項(xiàng)的系數(shù)和為2驍

D.C；+4C；+6C；+4C；+C；=M

【答案】AD

【解析】

【分析】A選項(xiàng)直接由二項(xiàng)展開式進(jìn)行判斷；B選項(xiàng)令x=-2即可判斷；C選項(xiàng)先解出〃=10,再令

x=l即可；

D選項(xiàng)直接由=C；。+C：。公式依次遞推即可.

【詳解】A選項(xiàng)；等式為標(biāo)準(zhǔn)二項(xiàng)展開式的結(jié)果，故A正確；

B選項(xiàng):將(x+2)5看成(x+l+l『，

則(x+1+1)，=%+q(x+1)+?(x+1)一---1-%(%+1丫，令x=-2,

則劭一%+。2—%+。4一%=0，故B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)：第3項(xiàng)與第9項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，可轉(zhuǎn)化為C；=C：,

則〃=10,令x=l,則所有項(xiàng)的系數(shù)和為(—2)°=2",故C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)：根據(jù)楊輝三角得C：i=C：0+C：o,C：0=C；+C；,

C：()=C；+C；,??.C：]=C；+2《+C；,同理可得

Ct=C；+3C；+3C；+C；=C；+4c+6C；+4C；+C；,故D正確.

故選：AD.

11.已知函數(shù)y=W(X+1)為偶函數(shù),且/(l-x)=/(x+3),當(dāng)xe[0,l]時(shí),f(x)=2-2x,則(

A./(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱B./(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱

C./⑺的最小正周期為2D./(1)+/(2)+---+/(30)=-1

【答案】ABD

【解析】

【分析】結(jié)合函數(shù)的奇偶性、周期性以及對稱性計(jì)算即可得.

【詳解】對A：因?yàn)椋?M(x+l)為偶函數(shù)，則切(x+l)=—/(-x+1)，

即/(x+l)=-/(-x+1),所以y=/(x+l)是奇函數(shù)，

所以/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，故A正確；

對B：因?yàn)?(l—x)=/(x+3),所以/(x)的圖象關(guān)于直線x=2對稱，故B正確；

對C：因?yàn)?(l-x)=/(x+3)，/(x+l)=-/(-x+l),

則/(x+3)=—/(x+1),則/(x+5)=-/(x+3)=/(x+l),

所以/(x)的最小正周期為4,故C錯(cuò)誤；

對D：因?yàn)楫?dāng)xe[0,l]時(shí)，/(x)=2-2\所以/(0)=1,/(1)=0,

因?yàn)?(x)的圖象既關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，又關(guān)于直線x=2對稱，

所以/(2)=-/(0)=-1,/(3)=/(1)=0,

因?yàn)?(x)的最小正周期為4,

所以/(4)=/(0)=1，所以/。)+/(2)+/(3)+/(4)=0,

所以/⑴+〃2)+…+"30)=7"⑴+〃2)+〃3)+〃4)[+〃1)+/(2)

=7x0+0+(-l)=-1,故D正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：解決抽象函數(shù)的求值、性質(zhì)判斷等問題，常見結(jié)論：

(1)關(guān)于對稱：若函數(shù)/(x)關(guān)于直線x=。軸對稱，則/(x)=/(2a-x),若函數(shù)/(x)關(guān)于點(diǎn)(a*)

中心對稱，則/(x)=26-/(2a-x),反之也成立；

(2)關(guān)于周期：若/(x+a)=-/(x),或/(》+。)=二二，或/(x+a)=一7二，可知函數(shù)/(%)的

/(x)/(x)

周期為2a.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

2

12.若直線＞=左(工一3)與雙曲線3―/=i只有一個(gè)公共點(diǎn)，則左的一個(gè)取值為.

【答案】7(或一工，答案不唯一)

22

【解析】

【分析】聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，根據(jù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程根的情況列式即可求解.

【詳解】聯(lián)立｛4—,化簡并整理得：（1—4左2）必+24父x—36公—4=0,

j=^（x-3）

由題意得1—4左2=0或△=（24/J+4（36左2+4）（1—4r）=0,

解得左=±；或無解，即卜=土;，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.

故答案為：7（或-工，答案不唯一）.

22

13.在V/8C中，AB=5AC，點(diǎn)、D在BCk,滿足麗=2麗，4D=G，ZC=8D.則V48C的

面積為.

【答案】巫

4

【解析】

【分析】設(shè)4C=8￡>=x,則4g=J7x，CD=2x.兩次運(yùn)用余弦定理，構(gòu)造方程，得到得好=1，再

結(jié)合三角形面積公式求解即可.

【詳解】設(shè)4C=8O=x,則=CD=2X.

_AC2+BC2-AB2X2+9X2-7X2__1

在V45C中，cosC二

~2義ACxBC~2xx3x~2

_AC2+DC2-AD-X2+4X2-31

在△4DC中，cosC

-2xACxDC2xx2x2

解得必=1,故x=l,

2

所以S“BC=|x^CxJBCxsinC=1x3xlxVl-cosC=^.

故答案為：走.

4

A

B

DC

14.甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有3個(gè)白球.現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放

入另一口袋，重復(fù)〃次這樣的操作，記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為X“，恰有2個(gè)黑球的概率為夕“，恰有1個(gè)黑

球的概率為%,則4=，X”的數(shù)學(xué)期望E(X“)=.(用〃表示)

【答案】①.士②.電+1

【解析】

【分析】利用全概率公式，構(gòu)造概率遞推公式，再由數(shù)列中的遞推求通項(xiàng)思想即可.

12

【詳解】經(jīng)過第一次操作得：A=-,QI=-,

經(jīng)過第二次操作得：p[=：；=~Pi+|-x-+-x-|^i=T^-.

17112

x

根據(jù)全概率公式可知：A+i=~Pn+y-^,=~P?+-Q?，

2(221n2人.12

q”+i=§2"+1yxy+x3_/，)=一§/+§，

21212

兩式相加可得2P“+]+%+]=-P?++-=-(2P?+(ln)+~,

12

則：M>2,〃eN*時(shí)，2P“+%=§(2p,_]+

所以，2p〃+%-1=；(2P+q“_1-1),

因?yàn)?pi+%—1=；,數(shù)列｛2p〃+%—1｝是首項(xiàng)為:，公比為;的等比數(shù)列，

所以2夕“+%—l=，即+1,

所以6(萬/=？夕“+%+Ox(l一P"一縱)=[g]+1.

故答案為：①22=彳；②U+L

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：由全概率公式來得到遞推關(guān)系，再利用數(shù)列思想求解即可.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/(X)=；/-x?+x.

(1)求曲線y=f(x)的斜率為1的切線方程；

(2)當(dāng)xe[-2,4]時(shí)，求證：x-6</(x)<x.

64

【答案】(1)x-y=O和x-y-藥=0.

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)求導(dǎo)，根據(jù)/'(x)=l求解切點(diǎn)，即可根據(jù)點(diǎn)斜式求解直線方程，

(2)構(gòu)造函數(shù)g("=〃x)-x,利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，即可根據(jù)最值求證.

【小問1詳解】

13.

由f(x)=—x3-x2+x,得/'(X)=—x2-2x+l.

38

令/=即^必―2x+l=l,得x=0或x=§.

又〃0)=0,41]*，

QQ

所以曲線y=/(x)的斜率為1的切線方程是歹=工與>；—藥=x—§,

64

即％-y=0和藥=0.

【小問2詳解】

令g(x)=/(x)-x,XG[-2,4].

由g(x)=；/一%2,得g'(x)=；%2一2%

Q

令g'(x)=0，得x=0或x=§.

當(dāng)[—2,4]時(shí)，g'(x),g(x)的變化情況如下表：

8加

X-2(-2,0)04

3

g'(x)+—+

_64

g(x)-6遞增遞減遞增

0-270

所以g(x)的最小值為-6,最大值為0,

故—6<g(x)<0,即x-6</(x)<x.

16.已知點(diǎn)尸到點(diǎn)F（1,O）的距離比點(diǎn)尸到了軸的距離大1,

（1）求點(diǎn)尸的軌跡E的方程；

（2）若點(diǎn)/（2,機(jī)）（機(jī)〉0）在￡上，又已知點(diǎn)G（—1,0）,延長/下交E于點(diǎn)8,證明：以點(diǎn)尸為圓心

且與直線GZ相切的圓，必與直線GB相切.

【答案】（1）y2=4x

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）由已知得點(diǎn)尸到點(diǎn)F（l,0）的距離等于點(diǎn)尸到直線x=-1的距離，解得P,即可得出拋物線E

的方程.

（2）由點(diǎn)2（2,機(jī)）在拋物線￡上，解得機(jī)，不妨取幺（2,2夜）可得直線NF的方程，與拋物線方程聯(lián)立

化為2/一5%+2=0,解得3,計(jì)算后G/，kGB,可得七，+七B=0,ZAGF=ZBGF,即可證明以點(diǎn)

廠為圓心且與直線GZ相切的圓，必與直線G8相切.

【小問1詳解】

法一：???點(diǎn)尸到點(diǎn)F（I,O）的距離比點(diǎn)尸到了軸的距離大1,

所以點(diǎn)尸到點(diǎn)F（l,0）的距離等于點(diǎn)尸到直線X=-1的距離.

由拋物線的定義得P點(diǎn)的軌跡是拋物線，焦點(diǎn)是尸，準(zhǔn)線為x=-l,

所以拋物線E的方程為y2=4x.

法二：設(shè)P（x,y）,???點(diǎn)尸到點(diǎn)F（l,0）的距離比點(diǎn)尸到了軸的距離大1，

yl（x-l）2+y2=x+1,兩邊平方化簡得y2=4x,

所以￡的方程為/=4x.

【小問2詳解】

因?yàn)辄c(diǎn)幺（2,機(jī)）在拋物線￡：y2=4x1.,所以加=±20，

由拋物線的對稱性，不妨設(shè)Z（2,2啦），

由/（2,2&），F(xiàn)（1,0）可得直線AF的方程為v=2V2（x-l）.

J?=2A/2(X-1)

由廠,')，得2——5x+2=0,

解得x=2或x=1,從而B

2

nF)_c\op)7—V2—02-\/2

又G(—1,0),所以七A=『7二：=+，◎》=1"—=一丁

2-1-1)3IT—“

所以上GN+左GB=O,從而N4GF=NBGF,則點(diǎn)尸到直線GZ,G8的距離相等，

故以尸為圓心且與直線GZ相切的圓，必與直線G8相切.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是計(jì)算左GN+左GB=°，從而N4GF=NBGF,則點(diǎn)尸到直線GZ,

G8的距離相等，故得證.

17.如圖，已知四棱臺(tái)Z8CD-481GA的上、下底面分別是邊長為2和4的正方形，平面44QQ1平

面ABCD,4N=O1。=J萬，點(diǎn)P是棱。￡)1的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在棱BC上.

(1)若50=3。。，證明：尸0〃平面48用4；

(2)若二面角P-。。-C的正弦值為空6,求BQ的長.

26

【答案】(1)證明見解析；

(2)1.

【解析】

【分析】（1）取幺4的中點(diǎn)M,先證明四邊形BMPQ是平行四邊形得到線線平行，再由線面平行性質(zhì)定理

可得；

（2）法一：應(yīng)用面面垂直性質(zhì)定理得到線面垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，再利用共線條件設(shè)函=2瓦

（0<2<1）,利用向量加減法幾何意義表示所需向量的坐標(biāo)，再由法向量方法表示面面角，建立方程求解

可得；法二：同法一建立空間直角坐標(biāo)系后，直接設(shè)點(diǎn)。坐標(biāo)。（4/0）（-1W/W3）,進(jìn)而表示所需向量坐

標(biāo)求解兩平面的法向量及夾角，建立方程求解A法三：一作二證三求，設(shè)80=x（O4x<4）,利用面面

垂直性質(zhì)定理，作輔助線作角，先證明所作角即為二面角的平面角，再利用已知條件解三角形建立方程求

解可得.

【小問1詳解】

證明：取Z4的中點(diǎn)M,連接MP,MB.

在四棱臺(tái)4BCD—481GA中，四邊形是梯形，42=2,AD=4,

4力+jn

又點(diǎn)M,P分別是棱口。的中點(diǎn)，所以40〃幺。，且——=3.

在正方形ABCD中，BC//AD,BC=4,又BQ=3QC,所以80=3.

從而"P〃8。且"尸=8。，所以四邊形BMPQ是平行四邊形，所以尸。〃兒金.

又因?yàn)槠矫?8與4，尸。<2平面48男4,所以尸0〃平面48g4；

在平面44］。。中，作0于O.

因?yàn)槠矫骁?2。,平面48CD,平面平面4SC￡）=4D,A101AD,4。匚平面

AAXDXD,

所以4。，平面Z5CD.

在正方形ABCD中，過。作AB的平行線交BC于點(diǎn)N,則ONLOD.

以｛而，無，西｝為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系。-平.

因?yàn)樗倪呅午?。。是等腰梯形，4月=2,AD=4,所以4。=1,又A[A=DQ=后,所以

4。=4.

易得8（4,TO）,D（0,3,0）,C（4,3,0）,口（0,2,4）,pfo,j,2j,所以反=（4,0,0）,

=I0,-1,2LC5=（0,-4,0）.

法1：設(shè)質(zhì)=4赤=（0,—4%0）（0<4Wl）,所以雙=反+質(zhì)=（4,—44,0）.

J+2Z=0

DP=04,取應(yīng)=（4九4,1）,

設(shè)平面PDQ的法向量為應(yīng)=（x,y,z）,由<一，得〈

m-DO=04x-4Ay=0

另取平面DCQ的一個(gè)法向量為為=（0,0,1）.

設(shè)二面角P-QD-C的平面角為6,由題意得|cos0\=Vl-sin2^=j.

A/26

i?i/\i忻同111

又向好"葉麗=而丁？所以ET京

33

解得幾=±—（舍負(fù)），因此CQ=—x4=3,80=1.

44

所以當(dāng)二面角尸―QD—C的正弦值為豆龍時(shí)，BQ的長為1.

26

法2：設(shè)0（4/,0）（-1.43）,所以麗=（4,”3,0）.

m-DP=0-r+2z=0，取應(yīng)=(3T,4,1),

設(shè)平面PDQ的法向量為成=（x,y,z）,由<一，得《

m-DQ=04x+。-3)y=0

另取平面DCQ的一個(gè)法向量為方=（0,0,1）.

設(shè)二面角P-QD-C的平面角為仇由題意得|cosO\=Vl-sin2^=.

V26

[1

jcos^l=|cos--\l同司

又43T)2+17'所以J(3-『+17

解得t=0或6（舍），因此8。=1.

所以當(dāng)二面角尸-0。-C的正弦值為空6時(shí)，BQ的長為1.

26

法3：在平面440。］中，作PH,垂足為H.

因?yàn)槠矫?403，平面48CD，平面440。1口平面48CD=4D,PHIAD,PHu平面

A[ADD],

所以「平面48CD,又。Qu平面4BCQ,所以PH，。。.

在平面ABCD中，作〃GLDQ,垂足為G,連接PG.

因?yàn)槭琀LDQ,HG1DQ,PHCHG=H,PH,〃Gu平面尸〃G,

所以平面尸”G,又尸Gu平面尸HG,所以￡>0，PG.

因?yàn)椤℅，￡）Q,PGA.DQ,所以NPG〃是二面角尸一。。一幺的平面角.

在四棱臺(tái)4BCD—481GA中，四邊形4幺。2是梯形，

4cl=2,/。=4,幺國=。］。=&7,點(diǎn)P是棱。2的中點(diǎn),

所以尸〃=2,DH=-.

2

設(shè)80=x(O<x<4),則C0=4—x,DQ=^42+(4-X)2=Vx2-8x+32，

在中，-x-x4=-XA/X2-8X+32XHG,從而HG=1=?

222vx2-8x+32

因?yàn)槎娼窍?8-C的平面角與二面角尸-Q。-4的平面角互補(bǔ),

且二面角尸—8—C的正弦值為空S,所以sin/PG〃=%^5,從而tan/PG〃=5.

2626

PHI----------

所以在RtZVWG中，——=Vx2-8x+32=5,解得x=l或x=7(舍).

HG

所以當(dāng)二面角尸-0。-C的正弦值為空6時(shí)，BQ的長為1.

26

18.某景區(qū)的索道共有三種購票類型，分別為單程上山票、單程下山票、雙程上下山票.為提高服務(wù)水

平，現(xiàn)對當(dāng)日購票的120人征集意見，當(dāng)日購買單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)分別為36、60

和24.

(1)若按購票類型采用分層隨機(jī)抽樣的方法從這120人中隨機(jī)抽取10人，再從這10人中隨機(jī)抽取4

人，求隨機(jī)抽取的4人中恰有2人購買單程上山票的概率.

(2)記單程下山票和雙程票為回程票，若在征集意見時(shí)要求把購買單程上山票的2人和購買回程票的m

(加＞2且機(jī)eN*)人組成一組，負(fù)責(zé)人從某組中任選2人進(jìn)行詢問，若選出的2人的購票類型相同，

則該組標(biāo)為A,否則該組標(biāo)為B,記詢問的某組被標(biāo)為B的概率為p.

(i)試用含m的代數(shù)式表示p；

(ii)若一共詢問了5組，用g(2)表示恰有3組被標(biāo)為B的概率，試求g(P)的最大值及此時(shí)m的值.

3

【答案】(1)—

4m216

(2)(i)(ii)加=3時(shí),g(P)max

m2+3加+2625

【解析】

【分析】(1)由古典概型結(jié)合組合數(shù)公式即可求得答案;

(2)(i)由古典概型結(jié)合對立事件的概率公式即可求得答案;

(ii)由n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識即可求解.

【小問1詳解】

因?yàn)橘徺I單程上山票、單程下山票和雙程票的人數(shù)之比為3:5:2,所以這10人中，購買單程上山票、單

352

程下山票和雙程票的人數(shù)分別為：10x—=3,10x—=5,10x—=2,

101010