2024-2025學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)：解答題壓軸題十七大題型專練（范圍：第四、五章）（含答案）

2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末復(fù)習(xí)解答題壓軸題十七大題型專練（范

圍：第四、五章）

【人教A版（2019）］

根據(jù)數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的項(xiàng)、通項(xiàng)公式

1.（2024高二下?全國(guó)?專題練習(xí)）已知數(shù)列九｝中，的=2,且九（幾+l）（a九+1—。九）=一1.其中幾EN*,求

數(shù)列｛。九｝的通項(xiàng)公式；

2.（2004?全國(guó)?高考真題）已知數(shù)列｛&J中，的=1,且。2土=。21-1+。2左+1=+3勺其中k=

1,23….

（1）求的，。5；

（2）求｛&J的通項(xiàng)公式.

3.（23-24高二下?江西萍鄉(xiāng)?期中）已知數(shù)列｛an｝（neN*）的前n項(xiàng)和為目,且滿足的=2,廝=右5?.

（1）求的，。3的值；

⑵試猜想伍九｝的通項(xiàng)公式，并證明.

4.（23-24高二下?全國(guó)?課后作業(yè)）已知數(shù)列｛。九｝滿足的=3,an+1=2an+1.

⑴試寫出該數(shù)列的前5項(xiàng)；

(2)若刈=廝+1，寫出｛4｝的通項(xiàng)公式;

⑶根據(jù)(2)寫出的通項(xiàng)公式.

題型2卜'、求數(shù)列的最大項(xiàng)、最小項(xiàng)

5.(23-24高二下?遼寧?期末)已知數(shù)列｛a“｝滿足的=1,an+1=3%,-2n+1.

(1)計(jì)算a2,a3,猜想｛廝｝的通項(xiàng)公式并加以證明；

(2)設(shè)g=襄，求使數(shù)列｛與｝取得最大值時(shí)?的值.

6.(23-24高二上.湖北武漢?期末)已知數(shù)列｛a“｝的前幾項(xiàng)和%=24—72+2.

(1)求數(shù)列｛%J的通項(xiàng)公式；

(2)若%=廝+100n-2n,求數(shù)列｛加｝的最大項(xiàng)是該數(shù)列的第幾項(xiàng).

n

7.(23-24高二上.江蘇.期中)已知數(shù)列｛即｝的前〃項(xiàng)和為先,Sn=2+3.

(1)求數(shù)列｛廝｝的通項(xiàng)公式與；

“2

(2)若數(shù)列｛.｝滿足：垢=晟，求數(shù)列｛與｝的最大項(xiàng).

8.(23-24高二?全國(guó)?課后作業(yè))在數(shù)列｛時(shí)｝中，an=(n+1)-(n6N*).

(1)求證：數(shù)列先遞增后遞減；

(2)求數(shù)列｛廝｝中的最大項(xiàng).

等差數(shù)列的判定與證明。|

9.(24-25高三上?新疆塔城?期中)已知數(shù)列｛。?｝的首項(xiàng)為的=：,且滿足an+i+2廝+1。?-廝=。?

(1)證明數(shù)列｛工｝為等差數(shù)列，并求｛an｝的通項(xiàng)公式；

an

(2)求數(shù)列｛&1azi+1｝的前〃項(xiàng)和％.

10.(24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè))已知正項(xiàng)數(shù)列｛a九｝滿足廝九+2+an+1an=2an+2an+1an+2an+2an,

且a1—1,。2=

⑴判斷數(shù)歹W-2)是否為等差數(shù)列，并說(shuō)明理由；

lGn+1

⑵求數(shù)列｛⑥J的通項(xiàng)公式.

11.(23-24高二下.海南.期末)已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列｛冊(cè)｝滿足：5=lf3an+1an+an+1-an=0.

(1)證明｛看｝是等差數(shù)列，并求｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)記數(shù)列｛aan+i｝的前n項(xiàng)和為S”，證明：；<S<

n4n3

12.(23-24高二下?云南昆明?階段練習(xí))已知數(shù)列｛&J滿足：的=1,a2=4,an+2=2an+1-an+2.

(1)證明：｛斯+i-是等差數(shù)列，并求｛即｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)勾=斯+巴，若數(shù)列｛,｝是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

題型41等比數(shù)列的判定與證明

13.(24-25高二上?江蘇蘇州?期中)已知數(shù)列SJ｛b｝滿足且的=|，瓦=一

⑴求。3；

(2)證明數(shù)列｛廝-n-卦是等比數(shù)列，并求與.

14.(23-24高三下?全國(guó)?開學(xué)考試)設(shè)數(shù)列｛即｝的前〃項(xiàng)和%,%=4,限］=&丁+：(S-1).

271—1n

(1)證明：數(shù)歹u｛矢y是等比數(shù)列；

(2)求｛a九｝的通項(xiàng)公式.

15.(24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè))已知數(shù)列｛a九｝中，ar=l,a2=2,2an=an+2一an+1.

(l)^a3,a4,a5,并猜想｛an｝的通項(xiàng)公式(不需證明)；

(2)證明：數(shù)列｛an+i+an｝是等比數(shù)列.

an

16.(2024高二?全國(guó)?專題練習(xí))已知數(shù)列｛廝｝和｛篇｝滿足％.=九n+i=^an+n—4,bn=(—l)(an-3n+

21),其中；l為常數(shù)，”為正整數(shù).

(1)證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)；I,數(shù)列｛5｝不是等比數(shù)列；

(2)試判斷數(shù)列｛b｝是否為等比數(shù)列.

等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用

17.(2024?四川綿陽(yáng)?三模)已知首項(xiàng)為1的等差數(shù)列｛廝｝滿足：ai,a2,a3+1成等比數(shù)歹U.

(1)求數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛%｝滿足：aMn+a2%T+-+aMi=3n—l,求數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和心.

18.(23-24高二上?四川成都?期末)已知遞增數(shù)列｛即｝和｛b｝分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列，且的=3b.,a4=

2b2，Q7=力3，+力2=6

(1)求數(shù)列｛時(shí)｝和｛bn｝的通項(xiàng)公式;

(2)若%=也,證明：1■■cn—~~7-

19.(23-24高二上?江蘇蘇州?期中)已知等差數(shù)列｛而｝的前n項(xiàng)和為%,公差d力。，且S3+Ss=50,%,

a4,的3成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)｛合｝是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列，

①求數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和"；

②若不等式久篇~Sn+2/<0對(duì)一切nGN*恒成立，求實(shí)數(shù)2的最大值.

20.(23-24高三下?重慶?階段練習(xí))己知等差數(shù)列｛冊(cè)｝和等比數(shù)列面｝滿足：的=2,瓦=1,a2+a3=10,

b2b3=~CL4.

(1)求數(shù)列｛an｝,｛%｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)數(shù)列｛cn｝是數(shù)列｛aj和數(shù)列｛垢｝的相同項(xiàng)從小到大組成的新數(shù)列，S”是數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和，求S”，并

判斷％是否為數(shù)列｛an｝中的項(xiàng)(不必說(shuō)明理由)?

數(shù)列的求和。|

21.(24-25高三上?河北邢臺(tái)?期中)已知數(shù)列｛即｝的前n項(xiàng)和為幻,且4sli=(2n+l)an+1.

(1)求的通項(xiàng)公式；

(2)若%=廝?G),求數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和取.

22.(23-24高三上.云南.階段練習(xí))已知數(shù)列滿足：y+g+g+-+^=n(n€N*),數(shù)列也｝滿

50

足%=an+2'

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)求打+b?H—+d9.

23.(24-25高二上?上海?期中)設(shè)%是等差數(shù)列｛&J的前幾項(xiàng)和，且％二層+九，其中九EN,n>1.

(1)求｛%J的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列｛熹二｝的前幾項(xiàng)和Hn

24.(24-25高二上?福建莆田?期中)已知正項(xiàng)等差數(shù)列｛%J滿足：a1=1且的,。3,2<17—1成等比數(shù)歹

(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式：

(2)若數(shù)列｛即｝為遞增數(shù)列，數(shù)列｛篇｝滿足：bn=2%neN*,求數(shù)列｛廝+,｝的前幾項(xiàng)和鼎.

數(shù)列不等式。|

25.(24-25高二上?山東?期中)已知數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)的=1,且滿足即+i=六.

(1)求證：數(shù)歹曜+1｝為等比數(shù)列；

(2)若數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和為配，求證：Sn<2.

26.(24-25高三上?重慶?階段練習(xí))已知數(shù)列的前71項(xiàng)和為分,滿足2Sn+i-S”=2,由=1.

(1)求｛5｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛6｝,｛5｝滿足6=-21oga,c=殳當(dāng)｛5｝的前幾項(xiàng)和為取,若不等式%-2>2%對(duì)一切正整

nn2nnan

數(shù)n恒成立，求2的取值范圍.

27.(24-25高三上?山東濟(jì)寧?期中)已知數(shù)列｛冊(cè)｝的前n項(xiàng)和為%,2ati=5^+2,(n￡/V*).

(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

⑵記”=log2an，數(shù)列｛最｝的前幾項(xiàng)和為％,若關(guān)于n的不等式n(2-6)等恒成立，求實(shí)數(shù)4的取值范

圍.

28.(23-24高二下?安徽?期中)已知數(shù)列｛廝｝的前"項(xiàng)和為上,滿足O-l)Sn_i-(n-3)Sn=2aw，n>2,

G]—1.

(1)求數(shù)列｛SJ的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)歹嚙｝的前〃項(xiàng)和為加證明：當(dāng)幾會(huì)時(shí)金?丁小平.

數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用。?

29.(23-24高二上.全國(guó)?課后作業(yè))用數(shù)學(xué)歸納法證明：

(1)1+3+5+…+(2建—1)=n2(n6N+)；

2

(2)1x4+2x7+3xl0+…+n(3n+1)=n(n+l)(nGN+).

30.（23-24高三?全國(guó)?對(duì)口高考）是否存在正整數(shù)m使得/（n）=（2n+7）-3n+9對(duì)任意正整數(shù)九都能被小整

除，若存在，求出最大的a的值，并證明你的結(jié)論.若不存在說(shuō)明理由.

31.（23-24高二下?北京房山?期中）已知數(shù)列｛即｝中，的=0且tin+i=

2~an

⑴求數(shù)列5｝的第2,3,4項(xiàng);

（2）根據(jù)（1）的計(jì)算結(jié)果，猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

32.（23-24高二?全國(guó)?隨堂練習(xí)）證明：凸“邊形的內(nèi)角和等于（九一N3,neN*）.

題型9、新情景、新定義下的數(shù)列問題

33.（24-25高三上?上海?期中）已知數(shù)列｛冊(cè)｝,若｛%+an+J為等比數(shù)列，則稱具有性質(zhì)P.

(1)若數(shù)列｛an｝具有性質(zhì)P,且ai=a2=l,a3=3,求的的值；

(2)若刈=2n+(-1嚴(yán)，判斷并證明數(shù)列初?｝是否具有性質(zhì)P；

(3)設(shè)q+C2+…+d="+幾，數(shù)列｛%｝具有性質(zhì)P,其中由=1,d3-d2-cr,d2+d3-c2,試求數(shù)列

｛%｝的通項(xiàng)公式.

34.(24-25高三上?福建福州?期中)已知數(shù)列4:的42,…,an,從中選取第G項(xiàng)、第％項(xiàng)....第嘲項(xiàng)

m

(ii<i2<<im：22),稱新數(shù)列a￡,…，氣”為A的長(zhǎng)度為rn的子列.記N(4)為A所有不同子列的個(gè)

數(shù)，例如對(duì)于A：1,0,0,長(zhǎng)度為2的子列有1,0和0,0,長(zhǎng)度為3的子列有1,0,0,所以N(2)=3.

(1)對(duì)于數(shù)列A：2,0,2,4,寫出A的長(zhǎng)度為3的全部子列，并求NQ4)；

(2)對(duì)于數(shù)列A%a2,…,an(n>3),8:an,ar,C'0,ar—a2,%—%,…，即—an,判斷N(4),N(B),N(C)

的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(3)對(duì)于整數(shù)ri,fc(l<k<n-1且n>3),數(shù)列Aa1,…,即滿足七G[0,l｝(i=1,2,“?,幾)和<21+a24---F

an-k,求N(4)的最小值.

35.(24-25高三上?河北邢臺(tái)?期中)已知m6N*,m25,定義：數(shù)列共有m項(xiàng)，對(duì)任意eN*,iW

j<m),存在七(七GN*,k]<m),使得(2嗎=aki，或存在電血6N*,/c2<m),使得務(wù)=%,則稱數(shù)列｛即｝

為“封閉數(shù)列”.

⑴若冊(cè)=n(l<n<10,neN*),判斷數(shù)列｛an｝是否為“封閉數(shù)列”；

(2)已知遞增數(shù)列的,2,a3,8,as為“封閉數(shù)列“，求的,a3,a5；

(3)已知數(shù)列｛a"單調(diào)遞增，且為“封閉數(shù)列”，若的21,證明：｛切｝是等比數(shù)列.

36.(24-25高二上?福建漳州?期中)若數(shù)列｛廝｝滿足a"1-成=p(n為正整數(shù)，p為常數(shù))，則稱數(shù)列｛廝｝為

等方差數(shù)列，p為公方差.

(1)已知數(shù)列｛久"，｛%｝的通項(xiàng)公式分別為：%n=V^TT,%=3心1,判斷上述兩個(gè)數(shù)列是否為等方差數(shù)列,

并說(shuō)明理由；

(2)若數(shù)列｛a"既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，證明：數(shù)列｛&J為常數(shù)列.

(3)若數(shù)列｛廝｝是首項(xiàng)為1,公方差為2的等方差數(shù)列，在(1)的條件下，在也與旅+1之間依次插入數(shù)列｛磷｝中

的上項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列｛0｝：yi，憂，y2,aj,aj,y3,畸，aj,aj,y4,...，求數(shù)列｛%｝中前30項(xiàng)的和乙。.

問題

37.(24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè))已知函數(shù)f(x)=/一4x+3.

(1)求曲線y=/O)上任意一點(diǎn)(xoJOo))處的切線斜率；

(2)求曲線y=/(久)在點(diǎn)(3,/(3))處的切線方程.

38.(23-24高二下.江蘇常州?階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=—x3+x+i,gQ)=e-2x+i.

(1)求曲線y=/(久)過點(diǎn)(1,1)處的切線；

(2)若曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,1)處的切線與曲線y=g(K)在x=t(tGR)處的切線平行，求t的值.

39.(24-25高三上?廣西南寧?開學(xué)考試)已知函數(shù)fO)=(4x+l)ex,曲線y=/(*)在(0力(0))處的切線為

直線I.

(1)求直線/的方程；

(2)求函數(shù)/(X)在閉區(qū)間上的最值.

40.(24-25高三上?山西朔州?階段練習(xí))已知函數(shù)門>)=/一3元

(1)求函數(shù)/(%)在區(qū)間卜2,|］上的值域；

(2)曲線y=/(%)在點(diǎn)P(m,/On))處的切線也是曲線y=4%2-。的切線，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

題型111函數(shù)的單調(diào)性問題O|

41.(24-25高三上?河南?期中)已知函數(shù)/(%)=2%sin%+(%2+a)cosx—a(aGR).

⑴求/(%)的圖象在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程；

(2)若f(x)在區(qū)間(0,2上單調(diào)遞減，求a的取值范圍.

42.(24-25高三上?廣東?階段練習(xí))已知f0)=alnx+1+久

(1)當(dāng)刈=1時(shí)，求f(%)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若當(dāng)1>2時(shí)/(%)為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

43.(24-25高三上?廣東廣州?階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=Inx+x2—ax.

⑴若f(%)在區(qū)間(0,e］單調(diào)遞增，求〃的取值范圍；

(2)討論f(%)的單調(diào)性.

44.(24-25高三上?山東煙臺(tái)?期中)已知函數(shù)/(%)=e?%+(a—2)e*—a%.

⑴當(dāng)a=2時(shí)，求過點(diǎn)(0,0)且與函數(shù)f(%)圖象相切的直線方程；

(2)當(dāng)a<0時(shí)，討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性.

題型12卜函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用

45.(24-25高三上?貴州貴陽(yáng)?階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=%ex

(1)求函數(shù)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程

(2)求函數(shù)在［-2,1］上的極值和最值

46.(24-25高三上?貴州黔西?階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=a/+一無(wú)(見匕￡〃)，且當(dāng)％=1時(shí)，/(%)有

極值

6

(1)求函數(shù)/(X)的解析式；

(2)若對(duì)于區(qū)間［-3,3］上任意兩個(gè)自變量的值的,*2,有IfQi)-〃*2)13c,求實(shí)數(shù)c的最小值.

47.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知x=-1是函數(shù)f(x)=的極小值點(diǎn).

(1)求f(x)的單調(diào)性；

(2)討論/■(>)在區(qū)間［m,ni+逐］的最大值.

48.(24-25高三上?甘肅天水?階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=x2—(2a+l)x+a\nx,aER.

(1)若a=0,求曲線y=/(%)在點(diǎn)P(2,f(2))處的切線方程.

(2)若f(%)在久=1處取得極值，求/(%)的極值.

⑶若/(%)在［l,e］上的最小值為-2a,求a的取值范圍.

題型13N利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)(方程的根)

49.(24-25高三上?北京海淀?期中)已知函數(shù)f(x)=aln(久一a)+”-(2a+l);c,a>0.

⑴若/⑶在x=4處取得極大值，求/(4)的值；

(2)求f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

50.(23-24高二下?四川遂寧?階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=%34-2ax2+bx+a—1在％=—1處取得極值0,

其中a,Z)ER.

⑴求a,b的值;

(2)當(dāng)％E[-1,2]時(shí)，方程/(%)=k有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)左的取值范圍.

51.(2024.湖南郴州.模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=2aln%+-Q+2)%,其中口為常數(shù).

(1)當(dāng)a>0時(shí)，試討論/(%)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)/(%)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)%1，g，

(i)求a的取值范圍；

(ii)證明：+也>生

52.(24-25高三上?四川成都?階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=若，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若方程/(%)=1有兩個(gè)不同的根%

(i)求a的取值范圍；

(ii)證明：好+蟾>2.

題型14、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

53.(24-25高三上?河南?階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=(%+a)e%+l(aeR).

(1)若f(%)N0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)證明：當(dāng)%>0時(shí),xee%>e(ex-1).

54.(24-25高三上?湖北?期中)已知函數(shù)/'(x)=-[J+4萬(wàn)-21nx(aeR).

(1)若。=3,求/1(%)極值;

(2)求函數(shù)人久)的單調(diào)區(qū)間；

x

(3)若函數(shù)/(%)有兩個(gè)極值點(diǎn)不，x2(i<x2)>求證：2fo—+/(x2)>9-31n2.

55.(24-25高三上?江蘇?階段練習(xí))已知函數(shù)f⑺=x\nx+t在點(diǎn)(l,f(1))處的切線經(jīng)過原點(diǎn).

⑴求f的值；

(2)若存在不<x2,使得/Qi)=f(x2),求證：xrx2<2；

(3)證明：f(x)+xcosx<ex.

56.(24-25高三上?安徽合肥?階段練習(xí))已知函數(shù)/⑺=x(2-Inx)

(1)討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性；

(2)求函數(shù)八久)在(e2,f(e2))處切線方程；

(3)若/(x)=m有兩解%i，x2,且久】<%2，求證：2e<*i+x2<e2.

題型15R、利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立、存在性問題

57.(24-25高三上?江蘇南通?期中)已知函數(shù)/(X)的導(dǎo)函數(shù)為尸Q),且/(久)=e'T+]r(1)產(chǎn)+1.

(1)求函數(shù)/(%)在點(diǎn)(1)(1))處的切線方程；

(2)若對(duì)于任意的久G[-1,2],>771%恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

58.(24-25高三上?北京?期中)已知函數(shù)/(%)=(2%+l)ln%—一2%.

⑴求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若關(guān)于%的不等式尸(%)<-%+a有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

59.(24-25高三上?福建龍巖?期中)已知函數(shù)/(%)=|ax2—(2a+l)x+21nx+4a(a>0).

(1)求/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)gO)=%2-2%,若對(duì)任意%1G(o,2],均存在第2e(0,2],使得/Cq)<g(%2)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

60.(24-25高三上?全國(guó)?階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=2k%2—41n%,g(%)=ln,其中久E(0,e],fc>0.

(1)若y=/O)+票％在％=1處取得極值，求/c的值；

⑵討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性：

(3)若對(duì)任意%1，久2€(。汽],當(dāng)k>1時(shí)，不等式/(%i)>g(%2)+4恒成立，求k的取值范圍.

題型16'利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量問題

61.(24-25高三上?云南?階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=e*—卜2+。％+Q.

⑴若/(%)為增函數(shù)，求。的取值范圍；

(2)若/(%)有兩個(gè)極值點(diǎn)%1，%2,證明：%1+%2<。.

62.(23-24高二下.廣東揭陽(yáng).階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/(%)=In%+%2—ax(aER).

(1)當(dāng)a=3時(shí)，求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)/(%)有兩個(gè)極值點(diǎn)%1/2，且%16(0,1]，求/(%1)-/(%2)的最小值.

63.(23-24高二下.福建福州?期中)已知函數(shù)/(、)=4%——am%(a>0)

(1)當(dāng)a=3時(shí)，討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性.

(2)若/(%)有兩個(gè)極值點(diǎn)<%2)

①求。的取值范圍

②證明:/(%!)+/(%2)<10—Ina

64.(24-25高三上?全國(guó)?階段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=aln]—%—a.

(1)討論f(%)的單調(diào)性;

(2)若第<%2)是f(%)的兩個(gè)零點(diǎn)，

①求Q的取值范圍；

②求證：f<0(/(%)為函數(shù)f(%)的導(dǎo)函數(shù)).

題型17導(dǎo)數(shù)中的新定義問題

65.(23-24高二下?甘肅臨夏?期末)給出定義：設(shè)/0)是函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)，/'(x)是函數(shù)r(%)的導(dǎo)

函數(shù)，若方程/'0)=0有實(shí)數(shù)解x=x°,則稱(a/(久0))為函數(shù)y=/(x)的“拐點(diǎn)”.已知函數(shù)/(>)=/—

4ax2—3a2x+2.

⑴若(4/(4))是函數(shù)/(%)的“拐點(diǎn)”，求〃的值和函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)/(%)的“拐點(diǎn)”在y軸右側(cè)，討論/(%)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

66.(24-25高三上?內(nèi)蒙古赤峰?階段練習(xí))若函數(shù)/(%)在［見切上存在第1，久2(。VV%2Vb),使得廣(乙)=

?！牦?，，(久2)=牛改，則稱/(久)是［a,切上的“雙中值函數(shù)”，其中與,亞稱為“久)在［a，切上的中值點(diǎn).

⑴判斷函數(shù)/0)=/一3%2+1是否是［-1,3］上的“雙中值函數(shù)”，并說(shuō)明理由；

(2)已知函數(shù)/(%)=|%2一xlnx一ax,存在7n>n>0,使得f(TH)=/(n),且f(%)是阿上的“雙中值函數(shù)”,

xlfx2是/(%)在［弭zn］上的中值點(diǎn).

①求a的取值范圍；

②證明：%i+x2>a+2.

67.（23-24高二下?江蘇南京?期中）設(shè)函數(shù)g（x）在區(qū)間。上可導(dǎo)，g'（x）為函數(shù)。（久）的導(dǎo)函數(shù).若g'（x）是D上

的減函數(shù)，則稱久久）為。上的“上凸函數(shù)”；反之，若或久）為D上的“上凸函數(shù)"，貝叼'（久）是。上的減函數(shù).

⑴判斷函數(shù)/⑴=2xcosx-1在（0印上是否為“上凸函數(shù)”，并說(shuō)明理由；

（2）若函數(shù)八（久）=-|x3+|ax2-axlnx+a久是其定義域上的“上凸函數(shù)"，求a的取值范圍；

68.（23-24高三下.重慶.期中）若函數(shù)/（%）在定義域內(nèi)存在兩個(gè)不同的數(shù)比1，冷，同時(shí)滿足/（與）=/（右），

且“X）在點(diǎn)01/3））,（上）3））處的切線斜率相同，則稱/O）為“切合函數(shù)”

⑴證明:/（X）=X3-2尤為“切合函數(shù)”;

2

（2）若g（%）=xlnx-x+a%為“切合函數(shù)”，并設(shè)滿足條件的兩個(gè)數(shù)為久L%2?

（i）求證：xrx2<

（ii）求證：（a+I）2/%2—Vxix2<--

2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末復(fù)習(xí)解答題壓軸題十七大題型專練（范

圍：第四、五章）

【人教A版（2019）］

根據(jù)數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的項(xiàng)、通項(xiàng)公式

1.（2024高二下?全國(guó)?專題練習(xí)）已知數(shù)列｛a九｝中，的=2,且荏（九+1）（。九+1-。九）=一1.其中九eN*,求

數(shù)列的通項(xiàng)公式；

【解題思路】方法一,由已知可得即-廝+】=-==-利用累加法求通項(xiàng)；方法二,由已知可得

an+i-^=an-^,所以｛廝―；｝是常數(shù)列，得解.

【解答過程】(法一)由題意知，即―與+1=嵩=；一荒，

1=a

則冊(cè)-—an~~2=：一：，

71-±7l1Z

累加得：CL^—ctn=1—7且九—2，又=2,

故a九=1+，而的=2符合上式，

故\/幾GN,ct=1H—.

nn

(法二)由題意知，Cl—0九+i=——~=--------7,貝必九+1-----7=an--，

n“n(n+l)nn+1‘十，n+1"n

所以a九一；=an-i=…=%_：=L

所以。九—1+—.

2k=2k-1+(-D"，21=

2.(2004?全國(guó)?高考真題)已知數(shù)列｛a九｝中，ar=1,且a。。上++3上，其中(=

1,23….

(1)求的，。5；

(2)求｛&J的通項(xiàng)公式.

【解題思路】(1)代入序數(shù)，逐項(xiàng)計(jì)算即可求得的，。5；

2k+1=fck1-a

(2)根據(jù)。a2k+3k=a2k_r+(-l)+3,可得的上+2k-i=(-1)"+3”，

再由。2心1一a2k-3=+3^1利用累加法即可求得。2k+1，再求。2上即可得解.

【解答過程】(1)。2=@1+(—1)1=1—1=0，

◎3=。2+31=3,

04=03+(—1)2=4,

@5=。4+32=13,

所以。3=3,。5=13；

(2)由。2k+1=a2k+3'=a2k-1+(-1)'+3”,

所以。2上+1-a2k-l=(-l)k+3上,

同理。2上-1-a2k-3=(-1尸+3f

又。3—=3+(-1),

所以(@2上+1-a2k-l)+Ca2k-1-。2上-3)+…(。3-al)

=(3fc+3上-1+…+3)+[(-l)fc+(-1)火一1+???+(-1)]

所以。2k+1一=I(3,-1)+1[(-1)"-1],

ofc+1-1

于是。2憶+1=+-1，

kofc-1kofc1fe

于是a2k=?2fc-i+(-l)+l(-1)心1-1+(-l)=y+|(-l)-1，

｛aj的通項(xiàng)公式為：

n+1

Q-—1n-1

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an=y-+：(-l)'-l；

n

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，廝=3+*-1”—1.

3.(23-24高二下?江西萍鄉(xiāng)?期中)已知數(shù)列｛an｝(neN*)的前n項(xiàng)和為%,且滿足的=2,即=后5n.

⑴求az，。?的值；

(2)試猜想｛an｝的通項(xiàng)公式，并證明.

【解題思路】(1)由數(shù)列的遞推式，分別令幾=1和n=2,計(jì)算可得所求值；

(2)猜想an=2zi(neN*),由數(shù)列的遞推式和數(shù)列的恒等式，可得證明.

【解答過程】(1)由題知，a?=|52=|(的+。2),解得。2=4,

同理，CI3=|53=|(。1+a2+。3)，解得。3=6；

(2)由(1)可猜想an=2n(neN*),證明如下：

已知廝=京5小當(dāng)nN2時(shí)，有%-5?_1=京5小

化簡(jiǎn)得(n-l)Sn=(n+DSNT,即2=二，

5n-1n-1

_SfiSfi-iSfi_2S4S3S2_7i+ln,Tt-1543_(n+l)'7i

SiSfi-iSfi-2^n-3S3S2S]n~1n~2.n-33212

又Qi=Si=2,故S九=n(n+1),

2

則廝=彘1$71=2n(n>2),

當(dāng)n=1時(shí)，上式仍成立，則a”=2n(neN*).

4.(23-24高二下?全國(guó)?課后作業(yè))已知數(shù)列｛%J滿足％_=3,an+1-2an+1.

(1)試寫出該數(shù)列的前5項(xiàng)；

(2)若%=即+1,寫出｛既｝的通項(xiàng)公式;

⑶根據(jù)(2)寫出｛an｝的通項(xiàng)公式.

【解題思路】(1)由遞推公式直接計(jì)算即可；

(2)構(gòu)造法證明｛%｝為等比數(shù)列，從而寫出通項(xiàng)公式即可;

(3)由(2)可知與+1=%,即可求得a%

【解答過程】(1)因?yàn)閍n+i=2%,+1,a1=3,

所以—2al+1=7,a3—2a2+1—15,

。4=2a3+1=31,=2a4+1=63.

(2)因?yàn)閮?cè)+1=2^+1,所以兩邊同時(shí)加1得：

a九+i+1=2(1n+2=2(a九+1),

所以%ill=2,即空±1=2,

an+1bn

所以｛如｝是以瓦=%+1=4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)歹U.

n-1n+1

所以6n=4x2=2.

n+1

(3)由(2)可知：bn=4x2^=2.

n+1n+1

所以a0+1=2,所以an=2-1.

題型2X求數(shù)列的最大項(xiàng)、最小項(xiàng)

5.(23-24高二下?遼寧?期末)已知數(shù)列｛冊(cè)｝滿足的=1,%+1=3ctn—2n+l.

(1)計(jì)算。2，。3,猜想以"的通項(xiàng)公式并加以證明；

(2)設(shè)g=黑，求使數(shù)列｛%｝取得最大值時(shí)?的值?

【解題思路】(1)根據(jù)遞推關(guān)系得到前三項(xiàng)，猜想通項(xiàng)并利用新數(shù)列的關(guān)系加以證明;

(2)寫出數(shù)列｛.｝的通項(xiàng)公式，利用誓=g(l+》3>o,可求〃的取值范圍.

【解答過程】(1)由題意得。2=3x1-2x1+1=2,613=3x2—2x2+1=3,猜想％l=n,

式子與+1=3an—2n+1可化為an+i-(n+1)=3(an-n),

因?yàn)閍1—1=0,所以的i—n—0,

因此數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式為即=n,得證.

⑵由%=需得％=奈“+]=曙,所以筌=久1+滬

若41+；)3>1,當(dāng)且僅當(dāng)n〈泰6(2,3)成立，貝IJ,

當(dāng)14幾工2時(shí)，bn+1>bn,

當(dāng)九>3時(shí)，bn+1<bn,

故n=3時(shí)，6n取最大值/=1.

6.(23-24高二上?湖北武漢?期末)已知數(shù)列｛&J的前〃項(xiàng)和Sn=21一n+2.

(1)求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式；

n

(2)若%=an+100n-2,求數(shù)列｛篇｝的最大項(xiàng)是該數(shù)列的第幾項(xiàng).

【解題思路】(1)根據(jù)%,=5.—Sn_!(n>2)求通項(xiàng)即可；

(2)根據(jù)廝得到勾，然后列不等式求最大項(xiàng)即可.

【解答過程】(1)當(dāng)n=l時(shí)，a[=Si=3,不滿足上式，

22

當(dāng)n>2時(shí)，an—Sn—Sn-i=(2n—n+1)—(2n—5n+4)=4n—3,

故數(shù)列的通項(xiàng)公式為a”=L2'

(2)由已知得瓦=3+100—2=101,

nnn

當(dāng)九>2時(shí)，bn=an+100n-2=4n-3+lOOn-2=104n-3—2,

nn+1

皿伸>bn+1gfl04n-3-2>104(n+1)-3-2

n-1

lbn>bn_J(104n-3-2">104(n-1)-3-2,

4r2n>104

^S1104>2-1,即0n。7,

所以當(dāng)nN2,｛匾｝的最大項(xiàng)為第7項(xiàng)，

又歷=104x7-3-27=597>

所以數(shù)列｛%｝的最大項(xiàng)是該數(shù)列的第7項(xiàng).

n

7.(23-24高二上.江蘇?期中)已知數(shù)列｛冊(cè)｝的前〃項(xiàng)和為無(wú),Sn=2+3.

(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式an；

(2)若數(shù)列｛.｝滿足：b=~,求數(shù)列｛.｝的最大項(xiàng).

nan

【解題思路】(1)根據(jù)廝=1<求出通項(xiàng)公式；

⑵求出瓦=3當(dāng)7122時(shí)，計(jì)算出年擔(dān)=乂工+1丫，萼=2>1,當(dāng)nN3時(shí)，爭(zhēng)<1,從而得到數(shù)列也｝

的最大項(xiàng).

【解答過程】(1)Sn=2"+3中，令兀=1得的=2+3=5,

當(dāng)n>2時(shí)，a”=5皿-Sn_1=2"+3-2“T-3=2“T,

其中21T=0H5,

a

^n=[2n-l~^2

(2)當(dāng)n=1時(shí)，br

at5

“2

當(dāng)n22時(shí)，bn^—>0,

則%+1=(n+l)22"T=，z+2n+i=i1丫

J2

bn2nn2nz2\nJ

當(dāng)n=2時(shí)，普=2>1,

b28

當(dāng)n23時(shí)，-+1<-,-fi+l)2<-x—<1,故步<1,

n32\n/29bn

故幾22時(shí)，｛g｝的最大項(xiàng)為/=J,

又出>瓦，故數(shù)列｛%｝的最大項(xiàng)為3=

8.(23-24高二?全國(guó)?課后作業(yè))在數(shù)列｛&J中，廝=5+1)?瑞)”(neN*).

求證：數(shù)列｛｝先遞增后遞減；

(1)an

(2)求數(shù)列｛廝｝中的最大項(xiàng).

【解題思路】(1)由于為>0,所以分別由旦>l(n22),上=l(n22)和旦<l(nN2)求出所對(duì)應(yīng)

an-lan-lan-l

的九的范圍，從而可證得結(jié)論，

(2)由(1)可得他=。9是數(shù)列的最大項(xiàng)

【解答過程】(1)證明：因?yàn)閍九>0,令0n>1(幾—2),

an-i

即空蛔->1，整理得W>U,解得九<9,即當(dāng)n<9時(shí)，W>1.

九n9

(2)an-i

同理，令H=1(九22),

?n-l

即當(dāng)n=9時(shí),a8=ag.

令上<2),得n>9,

an-l

即當(dāng)n>9時(shí)，工<1.

an-l

綜上，數(shù)列｛a九｝從第1項(xiàng)到第8項(xiàng)遞增，從第9項(xiàng)起遞減，即數(shù)列先遞增后遞減.

由(知，a(jia>a(jiEN*),

(2)1)a8>nGyv*),9n

故他=a9=充是數(shù)列中的最大項(xiàng).

等差數(shù)列的判定與證明

9.（24-25高三上?新疆塔城?期中）已知數(shù)列｛%J的首項(xiàng)為的=：,且滿足%+1+2（^+1%,-斯=。-

（1）證明數(shù)列｛2｝為等差數(shù)列，并求｛an｝的通項(xiàng)公式；

an

（2）求數(shù)列｛a九冊(cè)+J的前〃項(xiàng)和S%

【解題思路】（1）根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列定義推理得證，再求出通項(xiàng)公式.

（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算即得.

【解過程】（1）由。九+1+2a九+ia九—=0，=得a九H0,貝—a?i+i=2a九&i+i，于是?--—=2,

3?an+lan

所以數(shù)歹吟｝是首項(xiàng)看=3,公差為2的等差數(shù)歹U，

—=3+2(九-1)=2.71+1,所以Q九=---.

2TI+1

1

（2）由（1）知。九@?+1———)>

(2九+1)(2?1+3)2v2n+l2n+37

1.1111、I〉1、n

所以%=*（一__________1——?_____1——

557271+12n+37-213_271+3,-6n+9*

a

10.(24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè))已知正項(xiàng)數(shù)列｛a九｝滿足%1+1&1+2+CLn+in=2an+2an+1an+2an+2an,

且^口1—1,=7

（1）判斷數(shù)列［上-三）是否為等差數(shù)列，并說(shuō)明理由;

lan+1a，nJ

（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

【解題思路】（1）根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到（二——---）=2,即可證得數(shù)列f--是等差數(shù)

an+2an+lan+lanlGn+1an^

列；

（2）由（1）可得」——--2n+l,結(jié)合累加法，求得上—工="—1,即可求解.

a?i+lananai

【解答過程】（1）由正項(xiàng)數(shù)列｛%J滿足a九+1廝+2+an+1an=2an+2an+1an+2an+2an,

可得工+」_=2+:一,即二------=----+2,

anan+2an+lan+2an+ian+lan

BP(—-----)=2,

an+2an+lan+lan

又由a】=l,a2=%可得郎一己=3,

故數(shù)列--工）是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列.

5+1a/

(2)由(1)可得一^----=—----+(n—1)-2=2n+1.

an+lana2ai

所以工—2_=3,工—2=5,…，二一一-=2n-l,

a2aia3a2anan-l

將以上式子累加，可得上—工=3+5+…+2九-1=（3+2，T）（n-D="一1,

an%2

可得（=小，所以an=+.

11.（23-24高二下?海南?期末）已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列｛即｝滿足：的=l,3an+1an+an+1-an=0.

（1）證明｛熹｝是等差數(shù)列，并求｛a“｝的通項(xiàng)公式；

（2）記數(shù)列｛斯斯+1｝的前n項(xiàng)和為%,證明：；<S<i

4n3

【解題思路】（1）通過構(gòu)造法，利用等差數(shù)列的定義和等差數(shù)列的概念求解｛an｝通項(xiàng)公式.

（2）通過裂項(xiàng)法求解Sn,并結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性求證不等式.

【解答過程】（1）因?yàn)椋?K0,故由3an+ian+與+1-a”=0,

可得工_2_=3,

an+ian

又工=1,所以是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，

所以—=1+3（?1—1）=371—29故%；=---.

an3n—2

（2）易得即即+1=即-2篙+1）=1（/一七）'

所以S九=+a2a3+…+071071+1

3k4/\47/\3n-23n+1/J

3\3n+1/

易知/（幾）=1一士在71GN*時(shí)是遞增的，所以［<f（n）<1,

371+14

因此臺(tái)s11cq.

12.（23-24高二下?云南昆明?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛廝｝滿足：a1=1,a2=4,an+2-2an+1-an+2.

（1）證明：｛即+i-即｝是等差數(shù)列，并求｛an｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)“=即+工，若數(shù)列｛6n｝是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

an

【解題思路】（1）根據(jù)條件，利用等差數(shù)列定義，即可證明結(jié)果，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到即+1-即=

2n+l,再利用累加法，即可求出結(jié)果；

（2）由（1）得%="+工，再利用數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，得到k<5+1）2/對(duì)neN*恒成立，即可求出

結(jié)果.

aa

【解答過程】(1)因?yàn)镼九+2=2a九+i—an+2?所以。九+2—n+i~(%i+i—n)=2。n+1—an+2—2an+1+

an=2為常數(shù)，

又%-%=3,所以數(shù)列｛冊(cè)+1-冊(cè)｝是公差為2,首項(xiàng)為3的等差數(shù)列.

所以a九+1—an=3+(?1—1)X2=2n+1,

當(dāng)?1之2時(shí),(a九—CLn-i)+(Qn_1—C^n-2)+…+(。2—。1)=2(72—1)+1+2(71—2)+1+…+2X1+1,

所以G九—=幾2—1,又％=1,所以^=71.2,又幾=1,滿足冊(cè)=九2,

所以數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為冊(cè)=H2.

(2)由⑴知砥="+2，因?yàn)閿?shù)列｛與｝是遞增數(shù)列，

22e

所以加+1—%=O+I)+玩為-(n+工)=(2n+1)[1一(二2n21>°，對(duì)九N*恒成立，

得到kV到+1)2/對(duì)7teN*恒成立，所以k<4.

題型4